北师大版数学九年级上册同步练习——第五章《投影与视图》综合训练B
一、选择题（每题3分，共36分）
1．（初中数学北师大版九年级上册练习题3 (2) ）如图，在房子屋檐E处安有一台监视器，房子前有一面落地的广告牌，那么监视器的盲区是（ ）
A．△ACE B．△ADF C．△ABD D．四边形BCED
2．（2023·济宁）一个几何体的三视图如下，则这个几何体的表面积是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·绥化）如图是一个正方体，被切去一角，则其左视图是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·眉山）由相同的小正方体搭成的立体图形的部分视图如图所示，则搭成该立体图形的小正方体的最少个数为（ ）
A．6 B．9 C．10 D．14
5．（2023·鲁甸模拟）如图所示的是由两个长方体组成的几何体，这两个长方体的底面都是正方形，则该几何体的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·凤庆模拟）某几何体的三视图如图所示，该几何体的母线长是（ ）
A．5 B．10 C．12 D．13
7．（2022·上思模拟）如图，小颖身高为 ，在阳光下影长 ，当她走到距离墙角（点 ） 的 处时，她的部分影子投射到墙上，则投射在墙上的影子 的长度为（ ）
A． B． C． D．
8．（2021九上·内江期末）如图，在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.2米，在同一时刻旗杆AB的影长不全落在水平地面上，有一部分落在楼房的墙上，他测得落在地面上影长为BD＝9.6米，留在墙上的影长CD＝2米，则旗杆的高度（ ）
A．12米 B．10.2米 C．10米 D．9.6米
9．（2021九上·南海期末）身高1.6m的小刚在阳光下的影长是1.2m，在同一时刻，阳光下旗杆的影长是15m，则旗杆高为（ ）
A．14米 B．16米 C．18米 D．20米
10．（2021九上·包头期末）如图，有一路灯杆AP，路灯P距地面4.8m，身高1.6m的小明站在距A点4.8m的点D处，小明的影子为DE，他沿射线DA走2.4m到达点B处，小明的影子为BC，此时小明影子的长度（ ）
A．增长了1m B．缩短了1m C．增长了1.2m D．缩短了1.2m
11．（2021九上·佛山月考）如图所示是滨河公园中的两个物体一天中四个不同时刻在太阳光的照射下落在地面上的影子，按照时间的先后顺序排列正确的是（ ）
A．(3)(4)(1)(2) B．(4)(3)(1)(2)
C．(4)(3)(2)(1) D．(2)(4)(3)(1)
12．（2019·广西模拟）一个直棱柱，主视图是边长为2 的正方形，俯视图是边长为2 的正三角形，则左视图的面积为 （ ）
A．12 B．12 C．6 D．3
二、填空题（每空3分，共18分）
13．（2016·北京）如图，小军、小珠之间的距离为2.7m，他们在同一盏路灯下的影长分别为1.8m，1.5m，已知小军、小珠的身高分别为1.8m，1.5m，则路灯的高为 m．
14．（2020九上·丰台期末）在测量旗杆高度的活动课中，某小组学生于同一时刻在阳光下对一根直立于平地的竹竿及其影长和旗杆的影长进行了测量，得到的数据如图所示，根据这些数据计算出旗杆的高度为 m．
15．（2022七上·山西期末）由一些相同的立方体小木块搭建成的几何体，从正面、从左面和从上面看的形状图如图所示，则该几何体是由 块小木块搭建而成的．
16．（2022九上·胶州期末）如图是某几何体的三视图，其俯视图为等边三角形，则该几何体的左视图的面积为
17．（2022七上·佛山期中）一个长方体从左面看，上面看到的相关数据如图所示，则其从正面看到的图形面积是
18．（2018·青岛）一个由16个完全相同的小立方块搭成的几何体，其最下面一层摆放了9个小立方块，它的主视图和左视图如图所示，那么这个几何体的搭法共有 种．
三、解答题（共7题，共66分）
19．（2019七上·东源期中）如图1，一个边长为2cm的立方体按某种方式展开后，恰好能放在一个长方形内．
（1）计算图1长方形的面积；
（2）小明认为把该立方体按某种方式展开后可以放在如图2的长方形内，请你在图2中划出这个立方体的表面展开图；(图2每个小正方形边长为2cm)；
（3）如图3，在长12cm、宽8cm的长方形内已经画出该立方体的一种表面展开图(各个面都用数字“1”表示)，请你在剩下部分再画出2个该立方体的表面展开图，把一个立方体的每一个面标记为“2”，另一个立方体的每一个面标记为“3”．
20．一组合体的三视图如图所示，该组合体是由哪几个几何体组成，并求出该组合体的表面积（单位：cm2）．
21．（2022七上·宛城期末）如图是一些棱长为1cm 的小立方块组成的几何体.
（1）请画出从正面看，从左面看，从上面看到的这个几何体的形状图.
（2）该几何体的表面积是 cm2 .
（3）如果把它拼成一个无空隙的正方体，则至少还需要同样的小立方块 块.
（4）如果保持从正面和上面看到的形状不变，最多可以再添加 个小立方块.
22．（2021·苏州模拟）测量金字塔高度：如图1，金字塔是正四棱锥 ，点O是正方形 的中心 垂直于地面，是正四棱锥 的高，泰勒斯借助太阳光.测量金字塔影子 的相关数据，利用平行投影测算出了金字塔的高度，受此启发，人们对甲、乙、丙三个金字塔高度也进行了测量.甲、乙、丙三个金字塔都用图1的正四棱锥 表示.
（1）测量甲金字塔高度：如图2，是甲金字塔的俯视图，测得底座正方形 的边长为 ，金字塔甲的影子是 ，此刻，1米的标杆影长为0.7米，则甲金字塔的高度为 m.
（2）测量乙金字塔高度：如图1，乙金字塔底座正方形 边长为 ，金字塔乙的影子是 ， ，此刻1米的标杆影长为0.8米，请利用已测出的数据，计算乙金字塔的高度.
23．（2021九上·舞钢期末）如图，A、B、C分别表示甲、乙、丙三个物体的顶端，甲物体高3米，影长2米，乙物体高2米，影长3米，甲乙两物体相距4米.
（1）请在图中画出光源灯的位置及灯杆，并画出物体丙的影子.
（2）若甲、乙、丙及灯杆都与地面垂直，且在同一直线上，求灯杆的高度.
24．（2020·攀枝花）实验学校某班开展数学“综合与实践”测量活动．有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一斜坡，且圆柱底部到坡脚水平线 的距离皆为 ．王诗嬑观测到高度 矮圆柱的影子落在地面上，其长为 ；而高圆柱的部分影子落在坡上，如图所示．已知落在地面上的影子皆与坡脚水平线 互相垂直，并视太阳光为平行光，测得斜坡坡度 ，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请解答下列问题：
（1）若王诗嬑的身高为 ，且此刻她的影子完全落在地面上，则影子长为多少 ？
（2）猜想：此刻高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内．请直接回答这个猜想是否符合题意？
（3）若同一时间量得高圆柱落在坡面上的影子长为 ，则高圆柱的高度为多少 ？
25．（2017-2018学年数学浙教版九年级下册3.1.2 投影—中心投影 同步练习）如图，在一间黑屋子里用一盏白炽灯照一个球.
（1）球在地面上的影子是什么形状
（2）当把白炽灯向上平移时，影子的大小会怎样变化
（3）若白炽灯到球心的距离是1 m，到地面的距离是3 m，球的半径是0.2 m，则球在地面上影子的面积是多少
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】盲区
【解析】【解答】解：由图片可知，E视点的盲区应该在△ABD的区域内．
故选：C．
【分析】根据盲区的定义，视线覆盖不到的地方即为该视点的盲区，由图知，E是视点，找到在E点处看不到的区域即可．
2．【答案】B
【知识点】圆锥的计算；圆柱的计算；由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：由题意得该几何体上面是底面直径为6，母线为4的圆锥，下面是底面直径为6，高为4的圆柱，
∴，
故答案为：B
【分析】先根据简单组合体的三视图即可得到该几何体上面是底面直径为6，母线为4的圆锥，下面是底面直径为6，高为4的圆柱，进而运用圆锥的侧面积计算公式和圆柱的侧面积计算公式即可求解。
3．【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：左视图为：
.
故答案为：B.
【分析】左视图是从几何体左面观察所得到的平面图形.注意：看不见的棱用虚线表示.
4．【答案】B
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：由题意得搭成该立体图形的小正方体第三层最少为6个，搭成该立体图形的小正方体第二层最少为2个，搭成该立体图形的小正方体第二层最少为1个，
∴搭成该立体图形的小正方体第二层最少为9个，
故答案为：B
【分析】根据三视图即可结合题意即可判断出小立方体的个数。
5．【答案】C
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：由题意得该几何体的俯视图是，
故答案为：C
【分析】根据几何体的三视图即可求解。
6．【答案】D
【知识点】圆锥的计算；由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：由题意得该几何体为圆锥，且圆锥的高为12，底面半径为5，
由勾股定理得，
故答案为：D
【分析】运用几何体的三视图结合题意即可得到该几何体为圆锥，且圆锥的高为12，底面半径为5，进而根据勾股定理即可求解。
7．【答案】B
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：如图，过E作EF⊥CG于F，
设投射在墙上的影子DE长度为x，
由题意得：△GFE∽△HAB，
∴AB：FE＝AH：（GC x），
则240：120＝160：（160 x），
解得：x＝80.
答：投射在墙上的影子DE长度为80cm.
故答案为：B.
【分析】如图，过E作EF⊥CG于F，设投射在墙上的影子DE长度为x，由平行投影的性质得△GFE∽△HAB，于是可得比例式AB：FE＝AH：（GC x），解之可求解.
8．【答案】C
【知识点】矩形的判定与性质；中心投影
【解析】【解答】解：如图，作CE⊥AB于E点，
则四边形BDCE为矩形，BD=CE=9.6米，BE=CD=2米，
根据题意得
，即
，
解得AE=8（米），
所以AB=AE+BE=8+2=10（米）.
故答案为：C.
【分析】作CE⊥AB于E点，则四边形BDCE为矩形，BD=CE=9.6米，BE=CD=2米，根据物体的高度与影长成比例可得AE的值，然后根据AB=AE+BE进行计算.
9．【答案】D
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：设旗杆高为x米，
根据同一时刻身高和影长之比等于旗杆与其影长之比可得：
，解得：，
故旗杆高20米，
故答案为：D．
【分析】设旗杆高为x米，根据题意列出方程求解即可。
10．【答案】D
【知识点】中心投影
【解析】【解答】解：过B作BG⊥AE交PC于G，过D作DH⊥AE交PE于H，
则AB=AD-BD=4.8-2.4=2.4（m），BG=DH=1.6m，BG∥AP∥DH，
∴△BCG∽△ACP，△DEH∽△AEP，
∴，
即，
解得：BC=1.2，DE=2.4，
∴DE-BC=2.4-1.2=1.2（m），
即此时小明影子的长度缩短了1.2m.
故答案为：D．
【分析】先求出△BCG∽△ACP，△DEH∽△AEP，再求出BC=1.2，DE=2.4，最后求解即可。
11．【答案】C
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：根据平行投影的特点和规律可知，（3），（4）是上午，（1），（2）是下午，根据影子的长度可知先后为（4）（3）（2）（1）．
故答案为：C．
【分析】根据平行投影的特点和规律求解即可。
12．【答案】C
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：过A作AD⊥BC，
俯视图是边长为的正三角形，
正方形一边BC=，俯视图中的∠B=60°，
AD=ABsin60°==3，
主视图是边长为的正方形，左视图的面积为，
所以C选项是正确的.
【分析】左视图的面积并不是直棱柱的侧面积，而是侧面的投影面积，注意不要混淆。
13．【答案】3
【知识点】中心投影
【解析】【解答】解：如图，∵CD∥AB∥MN，
∴△ABE∽△CDE，△ABF∽△MNF，
∴ ， ，
即 ， ，
解得：AB=3m，
答：路灯的高为3m．
【分析】根据CD∥AB∥MN，得到△ABE∽△CDE，△ABF∽△MNF，根据相似三角形的想知道的 ， ，即可得到结论．本题考查了中心投影，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
14．【答案】12
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：设旗杆的高度为x m，
∵
∴
故答案为12
【分析】根据某物体的实际高度：影长=被测物体的实际高度：被测物体的影长即可得出答案.
15．【答案】10
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：以俯视图为基础，以主视图和左视图为辅助，可以得出第一层每个小正方体及对应正上方正方体的总个数，如图所示：
故：该几何体中正方体个数为：（个）
故答案为：10．
【分析】利用三视图的定义求解即可。
16．【答案】
【知识点】简单几何体的三视图；由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：该几何体是一个三棱柱，底面等边三角形边长为，底面三角形的高为，三棱柱的高为，
所以该几何体的左视图是长方形，长为，宽为，
所以该几何体的左视图的面积为．
故答案为：．
【分析】根据主视图求出左视图的长和宽，再求出左视图的面积即可。
17．【答案】8
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：根据从左面、从上面看到图形的相关数据可得：
从正面看到的图形是长为4宽为2的长方形，
则从正面看到的图形面积是： ．
故答案为：8．
【分析】根据三视图求出从正面看到的图形是长为4宽为2的长方形，再利用长方形的面积公式计算即可。
18．【答案】10
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：由主视图和左视图知：①第一行第一个位置一定是4，
第二行和第三列至少有一个是3，第三行和第二列至少有一个是2，
则9+3+2+1=15
以最少的方式摆放，还剩1个，则为3个的位置仅有一个，即第二行第三个位置是3，
最终剩余的2个小立方体
①若第三行第一个位置摆放2个，剩余一个可以摆放的位置有3种，即每行的第二个位置；
②同理，若第三行第三个位置摆放2个，剩余一个可以摆放的位置也有3种，即每行的第二个位置；
③若第三行第二个位置摆放2个 ， 剩余一个可以摆放的位置有6种，即除了已确定位置的，其他的位置都可以放。
由于③中分别与①②的一个位置重复
∴可能的情况有3+3+6-2=10种
故答案为：10．
【分析】抓住题中关键的已知条件：一共有16个小立方块，最下面一层摆放了9个小立方块，根据主视图和左视图，画出所有可能的搭建平面图，即可得出答案。
19．【答案】（1）立方体的棱长为2cm，图1长方形的面积为4×2×3×2=48平方厘米。
（2）展开图：
（3）
【知识点】几何体的展开图；由三视图判断几何体
【解析】【分析】（1）根据题意求出长方形的长和宽，利用面积公式可求出结果。
（2）利用正方体和展开图特点进行画图。
（3）利用正方体和展开图的特点进行计算。
20．【答案】解：由图形可知，该组合体是由上面一个圆锥和下面一个圆柱组成，
π×（10÷2）2+π×10×20+×（π×10）×
=25π+200π+25π
=（225+25π）（cm2）．
故该组合体的表面积是（225+25 π）cm2．
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【分析】由三视图可知，该组合体是由上面一个圆锥和下面一个圆柱组成，根据图形中的数据，根据各自的公式即可列式计算求出该组合体的表面积．
21．【答案】（1）解：如图所示：
（2）34
（3）19
（4）3
【知识点】由三视图判断几何体；作图﹣三视图
【解析】【解答】（2）该几何体的表面积是：6×2+6×2+5×2 = 34（cm2 ） ； 故答为：34；
（3）最少可以拼成一个棱长为 3 的正方体.故还需要 27-8=19 块.
（4）保持主视图和俯视图不变， 主视图看列，左列最高处有 3 个小立方块，中列最高处有 1 个小立方块， 右列最高处有 2 个小立方块，所以左列最多为“3+3”，中列最多为“1”，右列最多为“2+2”，总共 最多为 6 + 1 + 4 = 11 个小立方块，现在有 8 个，所以最多可以再添加 3 个小立方块.
【分析】（1）主视图：从物体正面所看的平面图形，俯视图：从物体上面所看的平面图形；左视图：从物体左面所看的平面图形，注意：看到的棱画实线，看不到的棱画虚线，据此画图即可；
（2）分别得到各个方向看的正方形的面数，再将各个面的面积相加即可；
（3）每条棱正方形个数是3，依此得到正方体中小正方形的个数，再减去原来立体图形中小正方体个数即可求解；
（4）保持从正面和上面看到的形状不变，可往第1列前面的几何体上放2个小正方体，中间的几何体上放1个小正方体.
22．【答案】（1）100
（2）解：如图，根据图1作出俯视图，连接 ， ，过点 作 交 的延长线于 ，
，
，
，四边形 是正方形，
，
，
，
，
，
，
.
乙金字塔的高度为 .
【知识点】正方形的性质；解直角三角形的其他实际应用；平行投影
【解析】【解答】解：（1）如图2中，连接 交 于 ，
四边形 是正方形，
， ，
，
垂直平分 ，
，
，
，
设金子塔的高度为 ，物体的长度与影子的长度成比例，
，
.
故答案为：100；
【分析】（1）连接OP交BC于T，由正方形的性质可得OC=OB，AC⊥BD，BC=CD=80，由线段垂直平分线的性质可得OT、TC，然后根据勾股定理求出PT，进而求出OP，设金子塔的高度为h，然后根据物体的长度与影子的长度成比例求解即可；
（2）根据图1作出俯视图，连接OP、OC，过点O作OR⊥PC交PC的延长线于R，求出∠OCP、∠OCR的度数，根据正方形的性质结合勾股定理可得OC，进而求出CR、OR、PR、OP，然后根据物体的长度与影子的长度成比例求解即可.
23．【答案】（1）点O为灯的位置，QF为丙物体的影子；
（2）作OM⊥QH，设OM=x，EM=y，
由△GAE∽△GOM得 ，
即： ①，
由△BDH∽△OMH得
即： ②
结合①②得，
x=6，y=2.
经检验，x=6、y=2是方程的解，
答：灯的高度为6米.
【知识点】相似三角形的应用；中心投影
【解析】【分析】（1）首先连接GA、HB并延长交于点O，从而确定点光源，然后连接OC并延长即可确定影子；
（2）作OM⊥QH ，设OM=x，EM=y，根据三角形相似列出比例式即可确定灯的高度.
24．【答案】（1）解：设王诗嬑的影长为xcm，
由题意可得： ，
解得：x=120，
经检验：x=120是分式方程的解，
王诗嬑的的影子长为120cm；
（2）解：符合题意，
因为高圆柱在地面的影子与MN垂直，所以太阳光的光线与MN垂直，
则在斜坡上的影子也与MN垂直，则过斜坡上的影子的横截面与MN垂直，
而横截面与地面垂直，高圆柱也与地面垂直，
∴高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内；
（3）解：如图，AB为高圆柱，AF为太阳光，△CDE为斜坡，CF为圆柱在斜坡上的影子，
过点F作FG⊥CE于点G，
由题意可得：BC=100，CF=100，
∵斜坡坡度 ，
∴ ，
∴设FG=4m，CG=3m，在△CFG中，
，
解得：m=20，
∴CG=60，FG=80，
∴BG=BC+CG=160，
过点F作FH⊥AB于点H，
∵同一时刻，90cm矮圆柱的影子落在地面上，其长为72cm，
FG⊥BE，AB⊥BE，FH⊥AB，
可知四边形HBGF为矩形，
∴ ，
∴AH= =200，
∴AB=AH+BH=AH+FG=200+80=280，
故高圆柱的高度为280cm.
【知识点】相似三角形的性质；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；平行投影
【解析】【分析】（1）根据同一时刻，物长与影从成正比，构建方程即可解决问题．（2）根据落在地面上的影子皆与坡脚水平线 互相垂直，并视太阳光为平行光，结合横截面分析可得；（3）过点F作FG⊥CE于点G，设FG=4m，CG=3m，利用勾股定理求出CG和FG，得到BG，过点F作FH⊥AB于点H，再根据同一时刻身高与影长的比例，求出AH的长度，即可得到AB.
25．【答案】（1）解：球在地面上的影子的形状是圆.
（2）解：当把白炽灯向上平移时，影子会变小.
（3）解：由已知可作轴截面，如图所示：依题可得：OE=1 m，AE=0.2 m，OF=3 m，AB⊥OF于H，在Rt△OAE中，∴OA= = = (m)，∵∠AOH=∠EOA，∠AHO=∠EAO=90°，
∴△OAH∽△OEA，∴，
∴OH= == (m)，又∵∠OAE=∠AHE=90°，∠AEO=∠HEA，
∴△OAE∽△AHE，∴ = ，
∴AH= == (m).依题可得：△AHO∽△CFO，∴，∴CF= = (m)，∴S影子=π·CF2=π· = π=0.375π(m2).答：球在地面上影子的面积是0.375π m2.
【知识点】相似三角形的应用；中心投影
【解析】【分析】（1）球在灯光的正下方，根据中心投影的特点可得影子是圆.
（2）根据中心投影的特点：在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长；所以白炽灯向上移时，阴影会逐渐变小.
（3）作轴截面（如图）由相似三角形的判定得三组三角形相似，再根据相似三角形的性质对应边成比例，可求得阴影的半径，再根据面积公式即可求出面积.
1 / 1北师大版数学九年级上册同步练习——第五章《投影与视图》综合训练B
一、选择题（每题3分，共36分）
1．（初中数学北师大版九年级上册练习题3 (2) ）如图，在房子屋檐E处安有一台监视器，房子前有一面落地的广告牌，那么监视器的盲区是（ ）
A．△ACE B．△ADF C．△ABD D．四边形BCED
【答案】C
【知识点】盲区
【解析】【解答】解：由图片可知，E视点的盲区应该在△ABD的区域内．
故选：C．
【分析】根据盲区的定义，视线覆盖不到的地方即为该视点的盲区，由图知，E是视点，找到在E点处看不到的区域即可．
2．（2023·济宁）一个几何体的三视图如下，则这个几何体的表面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆锥的计算；圆柱的计算；由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：由题意得该几何体上面是底面直径为6，母线为4的圆锥，下面是底面直径为6，高为4的圆柱，
∴，
故答案为：B
【分析】先根据简单组合体的三视图即可得到该几何体上面是底面直径为6，母线为4的圆锥，下面是底面直径为6，高为4的圆柱，进而运用圆锥的侧面积计算公式和圆柱的侧面积计算公式即可求解。
3．（2023·绥化）如图是一个正方体，被切去一角，则其左视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：左视图为：
.
故答案为：B.
【分析】左视图是从几何体左面观察所得到的平面图形.注意：看不见的棱用虚线表示.
4．（2023·眉山）由相同的小正方体搭成的立体图形的部分视图如图所示，则搭成该立体图形的小正方体的最少个数为（ ）
A．6 B．9 C．10 D．14
【答案】B
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：由题意得搭成该立体图形的小正方体第三层最少为6个，搭成该立体图形的小正方体第二层最少为2个，搭成该立体图形的小正方体第二层最少为1个，
∴搭成该立体图形的小正方体第二层最少为9个，
故答案为：B
【分析】根据三视图即可结合题意即可判断出小立方体的个数。
5．（2023·鲁甸模拟）如图所示的是由两个长方体组成的几何体，这两个长方体的底面都是正方形，则该几何体的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：由题意得该几何体的俯视图是，
故答案为：C
【分析】根据几何体的三视图即可求解。
6．（2023·凤庆模拟）某几何体的三视图如图所示，该几何体的母线长是（ ）
A．5 B．10 C．12 D．13
【答案】D
【知识点】圆锥的计算；由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：由题意得该几何体为圆锥，且圆锥的高为12，底面半径为5，
由勾股定理得，
故答案为：D
【分析】运用几何体的三视图结合题意即可得到该几何体为圆锥，且圆锥的高为12，底面半径为5，进而根据勾股定理即可求解。
7．（2022·上思模拟）如图，小颖身高为 ，在阳光下影长 ，当她走到距离墙角（点 ） 的 处时，她的部分影子投射到墙上，则投射在墙上的影子 的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：如图，过E作EF⊥CG于F，
设投射在墙上的影子DE长度为x，
由题意得：△GFE∽△HAB，
∴AB：FE＝AH：（GC x），
则240：120＝160：（160 x），
解得：x＝80.
答：投射在墙上的影子DE长度为80cm.
故答案为：B.
【分析】如图，过E作EF⊥CG于F，设投射在墙上的影子DE长度为x，由平行投影的性质得△GFE∽△HAB，于是可得比例式AB：FE＝AH：（GC x），解之可求解.
8．（2021九上·内江期末）如图，在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.2米，在同一时刻旗杆AB的影长不全落在水平地面上，有一部分落在楼房的墙上，他测得落在地面上影长为BD＝9.6米，留在墙上的影长CD＝2米，则旗杆的高度（ ）
A．12米 B．10.2米 C．10米 D．9.6米
【答案】C
【知识点】矩形的判定与性质；中心投影
【解析】【解答】解：如图，作CE⊥AB于E点，
则四边形BDCE为矩形，BD=CE=9.6米，BE=CD=2米，
根据题意得
，即
，
解得AE=8（米），
所以AB=AE+BE=8+2=10（米）.
故答案为：C.
【分析】作CE⊥AB于E点，则四边形BDCE为矩形，BD=CE=9.6米，BE=CD=2米，根据物体的高度与影长成比例可得AE的值，然后根据AB=AE+BE进行计算.
9．（2021九上·南海期末）身高1.6m的小刚在阳光下的影长是1.2m，在同一时刻，阳光下旗杆的影长是15m，则旗杆高为（ ）
A．14米 B．16米 C．18米 D．20米
【答案】D
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：设旗杆高为x米，
根据同一时刻身高和影长之比等于旗杆与其影长之比可得：
，解得：，
故旗杆高20米，
故答案为：D．
【分析】设旗杆高为x米，根据题意列出方程求解即可。
10．（2021九上·包头期末）如图，有一路灯杆AP，路灯P距地面4.8m，身高1.6m的小明站在距A点4.8m的点D处，小明的影子为DE，他沿射线DA走2.4m到达点B处，小明的影子为BC，此时小明影子的长度（ ）
A．增长了1m B．缩短了1m C．增长了1.2m D．缩短了1.2m
【答案】D
【知识点】中心投影
【解析】【解答】解：过B作BG⊥AE交PC于G，过D作DH⊥AE交PE于H，
则AB=AD-BD=4.8-2.4=2.4（m），BG=DH=1.6m，BG∥AP∥DH，
∴△BCG∽△ACP，△DEH∽△AEP，
∴，
即，
解得：BC=1.2，DE=2.4，
∴DE-BC=2.4-1.2=1.2（m），
即此时小明影子的长度缩短了1.2m.
故答案为：D．
【分析】先求出△BCG∽△ACP，△DEH∽△AEP，再求出BC=1.2，DE=2.4，最后求解即可。
11．（2021九上·佛山月考）如图所示是滨河公园中的两个物体一天中四个不同时刻在太阳光的照射下落在地面上的影子，按照时间的先后顺序排列正确的是（ ）
A．(3)(4)(1)(2) B．(4)(3)(1)(2)
C．(4)(3)(2)(1) D．(2)(4)(3)(1)
【答案】C
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：根据平行投影的特点和规律可知，（3），（4）是上午，（1），（2）是下午，根据影子的长度可知先后为（4）（3）（2）（1）．
故答案为：C．
【分析】根据平行投影的特点和规律求解即可。
12．（2019·广西模拟）一个直棱柱，主视图是边长为2 的正方形，俯视图是边长为2 的正三角形，则左视图的面积为 （ ）
A．12 B．12 C．6 D．3
【答案】C
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：过A作AD⊥BC，
俯视图是边长为的正三角形，
正方形一边BC=，俯视图中的∠B=60°，
AD=ABsin60°==3，
主视图是边长为的正方形，左视图的面积为，
所以C选项是正确的.
【分析】左视图的面积并不是直棱柱的侧面积，而是侧面的投影面积，注意不要混淆。
二、填空题（每空3分，共18分）
13．（2016·北京）如图，小军、小珠之间的距离为2.7m，他们在同一盏路灯下的影长分别为1.8m，1.5m，已知小军、小珠的身高分别为1.8m，1.5m，则路灯的高为 m．
【答案】3
【知识点】中心投影
【解析】【解答】解：如图，∵CD∥AB∥MN，
∴△ABE∽△CDE，△ABF∽△MNF，
∴ ， ，
即 ， ，
解得：AB=3m，
答：路灯的高为3m．
【分析】根据CD∥AB∥MN，得到△ABE∽△CDE，△ABF∽△MNF，根据相似三角形的想知道的 ， ，即可得到结论．本题考查了中心投影，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
14．（2020九上·丰台期末）在测量旗杆高度的活动课中，某小组学生于同一时刻在阳光下对一根直立于平地的竹竿及其影长和旗杆的影长进行了测量，得到的数据如图所示，根据这些数据计算出旗杆的高度为 m．
【答案】12
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：设旗杆的高度为x m，
∵
∴
故答案为12
【分析】根据某物体的实际高度：影长=被测物体的实际高度：被测物体的影长即可得出答案.
15．（2022七上·山西期末）由一些相同的立方体小木块搭建成的几何体，从正面、从左面和从上面看的形状图如图所示，则该几何体是由 块小木块搭建而成的．
【答案】10
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：以俯视图为基础，以主视图和左视图为辅助，可以得出第一层每个小正方体及对应正上方正方体的总个数，如图所示：
故：该几何体中正方体个数为：（个）
故答案为：10．
【分析】利用三视图的定义求解即可。
16．（2022九上·胶州期末）如图是某几何体的三视图，其俯视图为等边三角形，则该几何体的左视图的面积为
【答案】
【知识点】简单几何体的三视图；由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：该几何体是一个三棱柱，底面等边三角形边长为，底面三角形的高为，三棱柱的高为，
所以该几何体的左视图是长方形，长为，宽为，
所以该几何体的左视图的面积为．
故答案为：．
【分析】根据主视图求出左视图的长和宽，再求出左视图的面积即可。
17．（2022七上·佛山期中）一个长方体从左面看，上面看到的相关数据如图所示，则其从正面看到的图形面积是
【答案】8
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：根据从左面、从上面看到图形的相关数据可得：
从正面看到的图形是长为4宽为2的长方形，
则从正面看到的图形面积是： ．
故答案为：8．
【分析】根据三视图求出从正面看到的图形是长为4宽为2的长方形，再利用长方形的面积公式计算即可。
18．（2018·青岛）一个由16个完全相同的小立方块搭成的几何体，其最下面一层摆放了9个小立方块，它的主视图和左视图如图所示，那么这个几何体的搭法共有 种．
【答案】10
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：由主视图和左视图知：①第一行第一个位置一定是4，
第二行和第三列至少有一个是3，第三行和第二列至少有一个是2，
则9+3+2+1=15
以最少的方式摆放，还剩1个，则为3个的位置仅有一个，即第二行第三个位置是3，
最终剩余的2个小立方体
①若第三行第一个位置摆放2个，剩余一个可以摆放的位置有3种，即每行的第二个位置；
②同理，若第三行第三个位置摆放2个，剩余一个可以摆放的位置也有3种，即每行的第二个位置；
③若第三行第二个位置摆放2个 ， 剩余一个可以摆放的位置有6种，即除了已确定位置的，其他的位置都可以放。
由于③中分别与①②的一个位置重复
∴可能的情况有3+3+6-2=10种
故答案为：10．
【分析】抓住题中关键的已知条件：一共有16个小立方块，最下面一层摆放了9个小立方块，根据主视图和左视图，画出所有可能的搭建平面图，即可得出答案。
三、解答题（共7题，共66分）
19．（2019七上·东源期中）如图1，一个边长为2cm的立方体按某种方式展开后，恰好能放在一个长方形内．
（1）计算图1长方形的面积；
（2）小明认为把该立方体按某种方式展开后可以放在如图2的长方形内，请你在图2中划出这个立方体的表面展开图；(图2每个小正方形边长为2cm)；
（3）如图3，在长12cm、宽8cm的长方形内已经画出该立方体的一种表面展开图(各个面都用数字“1”表示)，请你在剩下部分再画出2个该立方体的表面展开图，把一个立方体的每一个面标记为“2”，另一个立方体的每一个面标记为“3”．
【答案】（1）立方体的棱长为2cm，图1长方形的面积为4×2×3×2=48平方厘米。
（2）展开图：
（3）
【知识点】几何体的展开图；由三视图判断几何体
【解析】【分析】（1）根据题意求出长方形的长和宽，利用面积公式可求出结果。
（2）利用正方体和展开图特点进行画图。
（3）利用正方体和展开图的特点进行计算。
20．一组合体的三视图如图所示，该组合体是由哪几个几何体组成，并求出该组合体的表面积（单位：cm2）．
【答案】解：由图形可知，该组合体是由上面一个圆锥和下面一个圆柱组成，
π×（10÷2）2+π×10×20+×（π×10）×
=25π+200π+25π
=（225+25π）（cm2）．
故该组合体的表面积是（225+25 π）cm2．
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【分析】由三视图可知，该组合体是由上面一个圆锥和下面一个圆柱组成，根据图形中的数据，根据各自的公式即可列式计算求出该组合体的表面积．
21．（2022七上·宛城期末）如图是一些棱长为1cm 的小立方块组成的几何体.
（1）请画出从正面看，从左面看，从上面看到的这个几何体的形状图.
（2）该几何体的表面积是 cm2 .
（3）如果把它拼成一个无空隙的正方体，则至少还需要同样的小立方块 块.
（4）如果保持从正面和上面看到的形状不变，最多可以再添加 个小立方块.
【答案】（1）解：如图所示：
（2）34
（3）19
（4）3
【知识点】由三视图判断几何体；作图﹣三视图
【解析】【解答】（2）该几何体的表面积是：6×2+6×2+5×2 = 34（cm2 ） ； 故答为：34；
（3）最少可以拼成一个棱长为 3 的正方体.故还需要 27-8=19 块.
（4）保持主视图和俯视图不变， 主视图看列，左列最高处有 3 个小立方块，中列最高处有 1 个小立方块， 右列最高处有 2 个小立方块，所以左列最多为“3+3”，中列最多为“1”，右列最多为“2+2”，总共 最多为 6 + 1 + 4 = 11 个小立方块，现在有 8 个，所以最多可以再添加 3 个小立方块.
【分析】（1）主视图：从物体正面所看的平面图形，俯视图：从物体上面所看的平面图形；左视图：从物体左面所看的平面图形，注意：看到的棱画实线，看不到的棱画虚线，据此画图即可；
（2）分别得到各个方向看的正方形的面数，再将各个面的面积相加即可；
（3）每条棱正方形个数是3，依此得到正方体中小正方形的个数，再减去原来立体图形中小正方体个数即可求解；
（4）保持从正面和上面看到的形状不变，可往第1列前面的几何体上放2个小正方体，中间的几何体上放1个小正方体.
22．（2021·苏州模拟）测量金字塔高度：如图1，金字塔是正四棱锥 ，点O是正方形 的中心 垂直于地面，是正四棱锥 的高，泰勒斯借助太阳光.测量金字塔影子 的相关数据，利用平行投影测算出了金字塔的高度，受此启发，人们对甲、乙、丙三个金字塔高度也进行了测量.甲、乙、丙三个金字塔都用图1的正四棱锥 表示.
（1）测量甲金字塔高度：如图2，是甲金字塔的俯视图，测得底座正方形 的边长为 ，金字塔甲的影子是 ，此刻，1米的标杆影长为0.7米，则甲金字塔的高度为 m.
（2）测量乙金字塔高度：如图1，乙金字塔底座正方形 边长为 ，金字塔乙的影子是 ， ，此刻1米的标杆影长为0.8米，请利用已测出的数据，计算乙金字塔的高度.
【答案】（1）100
（2）解：如图，根据图1作出俯视图，连接 ， ，过点 作 交 的延长线于 ，
，
，
，四边形 是正方形，
，
，
，
，
，
，
.
乙金字塔的高度为 .
【知识点】正方形的性质；解直角三角形的其他实际应用；平行投影
【解析】【解答】解：（1）如图2中，连接 交 于 ，
四边形 是正方形，
， ，
，
垂直平分 ，
，
，
，
设金子塔的高度为 ，物体的长度与影子的长度成比例，
，
.
故答案为：100；
【分析】（1）连接OP交BC于T，由正方形的性质可得OC=OB，AC⊥BD，BC=CD=80，由线段垂直平分线的性质可得OT、TC，然后根据勾股定理求出PT，进而求出OP，设金子塔的高度为h，然后根据物体的长度与影子的长度成比例求解即可；
（2）根据图1作出俯视图，连接OP、OC，过点O作OR⊥PC交PC的延长线于R，求出∠OCP、∠OCR的度数，根据正方形的性质结合勾股定理可得OC，进而求出CR、OR、PR、OP，然后根据物体的长度与影子的长度成比例求解即可.
23．（2021九上·舞钢期末）如图，A、B、C分别表示甲、乙、丙三个物体的顶端，甲物体高3米，影长2米，乙物体高2米，影长3米，甲乙两物体相距4米.
（1）请在图中画出光源灯的位置及灯杆，并画出物体丙的影子.
（2）若甲、乙、丙及灯杆都与地面垂直，且在同一直线上，求灯杆的高度.
【答案】（1）点O为灯的位置，QF为丙物体的影子；
（2）作OM⊥QH，设OM=x，EM=y，
由△GAE∽△GOM得 ，
即： ①，
由△BDH∽△OMH得
即： ②
结合①②得，
x=6，y=2.
经检验，x=6、y=2是方程的解，
答：灯的高度为6米.
【知识点】相似三角形的应用；中心投影
【解析】【分析】（1）首先连接GA、HB并延长交于点O，从而确定点光源，然后连接OC并延长即可确定影子；
（2）作OM⊥QH ，设OM=x，EM=y，根据三角形相似列出比例式即可确定灯的高度.
24．（2020·攀枝花）实验学校某班开展数学“综合与实践”测量活动．有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一斜坡，且圆柱底部到坡脚水平线 的距离皆为 ．王诗嬑观测到高度 矮圆柱的影子落在地面上，其长为 ；而高圆柱的部分影子落在坡上，如图所示．已知落在地面上的影子皆与坡脚水平线 互相垂直，并视太阳光为平行光，测得斜坡坡度 ，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请解答下列问题：
（1）若王诗嬑的身高为 ，且此刻她的影子完全落在地面上，则影子长为多少 ？
（2）猜想：此刻高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内．请直接回答这个猜想是否符合题意？
（3）若同一时间量得高圆柱落在坡面上的影子长为 ，则高圆柱的高度为多少 ？
【答案】（1）解：设王诗嬑的影长为xcm，
由题意可得： ，
解得：x=120，
经检验：x=120是分式方程的解，
王诗嬑的的影子长为120cm；
（2）解：符合题意，
因为高圆柱在地面的影子与MN垂直，所以太阳光的光线与MN垂直，
则在斜坡上的影子也与MN垂直，则过斜坡上的影子的横截面与MN垂直，
而横截面与地面垂直，高圆柱也与地面垂直，
∴高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内；
（3）解：如图，AB为高圆柱，AF为太阳光，△CDE为斜坡，CF为圆柱在斜坡上的影子，
过点F作FG⊥CE于点G，
由题意可得：BC=100，CF=100，
∵斜坡坡度 ，
∴ ，
∴设FG=4m，CG=3m，在△CFG中，
，
解得：m=20，
∴CG=60，FG=80，
∴BG=BC+CG=160，
过点F作FH⊥AB于点H，
∵同一时刻，90cm矮圆柱的影子落在地面上，其长为72cm，
FG⊥BE，AB⊥BE，FH⊥AB，
可知四边形HBGF为矩形，
∴ ，
∴AH= =200，
∴AB=AH+BH=AH+FG=200+80=280，
故高圆柱的高度为280cm.
【知识点】相似三角形的性质；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；平行投影
【解析】【分析】（1）根据同一时刻，物长与影从成正比，构建方程即可解决问题．（2）根据落在地面上的影子皆与坡脚水平线 互相垂直，并视太阳光为平行光，结合横截面分析可得；（3）过点F作FG⊥CE于点G，设FG=4m，CG=3m，利用勾股定理求出CG和FG，得到BG，过点F作FH⊥AB于点H，再根据同一时刻身高与影长的比例，求出AH的长度，即可得到AB.
25．（2017-2018学年数学浙教版九年级下册3.1.2 投影—中心投影 同步练习）如图，在一间黑屋子里用一盏白炽灯照一个球.
（1）球在地面上的影子是什么形状
（2）当把白炽灯向上平移时，影子的大小会怎样变化
（3）若白炽灯到球心的距离是1 m，到地面的距离是3 m，球的半径是0.2 m，则球在地面上影子的面积是多少
【答案】（1）解：球在地面上的影子的形状是圆.
（2）解：当把白炽灯向上平移时，影子会变小.
（3）解：由已知可作轴截面，如图所示：依题可得：OE=1 m，AE=0.2 m，OF=3 m，AB⊥OF于H，在Rt△OAE中，∴OA= = = (m)，∵∠AOH=∠EOA，∠AHO=∠EAO=90°，
∴△OAH∽△OEA，∴，
∴OH= == (m)，又∵∠OAE=∠AHE=90°，∠AEO=∠HEA，
∴△OAE∽△AHE，∴ = ，
∴AH= == (m).依题可得：△AHO∽△CFO，∴，∴CF= = (m)，∴S影子=π·CF2=π· = π=0.375π(m2).答：球在地面上影子的面积是0.375π m2.
【知识点】相似三角形的应用；中心投影
【解析】【分析】（1）球在灯光的正下方，根据中心投影的特点可得影子是圆.
（2）根据中心投影的特点：在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长；所以白炽灯向上移时，阴影会逐渐变小.
（3）作轴截面（如图）由相似三角形的判定得三组三角形相似，再根据相似三角形的性质对应边成比例，可求得阴影的半径，再根据面积公式即可求出面积.
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