河南省许昌市鄢陵县职业教育中心（升学班）2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题（含解析）

鄢陵县职业教育中心（升学班）2022-2023学年高二下学期期末考试
数学
时间：120分钟总分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（共60分）
1. 下列集合与集合相等的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知复数，且共轭复数，则（ ）
A. B. 2 C. D. 1
3. 直线与圆的位置关系是（ ）
A. 相切 B. 相离 C. 相交 D. 不能确定
4. 在等差数列{an}中，若a2+2a6+a10＝120，则a3+a9等于（ ）
A. 30 B. 40 C. 60 D. 80
5. 如图，在斜棱柱中，AC与BD的交点为点M，，，，则（ ）
A. B.
C. D.
6. 设是抛物线上一点，若点A到抛物线的焦点距离为3，则抛物线的准线方程是（ ）
A. B. C. D.
7. 在等比数列{}中，已知，，则的值为（ ）
A. B. － C. 或6 D. －或1
8. 一定数目的点在等距离的排列下可以形成一个等边三角形，这样的数被称为三角形数.如图，根据前三个点阵图形的规律，第四个点阵表示的三角形数是（ ）
A. 1 B. 6 C. 10 D. 20
9. 若直线过圆的圆心，则的最小值是（ ）
A. 16 B. 10 C. D.
10. 已知双曲线的左焦点为F，过点F作C的一条渐近线的平行线交C于点A，交另一条渐近线于点B．若，则C的离心率为（ ）
A B. C. D. 2
11. 已知椭圆的左 右焦点分别为，离心率为，过点的直线l交椭圆于A,B两点，若的周长为8，则C的方程为（ ）
A. B. C. D.
12. 已知函数的图象过点，且，．记数列的前项和为，则（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题（共20分）
13. 若向量的坐标满足，，则等于_________.
14. 已知直线：与以，为端点的线段有公共点，则直线的斜率的取值范围为______.
15. 已知，若，则_______.
16. 已知顶点，，顶点C在双曲线上，则的值为________.
三、解答题（共70分）
17. 为等差数列的前项和，已知，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求，并求最小值.
18. 已知直线经过两点，，圆．
（1）求直线的方程：
（2）设直线与圆交于，两点，求的值．
19. 已知二次函数满足，且．
（1）求的解析式；
（2）求在区间上的值域．
20. 如图，点、分别是棱长为的正四面体的边和的中点，点、是线段的三等分点．
（1）用向量、、表示和；
（2）求、；
（3）求．
21. 已知曲线C方程为，根据下列条件，求实数m的取值范围：
（1）曲线C是椭圆；
（2）曲线C双曲线．
22. 已知是数列的前项和，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
鄢陵县职业教育中心（升学班）2022-2023学年高二下学期期末考试
数学 答案解析
时间：120分钟总分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（共60分）
1. 下列集合与集合相等的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据各选项对于的集合的代表元素，一一判断即可；
【详解】解：集合，表示含有两个元素、的集合，
对于A：，表示含有一个点的集合，故不相等；
对于B：，表示的是点集，故不相等；
对于C：，表示方程的解集，因为的解为，或，所以
对于D：，故不相等
故选：C
2. 已知复数，且共轭复数，则（ ）
A. B. 2 C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数除法运算法则，结合共轭复数的定义进行求解即可.
【详解】因为，
所以，
故选：C
3. 直线与圆的位置关系是（ ）
A. 相切 B. 相离 C. 相交 D. 不能确定
【答案】C
【解析】
【分析】
根据直线方程求出直线恒过定点，该点在圆内部，可得直线与圆相交.
【详解】由得，
所以直线恒过点，
因为，
所以点在圆内部，
所以直线与圆的位置关系是相交，
故选：C
【点睛】本题主要考查了判断直线与圆的位置关系，属于基础题.
4. 等差数列{an}中，若a2+2a6+a10＝120，则a3+a9等于（ ）
A. 30 B. 40 C. 60 D. 80
【答案】C
【解析】
【分析】根据等差数列下标的性质进行求解即可.
【详解】由等差数列的性质可得a2+2a6+a10＝4a6＝120，
∴a6＝30
∵a3+a9＝2a6＝60
故选：C．
5. 如图，在斜棱柱中，AC与BD的交点为点M，，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据空间向量的线性运算用表示出即可得．
【详解】-＝，
.
故选：A．
6. 设是抛物线上一点，若点A到抛物线的焦点距离为3，则抛物线的准线方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】结合抛物线的定义求得，由此求得抛物线的准线方程.
【详解】抛物线的准线方程为，
因点在抛物线上，∴，
由A到抛物线的焦点距离为3得.解得，
所以抛物线的准线方程为.
故选：C
7. 在等比数列{}中，已知，，则的值为（ ）
A. B. － C. 或6 D. －或1
【答案】C
【解析】
【分析】由等比数列通项公式、前n项和有，即可求基本量.
【详解】由，可得或.
故选：C
8. 一定数目的点在等距离的排列下可以形成一个等边三角形，这样的数被称为三角形数.如图，根据前三个点阵图形的规律，第四个点阵表示的三角形数是（ ）
A. 1 B. 6 C. 10 D. 20
【答案】C
【解析】
【分析】根据规律求得正确答案.
【详解】根据规律可知，第四个点阵表示的三角形数为：.
故选：C
9. 若直线过圆的圆心，则的最小值是（ ）
A. 16 B. 10 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由圆的方程知圆心为，直线过圆心有，利用基本不等式“1”的代换求最小值即可；
【详解】可化为：，即圆心，
∴由题意，知：，有，
故，当且仅当时等号成立；
故选：A
【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值，根据直线过圆心得到参数的等量关系，结合目标式利用基本不等式“1”的代换求最值；
10. 已知双曲线的左焦点为F，过点F作C的一条渐近线的平行线交C于点A，交另一条渐近线于点B．若，则C的离心率为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】由可得，结合条件可得，代入双曲线方程即求.
【详解】由题意得左焦点，设一渐近线的方程为，则另一渐近线的方程为，
由题知直线FB：,
由，得，即，
由，可得A为FB的中点，又，
∴，
∴，化简得，
∴.
故选：A.
11. 已知椭圆的左 右焦点分别为，离心率为，过点的直线l交椭圆于A,B两点，若的周长为8，则C的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由椭圆的定义知的周长为，结合已知条件求出，再由离心率求出，进而求出，从而得出答案.
【详解】依题意的周长为，
.
则C的方程为.
故选:D
12. 已知函数的图象过点，且，．记数列的前项和为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求得，再由，利用裂项相消法求解.
【详解】由，可得，解得，则，
∴，
∴，
，
.
故选：D.
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题（共20分）
13. 若向量的坐标满足，，则等于_________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题中所给的条件，求得，，之后利用向量数量积坐标公式求得结果.
【详解】因为，，
两式相加得，解得，，
所以.
故答案为：.
【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量数量积坐标运算公式，属于基础题目.
14. 已知直线：与以，为端点的线段有公共点，则直线的斜率的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】求出直线经过的定点，再求出，数形结合求出直线的斜率的取值范围.
【详解】变形为，经过定点，
画出图形如图所示：
当直线经过点时，的斜率为，
当直线经过点时，的斜率为，
当直线与以，为端点的线段有公共点时，
直线斜率的取值范围是.
故答案为：.
15. 已知，若，则_______.
【答案】
【解析】
【分析】分和两种情况建立方程求解.
【详解】当时，，
，解得或（舍去）；
当时，，
，此时方程无解，
综上，.
故答案为：．
【点睛】本题考查已知分段函数的函数值求自变量，属于基础题.
16. 已知的顶点，，顶点C在双曲线上，则的值为________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意得到A与B为双曲线的两焦点，得到c的值，再由双曲线解析式及定义得出|AC﹣BC|的值，将所求式子利用正弦定理化简后，把各自的值代入计算，即可求出值．
【详解】顶点C在双曲线上，则，恰为其两焦点，
则，由正弦定理知
故答案为
【点睛】此题考查了正弦定理，双曲线的简单性质，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．
三、解答题（共70分）
17. 为等差数列的前项和，已知，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求，并求的最小值.
【答案】（1）；（2），时，的最小值为.
【解析】
【分析】
（1）利用等差数列的通项公式以及前项和公式求出，，代入通项公式即可求解.
（2）利用等差数列的前项和公式可得，配方即可求解.
【详解】（1）设的公差为 ，
由，，
即，解得，
所以.
（2），
，
所以当时，的最小值为.
18. 已知直线经过两点，，圆．
（1）求直线的方程：
（2）设直线与圆交于，两点，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
分析】（1）由直线过和两点，根据和的坐标，表示出直线的两点式方程，整理可得直线的方程；
（2）由圆的标准方程找出圆心的坐标及半径，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，利用垂径定理及勾股定理，即可求出的长．
【小问1详解】
直线经过两点，，
直线的方程为：，即；
【小问2详解】
由圆的方程得到圆心，半径，
圆心到直线的距离，
弦长．
19. 已知二次函数满足，且．
（1）求的解析式；
（2）求在区间上的值域．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）设，根据已知条件可得出关于、、的方程组，解出这三个未知数的值，即可得出函数的解析式；
（2）求得，分析函数在上的单调性，即可求得函数在区间上的值域.
【详解】（1）由题设，则，
，
由，可得，，故；
（2）由（1）得，
所以，函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，，
因为，，故.
因此，在区间上的值域为．
20. 如图，点、分别是棱长为的正四面体的边和的中点，点、是线段的三等分点．
（1）用向量、、表示和；
（2）求、；
（3）求．
【答案】（1），
（2），
（3）
【解析】
【分析】（1）利用基底表示向量，再结合空间向量的线性运算可将和用基底表示；
（2）利用空间向量数量积的运算性质可求得、的值；
（3）利用空间向量数量积的运算性质可求得的值.
【小问1详解】
解：连接，
因为为的中点，则，
，
故，
.
【小问2详解】
解：由空间向量数量积的定义可得，
，
.
【小问3详解】
解：
.
21. 已知曲线C的方程为，根据下列条件，求实数m的取值范围：
（1）曲线C是椭圆；
（2）曲线C双曲线．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据椭圆的标准方程可得，即求；
（2）利用双曲线的标准方程可得，即求.
【小问1详解】
∵曲线C的方程为，
∴，又曲线C椭圆，
∴，解得且，
∴实数m的取值范围为；
【小问2详解】
∵曲线C是双曲线，
∴，
解得或，
故实数m的取值范围为.
22. 已知是数列的前项和，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用求得.
（2）利用裂项求和法求得.
【小问1详解】
当时，由，得，
则.
当时，有，符合上式.
综上，.
【小问2详解】
由（1）得，，
则
.