贵州省黔西南州金成实验学校2022-2023学年高二下学期期末质量检测数学试题（含解析）

金成实验学校2022-2023学年高二下学期期末质量检测
数学
（试卷满分：150分）
答卷注意事项：
1、学生必须用黑色（或蓝色）钢笔、圆珠笔或签字笔在试卷上答题.
2、填涂答题卡必须使用2B铅笔填涂.
3、答题时字迹要清楚、工整.
4、本卷共22小题，总分为150分.
一、单选题（共40分）
1. 已知集合，，，则（ ）
A. 0 B. 1 C. 0或1 D.
2. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
4. 若函数的零点所在的区间为，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）
A. 13 B. 12 C. 9 D. 6
6. 不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
7. 若，则（ ）
A. B.
C. D.
8. 钟灵大道是连接新余北站和新余城区的主干道，是新余对外交流的门户之一，而仰天岗大桥就是这一条主干道的起点，其桥拱曲线形似悬链线，桥型优美，被广大市民们美称为“彩虹桥”，是我市的标志性建筑之一，函数解析式为，则下列关于的说法正确的是（ ）
A. ，为奇函数
B. ，在上单调递增
C. ，在上单调递增
D. ，有最小值1
二、多选题（共20分）
9. 下列命题中，是真命题的有（ ）
A. 命题“”是“”的充分不必要条件
B. 命题，则
C. 命题“”是“”充分不必要条件
D. “”是“”的充分不必要条件
10. 设，，则下列关系正确的是（　　）
A B.
C. D.
11. 若函数满足，，且，，，则（ ）
A. 为偶函数 B.
C. D. 若，则
12. 函数是定义在上不恒为零的可导函数，对任意的x，均满足：，，则（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题（共20分）
13. 已知全集，，则 ___________；
14. 已知函数.若对于，恒成立，则实数m的取值范围________________.
15. 已知函数值域为，则实数的取值范围是________．
16. 已知函数的图像如图所示，则不等式的解集为________.
四、解答题（共70分）
17. 已知命题p：函数有零点，命题，.
（1）若p为真命题，求实数a的取值范围；
（2）若p，q中恰有一个真命题，求实数a的取值范围.
18. 已知函数，
（1）证明 ：；
（2）证明：．
19. 已知函数，且对任意的，恒成立．
（1）若，，求函数的最小值；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
20 已知函数.
（1）当时，求函数的极值；
（2）若函数在无零点，求实数的取值范围.
21. 已知，，．
（1）当时，求函数的极值；
（2）当时，求证：．
22. 已知函数．
（1）讨论在上的单调性；
（2）若对于任意，若函数恒成立，求实数k取值范围．
金成实验学校2022-2023学年高二下学期期末质量检测
数学 答案解析
（试卷满分：150分）
答卷注意事项：
1、学生必须用黑色（或蓝色）钢笔、圆珠笔或签字笔在试卷上答题.
2、填涂答题卡必须使用2B铅笔填涂.
3、答题时字迹要清楚、工整.
4、本卷共22小题，总分为150分.
一、单选题（共40分）
1. 已知集合，，，则（ ）
A. 0 B. 1 C. 0或1 D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据集合的包含关系及集合元素的互异性计算可得.
【详解】解：因为，且，则,
又，即，所以，即；
故选：B
2. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解.
【详解】因为可得：
当时，，充分性成立；
当时，，必要性不成立；
所以当，是的充分不必要条件.
故选：A.
3. 函数定义域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】列出不等式组，求出解集，即为定义域.
【详解】由题意得：，解得：，故定义域为
故选：C
4. 若函数的零点所在的区间为，则实数a的取值范围是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由函数性质可得在上是增函数，再由函数零点存在定理列不等式组，即可求解得a的取值范围.
【详解】易知函数在上单调递增，且函数零点所在的区间为，所以，解得．
故选：C
5. 已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）
A. 13 B. 12 C. 9 D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】本题通过利用椭圆定义得到，借助基本不等式即可得到答案．
【详解】由题，，则，
所以（当且仅当时，等号成立）．
故选：C．
【点睛】
6. 不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】在同一坐标系中作出函数的图象，先求得的解，然后由图象写出的解集.
【详解】再同一坐标系中作出函数的图象，如图所示：
当时，解得，
由图象知：的解集是
故选：B
7. 若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由对数函数的性质可知，，又，，所以构造函数，再利用函数的单调性比较，的大小即可．
【详解】，，，
，，
，，
构造函数，
显然函数在上单调递增，
又，
，即，
，
故选：．
8. 钟灵大道是连接新余北站和新余城区的主干道，是新余对外交流的门户之一，而仰天岗大桥就是这一条主干道的起点，其桥拱曲线形似悬链线，桥型优美，被广大市民们美称为“彩虹桥”，是我市的标志性建筑之一，函数解析式为，则下列关于的说法正确的是（ ）
A. ，为奇函数
B. ，在上单调递增
C. ，在上单调递增
D. ，有最小值1
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数奇偶性的定义及复合函数的单调性逐一判定即可.
【详解】由题意易得定义域为R，，即为偶函数，
故A错误；
令，则且随增大而增大，
此时，由对勾函数的单调性得单调递增，
根据复合函数的单调性原则得在上单调递增，故B正确；
结合A项得在上单调递减，故C错误；
结合B项及对勾函数的性质得，故D错误.
故选：B.
二、多选题（共20分）
9. 下列命题中，是真命题的有（ ）
A. 命题“”是“”的充分不必要条件
B. 命题，则
C. 命题“”是“”的充分不必要条件
D. “”是“”的充分不必要条件
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据判断充分不必要条件的逻辑关系分别判断A，C，D；根据全称命题的否定形式可判断B.
【详解】对于A，当时，成立，
反之，当时，解得或，不一定是，
故“”是“”的充分不必要条件，A正确；
对于B，命题为全称命题，其否定为特称命题，
即，B正确；
对于C，推不出，因为时，，
当时，一定有且，
故命题“”是“”的必要不充分条件，C错误；
对于D，解可得或，
故时，一定有成立，
当时，也可能是，不一定是，
故“”是“”的充分不必要条件，D正确，
故选：ABD
10. 设，，则下列关系正确的是（　　）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】先根据基本不等式得到，又，，得到，.
【详解】AB选项，易知，，
因为，所以，A错误，B正确；
CD选项，因为，，所以，D正确，
故，C正确.
故选：BCD
11. 若函数满足，，且，，，则（ ）
A. 为偶函数 B.
C. D. 若，则
【答案】AC
【解析】
【分析】先由函数的对称性可找到对称轴，即可判断A选项；再由题找到函数的单调性，利用单调性比较函数值的大小，可判定BCD选项.
【详解】由题意可得的图象关于直线对称，且在上单调递增，
则在上单调递减，且的图象关于直线对称，
由偶函数图象的特征得A正确．
结合函数的单调性和图象的对称性得，距离越近，函数值越小，，所以B不正确．
对C，，所以C正确．
对D，若，则直线距离直线更远，即，解得或，所以D不正确．
故选：AC．
12. 函数是定义在上不恒为零的可导函数，对任意的x，均满足：，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】先得到，再假设为正整数，利用累乘法求出的解析式，再验证不为正整数时，也符合题意.利用的解析式容易判断ABC，根据错位相减法求和可判断D.
【详解】令，得，代入，得，
当为正整数时，，
所以，
所以，代入，得，
所以，又当时，也符合题意，
所以.
当不为正整数时，经验证也满足，
故为任意实数时，都有.
所以，故A正确；，故B正确；
所以，，故C不正确；
所以，
令，
则，
所以，
所以，所以，故D正确.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛： 假设为正整数，利用累乘法求出，再验证不为正整数时，也满足题意是解题关键.
三、填空题（共20分）
13. 已知全集，，则 ___________；
【答案】
【解析】
【分析】化简集合和，再根据补集的概念可求出结果.
【详解】因为，所以，则，
因为，所以，则，
所以.
故答案为：.
14. 已知函数.若对于，恒成立，则实数m的取值范围________________.
【答案】
【解析】
【分析】解法1：不等式配方变形为在上恒成立，讨论的取值，使不等式恒成立，即可求的取值；
解法2：采用参变分离的方法，转化为在上恒成立，转化为求函数最值问题.
【详解】要使在上恒成立，即在上恒成立，有以下两种解法：
解法1：令，．
当时，在上单调递增，所以，即，
所以，所以；当时，恒成立；当时，在上单调递减，所以，即，所以，所以.
综上所述，m的取值范围是.
解法2：因为，又因为在上恒成立，所以在上恒成立．令，因为函数在上的最小值为，所以只需即可．所以的取值范围是.
故答案为：
15. 已知函数的值域为，则实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据的值域为，可知需在单调递增且即可.
【详解】由题意知的值域为，故要使的值域为，
则必有为增函数，且，
所以，且，解得.
故答案为：
【点睛】本题主要考查了已知分段函数值域求参数范围，属于中档题.
16. 已知函数的图像如图所示，则不等式的解集为________.
【答案】
【解析】
【分析】由函数的图像可得函数的增减区间，从而可得导函数的正负，进而可求出不等式的解集
【详解】解：由函数的图像可知，
在和上递增，在上递减，
所以当或时，，当时，，
所以当或时，，
所以不等式的解集为，
故答案为：
四、解答题（共70分）
17. 已知命题p：函数有零点，命题，.
（1）若p为真命题，求实数a的取值范围；
（2）若p，q中恰有一个真命题，求实数a的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，由二次函数的性质可得若命题p为真命题，则，解可得a的取值范围.
（2）根据题意，若命题p,q中恰有一个为真命题，则命题p,q一真一假，分2种情况讨论，求出a的取值范围.
【小问1详解】
若， 无零点，舍去；
若，则，故，或；
综上，实数a的取值范围为
【小问2详解】
若为真命题，则，，所以，
当p真q假时，有；
当p假q真时，有；
则p，q中恰有一个真命题时，a的取值范围为
18. 已知函数，
（1）证明 ：；
（2）证明：．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）构造函数，由其单调性证明不等式；
（2）利用（1）得出，再由导数证明即可.
【小问1详解】
证明：令，
则，当时，即函数在递减，
则，所以；
【小问2详解】
由（1）知用代换得，再以代换得，
即，即，则
令，因为，所以，即
则
19. 已知函数，且对任意的，恒成立．
（1）若，，求函数的最小值；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）根据恒成立可得恒成立，由一元二次不等式恒成立的求解方法可得不等式组，由此求得，得到，利用基本不等式可求得最小值；
（2）将不等式整理为，令，由一元二次不等式在区间内恒成立求解的方法可得不等式组，解不等式组可求得结果.
【详解】（1）对任意的，恒成立，对恒成立，
，即，解得：，；
，，
又（当且仅当，即时取等号），.
（2）由得：，
即，
对任意的，不等式恒成立．
令，
则，解得：，
实数的取值范围为．
【点睛】思路点睛：本题考查函数最值、恒成立问题的求解，解题关键是能够将问题转化为一元二次不等式恒成立问题的求解，解决此类问题重点是对于二次函数图象的讨论，讨论基本思路为：①开口方向；②判别式；③对称轴位置及区间端点值的函数值符号.
20. 已知函数.
（1）当时，求函数的极值；
（2）若函数在无零点，求实数的取值范围.
【答案】（1）极小值为，无极大值
（2）
【解析】
【分析】（1）代入，求导，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间及极值情况；
（2）构造函数，二次求导，确定导函数的单调性，结合端点值，对进行分类讨论，确定实数的取值范围.
【小问1详解】
解：当时，，定义域为，
，令，解得：，
当时，，单增，
当时，，单减
所以在处取得极小值，极小值为，无极大值.
【小问2详解】
解：即在无实数解，
令，则，
令，则，
因为，所以，，所以，
，即在上单调递增，其中，
①当，即时，时，，在上单调递增，
又，故当时，没有零点；
②当，即时，
令，在上恒成立，
所以在上单调递增，
所以，故，，
所以，
又，故存在，使得，
当时，，单调递减，又，
故当时，，所以在内没有零点，
当时，，单调递增，
因为，所以，
且，
令，，，，
令，，，
所以在上单调递增，
又，故时，，则上单调递增，
所以，故，
又，由零点存在性定理可知，存在，，
故在内，函数有且仅有一个零点，
综上：时满足题意，即的取值范围是.
【点睛】方法点睛：导函数求解参数取值范围问题，通常需要构造函数，求出构造函数的导函数，确定其单调性，极值和最值情况，本题中要注意到特殊点的函数值，确定参数的取值范围，即必要性探究，再进行充分性证明.
21. 已知，，．
（1）当时，求函数的极值；
（2）当时，求证：．
【答案】（1）答案见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）分类讨论求解函数的极值即可.
（2）首先将题意转化为．令，即证：，再构造函数，求其最小值即可证明.
【小问1详解】
，当时，，即在上单调递减，
故函数不存在极值；
当时，令，得，
x
+ 0 -
增函数 极大值 减函数
故，无极小值.
综上，当时，函数不存在极值；
当时，函数有极大值，，不存在极小值．
【小问2详解】
显然，要证：，
即证：，即证：，
即证：．
令，故只须证：．
设，则，
当时，，当时，，
故上单调递增，在上单调递减，
即，所以，从而有．
故，即．
22. 已知函数．
（1）讨论在上的单调性；
（2）若对于任意，若函数恒成立，求实数k的取值范围．
【答案】（1）在单调递增，在单调递减．
（2）
【解析】
【分析】（1）运用导数研究函数的单调性即可.
（2）令，分别讨论时，时存在一个使得，时，恒成立即可.
【小问1详解】
，
，则；，则，
所以在单调递增，在单调递减．
【小问2详解】
令，有
当时，，不满足；
当时，，
令，
所以在恒成立，
则在单调递减，
，，
①当，即时，，
所以在单调递减，
所以，满足题意；
②当，即时，
因为在单调递减，，，
所以存在唯一，使得，
所以在单调递增，
所以，不满足，舍去.
综上：.
【点睛】恒成立问题解题策略
方法1：分离参数法求最值
(1)分离变量．构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
(2)恒成立 ；
恒成立 ；
方法2：根据不等式恒成立构造函数转化成求函数的最值问题，一般需讨论参数范围，借助函数单调性求解．