北师大版数学九年级上册同步练习——第六章《反比例函数》 2 反比例函数的图象与性质（2）
一、选择题
1．（2023八下·萧山期末）已知，点在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（ ）
A．y随x的增大而增大 B．y随x的增大而减小
C．当时，则 D．当时，则
2．（2023八下·杭州期末）已知点，，在反比例函数的图象上，，则下列结论一定成立的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3．（2023·武汉）关于反比例函数，下列结论正确的是（ ）
A．图像位于第二、四象限
B．图像与坐标轴有公共点
C．图像所在的每一个象限内，随的增大而减小
D．图像经过点，则
4．（2022·郴州）如图，在函数 的图象上任取一点A，过点A作y轴的垂线交函数 的图象于点B，连接OA，OB，则 的面积是（ ）
A．3 B．5 C．6 D．10
5．（2023·牡丹江）如图，正方形的顶点A，B在y轴上，反比例函数的图象经过点C和的中点E，若，则k的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．（2023·黑龙江）如图，是等腰三角形，过原点，底边轴，双曲线过两点，过点作轴交双曲线于点，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·宜昌）某反比例函数图象上四个点的坐标分别为，则，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·邵阳）如图，矩形的顶点和正方形的顶点都在反比例函数的图像上，点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·日照）如图，矩形OABC与反比例函数（k1是非零常数，x>0）的图象交于点M，N，与反比例函数（k2是非零常数，x>0）的图象交于点B，连接OM，ON．若四边形OMBN的面积为3，则k1-k2=（ ）
A．3 B．-3 C． D．
二、填空题
10．（2023·长沙）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数为常数，，的图象上，过点作轴的垂线，垂足为，连接．若的面积为，则 ．
11．（2023八下·江北期末）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边与反比例函数的图象交于两点，且与轴正半轴交于点，点在反比例函数的图象上．若点是的中点，则平行四边形的面积为 ， ．
12．（2023·长沙模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y＝（x＞0）与矩形OABC的AB边交于点E，且AE：EB＝1：2，则矩形OABC的面积为 ．
13．（2023·丽江模拟）如图，是等边三角形，点在轴的正半轴上（）的图象上，则的面积为 ．
14．（2023·本溪）如图，矩形的边平行于轴，反比例函数的图象经过点，对角线的延长线经过原点，且，若矩形的面积是8，则的值为 ．
三、解答题
15．在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b与反比例函数y=
的图象在第一象限交于点A（1，a），B（b，3），求一次函数y=kx+b的表达式。
16．（2023·南漳模拟）平面直角坐标系xOy中，点A在第一、三象限的角平分线上．点M（9，4）．和点A在函数（x＞0）的图象上．
（1）求k的值和点A的坐标；
（2）求直线AM对应的函数解析式．
17．（2023·兰州）如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，轴于点D，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B，C．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）当时，求线段的长．
18．（2023·枣庄模拟）如图，直线分别交轴、轴于、两点，与双曲线在第二象限内的交点为，轴于点，且．
（1）求双曲线的关系式；
（2）设点是双曲线上的一点，且的面积是的面积的4倍，求点的坐标．
19．（2023·南京模拟）【概念引入】
定义：平面直角坐标系中，若点满足：，则点P叫做“复兴点”.例如：图①中的是“复兴点”.
（1）在点，，中，是“复兴点”的点为 ；
（2）【初步探究】
如图②，在平面直角坐标系中，画出所有“复兴点”的集合.
（3）【深入探究】
若反比例函数的图象上存在4个“复兴点”，则k的取值范围是 .
（4）若一次函数的图象上存在“复兴点”，直接写出“复兴点”的个数及对应的k的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：
，
在图象所在的每一个象限内，y随x的增大而增大，A、B错误；
点在反比例函数的图象上，
，
当时，，
当时，或，C错误；
当时，，D正确，
故答案为：D.
【分析】当k>0时，在图象所在的每一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，在图象所在的每一个象限内，y随x的增大而增大.
2．【答案】C
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】∵k＞0，
∴反比例函数在第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大减小.
A、若x1x3＜0，则x1＜0，x3＞0，即 在第三象限， 在第一象限，
∴当 在第三象限，y2＜y3，当 在第一象限，y2＞y3
故A错误；
B、若x2x3＜0，则x2＜0，x3＞0，即 在第三象限， 在第一象限，
∵
∴ 在第三象限
∴y1＜0，y3＞0，即y1y3＜0
故B错误；
C、若x1x3＞0，则 或 ，即 ， 都在第一象限或都在第三象限，
∵在每个象限内y随x的增大减小
∴y2＞y3
故C正确；
D、若x2x3＞0，则x1＜x2＜x3＜0或x1＜0＜x2＜x3或0＜x1＜x2＜x3，因此 ， 可能都在第一象限或都在第三象限或在第三象限在第一象限，
∴y1y3＜0或y1y3＞0
故D错误.
故答案为：C.
【分析】利用 ，结合各选项中的条件，判断A，B，C所处的象限，结合反比例函数图象的性质进行判断即可.
3．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：A、∵k=3＞0，
∴图象分支在第一、三象限，故A不符合题意；
B、∵x≠0，y≠0，
∴图象与坐标轴没有公共点，故B不符合题意；
C、∵k＞0，
∴图象所在的每一个象限内，随的增大而减小 ，故C符合题意；
D、∵当点（a，a+2）时，
∴a（a+2）=3，
解之：a1=-3，a2=1，故D不符合题意；
故答案为：C
【分析】利用反比例函数的图象和性质，可对A，C作出判断；根据反比例函数与坐标轴无交点，可对B作出判断；将点（a，a+2）代入函数解析式，可得到关于a的方程，解方程求出a的值，可对C周长判定.
4．【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：令AB与y轴的交点为C，
∵点A、B分别在反比例函数y=、y=上，
∴S△AOC=1，S△BOC=4，
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=5.
故答案为：B.
【分析】令AB与y轴的交点为C，根据反比例函数系数k的几何意义可得S△AOC=1，S△BOC=4，相加即可.
5．【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；正方形的性质；线段的中点
【解析】【解答】解：设C（2，a），则E（1，a+2），
∴2×a=1×(a+2)，
∴a=2，
∴C（2，2），
∴k=2×2=4.
故答案为：B.
【分析】设C（2，a），则E（1，a+2），根据点C、E在反比例函数图象上可得2×a=1×(a+2)，求出a的值，得到点C的坐标，进而可得k的值.
6．【答案】C
【知识点】反比例函数图象的对称性；等腰三角形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，设BC交y轴于点F，
设点，根据双曲线的对称性得点，OA=OB，即点O为线段AB的中点，
∵AC=AB，AE⊥BC，BC∥x轴，
∴BE=CE，AE∥y轴，
∴BF=EF=b，
∴CF=3b，
∴，
∴点，
∴，
∴k= .
故答案为：C.
【分析】根据反比例函数图象上的点的坐标特点，设出点B的坐标，通过双曲线的对称性求出A点的坐标，通过等腰三角形的三线合一及三角形中位线定理可表示出点C的坐标，进而根据点的坐标与图形的性质及反比例函数图象上的点的坐标特点可得到点D的坐标，从而可用含k的式子表示出点BC、CD的长，最后结合△BCD的面积建立方程可求出k的值.
7．【答案】C
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设反比例函数的解析式为（k≠0），
∵点（-2，3）在图象上，
∴k=-2×3=-6，
∴反比例函数的解析式为.
当x=-3，，
当x=1，，
当x=2，，
∴y2＜y3＜y1.
故答案为：C.
【分析】用待定系数法，将点（-2，3）代入，求出反比例函数的解析式；再根据解析式分别求出y1、y2、y3的值，再比较即可.
8．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：∵点的坐标为，
∴k=8，
∴反比例函数，
设正方形的边长为a，则点E（2+a，a），
∴a（2+a）=8，
解得a=2或-4（舍去）
∴E（4，2），
故答案为：D
【分析】先根据点B的坐标即可得到反比例函数，再设正方形的边长为a，则点E（2+a，a），进而根据题意即可求解。
9．【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：∵点M、N均是反比例函数（k1是非零常数，x>0）的图象上，
∴，
∵矩形OABC的顶点B在反比例函数（k2是非零常数，x>0）的图象上，
∴S矩形OABC=k2，
∴S矩形OMBN=S矩形OABC-S△OAM-S△OCN=3，
∴k2-k1=3，
∴k1-k2=-3，
故答案为：B．
【分析】先求出，再求出k2-k1=3，最后求解即可。
10．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：∵的面积为，
∴，
故答案为：
【分析】根据反比例函数k的几何意义结合题意即可求解。
11．【答案】12；-8
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；坐标与图形变化﹣平移；线段的中点
【解析】【解答】解：设，
∵点是的中点 ，
∴
∵点和在反比例函数上，
∴，，
∴，
∴，
∴.
观察图形可知， 平行四边形的面积为，
∴平行四边形的面积为.
∵四边形为平行四边形，
∴点到点向右平行了个单位，向上平行了个单位，
∴点到点向右平行了个单位，向上平行了个单位，
∵，
∴.
∵点在反比例函数上，，，
∴.
故答案为： 12，.
【分析】根据线段中点公式课表示出D点坐标，结合反比例函数k的意义可求出和的值，即可求出平行四边形的面积公式，最后利用平移的性质科表示出C点坐标，结合反比例函数k的意义可求出k值.
12．【答案】12
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形OABC是矩形，
∴∠OAB=90°，
设E点的坐标是(a，b)，
∵双曲线y＝（x＞0）与矩形OABC的AB边交于点E，且AE：EB＝1：2，
∴ab=4， AE=a，BE=2a，
∴OA=b，AB=3a，
∴矩形OABC的面积是AO·AB=b·3a=3ab=3x4=12，
故答案为：12.
【分析】根据矩形的性质求出∠OAB=90°，再求出OA=b，AB=3a，最后利用矩形的面积公式计算求解即可。
13．【答案】12
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：过点A作AH⊥BO于点H，如图所示：
由题意得，
∵△OAB为等边三角形，
∴，
∴的面积为12，
故答案为：12
【分析】过点A作AH⊥BO于点H，先根据反比例函数k的几何意义即可得到，进而根据等边三角形的性质即可求解。
14．【答案】6
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图，作CD⊥y轴，交y轴于点E，作DA⊥x轴于点F.
∵DA∥EO，∴△CDA∽△CEO
∴
即
∴S△CEO=9
∴S四边形ADEO=S△CEO-S△CDA=5
又∵CD∥OF，∴△CDA∽△OFA
∴
即
∴S△OFA=1
∴S矩形OFDE=5+1=6
根据k的几何意义，当k＞时，k=S矩形OFDE=6，
因此本题答案为：6.
【分析】利用AC=2OA的数量关系，可以得到CA∶CO=3：1.通过添加辅助线，利用平行关系和面积的已知条件，建立A字全等△CDA∽△CEO，和8字全等△CDA∽△OFA，从而得到矩形OFDE的面积.最后利用k的几何意义求解.
15．【答案】解：将点A（1，a）代入y= ，得a=6.，将点B（b，3）代y= ，得b=2，
点A，B的坐标分别为（1，6），（2，3）.
把点A（1，6），B（2，3）代入y=kx+b得， 解得
一次函数的表达式为y=-3x+9.
【知识点】反比例函数的性质；一次函数的性质
【解析】【分析】利用反比例函数的解析式，求出点A和点B中a和b的值，求出点A和点B的坐标，利用待定系数法，求出一次函数的解析式即可。
16．【答案】（1）解：∵点M（9，4）在函数（x＞0）的图象上，
∴k＝9×4＝36，
∴反比例函数的解析式为y＝，
∵点A在第一、三象限的角平分线上，且点A在函数y＝（x＞0）的图象上，
∴当x＝y时，y2＝36，
∴y＝6（负值舍去），
∴x＝6，
∴点A的坐标为（6，6）
（2）解：设直线AM对应的函数解析式为y＝ax+b，
将A、M两点的坐标代入，
得， 解得
∴直线AM对应的函数解析式为y＝-x+10．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）由题意把点M的坐标代入反比例函数的解析式计算可求得k的值，根据角平分线的性质可知点A的横纵坐标相等，结合已知x＞0即可求得点A的坐标；
（2）设直线AM对应的函数解析式为y＝ax+b，由题意把点A、M的坐标代入解析式可得关于a、b的方程组，解之求出a、b的值，则可得直线AM对应的函数解析式.
17．【答案】（1）解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
∵一次函数的图象经过点，
∴，
∴，
∴一次函数的表达式为；
（2）解：∵，
∴，
∴直线的表达式为，
∵时，，
解得，则，
∵时，，
解得，则，
∴．
【知识点】一次函数的图象；反比例函数的图象；反比例函数的性质；一次函数的性质
【解析】【分析】（1）先将点A代入即可得到反比例函数的解析式，进而将点A代入一次函数即可求出m，进而即可求解；
（2）先根据题意得到点D的坐标，进而得到直线的表达式为，再结合一次函数和反比例函数的交点问题即可求出点B和点C，进而即可求出BC。
18．【答案】（1）解：，即点的横坐标为，
当时，，
∴点，
又∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数的关系式为；
（2）解：∵直线分别交轴、轴于、两点，
∴点，点，
即，，
∴，
设，由于的面积是的面积的4倍，
∴的面积为，即，
解得，
当时，，当时，，
∴点或．
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义
【解析】【分析】（1）把x＝-4代入可求出点C的坐标，再代入反比例函数关系式可确定m的值，进而确定反比例函数关系式；
（2）根据直线的关系式可求出与x轴、y轴的交点坐标，进而求出三角形AOB的面积，得到三角形BOQ的面积后设点Q的坐标，由三角形的面积公式列方程求解即可．
19．【答案】（1）A，B
（2）解：当 时，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
当 时，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
当 时，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
当 时，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
画图如下：
（3）-4＜k＜0或0＜k＜4
（4）解：当 时，复兴点的个数为0；当 或 时，复兴点的个数为1；当 或 或 时，复兴点的个数为2
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（1）解：根据题意，对 而言， ，故点A是“复兴点”；
对 而言， ，故点B是“复兴点”；
对 而言， ，故点C不是“复兴点”；
故答案为：A，B；
（3）解：当 时，
∵反比例函数 的图象上存在4个“复兴点”，
∴反比例函数 的图象与 ， 的图象各有两个交点，
联立方程组 ， ，
化简得 ， ，
∴ ，
解得 ，
∴ ；
当 时，
解：当 时，
∵反比例函数 的图象上存在4个“复兴点”，
∴反比例函数 的图象与 ， 的图像各有两个交点，
联立方程组 ， ，
化简得 ， ，
∴ ，
解得 ，
∴ ；
综上，当 或 时，反比例函数 的图象上存在4个“复兴点”；
（4）解：当 时， ，
∴一次函数 的图象经过定点 ，
当一次函数 的图象经过（2）中函数图象的点 时，
，解得 ；
当一次函数 的图象经过（2）中函数图象的点 时，
，解得 ；
当一次函数 的图象经过（2）中函数图象的点 时，
，解得 ；
当一次函数 的图象经过（2）中函数图象的点 时，
，解得 ，
如图，
，
结合函数图象可知：当 时，复兴点的个数为0；
当 或 时，复兴点的个数为1；
当 或 或 时，复兴点的个数为2.
【分析】（1）根据“复兴点”定义直接判断即可；
（2）①当x≥0，y≥0时，x+y=4，可得y=-x+4，由-x+4≥0，可得x的取值范围；②当x≤0，y≥0时，-x+y=4，可得y=x+4，由x+4≥0，可得x的取值范围；③当x＜0，y＜0时，-x+-y=4，可得y=-x-4，由-x-4＜0，可得x的取值范围；④当x＞0，y＜0时，x-y=4，可得y=x-4，由x-4＜0，可得x的取值范围；综上在坐标平面内画出“复兴点”的集合即可；
（3）当k＞0时，结合题意可得反比例函数 的图象与 ， 的图象各有两个交点，联立可得两个方程组，化简得 ， ，根的判别式的值应该大于0，据此建立不等式可求出k的取值范围；当k＜0时，结合题意反比例函数 的图象与 ， 的图象各有两个交点，联立可得两个方程组，化简得 ， ，根的判别式的值应该大于0，据此建立不等式可求出k的取值范围；
（4）先判断出函数y=kx-2k+3经过定点（2，3），然后分一次函数y=kx-2k+3图象经过点M（0，4）、N（-4，0）、P（0，-4）、Q（4，0）四种情况求出k的值，并结合图象即可得出答案.
1 / 1北师大版数学九年级上册同步练习——第六章《反比例函数》 2 反比例函数的图象与性质（2）
一、选择题
1．（2023八下·萧山期末）已知，点在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（ ）
A．y随x的增大而增大 B．y随x的增大而减小
C．当时，则 D．当时，则
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：
，
在图象所在的每一个象限内，y随x的增大而增大，A、B错误；
点在反比例函数的图象上，
，
当时，，
当时，或，C错误；
当时，，D正确，
故答案为：D.
【分析】当k>0时，在图象所在的每一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，在图象所在的每一个象限内，y随x的增大而增大.
2．（2023八下·杭州期末）已知点，，在反比例函数的图象上，，则下列结论一定成立的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】∵k＞0，
∴反比例函数在第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大减小.
A、若x1x3＜0，则x1＜0，x3＞0，即 在第三象限， 在第一象限，
∴当 在第三象限，y2＜y3，当 在第一象限，y2＞y3
故A错误；
B、若x2x3＜0，则x2＜0，x3＞0，即 在第三象限， 在第一象限，
∵
∴ 在第三象限
∴y1＜0，y3＞0，即y1y3＜0
故B错误；
C、若x1x3＞0，则 或 ，即 ， 都在第一象限或都在第三象限，
∵在每个象限内y随x的增大减小
∴y2＞y3
故C正确；
D、若x2x3＞0，则x1＜x2＜x3＜0或x1＜0＜x2＜x3或0＜x1＜x2＜x3，因此 ， 可能都在第一象限或都在第三象限或在第三象限在第一象限，
∴y1y3＜0或y1y3＞0
故D错误.
故答案为：C.
【分析】利用 ，结合各选项中的条件，判断A，B，C所处的象限，结合反比例函数图象的性质进行判断即可.
3．（2023·武汉）关于反比例函数，下列结论正确的是（ ）
A．图像位于第二、四象限
B．图像与坐标轴有公共点
C．图像所在的每一个象限内，随的增大而减小
D．图像经过点，则
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：A、∵k=3＞0，
∴图象分支在第一、三象限，故A不符合题意；
B、∵x≠0，y≠0，
∴图象与坐标轴没有公共点，故B不符合题意；
C、∵k＞0，
∴图象所在的每一个象限内，随的增大而减小 ，故C符合题意；
D、∵当点（a，a+2）时，
∴a（a+2）=3，
解之：a1=-3，a2=1，故D不符合题意；
故答案为：C
【分析】利用反比例函数的图象和性质，可对A，C作出判断；根据反比例函数与坐标轴无交点，可对B作出判断；将点（a，a+2）代入函数解析式，可得到关于a的方程，解方程求出a的值，可对C周长判定.
4．（2022·郴州）如图，在函数 的图象上任取一点A，过点A作y轴的垂线交函数 的图象于点B，连接OA，OB，则 的面积是（ ）
A．3 B．5 C．6 D．10
【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：令AB与y轴的交点为C，
∵点A、B分别在反比例函数y=、y=上，
∴S△AOC=1，S△BOC=4，
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=5.
故答案为：B.
【分析】令AB与y轴的交点为C，根据反比例函数系数k的几何意义可得S△AOC=1，S△BOC=4，相加即可.
5．（2023·牡丹江）如图，正方形的顶点A，B在y轴上，反比例函数的图象经过点C和的中点E，若，则k的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；正方形的性质；线段的中点
【解析】【解答】解：设C（2，a），则E（1，a+2），
∴2×a=1×(a+2)，
∴a=2，
∴C（2，2），
∴k=2×2=4.
故答案为：B.
【分析】设C（2，a），则E（1，a+2），根据点C、E在反比例函数图象上可得2×a=1×(a+2)，求出a的值，得到点C的坐标，进而可得k的值.
6．（2023·黑龙江）如图，是等腰三角形，过原点，底边轴，双曲线过两点，过点作轴交双曲线于点，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数图象的对称性；等腰三角形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，设BC交y轴于点F，
设点，根据双曲线的对称性得点，OA=OB，即点O为线段AB的中点，
∵AC=AB，AE⊥BC，BC∥x轴，
∴BE=CE，AE∥y轴，
∴BF=EF=b，
∴CF=3b，
∴，
∴点，
∴，
∴k= .
故答案为：C.
【分析】根据反比例函数图象上的点的坐标特点，设出点B的坐标，通过双曲线的对称性求出A点的坐标，通过等腰三角形的三线合一及三角形中位线定理可表示出点C的坐标，进而根据点的坐标与图形的性质及反比例函数图象上的点的坐标特点可得到点D的坐标，从而可用含k的式子表示出点BC、CD的长，最后结合△BCD的面积建立方程可求出k的值.
7．（2023·宜昌）某反比例函数图象上四个点的坐标分别为，则，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设反比例函数的解析式为（k≠0），
∵点（-2，3）在图象上，
∴k=-2×3=-6，
∴反比例函数的解析式为.
当x=-3，，
当x=1，，
当x=2，，
∴y2＜y3＜y1.
故答案为：C.
【分析】用待定系数法，将点（-2，3）代入，求出反比例函数的解析式；再根据解析式分别求出y1、y2、y3的值，再比较即可.
8．（2023·邵阳）如图，矩形的顶点和正方形的顶点都在反比例函数的图像上，点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：∵点的坐标为，
∴k=8，
∴反比例函数，
设正方形的边长为a，则点E（2+a，a），
∴a（2+a）=8，
解得a=2或-4（舍去）
∴E（4，2），
故答案为：D
【分析】先根据点B的坐标即可得到反比例函数，再设正方形的边长为a，则点E（2+a，a），进而根据题意即可求解。
9．（2022·日照）如图，矩形OABC与反比例函数（k1是非零常数，x>0）的图象交于点M，N，与反比例函数（k2是非零常数，x>0）的图象交于点B，连接OM，ON．若四边形OMBN的面积为3，则k1-k2=（ ）
A．3 B．-3 C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：∵点M、N均是反比例函数（k1是非零常数，x>0）的图象上，
∴，
∵矩形OABC的顶点B在反比例函数（k2是非零常数，x>0）的图象上，
∴S矩形OABC=k2，
∴S矩形OMBN=S矩形OABC-S△OAM-S△OCN=3，
∴k2-k1=3，
∴k1-k2=-3，
故答案为：B．
【分析】先求出，再求出k2-k1=3，最后求解即可。
二、填空题
10．（2023·长沙）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数为常数，，的图象上，过点作轴的垂线，垂足为，连接．若的面积为，则 ．
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：∵的面积为，
∴，
故答案为：
【分析】根据反比例函数k的几何意义结合题意即可求解。
11．（2023八下·江北期末）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边与反比例函数的图象交于两点，且与轴正半轴交于点，点在反比例函数的图象上．若点是的中点，则平行四边形的面积为 ， ．
【答案】12；-8
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；坐标与图形变化﹣平移；线段的中点
【解析】【解答】解：设，
∵点是的中点 ，
∴
∵点和在反比例函数上，
∴，，
∴，
∴，
∴.
观察图形可知， 平行四边形的面积为，
∴平行四边形的面积为.
∵四边形为平行四边形，
∴点到点向右平行了个单位，向上平行了个单位，
∴点到点向右平行了个单位，向上平行了个单位，
∵，
∴.
∵点在反比例函数上，，，
∴.
故答案为： 12，.
【分析】根据线段中点公式课表示出D点坐标，结合反比例函数k的意义可求出和的值，即可求出平行四边形的面积公式，最后利用平移的性质科表示出C点坐标，结合反比例函数k的意义可求出k值.
12．（2023·长沙模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y＝（x＞0）与矩形OABC的AB边交于点E，且AE：EB＝1：2，则矩形OABC的面积为 ．
【答案】12
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形OABC是矩形，
∴∠OAB=90°，
设E点的坐标是(a，b)，
∵双曲线y＝（x＞0）与矩形OABC的AB边交于点E，且AE：EB＝1：2，
∴ab=4， AE=a，BE=2a，
∴OA=b，AB=3a，
∴矩形OABC的面积是AO·AB=b·3a=3ab=3x4=12，
故答案为：12.
【分析】根据矩形的性质求出∠OAB=90°，再求出OA=b，AB=3a，最后利用矩形的面积公式计算求解即可。
13．（2023·丽江模拟）如图，是等边三角形，点在轴的正半轴上（）的图象上，则的面积为 ．
【答案】12
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：过点A作AH⊥BO于点H，如图所示：
由题意得，
∵△OAB为等边三角形，
∴，
∴的面积为12，
故答案为：12
【分析】过点A作AH⊥BO于点H，先根据反比例函数k的几何意义即可得到，进而根据等边三角形的性质即可求解。
14．（2023·本溪）如图，矩形的边平行于轴，反比例函数的图象经过点，对角线的延长线经过原点，且，若矩形的面积是8，则的值为 ．
【答案】6
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图，作CD⊥y轴，交y轴于点E，作DA⊥x轴于点F.
∵DA∥EO，∴△CDA∽△CEO
∴
即
∴S△CEO=9
∴S四边形ADEO=S△CEO-S△CDA=5
又∵CD∥OF，∴△CDA∽△OFA
∴
即
∴S△OFA=1
∴S矩形OFDE=5+1=6
根据k的几何意义，当k＞时，k=S矩形OFDE=6，
因此本题答案为：6.
【分析】利用AC=2OA的数量关系，可以得到CA∶CO=3：1.通过添加辅助线，利用平行关系和面积的已知条件，建立A字全等△CDA∽△CEO，和8字全等△CDA∽△OFA，从而得到矩形OFDE的面积.最后利用k的几何意义求解.
三、解答题
15．在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b与反比例函数y=
的图象在第一象限交于点A（1，a），B（b，3），求一次函数y=kx+b的表达式。
【答案】解：将点A（1，a）代入y= ，得a=6.，将点B（b，3）代y= ，得b=2，
点A，B的坐标分别为（1，6），（2，3）.
把点A（1，6），B（2，3）代入y=kx+b得， 解得
一次函数的表达式为y=-3x+9.
【知识点】反比例函数的性质；一次函数的性质
【解析】【分析】利用反比例函数的解析式，求出点A和点B中a和b的值，求出点A和点B的坐标，利用待定系数法，求出一次函数的解析式即可。
16．（2023·南漳模拟）平面直角坐标系xOy中，点A在第一、三象限的角平分线上．点M（9，4）．和点A在函数（x＞0）的图象上．
（1）求k的值和点A的坐标；
（2）求直线AM对应的函数解析式．
【答案】（1）解：∵点M（9，4）在函数（x＞0）的图象上，
∴k＝9×4＝36，
∴反比例函数的解析式为y＝，
∵点A在第一、三象限的角平分线上，且点A在函数y＝（x＞0）的图象上，
∴当x＝y时，y2＝36，
∴y＝6（负值舍去），
∴x＝6，
∴点A的坐标为（6，6）
（2）解：设直线AM对应的函数解析式为y＝ax+b，
将A、M两点的坐标代入，
得， 解得
∴直线AM对应的函数解析式为y＝-x+10．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）由题意把点M的坐标代入反比例函数的解析式计算可求得k的值，根据角平分线的性质可知点A的横纵坐标相等，结合已知x＞0即可求得点A的坐标；
（2）设直线AM对应的函数解析式为y＝ax+b，由题意把点A、M的坐标代入解析式可得关于a、b的方程组，解之求出a、b的值，则可得直线AM对应的函数解析式.
17．（2023·兰州）如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，轴于点D，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B，C．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）当时，求线段的长．
【答案】（1）解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
∵一次函数的图象经过点，
∴，
∴，
∴一次函数的表达式为；
（2）解：∵，
∴，
∴直线的表达式为，
∵时，，
解得，则，
∵时，，
解得，则，
∴．
【知识点】一次函数的图象；反比例函数的图象；反比例函数的性质；一次函数的性质
【解析】【分析】（1）先将点A代入即可得到反比例函数的解析式，进而将点A代入一次函数即可求出m，进而即可求解；
（2）先根据题意得到点D的坐标，进而得到直线的表达式为，再结合一次函数和反比例函数的交点问题即可求出点B和点C，进而即可求出BC。
18．（2023·枣庄模拟）如图，直线分别交轴、轴于、两点，与双曲线在第二象限内的交点为，轴于点，且．
（1）求双曲线的关系式；
（2）设点是双曲线上的一点，且的面积是的面积的4倍，求点的坐标．
【答案】（1）解：，即点的横坐标为，
当时，，
∴点，
又∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数的关系式为；
（2）解：∵直线分别交轴、轴于、两点，
∴点，点，
即，，
∴，
设，由于的面积是的面积的4倍，
∴的面积为，即，
解得，
当时，，当时，，
∴点或．
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义
【解析】【分析】（1）把x＝-4代入可求出点C的坐标，再代入反比例函数关系式可确定m的值，进而确定反比例函数关系式；
（2）根据直线的关系式可求出与x轴、y轴的交点坐标，进而求出三角形AOB的面积，得到三角形BOQ的面积后设点Q的坐标，由三角形的面积公式列方程求解即可．
19．（2023·南京模拟）【概念引入】
定义：平面直角坐标系中，若点满足：，则点P叫做“复兴点”.例如：图①中的是“复兴点”.
（1）在点，，中，是“复兴点”的点为 ；
（2）【初步探究】
如图②，在平面直角坐标系中，画出所有“复兴点”的集合.
（3）【深入探究】
若反比例函数的图象上存在4个“复兴点”，则k的取值范围是 .
（4）若一次函数的图象上存在“复兴点”，直接写出“复兴点”的个数及对应的k的取值范围.
【答案】（1）A，B
（2）解：当 时，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
当 时，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
当 时，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
当 时，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
画图如下：
（3）-4＜k＜0或0＜k＜4
（4）解：当 时，复兴点的个数为0；当 或 时，复兴点的个数为1；当 或 或 时，复兴点的个数为2
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（1）解：根据题意，对 而言， ，故点A是“复兴点”；
对 而言， ，故点B是“复兴点”；
对 而言， ，故点C不是“复兴点”；
故答案为：A，B；
（3）解：当 时，
∵反比例函数 的图象上存在4个“复兴点”，
∴反比例函数 的图象与 ， 的图象各有两个交点，
联立方程组 ， ，
化简得 ， ，
∴ ，
解得 ，
∴ ；
当 时，
解：当 时，
∵反比例函数 的图象上存在4个“复兴点”，
∴反比例函数 的图象与 ， 的图像各有两个交点，
联立方程组 ， ，
化简得 ， ，
∴ ，
解得 ，
∴ ；
综上，当 或 时，反比例函数 的图象上存在4个“复兴点”；
（4）解：当 时， ，
∴一次函数 的图象经过定点 ，
当一次函数 的图象经过（2）中函数图象的点 时，
，解得 ；
当一次函数 的图象经过（2）中函数图象的点 时，
，解得 ；
当一次函数 的图象经过（2）中函数图象的点 时，
，解得 ；
当一次函数 的图象经过（2）中函数图象的点 时，
，解得 ，
如图，
，
结合函数图象可知：当 时，复兴点的个数为0；
当 或 时，复兴点的个数为1；
当 或 或 时，复兴点的个数为2.
【分析】（1）根据“复兴点”定义直接判断即可；
（2）①当x≥0，y≥0时，x+y=4，可得y=-x+4，由-x+4≥0，可得x的取值范围；②当x≤0，y≥0时，-x+y=4，可得y=x+4，由x+4≥0，可得x的取值范围；③当x＜0，y＜0时，-x+-y=4，可得y=-x-4，由-x-4＜0，可得x的取值范围；④当x＞0，y＜0时，x-y=4，可得y=x-4，由x-4＜0，可得x的取值范围；综上在坐标平面内画出“复兴点”的集合即可；
（3）当k＞0时，结合题意可得反比例函数 的图象与 ， 的图象各有两个交点，联立可得两个方程组，化简得 ， ，根的判别式的值应该大于0，据此建立不等式可求出k的取值范围；当k＜0时，结合题意反比例函数 的图象与 ， 的图象各有两个交点，联立可得两个方程组，化简得 ， ，根的判别式的值应该大于0，据此建立不等式可求出k的取值范围；
（4）先判断出函数y=kx-2k+3经过定点（2，3），然后分一次函数y=kx-2k+3图象经过点M（0，4）、N（-4，0）、P（0，-4）、Q（4，0）四种情况求出k的值，并结合图象即可得出答案.
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