辽宁省铁岭市昌图县2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题（含解析）

昌图县2022-2023学年高二下学期期末考试
数学试卷
本试卷满分150分，考试用时120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：集合与简易逻辑，一元二次函数、方程和不等式，函数与基本初等函数，数列，导数．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）．
A． B． C． D．
2．某质点沿直线运动，位移y（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的关系为，则该质点在秒时的瞬时速度是（ ）．
A．14米/秒 B．17米/秒 C．19米/秒 D．21米/秒
3．下列结论正确的是（ ）．
A．若，则 B．若，则-
C．若，则 D．若，则
4．已知函数在处取得极值5，则（ ）．
A． B． C．3 D．7
5．已知，，，则（ ）．
A． B． C． D．
6．在等比数列中，若，则“”是“”的（ ）．
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知函数，则不等式的解集是（ ）．
A． B．
C． D．
8．小华分期付款购买了一款5000元的手机，每期付款金额相同，每期为一月，购买后每月付款一次，共付6次，购买手机时不需付款，从下个月这天开始付款．已知月利率为1％，按复利计算，则小华每期付款金额约为（ ）．（参考数据：，，）
A．764元 B．875元 C．883元 D．1050元
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列求导正确的是（ ）．
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．设等差数列的前n项和为，公差为d，若，．则（ ）．
A． B． C． D．
11．一百零八塔，位于宁夏回族自治区吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一，总面积为6980平方米．一百零八塔，塔群随山势凿石分阶而建，由下而上逐层增高，依山势自上而下，前六层依次建1，3，3，5，5，7座塔，从第六层起，后面的每一层所建塔的座数依次比上一层多2座，总计一百零八座，因塔数而得名．将塔进行编号，第一层的一座塔编号为001号塔；第二层从左至右依次编号为002，003，004；第三层从左至右依次编号为005，006，007；…；依此类推．001号塔比较高大，残高为5.04米、塔底直径为3.08米，具有塔心室，其余107座皆为实心塔，大小基本相近，一般残高约为2.2米、塔底直径约为2米，塔底座间距相同约为1.2米（例如：002号塔底座右侧与003号塔底座左侧之间的距离为1.2米），记第n层的宽度（以最左侧塔身和最右侧塔身最远距离计算）为米，则以下说法正确的是（ ）．
A．一百零八塔共有12层塔 B．088号塔在第11层
C． D．的值约为53.2
12．已知函数有3个零点，，，则（ ）．
A．
B．
C．存在实数a，使得，，成等差数列
D．存在实数a，使得，，成等比数列
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知函数，则__________．
14．李明经营一家水果店，为增加销量，李明制定了两种促销方案．方案一：一次购买水果的总价达到100元，顾客就少付x元．方案二：每笔订单按八折销售．在促销活动中，某顾客购买水果的总价为120元，该顾客通过计算发现选择方案二所付金额不高于选择方案一所付金额，则x的最大值为__________．
15．“中国剩余定理”又称“孙子定理”或“中国余数定理”，讨论的是关于整除的问题．现有这样一个整除问题；被2除余1且被5除余3的正整数从小到大排成一列，构成数列，则数列的前50项和是__________．
16．已知点A在函数的图象上，点B在直线上，则A，B两点之间距离的最小值是__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知函数在处取得极值．
（1）求a，b的值；
（2）求在上的最大值和最小值．
18．（12分）已知函数．
（1）求的值，判断的奇偶性并证明；
（2）求不等式的解集．
19．（12分）设数列的前n项和为，，且．
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和．
20．（12分）近几年，极端天气的天数较往年增加了许多，环境的保护越来越受到民众的关注，企业的节能减排被国家纳入了发展纲要中，这也为检测环境的仪器企业带来了发展机遇．某仪器公司的生产环境检测仪全年需要固定投入500万元，每生产x百台检测仪器还需要投入y万元，其中，，且，每台检测仪售价2万元，且每年生产的检测仪器都可以售完．
（1）求该公司生产的环境检测仪的年利润（万元）关于年产量x（百台）的函数关系式；
（2）求该公司生产的环境检测仪年利润的最大值．
21．（12分）已知函数．
（1）求的极值；
（2）若函数，讨论的零点个数．
22．（12分）在数列中，，，且．设为满足的的个数．
（1）求，的值；
（2）设，数列的前n项和为，对任意的，不等式恒成立，求m的取值范围．
昌图县2022-2023学年高二下学期期末考试
数学试卷参考答案
1．C 由题意可得，则．
2．A 由题意可得，则．
3．D 当，时，，则A错误．
当，时，，则B错误．
当，时，，则C错误．
由，得，则D正确．
4．A 由题意可得，
则，解得，，故．
5．D
因为，，，
所以．
6．C
由，得，则．
由，得，即，则或．
故“”是“”的必要不充分条件．
7．B
设，易证是R上的奇函数，且在R上单调递增．
因为，所以，
即，所以，
则，解得．
8．C
设小华每期还款x元，第k个月还款后的本利欠款数为元，
则．
由题意可知，即，
则．
9．AD 若，则，故A正确．
若，则，故B错误．
若，则，故C错误．
若，则，故D正确．
10．AB
因为，所以，
所以，所以，所以．
因为，所以，则A正确，C错误．
由等差数列前n项和公式可得，
则，，故B正确，D错误．
11．ABD
记每层塔的数目为，则当时，，
设共有n层，则有，解得，则A正确．
前10层的塔数为，
而前11层的塔数为，故B正确．
每一层比上一层多2座塔，则宽度比上一层多米，C错误．
由题意可得，则，即，故D正确．
12．ACD
由，得，
设，则，
则的极小值为，极大值为．
因为，
所以，当且仅当时，，所以，A正确．
因为在上单调递减，且，
所以，所以未必成立，B错误．
因为，所以存在实数，使得，，成等比数列，D正确．
因为的图象存在对称中心，
所以存在实数，使得，，成等差数列，C正确．
13．
由题意可得，所以，则．
14．24 由题意可得％，解得．
15．12400
由题意可知是首项为3，公差为10的等差数列，
则数列的前50项和是．
16．
由题意可得．
令，解得．
因为，所以点到直线的距离，
则A，B两点之间的最短距离是．
17．解：（1）因为，所以，（1分）
则，（3分）
解得，．（5分）
（2）由（1）可知．（6分）
由，得或，由，得，（7分）
则在和上单调递增，在上单调递减．（8分）
因为，，，，
所以，．（10分）
18．解：（1）由题意可得．（2分）
因为的定义域为R，（3分）
且，，
所以为奇函数．（5分）
（2）解法一：由，得或．（6分）
因为，，（8分）
所以或．（9分）
易知在R上单调递增，则或．（11分）
故不等式的解集为．（12分）
解法二：设，则．（6分）
由题意得，即或，（7分）
去分母化简得或，（8分）
解得或或．（9分）
因为，所以或，（10分）
即或，解得或．（11分）
故不等式的解集为．（12分）
19．解：（1）因为，所以．（1分）
因为，所以，所以，（2分）
则是首项和公比都是3的等比数列，（3分）
故，即．（4分）
当时，，则．（5分）
当时，满足上式，则．（6分）
（2）由（1）可得，（7分）
则，①（8分）
从而，②（9分）
由①－②，得，（10分）
则，即．（12分）
20．解：（1）当时，
，（2分）
当时，
．（4分）
故．（5分）
（2）当时，，
所以当时，万元．（6分）
当时，，（7分）
因为，（8分）
当且仅当，即时，等号成立，（9分）
所以．（10分）
所以当时，，（11分）
所以当年产量为6000台时，年利润最大，且最大利润为5400万元．（12分）
21．解：（1）因为，
所以．（1分）
由，得或，由，得，
则在和上单调递增，在上单调递减．（2分）
故极大值，极小值．（4分）
（2）因为，所以的单调性与的单调性一致，
即在和上单调递增，在上单调递减，
则极大值，极小值．（5分）
因为当时，，当时，，
所以当，即时，的图象与x轴没有交点，即没有零点；（6分）
当，即时，的图象与x轴有且仅有1个交点，即有1个零点；（7分）
当，即时，的图象与x轴有2个交点，即有2个零点；（8分）
当，即时，的图象与x轴有3个交点，即有3个零点；（9分）
当，即时，的图象与x轴有2个交点，即有2个零点；（10分）
当，即时，的图象与x轴有且仅有1个交点，即有1个零点．（11分）
综上，当时，没有零点；
当或时，有1个零点；
当或时，有2个零点；
当时，有3个零点．（12分）
22．解：（1）因为，
所以，则是等差数列．（1分）
设数列的公差为d，由，得，（2分）
解得，则．（4分）
因为为满足的的个数，所以，
则，．（6分）
（2）由（1）可得，（7分）
设，（8分）
设，则，故．（10分）
因为对任意的，不等式恒成立，
所以对任意的，不等式恒成立，
即对任意的，不等式恒成立，
即恒成立，解得，
即m的取值范围是．（12分）