1.3一元二次方程根与系数的关系 同步练习题 （含解析）2023——2024学年苏科版数学九年级上册

2023-2024学年苏科版九年级数学上册《1.3一元二次方程根与系数的关系》
同步练习题（附答案）
一、单选题
1．已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值为（ ）
A．0 B．－10 C．3 D．10
2．如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)满足4a－2b＋c＝0，且有两个相等的实数根，则( )
A．b＝a B．c＝2a
C．－a(x－2)2＝0(a≠0) D．a(x＋2)2＝0(a≠0)
3．若是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．3或 B．或9 C．3或 D．或6
4．方程x2-（k2-4）x+k+1=0的两个实数根互为相反数，则k的值是（ ）
A．4或-4 B．2或-2 C．2 D．-2
5．若m，n满足，，且，则的值（ ）
A． B． C． D．
6．若矩形的长和宽是方程4-12x+3=0的两个根，则该矩形的周长和面积分别为（ ）
A．3和 B．和3 C．和6 D．6和
7．已知关于x的方程的两根分别为，且，则关于x的不等式的解为（　　）
A．x≤ B．x＜ C．x≥3 D．x≤3
二、填空题
8．一元二次方程的一个根是，则______，它的另一个根是______．
9．若是一元二次方程是的两个根，则＝_____．
10．已知、是方程的两个实数根，则代数式的值为______．
11．等腰的一边长为3，另外两边的长是关于x的方程的两个实数根，则m的值是___________．
12．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个根，且这个三角形的斜边长为3，则______．
13．矩形ABCD的两邻边长分别为一元二次方程的两个实数根，则矩形ABCD的面积为________．
14．下列说法：
①若一元二次方程+bx+a＝0有一个根是a（a≠0），则代数式a+b的值是；
②若＞6ac，则关于x的一元二次方程a+bx+c＝0一定有两个不相等的实数根；
③若b＝a+2c，则关于x的一元二次方程a+bx+c＝0一定有两个不相等的实数根；
④已知两实数m，n满足，，且m≠n，则的值为．
其中正确的有_______（只需填序号）．
三、解答题
15．一元二次方程（）有两根，，则，，则__________，__________．
请运用上面你发现的结论，解答问题：
已知，是方程的两根，不解方程求下列式子的值：
（1）；
（2）；
（3）．
16．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2-4mx+4m2-9＝0的两实数根．
(1)若这个方程有一个根为-1，求m的值；
(2)若这个方程的一个根大于-1，另一个根小于-1，求m的取值范围；
(3)已知Rt△ABC的一边长为7，x1，x2恰好是此三角形的另外两边的边长，求m的值．
17．矩形ABCD的边AB、BC的长分别是关于x的方程的根．
(1)若矩形ABCD是正方形，求m的值．
(2)若矩形ABCD的面积为12时，求m的值．
18．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求实数m的取值范围；
(2)若时，求实数m的值．
19．一元二次方程．
(1)若方程有两实数根，求m的范围．
(2)设方程两实根为，，且，求m．
20．已知关于的方程.
(1)求证：无论取何实数，这个方程总有实数根；
(2)若这个方程的两个实根、满足，求的值.
(3)当等腰三角形的一边长，另两边长、恰好是这个方程的两根时，求的周长.
参考答案
1．解：∵m、n是一元二次方程的两个根，
∴mn=－5，m2+2m-5=0，
∴m2+2m=5，
∴=5－5=0，
故选：A．
2．解：∵一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)满足4a－2b＋c＝0，且有两个相等的实数根，
即
∴是原方程的解，
故A,B不正确
是原方程的解，
a(x＋2)2＝0(a≠0)
故D正确，
不是原方程的解，
则－a(x－2)20(a≠0)
C不正确．
故选D
3．解：∵，
∴，
,则两根为：3或-1，
当时，，
当时，，
故选：A．
4．解：∵方程x2-（k2-4）x+k+1=0的两实数根互为相反数，
∴k2-4=0，∴k=±2；
当k=2，方程变为：x2+1=0，Δ=-4＜0，方程没有实数根，所以k=2舍去；
当k=-2，方程变为：x2-3=0，Δ=12＞0，方程有两个不相等的实数根；
∴k=-2．
故选：D．
5．解：∵、满足，，
∴、是方程的根，
∴由根与系数的关系可知，
，，
∴．
故选A．
6．解：∵矩形的长和宽是方程4﹣12x+3＝0的两个根，设长为a，宽为b，
∴a+b＝3，ab，
则该矩形的周长为2（a+b）＝6，面积为ab．
故选：D．
7．解：关于x的方程的两根分别为，
则，．
∵，
∴ ，
由此可得2m﹣1＝1．
把2m﹣1＝1代入得3﹣x≤0，
解得，x≥3．
故选C．
8．解：∵一元二次方程的一个根是，
∴，
解得：，
∴原方程为，
设分别是的两个根，其中，
∴，
∴，
故它的另一个根为，
故答案为：，．
9．解：根据题意得
则
故答案为：
10．解：因为、是方程的两个实数根，
所以，，
所以
=
=
=
=
=．
故答案为：0．
11．解：设关于的方程的两个实数根分别为、．
方程有两个实数根，则△，得．
①当底边长为3时，另两边相等时，，
另两边的长都是为5，则；
②当腰长为3时，另两边中至少有一个是3，则3一定是方程的根，
另一根为：7．
，不能构成三角形．
的值为25．
故答案为：25．
12．解：设这个直角三角形的两条直角边的长分别为a、b，
根据题意得，，
根据勾股定理得：，
得，
得，
解得，
故答案为：7．
13．解：∵、的长是一元二次方程的两个实数根，
∴=8，
∴矩形的面积==8．
故答案为：8．
14．解：①若一元二次方程＋bx＋a＝0有一个根是a（a≠0），则＋ab＋a＝0，
整理得：a（a＋b＋1）＝0，
∵a≠0，
∴a＋b＋1＝0，
∴a＋b＝ 1，故此说法正确；
②∵＞6ac，
∴＞4ac，即 4ac＞0，
∴关于x的一元二次方程＋bx＋c＝0一定有两个不相等的实数根，故此说法正确；
③若b＝a＋2c，那么Δ＝ 4ac＝ 4ac＝，
∵a≠0，
∴Δ＞0，
∴关于x的一元二次方程a+bx+c＝0一定有两个不相等的实数根，故此说法正确；
④∵两实数m，n满足，，且m≠n，
∴m，n可看作方程＋3x 9＝0的两个实数根，
∴m＋n＝ 3，mn＝ 9，
∴，故此说法正确；
故正确的有①②③④，
故答案为：①②③④．
15．解：题干：∵，，
∴，
；
故答案为：，；
∵，是方程的两根，
∴，，
（1）∴；
（2）∴
；
（3）∴
．
16．（1）解：∵x1，x2是一元二次方程x2-4mx+4m2-9＝0的两实数根，这个方程有一个根为-1，
∴将x＝-1代入方程x2-4mx+4m2-9＝0，得1+4m+4m2-9＝0．
解得m＝1或m＝-2．
∴m的值为1或-2．
（2）解：∵x2-4mx+4m2＝9，
∴(x-2m)2＝9，即x-2m＝±3．
∴x1＝2m+3，x2＝2m-3．
∵2m+3＞2m-3，
∴
解得-2＜m＜1．
∴m的取值范围是-2＜m＜1．
（3）解：由(2)可知方程x2-4mx+4m2-9＝0的两根分别为2m+3，2m-3．
若Rt△ABC的斜边长为7，
则有49＝(2m+3)2+(2m-3)2．
解得m＝±．
∵边长必须是正数，
∴m＝．
若斜边为2m+3，则(2m+3)2＝(2m-3)2+72．
解得m＝．
综上所述，m＝或m＝．
17．解：(1)因为矩形ABCD是正方形，所以AB=BC，
因为AB、BC是方程的根，方程有两个相等的实数根，
∴，
即，
解得；
(2)根据题意，方程有两个实数根，且两个根的积为12，
由一元二次方程根与系数的关系可得：
，
解得，
当时，，与题意不符，舍去，
故．
18．(1)解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴ >0，
∴，
解得；
(2)解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴
=
=
=12-16m，
∵，
∴
解得m1=17，m2=-1，
∵，
∴m=-1．
19．解：（1）∵关于x的一元二次方程有两个实数根，
∴且，即，
解得且，
∴m的取值范围为．
（2）∵方程两实根为，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：；
经检验是原方程的解．
20．（1）证明：方程整理成一般形式为，
，
∴无论k取什么实数值，方程总有实数根；
（2）解：∵、是这个方程的两个实根，
∴，，
∵，
∴，
解得：或；
（3）解：当时，，
即，
解得：，
此时，
∵，
∴此时不能构成三角形；
当两边长b、c有一边是4时，，
解得：，
关于x的方程即，
解得：或，
等腰的三边长为2、4、4，
∴的周长为．