九年级数学上分层优化堂堂清2 21.2 解一元二次方程（含解析）

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九年级数学上分层优化堂堂清
二十一章 一元二次方程
21.2解一元二次方程
直接开平方法
学习目标：
1.会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程。
2.运用开平方法解形如x2=p或（x+n)2=p (p≥0)的方程。
1.直接开平方法定义
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法。
注意：直接开平方法适用的一元二次方程形式：
x2=p、(x+n)2=p或(mx+n)2=p(p≥0).
2.直接开平方法解一元二次方程的步骤:
①将方程化为或的形式；
②直接开平方化为两个一元一次方程；
③解两个一元一次方程得到原方程的解。
应用直接开平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=±；
直接开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=±。
达到降次转化之目的．
总结：一般的，对于可化为方程 x2 =p的解的情况
(1)当p>0 时，根据平方根的意义，方程有两个不等的实数根
(2)当p=0 时，方程有两个相等的实数根x1=x2=0.
(3)当p<0 时,因为任何实数x，都有x2≥0 ，所以方程无实数根.
基础提升 教材核心知识点精练
知识点1：形如x2=p（p≥0）的解法
【例1-1】一元二次方程x2﹣9＝0的解是（　　）
A．x＝3 B．x1＝x2＝3
C．， D．x1＝3，x2＝﹣3
【例1-2】方程2x2﹣2＝0的解是（　　）
A．x＝﹣1 B．x＝0 C．x＝1 D．x＝±1
知识点2：形如（mx+n）2=p（p≥0）的解法
【例2-1】方程的根是______．
【例2-2】一元二次方程(x＋6)2＝16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x＋6＝4，则另一个一元一次方程是(　　)
A．x－6＝－4 B．x－6＝4 C．x＋6＝4 D．x＋6＝－4
知识点3：.利用直接开平方法解一元二次方程满足的条件确定字母的取值范围
【例3-1】若方程（x﹣1）2＝m+1有解，则m的取值范围是（　　）
A．m≤﹣1 B．m≥﹣1
C．m为任意实数 D．m＞0
【例3-2】若关于x的方程（x﹣a）2﹣4＝b有实数根，则b的取值范围是（　　）
A．b＞4 B．b＞﹣4 C．b≥4 D．b≥﹣4
能力强化提升训练
1. 若一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两根分别是m﹣1和2m+3，则的值为（　　）
A．16 B． C．25 D．或25
2.关于的方程的解是=，=（、、为常数，0），则方程的解是______．
实数p，q用符号min（p，q）表示p，q，两数中较小的数，如min（1，2）＝1，若min（x2﹣1，x2）＝1，则x＝　 　．
已知一元二次方程（x﹣2）2＝3的两根为a、b，且a＞b，则2a+b的值为 　　．
关于x的方程a（x+k）2+2023＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1（a、k、b均为常数，a≠0）．
问题：
（1）关于x的方程a（x+k+2）2+2023＝0的根是 　 　；
（2）关于x的方程a（x﹣k+2）2+2023＝0的根为 　 　．
堂堂清
选择题（共8小题，每小题4分，共32分）
方程x2＝1的根是（　　）
A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝±1 D．x＝±2
2．方程（x+6）2﹣9＝0的两个根是（　　）
A．x1＝3，x2＝9 B．x1＝﹣3，x2＝9
C．x1＝3，x2＝﹣9 D．x1＝﹣3，x2＝﹣9
3. 若关于x的方程（x+5）2＝m﹣1有两个实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m＞0 B．m≥1 C．m＞1 D．m≠1
4 .直接开平方的方法解方程（3x+1）2＝（2x﹣5）2，做法正确的是（　　）
A．3x+1＝2x﹣5 B．3x+1＝﹣（2x﹣5）
C．3x+1＝±（2x﹣5） D．3x+1＝±2x﹣5
5. 一元二次方程(x＋6)2＝16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x＋6＝4，则另一个一元一次方程是(　　)
A．x－6＝－4 B．x－6＝4 C．x＋6＝4 D．x＋6＝－4
6.已知一元二次方程mx2+n＝0（m≠0，n≠0），若方程有解，则必须（　　）
A．n＝0 B．m，n同号
C．n是m的整数倍 D．m，n异号
7.一元二次方程的根与的根（ ）
A．都相等 B．都不相等 C．有一个根相等 D．无法确定
8 .定义一种新运算，，则方程的解是（ ）
A． B．，
C．， D．
填空题（每小题4分，共20分）
方程有实数根，则k的取值范围是______．
在等式（□+5）2＝49中，□内的数等于 　
关于x的一元二次方程x2＝a的两个根分别是2m﹣1与m﹣5，则m＝　 　．
小明用直接降次法解方程时，得出一元一次方程，则他漏掉的另一个方程为____
已知一元二次方程的两根为、，且，则的值为 _________________．
（解答题，共48分）
（8分）解方程
（1）x2﹣1＝80；
（2）9x2+12＝16．
（8分）已知x＝3是一元二次方程x2﹣p＝0的一个根，求p的值和方程的另一根．
（8分）以下是圆圆解一元二次方程x2﹣2x﹣4＝0的过程：
解：移项得：x2﹣2x＝4
配方：x2﹣2x+1＝4
（x﹣1）2＝4
开平方得：x﹣1＝±2
移项：x＝±2+1
所以：x1＝3，x2＝3
圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．
（8分）解方程：
（1）x2﹣6x+9＝（5﹣2x）2；
（2）2（x﹣3）＝x2﹣9．
18.（8分）在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：
如：解方程x（x+8）＝4
解：原方程可变形，得[（x+4）﹣4][（x+4）+4]＝4
（x+4）2﹣42＝4
（x+4）2＝20
直接开平方，得x1＝﹣4+2，x2＝﹣4﹣2．
我们称这种解法为“平均数法”．
（1）下面是小明用“平均数法”解方程（x+2）（x+8）＝40时写的解题过程：
解：原方程可变形，得[（x+a）﹣b][（x+a）+b]＝40
（x+a）2﹣b2＝40
（x+a）2＝40+b2
直接开平方，得x1＝c，x2＝d．
上述解题过程中的a，b，c，d所表示的数分别是　 　，　 　，　 　，　 　．
请用“平均数法”解方程：（x﹣2）（x+6）＝4．
19（8分）.我们定义一种新的运算符号“*”：a*b＝a2﹣ab，如：（﹣3）*2＝（﹣3）2﹣（﹣3）×2＝15．
（1）若x*（﹣2）＝2x+1，求x的值；
（2）若3*[x*（﹣2）]＝0，求x的值．
拓展培优*冲刺满分
若一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个根分别是m+1与2m﹣4，求的值．
定义运算“★”：对于任意实数a，b，都有，如：．若，则实数x的值是________
解下列关于x的方程：
（1）a（x﹣1）＝2x；
（2）a2x2+x2＝a
九年级数学上分层优化堂堂清
二十一章 一元二次方程
21.2解一元二次方程
直接开平方法 （解析版）
学习目标：
1.会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程。
2.运用开平方法解形如x2=p或（x+n)2=p (p≥0)的方程。
1.直接开平方法定义
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法。
注意：直接开平方法适用的一元二次方程形式：
x2=p、(x+n)2=p或(mx+n)2=p(p≥0).
2.直接开平方法解一元二次方程的步骤:
①将方程化为或的形式；
②直接开平方化为两个一元一次方程；
③解两个一元一次方程得到原方程的解。
应用直接开平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=±；
直接开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=±。
达到降次转化之目的．
总结：一般的，对于可化为方程 x2 =p的解的情况
(1)当p>0 时，根据平方根的意义，方程有两个不等的实数根
(2)当p=0 时，方程有两个相等的实数根x1=x2=0.
(3)当p<0 时,因为任何实数x，都有x2≥0 ，所以方程无实数根.
基础提升 教材核心知识点精练
知识点1：形如x2=p（p≥0）的解法
【例1-1】一元二次方程x2﹣9＝0的解是（　　）
A．x＝3 B．x1＝x2＝3
C．， D．x1＝3，x2＝﹣3
【分析】利用直接开平方法解出方程．
【解答】解：x2﹣9＝0，
则x2＝9，
∴x＝±3，
∴x1＝3，x2＝﹣3，
故选：D．
【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，熟记直接开平方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
【例1-2】方程2x2﹣2＝0的解是（　　）
A．x＝﹣1 B．x＝0 C．x＝1 D．x＝±1
【分析】首先把已知方程变形为x2＝1，再根据直接开平方即可得到原方程的解．
【解答】解：2x2﹣2＝0，
2x2＝2，
x2＝1，
解得x＝±1．
故选：D．
【点评】本题考查解一元二次方程﹣直接开平方法，形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
知识点2：形如（mx+n）2=p（p≥0）的解法
【例2-1】方程的根是______．
【答案】，，
【分析】利用直接开平方法可得方程的解．
【详解】解：原方程两边直接开平方可得：或者，
∴，，
故答案为：，．
【点评】本题考查一元二次方程的解，根据方程特点可以利用直接开平方法求解。
【例2-2】一元二次方程(x＋6)2＝16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x＋6＝4，则另一个一元一次方程是(　　)
A．x－6＝－4 B．x－6＝4 C．x＋6＝4 D．x＋6＝－4
【答案】D
【解析】 将方程(x＋6)2＝16两边直接开平方，得x＋6＝±4，
则x＋6＝4或x＋6＝－4.故选D.
知识点3：.利用直接开平方法解一元二次方程满足的条件确定字母的取值范围
【例3-1】若方程（x﹣1）2＝m+1有解，则m的取值范围是（　　）
A．m≤﹣1 B．m≥﹣1
C．m为任意实数 D．m＞0
【答案】B
【解析】根据非负数的性质可知（x﹣1）2≥0，所以当m+1≥0时，关于x的方程（x﹣1）2＝m+1有解，由此求出m的取值范围．
∵关于x的方程（x﹣1）2＝m+1有解，
∴m+1≥0，
∴m≥﹣1．
【例3-2】若关于x的方程（x﹣a）2﹣4＝b有实数根，则b的取值范围是（　　）
A．b＞4 B．b＞﹣4 C．b≥4 D．b≥﹣4
【分析】利用解一元二次方程﹣直接开平方法，进行计算即可解答．
【解答】解：∵（x﹣a）2﹣4＝b，
∴（x﹣a）2＝b+4，
∵方程（x﹣a）2＝b+4有实数根，
∴b+4≥0，
∴b≥﹣4，
故选：D．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握解一元二次方程﹣直接开平方法是解题的关键．
能力强化提升训练
1. 若一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两根分别是m﹣1和2m+3，则的值为（　　）
A．16 B． C．25 D．或25
【分析】直接开平方得到：，得到方程的两个根互为相反数，所以m﹣1+2m+3＝0，解得，则方程的两个根分别是，，则有，然后两边平方即可得出答案．
【解答】解：∵一元二次方程ax2＝b的两个根分别是m+1与2m﹣13，
且，
∴m﹣1+2m+3＝0，
解得：，
即方程的根是：，，
∴，
故选：B．
【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣直接开平方，灵活运用一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两根互为相反数是解题关键．
2.关于的方程的解是=，=（、、为常数，0），则方程的解是______．
【答案】
【解析】把方程看作关于的一元二次方程，
而关于的方程的解是=，=，
所以或，
所以．
故答案为：．
实数p，q用符号min（p，q）表示p，q，两数中较小的数，如min（1，2）＝1，若min（x2﹣1，x2）＝1，则x＝　 　．
【答案】．
【解析】先判断出x2﹣1＜x2，从而由min（x2﹣1，x2）＝1知x2﹣1＝1，再利用直接开平方法求解即可．
∵x2﹣1＜x2，
∴由min（x2﹣1，x2）＝1知x2﹣1＝1，
则x2＝2，
∴x
已知一元二次方程（x﹣2）2＝3的两根为a、b，且a＞b，则2a+b的值为 　　．
【分析】先利用直接开平方法解方程得到a＝2，b＝2，然后把它们代入2a+b中计算即可．
【解答】解：（x﹣2）2＝3，
x﹣2＝±，
解得x1＝2．x2＝2，
∵方程（x﹣2）2＝3的两根为a、b，且a＞b，
∴a＝2，b＝2，
∴2a+b＝2（2）+26．
故答案为：6．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．也考查了解一元二次方程．
关于x的方程a（x+k）2+2023＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1（a、k、b均为常数，a≠0）．
问题：
（1）关于x的方程a（x+k+2）2+2023＝0的根是 　 　；
（2）关于x的方程a（x﹣k+2）2+2023＝0的根为 　 　．
【分析】（1）先根据方程a（x+k）2+2023＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1，得到，即，结合a（x+k+2）2+2023＝0得到方程的根为，代入计算即可．
（2）仿照（1）计算即可．
【解答】解：（1）∵a（x+k）2+2023＝0，
∴，
∵方程a（x+k）2+2023＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1，
∴，
∵a（x+k+2）2+2023＝0，
∴，
∴x+2＝﹣2，x+2＝1，
解得x1＝﹣4，x2＝﹣1，
故答案为：x1＝﹣4，x2＝﹣1．
（2）∵a（x+k）2+2023＝0，
∴，
∵方程a（x+k）2+2023＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1，
∴，
∵a（x﹣k+2）2+2023＝0，
∴，
∴x+2＝﹣1，x+2＝2，
∴x1＝0，x2＝﹣3，
故答案为：x1＝0，x2＝﹣3．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法，灵活变形是解题的关键．
堂堂清
选择题（共8小题，每小题4分，共32分）
方程x2＝1的根是（　　）
A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝±1 D．x＝±2
【解答】解：x2＝1，
x＝±1，
所以x1＝1，x2＝﹣1．
故选：C．
2．方程（x+6）2﹣9＝0的两个根是（　　）
A．x1＝3，x2＝9 B．x1＝﹣3，x2＝9
C．x1＝3，x2＝﹣9 D．x1＝﹣3，x2＝﹣9
【解答】解：∵（x+6）2﹣9＝0，
∴（x+6）2＝9，
则x+6＝±3，
∴x1＝﹣3，x2＝﹣9，
故选：D．
3若关于x的方程（x+5）2＝m﹣1有两个实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m＞0 B．m≥1 C．m＞1 D．m≠1
【分析】由于方程（x+5）2＝m﹣1有两个实数根，则m﹣1≥0，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得m﹣1≥0，
所以m≥1．
故选：B．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥用4 .直接开平方的方法解方程（3x+1）2＝（2x﹣5）2，做法正确的是（　　）
A．3x+1＝2x﹣5 B．3x+1＝﹣（2x﹣5）
C．3x+1＝±（2x﹣5） D．3x+1＝±2x﹣5
【分析】一元二次方程（3x+1）2＝（2x﹣5）2，表示两个式子的平方相等，因而这两个数相等或互为相反数，据此即可把方程转化为两个一元一次方程，即可求解．
【解答】解：（3x+1）2＝（2x﹣5）2
开方得3x+1＝±（2x﹣5），
故选：C．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣直接开平方法．
（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2＝a（a≥0）；ax2＝b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2＝b（b≥0）；a（x+b）2＝c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．
（2）运用整体思想，会把被开方数看成整体．
（3）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点
0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
5. 一元二次方程(x＋6)2＝16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x＋6＝4，则另一个一元一次方程是(　　)
A．x－6＝－4 B．x－6＝4 C．x＋6＝4 D．x＋6＝－4
【答案】D
【解析】 将方程(x＋6)2＝16两边直接开平方，得x＋6＝±4，
则x＋6＝4或x＋6＝－4.故选D.
6.已知一元二次方程mx2+n＝0（m≠0，n≠0），若方程有解，则必须（　　）
A．n＝0 B．m，n同号
C．n是m的整数倍 D．m，n异号
【分析】首先求出x2的值为，再根据x2≥0确定m、n的符号即可．
【解答】解：mx2+n＝0，
x2，
∵x2≥0，
∴0，
∴0，
∵n≠0，
∴mn异号，
故选：D．
【点评】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，关键是表示出x2的值，根据x2的取值范围确定m、n的符号．
7.一元二次方程的根与的根（ ）
A．都相等 B．都不相等 C．有一个根相等 D．无法确定
【答案】C
【解析】，，∴；
，，∴，；
∴两个方程有一个相等的根.故选C
8 .定义一种新运算，，则方程的解是（ ）
A． B．，
C．， D．
【答案】D
【分析】根据定义的新运算可知：，由此可求得．
【详解】解：由题意可知，
即：，
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查的是定义新运算，以及直接开平方法解一元二次方程，此类题型重点是严格按照新运算进行列式运算．
填空题（每小题4分，共20分）
方程有实数根，则k的取值范围是______．
【答案】/
【分析】利用直接开平方法求出，然后根据方程有实数根结合二次根式有意义的条件列不等式求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵方程有实数根，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解一元二次方程—直接开平方法，二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义，被开方数非负是解题的关键．
在等式（□+5）2＝49中，□内的数等于 　 　．
【分析】设□内的数为x，利用直接开平方法解方程（x+5）2＝49，求出x即可．
【解答】解：设□内的数为x，则等式（□+5）2＝49即为（x+5）2＝49，
两边开平方得，x+5＝7或x+5＝﹣7，
解得，x＝2或﹣12．
即□内的数等于2或﹣12．
故答案为：2或﹣12．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
关于x的一元二次方程x2＝a的两个根分别是2m﹣1与m﹣5，则m＝　 　．
【解答】解：根据题意得2m﹣1+m﹣5＝0，
解得m＝2，
故答案为：2．
小明用直接降次法解方程时，得出一元一次方程，则他漏掉的另一个方程为____．
【答案】x-4=-（5-2x）
【分析】根据转化思想、直接开平方法解答．
【详解】解：开平方，得x-4=±（5-2x），
∴x-4=5-2x或x-4=-（5-2x），
∴他漏掉的另一个方程为x-4=-（5-2x），
故答案为：x-4=-（5-2x）．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握直接开平方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
已知一元二次方程的两根为、，且，则的值为 _________________．
【答案】
【分析】先利用直接开平方法解方程得到，，然后把它们代入中计算即可．
【详解】解：，
，
解得．，
方程的两根为、，且，
，，
．
故答案为：．
【点评】本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
（解答题，共48分）
（8分）解方程
（1）x2﹣1＝80；
（2）9x2+12＝16．
【分析】（1）先把方程变形为x2＝81，然后利用直接开平方法解方程；
（2）先把方程变形为x2，然后利用直接开平方法解方程．
【解答】解：（1）∵x2﹣1＝80，
∴x2＝81，
∴x＝±9，
即x1＝9，x2＝﹣9；
（2）∵9x2+12＝16，
∴x2，
∵x＝±，
即x1，x2．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
（8分）已知x＝3是一元二次方程x2﹣p＝0的一个根，求p的值和方程的另一根．
【分析】把x＝3代入x2﹣p＝0得p＝9，则方程变形为x2＝9，然后利用直接开平方法解方程．
【解答】解：把x＝3代入x2﹣p＝0得9﹣p＝0，
解得p＝9，
所以x2＝9，
解得x1＝3，x2＝﹣3，
即方程的另一根为﹣3．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
（8分）以下是圆圆解一元二次方程x2﹣2x﹣4＝0的过程：
解：移项得：x2﹣2x＝4
配方：x2﹣2x+1＝4
（x﹣1）2＝4
开平方得：x﹣1＝±2
移项：x＝±2+1
所以：x1＝3，x2＝3
圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．
【解答】解：圆圆的解答过程有错误，
正确的解答过程如下：
移项得：x2﹣2x＝4，
配方：x2﹣2x+1＝4+1，
（x﹣1）2＝5，
开平方得：x﹣1＝±，
移项：x＝±+1，
（8分）解方程：
（1）x2﹣6x+9＝（5﹣2x）2；
（2）2（x﹣3）＝x2﹣9．
【分析】（1）将方程左边变形后得到（x﹣3）2＝（5﹣2x）2，然后将方程两边开平方，得x﹣3＝5﹣2x或x﹣3＝2x﹣5，再进一步求解即可得到原方程的解；
（2）首先对方程右边利用平方差公式分解因式，然后移项可得（x+3）（x﹣3）﹣2（x﹣3）＝0，再提公因式得（x+1）（x﹣3）＝0，至此方程不难解答．
【解答】解：（1）将x2﹣6x+9＝（5﹣2x）2整理，得（x﹣3）2＝（5﹣2x）2，
方程两边开平方，得x﹣3＝5﹣2x或x﹣3＝2x﹣5，
∴x1，x2＝2．
（2）2（x﹣3）＝x2﹣9，
2（x﹣3）＝（x+3）（x﹣3），
（x+3）（x﹣3）﹣2（x﹣3）＝0，
（x+1）（x﹣3）＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝3．
【点评】本题侧重考查解一元二次方程的问题，关键是掌握直接开方法的求解步骤．
18.（8分）在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：
如：解方程x（x+8）＝4
解：原方程可变形，得[（x+4）﹣4][（x+4）+4]＝4
（x+4）2﹣42＝4
（x+4）2＝20
直接开平方，得x1＝﹣4+2，x2＝﹣4﹣2．
我们称这种解法为“平均数法”．
（1）下面是小明用“平均数法”解方程（x+2）（x+8）＝40时写的解题过程：
解：原方程可变形，得[（x+a）﹣b][（x+a）+b]＝40
（x+a）2﹣b2＝40
（x+a）2＝40+b2
直接开平方，得x1＝c，x2＝d．
上述解题过程中的a，b，c，d所表示的数分别是　 　，　 　，　 　，　 　．
（2）请用“平均数法”解方程：（x﹣2）（x+6）＝4．
【答案】（1）5、3、2、﹣12；（2）x1＝﹣2+2，x2＝﹣2﹣2．
【解析】根据阅读材料中的信息确定出上述过程中的a、b、c、d表示的数即可；利用“平均数法”解方程即可．
（1）原方程可变形，得：[（x+5）﹣3][（x+5）+3]＝40．
（x+5）2﹣32＝40，
（x+5）2＝40+32．
直接开平方并整理，得．x1＝2，x2＝﹣12．
上述过程中的a、b、c、d表示的数分别为5、3、2、﹣12，
故答案为：5、3、2、﹣12；
（2）原方程可变形，得：[（x+2）﹣4][（x+2）+4]＝4．
（x+2）2﹣42＝4，
（x+2）2＝4+42．
∴x＝﹣2±2，
∴x1＝﹣2+2，x2＝﹣2﹣2．
19（8分）.我们定义一种新的运算符号“*”：a*b＝a2﹣ab，如：（﹣3）*2＝（﹣3）2﹣（﹣3）×2＝15．
（1）若x*（﹣2）＝2x+1，求x的值；
（2）若3*[x*（﹣2）]＝0，求x的值．
【分析】（1）利用题中的新定义列方程即可求出x值；
（2）利用题中的新定义列方程即可求出x值．
【解答】解：（1）x2+2x＝2x+1，
x2＝1，
解得x1＝1，x2＝﹣1．
（2）9﹣3（x2+2x）＝0，
x2+2x﹣3＝0
（x﹣1）（x+3）＝0
解得x1＝1，x2＝﹣3．
【点评】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
拓展培优练
若一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个根分别是m+1与2m﹣4，求的值．
【分析】由ax2＝b利用直接开平方法得x＝±，又方程的两个根互为相反数，所以m+1+2m﹣4＝0，解得m＝1，则方程的两个根分别是2与﹣2，据此求的值即可．
【解答】解：∵ab＞0，a≠0，
∴b≠0．
给方程ax2＝b两边同时除以a得x2，
∴x＝±．
∵方程的两个根互为相反数，
∴m+1+2m﹣4＝0，
∴m＝1．
∴一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个根分别是2与﹣2．
又∵x＝±，
∴2，
∴4．
【点评】本题考查代数式求值，熟练运用直接开方法解一元二次方程是解答关键；
定义运算“★”：对于任意实数a，b，都有，如：．若，则实数x的值是________．
【答案】8或2
【分析】先根据题意得到关于x的一元二次方程，解方程即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
解得或，
故答案为；8或2．
【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，解一元二次方程，正确理解题意得到是解题的关键．
解下列关于x的方程：
（1）a（x﹣1）＝2x；
（2）a2x2+x2＝a．
【分析】（1）分a≠2和a＝2两种情况讨论求解即可；
（2）分a≥0和a＜0两种情况讨论求解即可；
【解答】解：（1）a（x﹣1）＝2x，
去括号得：ax﹣a＝2x，
移项得：ax﹣2x＝a，
合并同类项得：（a﹣2）x＝a，
当a≠2时，；
当a＝2时，方程左边为0，方程右边为2，方程左右两边不相等，无解；
∴a≠2时，；当a＝2时，原方程无解；
（2）∵a2x2+x2＝a，
∴（a2+1）x2＝a，
∴，
当a≥0时，；
当a＜0时，原方程无解；
∴当a≥0时，原方程的根为；当a＜0时，原方程无实数根．
【点评】本题主要考查了解一元一次方程和解一元二次方程，熟知相关解题方法是解题的关键．
老师对你说：
老师对你说：
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