2024届新高三开学联考
数学参考答案及解析
三、填空题
13. 【解析】 cos＋sin＝sin α＋cos β＝＋＝.故答案为.
14. 【解析】 令＝t，则x＝1－t2，y＝－2t2＋t＋2＝－2＋，所以ymax＝.故答案为.
15. 【解析】 设C的半焦距为c，则F(－c，0)关于直线y＝－x的对称点P的坐标为(0，c)，因为P落在C上或C内，所以b≥c，所以a2－c2＝b2≥c2，所以e∈.故答案为.
16. 【解析】 如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，因为AB＝BC＝3，BS＝1，所以BM＝1，延长SM与DA的延长线交于E，再连接PE，PE与A1A的交点为N，同理确定R.因为AE∥BS，所以＝，因为BS＝BM＝1，AM＝2，所以AE＝2，因为A1D1＝3，P为A1D1的中点，所以A1P＝，因为A1P∥AE，所以＝，又A1A＝2，所以AN＝，同理CR＝，C1R＝，在CD上取一点X，使得CX＝1，过X作XY与QR垂直，垂足为Y，连接MX，可以证明：MY⊥QR，且MX＝3.因为S△XQR＝SXCC1Q－S△XCR－S△QC1R＝，QR＝＝，所以QR·XY＝，所以XY＝，所以MY＝＝.故答案为.【没有化简也给分】
四、解答题
17．解：(1)因为＝b2－ac，
所以a2＋c2－b2＝ac，(2分)
由余弦定理得，cos B＝＝，(4分)
因为B∈，【没有范围扣1分】
所以B＝.(5分)
(2)sin C＝sin＝sin
＝sincos＋cossin＝，(6分)
由正弦定理得，＝＝，(7分)
所以＝，(8分)
所以b＝＝＝2.(10分)
【结果没有化简得出2扣1分】【其他解法酌情给分】
18．解：(1)设等比数列的公比为q，因为a1，，a3成等差数列，所以a1＋a1q2＝，
因为S3＝，所以a1＋a1q＋a1q2＝，(2分)
相减得a1q＝，所以q＝，
代入a1＋a1q2＝得4a12－5a1＋1＝0，
解得或，(4分)
因为an＋1
所以an＝a1qn－1＝.(6分)
(2)由已知得，bn＝－n·2n，(7分)
Tn＝－[1×2＋2×22＋3×23＋…＋2n－1＋n·2n]，(8分)
所以2Tn＝－[1×22＋2×23＋3×24＋…＋2n＋n·2n＋1]，
两个等式相减得－Tn＝－(2＋22＋23＋24＋…＋2n－n·2n＋1)，(10分)
所以Tn＝2＋22＋23＋24＋…＋2n－n·2n＋1＝－n·2n＋1＝2n＋1－2.(12分)
【其他解法酌情给分】
19．解：(1)因为E，F分别为PD，PB的中点，所以EF∥BD，(1分)
因为EF 平面BDG，BD 平面BDG，
所以EF∥平面BDG.(3分)
(2)因为三角形PAD是正三角形，Q为AD的中点，所以PQ⊥AD，
又因为CD⊥PQ，AD∩CD＝D，所以PQ⊥平面ABCD，BQ 平面ABCD，所以PQ⊥BQ，
因为四边形BCDQ是矩形，所以BQ⊥AD，即直线QP，AD，QB两两垂直，(5分)
以Q为坐标系的原点，射线QB，QD，QP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
(6分)
因为四边形BCDQ是面积为2的矩形，BC＝QD＝1，所以BQ＝2，
由已知得，P，B，C，D，(8分)
所以＝，G，(10分)
设平面BGD的一个法向量为n＝，＝，＝，
∴ ，
∴ ，
令x＝1，得y＝2，z＝0.
∴n＝，设PC与平面BGD所成的角为θ，则sin θ＝＝＝＝.
所以PC与平面BGD所成角的正弦值为.(12分)
【其他解法酌情给分】
20．解：(1)设E的半焦距为c，因为抛物线y2＝8x的焦点坐标为(2，0)，所以c＝2，(1分)
因为E的离心率为2，所以a＝1，b2＝c2－a2＝3，(3分)
所以双曲线E的标准方程为x2－＝1.(4分)
当直线l的斜率为0时，显然不适合题意；【少情况扣1分】
当直线l的斜率不为0时，
设直线l：x＝my＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由，消去x，得(3m2－1)y2＋12my＋9＝0，(6分)
3m2－1≠0且Δ＝－36＝36>0，
y1＋y2＝－，y1y2＝，(7分)
所以x1x2＝(my1＋2)(my2＋2)＝m2y1y2＋2m(y1＋y2)＋4
＝m2·－＋4＝－，(9分)
令x1x2＋y1y2＝－＋＝0，
解得，m＝±，此时OA⊥OB，(11分)
所以存在直线l：x±y－2＝0，使OA⊥OB成立．(12分)
【其他解法酌情给分】
21．解：(1)由已知得，X＝0，20，40，
P＝C20＝，
P＝C21××＝，
P＝C22×＝，
所以X的分布列为
X 0 20 40
P
(3分)
由已知得，Y＝20，40，
所以P＝＝，
P＝1－＝.
所以Y的分布列为
Y 20 40
P
(6分)
(2)甲在第二轮得分分类如下：
选20分和30分的题所得分数为20分和50分，
选20分和40分的题所得分数为20分和60分，
选30分和40分的题所得分数为0分、30分、40分和70分，(7分)
乙在第二轮得分分类如下：
选20分和30分的题所得分数为0分、20分、30分和50分，
选20分和40分的题所得分数为0分、20分、40分和60分，
选30分和40分的题所得分数为0分、30分、40分和70分，(8分)
由已知及(1)得，
甲两轮的总积分不低于90分的概率为
P甲＝×＋×[×]＝；(9分)
乙两轮的总积分不低于90分的概率为，
P乙＝×＋×[×]＝，(11分)
因为P甲>P乙，所以甲更容易晋级复赛．(12分)
【其他解法酌情给分】
22．解：(1)f′＝，
设切点的坐标为，
则切线方程为y－ln＝，
因为切线过点(－1，－1)，
所以－1－ln＝，
解得x0＝0，
所以切线方程为y＝x.(3分)
(2)①令h＝ex－＝ex－1－x－，h′＝ex－x－1，令h′＝m(x)，
则m′(x)＝ex－1，
当x>0时，m′(x)＝ex－1>0，
所以m(x)＝ex－x－1在上单调递增，
所以h′>h′(0)＝0，
所以h在上单调递增，
所以h>h＝0，即当x>0时，ex>1＋x＋；(6分)
②g＝ln＋aex，g′＝aex＋，
若a≥0，g′>0，则g在上单调递增，最多只有一个零点，不符合题意；(7分)
若a<0，g′＝aex＋＝[ex(x＋1)＋]，令n(x)＝ex，因为x＋1>0，ex>0，且n′＝(x＋2)ex，当x>－1时，n′(x)>0，所以n(x)＝ex在上单调递增，
又因为当x→－1时，ex→0；当x→＋∞时，ex→＋∞，
又因为－>0，
所以－＝ex恰有一解x＝x0，
当x∈时，g′>0，g单调递增；当x∈时，g′<0，g单调递减，所以x0为函数g的唯一的极大值点，(8分)
因为当x→－1时，g＝aex＋ln→－∞，
当x→＋∞时，g＝aex＋ln→－∞，
所以函数g有两个不同的零点x1，x2等价于g>0，即aex0＋ln>0，(9分)
不妨设x2>x1，
当x∈，g<0，所以x2>x1>0，
由(1)得，直线y＝x与函数y＝ln(x＋1)切于原点得：当x>0时，ln(x＋1)因为a<0，所以当x>0时，g＝aex＋ln(x＋1)令q(x)＝＋x＋a，
即当x>0时，g所以＋x＋a＝0一定存在两个不同的根，设为x3，x4，
因为x2>0，
所以q(x2)>g(x2)＝0＝q(x4)，
又因为x2，x4位于单调递减区间，
所以x2同理x1>x3，
所以x3x2>0，
因为x3x4＝2>0，所以x3>0，
又因为x3＋x4＝－，
所以x4－x3＝＝＝2，
所以<2.(12分)
【其他解法酌情给分】2024届新高三开学联考
数学试题
本试卷共4页，22题。全卷满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1.答题前，先将自已的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在
答题卡上的指定位置。
2,选样题的作答：每小题选出答茶后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选摔题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草
稿纸和答题卡上的非答题风域均无效：
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共0分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.若复数之的虚部小于0，且z2=1,则(1一)=
A.1十i0
B.1-i
C.-1十i
T0.-1-i
2.已知集合M=x∈Zy=ln(1-x2),N={-1,0,1,则M门N
A.{0}
B.{-1,0,1}
C.{-1,1}
).2
3.最早的测雨器记载见于南宋数学家茶九韶所著的《数书儿章》(1217年).该书第二章为
“天时类”，收录了有关降水量计算的四个例子，分别是“天池测雨”、“园罂测雨”、“峻积
验雪”和“竹器验雪”.如图“竹器验雪”法是下雪时用一个圆台形的器皿收集香量（平地
降雪厚度一器皿中积雪体积除以器l口面积)，已知数据如图（注意：单位c),则平地
降雪厚度的近似值为
40 cm
40 cm
20 cm
20 cm
91
A.1om
&
4
cmn
cm
97
D.cm
4.已知公差不为零的等差数列{a。的前n项和为S.,a:=2u,则S
a
A.17
B.34
.18
D.51
5.已知28=38，则a=
凝闲落
A9或号
B8别或时
C9或号
D81或
6,已知)=im5+ee[0,x)在(-8,6）上单别递减，且f0)=则
A9晋
R9苔
.9-臂
5
D.9=6
数学斌题第1页（共4页）
7.已知直线x-y+1=0与抛物线y=x相交于A,B两点，过线段AB的中点P作一条
垂直于x轴的直线m与直线1：y=一交于点Q,则△QAB的面积为
A
B②
C.1
D.2
，2
8.若a=0.001十sin0.001,b=ln1.001c=c0.-1,则
A。bca
B.c ab
C.cba
I).acb
二、多选题：本题共1小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，
9.铁棍的长度随温度的改变发生变化，某试验室在某个时段每隔一个小时测得同一根铁
棍的长度依次为3.62,3.61,3.65,3.62,3.63,3.63,3.62,3.64（单位：cm),则
A.铁棍长度的极差为0.04cm
B.铁棍长度的众数为3.62cm
C.铁棍长度的中巾位数为3.625cm
D.铁棍长度的第80百分位数为3.63cm
10.已知圆C:x+y2-2.x一6=0，M(xy)为圆C上任意一点，1(1，一1)，则
A.MC=1
B.直线1：)y=十6过点A,则C到直线1的距离为号
C.w7-1|MA7+1
D.圆C与坐标轴相交所得的四点构成的四边形面积为4√42
11.已知e=e=1,e·e=2,若在△ABC中，Ci=a,AC=b,且a+b=61a-26=
e2,则
A.e,e的夹角为写
1
B3.a.b18
C.若(a十b)∥b,则x=】
2
D△ABC的边AB上的中线长为
12.若实数xy满足x2y一xy=2,则
A.|x2
B.1x≥210
5
C.z十y2y10
5
D.21y≥4y5
5
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若ina26os3=3,则coso+）+sm(g到
14.函数f(x)=2x十√1一x的最大伯为
5,已知椭圆C:三-=1(a≥b0)的左焦点为F,若F关于直线y=一x的对称点P落
在C上或C内，则椭圆C的离心率的取值范园为
16.在长方体ABCD-A,B,C:D:中，AB=BC=3,AA1=2,P,Q为A1D1,DC1的中点，S
在BC上，且BS一1.过P,Q,S三点的平面与长方体的六个面相交得到六边形PQRSMN,
则点M到直线QR的距离为
数学试题第2页（共4页）】参考答案及解析
数学
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数学参考答案及解析
一、单选题
A2,3)B(+,3+2)所以AB
1.B【解析】因为2=一1，所以之=士i,又复数之的虚
部小于0，所以=一i,所以x(1-之)=一i(1+i)=1
的长为2·|xA一xB|=2,由已知得，直线x一y十
一i.故选B.
}=0经过抛物线的焦点，且1：y=一为准线，所
4
2.A【解析】由1一x2>0得，一1以PQ=A,B=1,所以△QAB的面积为
{0},M∩N={0}.故选A.
2
3.C【解析】如图所示，可求得器皿中雪表面的半径为
|PO·--号故法R
20十40=15cm,所以平地降雪厚度的近似值为
4
8.D【解析】令f(x)=x十sinx,g(x)=ln(x+1),
1
3x×20×(10+152+10×15)_95
h(x)=e-1,p(x)=h(x)-f(x)=e-1-x
π×20
2cm.放选C.
sinx,q(x)=h(x)-g(x)=e-1-ln(.x十1)，
4.D【解析】设公差为d,则a6=a十(6-3)d=ag十
p'(x)=e-1-cosx,g(x)=e-十1，令
3d=2ag,a=3d,5,=（a+a）X17=2a,×17_
2
2
m(x)=p'(x),m'(x)=e十sinx,当x∈
17a,4,=as十3d=3a,则S=17X3a=51.故
[0,号)时，m(x)>0,所以p(x)在[0，)时单
选D.
调递增，所以当x∈[0，)时，p(x)5.C【解析】由a=3%1,两边取对数得loga“
=log:81,所以(loga)2=4,所以loga=2或-2，所
E-1-cos}<6-1-c0吾=6-1-号<0，所
以a=9或)放选C
以p(x)在x∈[，)时单调递减，所以
6.D【解析】因为f(0)=之g∈[0，x),所以g=吾
p(0.o1)或g=,当9=名时，可以验证：此时f(x)
d(x)=e'--
十≥0，所以g(x)在[0,2)上单调
1
in(受x+吾)在(-言号)上单调递增，舍去：当
递增，所以g(0.001)>q(0)=0,所以c>b,综上，
a>c>b.故选D,
=爱时，可以验证：此时f(x)=sin(受x+爱)在
二、选择题
(-。·日)上单调递减，所以9=故选D.
9.ABC【解析】铁棍的长度从小到大排列为3.61，
3.62,3.62,3.62,3.63,3.63,3.64,3.65(单位：cm).
7,B【解析】将x一y十
=0与y=x2联立得，
对于A:极差为3.65一3.61=0.04，故A正确；对于
1