九年级数学上分层优化堂堂清4 21.2.2解一元二次方程（含解析）

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九年级数学上分层优化堂堂清
二十一章 一元二次方程
21.2.2解一元二次方程
公式法
学习目标：
1.经历求根公式的推导过程。
2.会用公式法解简单系数的一元二次方程。
3.理解并会计算一元二次方程根的判别式。
4.会用判别式判断一元二次方程的根的情况。
老师对你说：
一、根的判别式
用配方法解一元二次方程，可将方程化成 。由配方法解方程可知，根据与0的大小关系可以确定方程的根的情况。确定与0的大小关系只需要确定 与0的大小关系。我们把 叫做一元二次方程的根的判别式。用符号来表示。
①若 方程有两个不相等的实数根 。
②若 方程有两个相等的实数根 。
③若 方程没有实数根 。
题型考点：
①计算根的判别式的值判断方程的根的情况。②根据方程的根的情况求值
二、利用公式法解一元二次方程——求根公式
求根公式：
由可知， 。
。我们把它叫做一元二次方程的求根公式。
①时，一元二次方程有两个不相等的实数根。即 ； 。
②时，一元二次方程有两个相等的实数根。即 。
③时，一元二次方程没有实数根。
公式法解一元二次方程的步骤：
①将一元二次方程化成 一般形式 ，并确定 的值。
②计算 的值，确定一元二次方程的根的情况。
③根据根的情况把的值带入相应的求根公式求解。
题型考点：
①根据求根公式确定的值。②利用公式法解一元二次方程。
基础提升 教材核心知识点精练
知识点1：一元二次方程根的判别式
【例1-1】一元二次方程x2+3x﹣1＝0的根的情况是（　　）
A．无实数根 B．有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
【例1-2】已知关于x的一元二次方程没有实数根，那么a的取值范围是________．
【例1-3】已知方程（k﹣3）x2+2x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＜4 B．k≤4 C．k＜4且k≠3 D．k≤4且k≠3
知识点2：用公式发解一元二次方程
【例2-1】用公式法解方程x2﹣4x﹣11＝0时，Δ＝（　　）
A．﹣43 B．﹣28 C．45 D．60
【例2-2】下列方程中，以x＝为根的是（　　）
A．x2﹣5x﹣c＝0 B．x2+5x﹣c＝0 C．x2﹣5x+4c＝0 D．x2+5x+c＝0
【例2-3】用公式法解方程：
(1)x2＋4x－1＝0；　 (2)(x＋1)(x－1)＝2 x；
(3)5x2－x－6＝0; 　 (4)(x－2)(1－3x)＝2.
能力强化提升训练
1.若一元二次方程x2+bx+4＝0的两个实数根中较小的一个根是m（m≠0），则b（　　）
A．m B．﹣m C．2m D．﹣2m
2 .若关于x的方程（m+1）x2﹣3x+2＝0有两个实数根，则m＝（　　）
A．m＜ B．m＜且m≠﹣1 C．m≤ D．m≤且m≠﹣1
3 .已知关于x的一元二次方程(m－1)x2－2mx＋m＋1＝0.
(1)求出此方程的根；
(2)当m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？
已知一元二次方程x2－2x－＝0的某个根也是一元二次方程x2－(k＋2)x＋＝0的根，求k的值．
5 .在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为a*b＝a2﹣ab．根据这个法则，下列结论中正确的是　　．（把所有正确结论的序号都填在横线上）
①*2；②若a+b＝0，则a*b＝b*a；③（x+2）*（x+1）＝0是一元二次方程；④方程（x+3）*1＝1的根是x1，x2．
堂堂清
选择题（每小题4分，共32分）
1 .利用求根公式求的根时，a，b，c 的值分别是（ ）
A．5， ，6 B．5，6， C．5，﹣6， D．5，﹣6，﹣
2 .若关于x的方程（m+1）x2﹣3x+2＝0有两个实数根，则m＝（　　）
A．m＜ B．m＜且m≠﹣1 C．m≤ D．m≤且m≠﹣1
3 .若x＝1是一元二次方程ax2﹣bx+2＝0（a≠0）的一个根，那么方程ax2+bx+2＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有一个根是x＝﹣1
C．没有实数根 D．有两个相等的实数根
4 .用公式解方程﹣3x2+5x﹣1＝0，正确的是（ ）
A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝
5.用公式法解方程x2﹣4x﹣2＝0，其中b2﹣4ac的值是( )
A．16 B．24 C．8 D．4
6 .关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣3）x﹣k+1＝0的根的情况，下列说法正确的是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
7.若关于x的方程x2+2x﹣a=0有两个相等的实数根，则a的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣4 D．4
若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1=0有实数根，则k的取值范围是　 　．
填空题（每小题4分，共20分）
9 .一元二次方程x2+2＝2x根的情况是__________
10 .若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ___________
11 .已知关于x的一元二次方程x2+6+c+c＝0的一个根是x＝1，则方程x2+6x﹣c＝0的根的情况是___________
12 .设与为一元二次方程的两根，则的值为________．
13 .关于x的一元二次方程（a+1）x2﹣2x+3＝0有实数根，则整数a的最大值是_________
解答题（共48分）
14.（9分）用公式法解下列方程：
（1）2x2﹣3x﹣4＝0；
（2）16x2+8x＝3；
（3）x2+5＝3（x+2）．
15.（8分）用公式法解关于x的方程：
（1）x2+mx+2＝mx2+3x（m≠1）
（2）x2﹣4ax+3a2+2a﹣1＝0
16.（7分）小明在解方程x2﹣5x＝1时出现了错误，解答过程如下：
∵a＝1，b＝﹣5，c＝1，（第一步）
∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×1＝21（第二步）
∴（第三步）
∴，（第四步）
（1）小明解答过程是从第　 步开始出错的，其错误原因是　 　．
（2）写出此题正确的解答过程．
17.（8分）.已知一元二次方程x2－2x－＝0的某个根也是一元二次方程x2－(k＋2)x＋＝0的根，求k的值．
18（8分）设一元二次方程x2+bx+c＝0．在下面的四组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．
①b＝2，c＝1；②b＝3，c＝1；③b＝3，c＝﹣1；④b＝2，c＝2．
注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．
19.（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+3m＝0．
(1)求证：无论m取任何实数，方程总有实数根；
(2)若等腰三角形的其中一边为4，另两边是这个方程的两根，求m的值
拓展培优*冲刺满分
1.已知关于的一元二次方程，其中，，为的三边．
(1)若是方程的根，判断的形状，并说明理由；
(2)若方程有两个相等的实数根，判断的形状，并说明理由．
阅读下列材料，解答问题：
为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程可化为，解此方程得.当时，，∴；当时，，∴，∴原方程的解为.
(1)填空：在原方程得到方程(*)的过程中，利用________法达到了降次的目的，体现了________的数学思想；
(2)解方程：
已知：平行四边形ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2﹣mx+=0的两个实数根．
（1）当m为何值时，平行四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；
（2）若AB的长为1，那么平行四边形ABCD的周长是多少？
我们规定：对于任意实数a、b、c、d有[a，b]*[c，d]＝ac﹣bd，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：[3，2]*[5，1]＝3×5﹣2×1＝13．
（1）求[﹣4，3]*[2，﹣6]的值；
（2）已知关于x的方程[x，2x﹣1]*[mx+1，m]＝0有两个实数根，求m的取值范围．
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二十一章 一元二次方程
21.2.2解一元二次方程
第三课时 公式法（解析版）
学习目标：
1.经历求根公式的推导过程。
2.会用公式法解简单系数的一元二次方程。
3.理解并会计算一元二次方程根的判别式。
4.会用判别式判断一元二次方程的根的情况。
老师对你说：
一、根的判别式
用配方法解一元二次方程，可将方程化成 。由配方法解方程可知，根据与0的大小关系可以确定方程的根的情况。确定与0的大小关系只需要确定 与0的大小关系。我们把 叫做一元二次方程的根的判别式。用符号来表示。
①若 方程有两个不相等的实数根 。
②若 方程有两个相等的实数根 。
③若 方程没有实数根 。
题型考点：
①计算根的判别式的值判断方程的根的情况。②根据方程的根的情况求值
二、利用公式法解一元二次方程——求根公式
求根公式：
由可知， 。
。我们把它叫做一元二次方程的求根公式。
①时，一元二次方程有两个不相等的实数根。即 ； 。
②时，一元二次方程有两个相等的实数根。即 。
③时，一元二次方程没有实数根。
公式法解一元二次方程的步骤：
①将一元二次方程化成 一般形式 ，并确定 的值。
②计算 的值，确定一元二次方程的根的情况。
③根据根的情况把的值带入相应的求根公式求解。
题型考点：
①根据求根公式确定的值。②利用公式法解一元二次方程。
基础提升 教材核心知识点精练
知识点1：一元二次方程根的判别式
【例1-1】一元二次方程x2+3x﹣1＝0的根的情况是（　　）
A．无实数根 B．有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
【解答】解：∵Δ＝32﹣4×1×（﹣1）＝13＞0，
∴方程有两个不相等的实数根
【例1-2】已知关于x的一元二次方程没有实数根，那么a的取值范围是________．
【答案】
【解析】根据一元二次方程根的判别式可进行求解．
∵关于x的一元二次方程没有实数根，
∴，
解得：；
故答案为：．
【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键
【例1-3】已知方程（k﹣3）x2+2x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＜4 B．k≤4 C．k＜4且k≠3 D．k≤4且k≠3
【解答】解：∵方程（k﹣3）x2+2x+1＝0有两个实数根，
∴，
解得：k≤4且k≠3．
故选：D．
知识点2：用公式发解一元二次方程
【例2-1】用公式法解方程x2﹣4x﹣11＝0时，Δ＝（　　）
A．﹣43 B．﹣28 C．45 D．60
【解答】解：x2﹣4x﹣11＝0，
∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣11，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣11）＝60．
故选：D．
【例2-2】下列方程中，以x＝为根的是（　　）
A．x2﹣5x﹣c＝0 B．x2+5x﹣c＝0 C．x2﹣5x+4c＝0 D．x2+5x+c＝0
【解答】解：A．此方程的根为x＝，不符合题意；
B．此方程的根为x＝，符合题意；
C．此方程的根为x＝，不符合题意；
D．此方程的根为x＝，不符合题意；
故选：B．
【例2-3】用公式法解方程：
(1)x2＋4x－1＝0；　 (2)(x＋1)(x－1)＝2 x；
(3)5x2－x－6＝0; 　 (4)(x－2)(1－3x)＝2.
【答案】(1) x1＝－2＋，x2＝－2－. (2)x1＝ ＋，x2＝－.
(3) x1＝，x2＝－. (4)x1＝，x2＝1.
【解析】解：(1)∵a＝1，b＝4，c＝－1，b2－4ac＝42－4×1×(－1)＝20>0，
∴x＝＝，∴x＝－2±，即x1＝－2＋，x2＝－2－.
(2)∵(x＋1)(x－1)＝2 x，∴x2－2 x－1＝0，
则a＝1，b＝－2 ，c＝－1，b2－4ac＝(－2 )2－4×1×(－1)＝12＞0，
∴x＝＝±，∴x1＝ ＋，x2＝－.
(3)∵a＝5，b＝－，c＝－6，b2－4ac＝5－4×5×(－6)＝125>0，
∴x＝＝，即x1＝，x2＝－.
(4)整理，得3x2－7x＋4＝0，∵a＝3，b＝－7，c＝4，b2－4ac＝(－7)2－4×3×4＝1>0，
∴x＝，∴x1＝，x2＝1.
能力强化提升训练
1.若一元二次方程x2+bx+4＝0的两个实数根中较小的一个根是m（m≠0），则b（　　）
A．m B．﹣m C．2m D．﹣2m
【分析】根据公式得出m，求出即可．
【解答】解：∵x2+bx+4＝0的两个实数根中较小的一个根是m，
∴m，
解得：b2m，
故选：D．
2 .若关于x的方程（m+1）x2﹣3x+2＝0有两个实数根，则m＝（　　）
A．m＜ B．m＜且m≠﹣1 C．m≤ D．m≤且m≠﹣1
【解答】解：∵关于x的方程（m+1）x2﹣3x+2＝0有两个实数根，
∴m+1≠0且Δ≥0，
∴m≠﹣1且（﹣3）2﹣4（m+1）×2≥0，
解得m≤且m≠﹣1，
故选：D．
3 .已知关于x的一元二次方程(m－1)x2－2mx＋m＋1＝0.
(1)求出此方程的根；
(2)当m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？
【答案】(1)x1＝， x2＝1.(2)m为2或3
【解析】解：(1)根据题意，得m≠1.
b2－4ac＝(－2m)2－4(m－1)(m＋1)＝4，
则x＝，
∴x1＝＝， x2＝1.
(2)由(1)知，x1＝＝1＋.
∵方程的两个根都为正整数，∴是正整数．
又∵m为整数，∴m－1＝1或m－1＝2，∴m＝2或m＝3.
即当m为2或3时，此方程的两个根都为正整数．
已知一元二次方程x2－2x－＝0的某个根也是一元二次方程x2－(k＋2)x＋＝0的根，求k的值．
【答案】k的值为或－7.
【解析】解：对于方程x2－2x－＝0，
∵a＝1，b＝－2，c＝－，∴b2－4ac＝(－2)2－4×1×(－)＝9>0，
∴x＝，∴x1＝，x2＝－.
把x1＝代入x2－(k＋2)x＋＝0， 解得k＝；
把x2＝－代入x2－(k＋2)x＋＝0，解得k＝－7.
即k的值为或－7.
5 .在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为a*b＝a2﹣ab．根据这个法则，下列结论中正确的是　　．（把所有正确结论的序号都填在横线上）
①*2；②若a+b＝0，则a*b＝b*a；③（x+2）*（x+1）＝0是一元二次方程；④方程（x+3）*1＝1的根是x1，x2．
【分析】根据运算法则为a*b＝a2﹣ab，一一判断即可；
【解答】解：*（）22，①正确；
若a+b＝0，则a＝﹣b，
∴a*b＝a2﹣ab＝b2﹣ba＝b*a，②正确；
（x+2）*（x+1）＝（x+2）2﹣（x+2）（x+1）＝x+2，③错误；
（x+3）*1＝（x+3）2﹣（x+3）＝x2+5x+6，
∴（x+3）*1＝1即为方程x2+5x+6＝1，化简得x2+5x+5＝0，
解得x1，x2，④正确．
故答案为：①②④
【点评】本题考查一元二次方程的应用，实数的运算等知识，解题的关键是理解题意，学会利用新的定义解决问题，属于中考常考题型．
堂堂清
选择题（每小题4分，共32分）
1 .利用求根公式求的根时，a，b，c 的值分别是（ ）
A．5， ，6 B．5，6， C．5，﹣6， D．5，﹣6，﹣
【答案】C
【解析】由原方程，得5x2﹣6x+ =0，
根据一元二次方程的定义，知
二次项系数 a=5，一次项系数 b=﹣6，常数项 c=； 故选C．
2 .若关于x的方程（m+1）x2﹣3x+2＝0有两个实数根，则m＝（　　）
A．m＜ B．m＜且m≠﹣1 C．m≤ D．m≤且m≠﹣1
【解答】解：∵关于x的方程（m+1）x2﹣3x+2＝0有两个实数根，
∴m+1≠0且Δ≥0，
∴m≠﹣1且（﹣3）2﹣4（m+1）×2≥0，
解得m≤且m≠﹣1，
故选：D．
3 .若x＝1是一元二次方程ax2﹣bx+2＝0（a≠0）的一个根，那么方程ax2+bx+2＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有一个根是x＝﹣1
C．没有实数根 D．有两个相等的实数根
【分析】把x＝1代入一元二次方程ax2﹣bx+2＝0得b＝a+2，则对于方程ax2+bx+2＝0，计算根的判别式得到Δ＝（a﹣2）2≥0，然后利用求根公式得到x1，x2＝﹣1，从而可对各选项进行判断．
【解答】解：把x＝1代入一元二次方程ax2﹣bx+2＝0得a﹣b+2＝0，
∴b＝a+2，
对于方程ax2+bx+2＝0，
∵Δ＝b2﹣4a×2
＝（a+2）2﹣8a
＝（a﹣2）2≥0，
∴x，
解得x1，x2＝﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
4 .用公式解方程﹣3x2+5x﹣1＝0，正确的是（ ）
A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝
【答案】C
【解析】解：-3x2+5x-1=0，b2-4ac=52-4×（-3）×（-1）=13，x=
故选C．
5.用公式法解方程x2﹣4x﹣2＝0，其中b2﹣4ac的值是( )
A．16 B．24 C．8 D．4
【答案】B
【解析】由题意得：a=1,b=-4,c=-2,
b2﹣4ac==16+8=24
所以B选项是正确的.
6 .关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣3）x﹣k+1＝0的根的情况，下列说法正确的是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
【答案】A
【解析】先计算判别式，再配方得到△＝（k﹣1）2+4，然后根据非负数的性质得到△＞0，再根据判别式的意义即可得到方程总有两个不相等的实数根．
△＝[﹣（k﹣3）]2﹣4（﹣k+1）
＝k2﹣6k+9﹣4+4k
＝k2﹣2k+5
＝（k﹣1）2+4，
∵（k﹣1）2≥0，
∴（k﹣1）2+4＞0，即△＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根．
7.若关于x的方程x2+2x﹣a=0有两个相等的实数根，则a的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣4 D．4
【答案】A
【解析】根据方程的系数结合根的判别式可得出关于a的一元一次方程，解方程即可得出结论．
∵方程x2+2x﹣a=0有两个相等的实数根，
∴△=22﹣4×1×（﹣a）=4+4a=0，
解得：a=﹣1．
故选A．
【点评】本题考查了根的判别式以及解一元一次方程，根据根的判别式找出关于a的一元一次方程是解题的关键．
若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1=0有实数根，则k的取值范围是　 　．
【答案】k≤5且k≠1．
【解析】根据一元二次方程有实数根可得k﹣1≠0，且b2﹣4ac=16﹣4（k﹣1）≥0，解之即可．
∵一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1=0有实数根，
∴k﹣1≠0，且b2﹣4ac=16﹣4（k﹣1）≥0，
解得：k≤5且k≠1，
故答案为：k≤5且k≠1．
【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式和定义，熟练掌握根的判别式与方程的根之间的关系是解题的关键．
填空题（每小题4分，共20分）
9 .一元二次方程x2+2＝2x根的情况是__________
【答案】方程没有实数根．
【解答】解：∵x2+2＝2x，
∴x2﹣2x+2＝0，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×2＝4﹣8＝﹣4＜0，
∴方程没有实数根．
10 .若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ___________
【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ＞0，可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×m＝4﹣4m＞0，
解得：m＜1．
故答案为：m＜1．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
11 .已知关于x的一元二次方程x2+6+c+c＝0的一个根是x＝1，则方程x2+6x﹣c＝0的根的情况是___________
【答案】方程x2+6x﹣c＝0有两个不相等的实数根．
【解答】解：把x＝1代入方程x2+6x+c＝0得1+6+c＝0，
解得c＝﹣7，
所以方程x2+6x﹣c＝0化为x2+6x+7＝0，
∵Δ＝62﹣4×7＝8＞0，
∴方程x2+6x﹣c＝0有两个不相等的实数根．
12 .设与为一元二次方程的两根，则的值为________．
【答案】20
【解析】利用公式法求得一元二次方程的根，再代入求值即可；
∵
△=9-4=5＞0，
∴，，
∴=，
故答案为：20；
13 .关于x的一元二次方程（a+1）x2﹣2x+3＝0有实数根，则整数a的最大值是_________
【答案】﹣2
【解答】解：根据题意得：Δ＝4﹣12（a+1）≥0，且a+1≠0，
解得：a≤﹣，a≠﹣1，
则整数a的最大值为﹣2．
解答题（共48分）
14.（9分）用公式法解下列方程：
（1）2x2﹣3x﹣4＝0；
（2）16x2+8x＝3；
（3）x2+5＝3（x+2）．
【分析】（1）首先得出b2﹣4ac的符号，进而利用求根公式得出答案；
（2）方程整理后，首先得出b2﹣4ac的符号，进而利用求根公式得出答案；
（3）方程整理后，首先得出b2﹣4ac的符号，进而利用求根公式得出答案．
【解答】（1）2x2﹣3x﹣4＝0；
解：∵a＝2，b＝﹣3，c＝﹣4，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣4）＝41．
∴x，
∴x1，x2．
（2）16x2+8x＝3；
解：将原方程化为一般形式，得16x2+8x﹣3＝0，
∵Δ＝b2﹣4ac＝82﹣4×16×（﹣3）＝256，
∴x．
∴x1，x2．
（3）x2+5＝3（x+2）．
解：将方程整理为一般形式，得x2﹣3x﹣1＝0，
∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）＝13．
∴x．
∴x1，x2．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法﹣公式法，本题属于基础题型．
15.（8分）用公式法解关于x的方程：
（1）x2+mx+2＝mx2+3x（m≠1）
（2）x2﹣4ax+3a2+2a﹣1＝0
【分析】（1）根据公式法即可求出答案；
（2）根据公式法即可求出答案．
【解答】解：（1）∵x2+mx+2＝mx2+3x，
∴（1﹣m）x2+（m﹣3）x+2＝0，
∴a＝1﹣m，b＝m﹣3，c＝2，
∴△＝（m﹣3）2﹣8（1﹣m）
＝m2+2m+1，
∴x
；
∴x或x＝1；
（2）∵x2﹣4ax+3a2+2a﹣1＝0，
∴a＝1，b＝﹣4a，c＝3a2+2a﹣1，
∴△＝16a2﹣4（3a2+2a﹣1）
＝4（a2﹣2a+1）
＝4（a﹣1）2，
∴x
＝2a±|a﹣1|
∴x＝3a﹣1或x＝a+1；
【点评】本题考查公式法，解题的关键是熟练运用公式法，本题属于基础题型．
16.（7分）小明在解方程x2﹣5x＝1时出现了错误，解答过程如下：
∵a＝1，b＝﹣5，c＝1，（第一步）
∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×1＝21（第二步）
∴（第三步）
∴，（第四步）
（1）小明解答过程是从第　 步开始出错的，其错误原因是　 　．
（2）写出此题正确的解答过程．
【答案】（1）一，原方程没有化简为一般形式；（2）见解析
【解析】（1）确定一元二次方程的系数时，应该先化简为一般形式，所以小明解答过程是从第一步开始出错的，其错误原因是原方程没有化简为一般形式．
故答案为：一，原方程没有化简为一般形式．
（2）∵a＝1，b＝﹣5，c＝﹣1， ∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣1）＝29．
∴ ∴，．
17.（8分）.已知一元二次方程x2－2x－＝0的某个根也是一元二次方程x2－(k＋2)x＋＝0的根，求k的值．
【答案】k的值为或－7.
【解析】解：对于方程x2－2x－＝0，
∵a＝1，b＝－2，c＝－，∴b2－4ac＝(－2)2－4×1×(－)＝9>0，
∴x＝，∴x1＝，x2＝－.
把x1＝代入x2－(k＋2)x＋＝0， 解得k＝；
把x2＝－代入x2－(k＋2)x＋＝0，解得k＝－7.
即k的值为或－7.
18（8分）设一元二次方程x2+bx+c＝0．在下面的四组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．
①b＝2，c＝1；②b＝3，c＝1；③b＝3，c＝﹣1；④b＝2，c＝2．
注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．
【分析】先根据这个方程有两个不相等的实数根，得b2＞4c，由此可知b、c的值可在①②③中选取，然后求解方程即可．
【解答】解：∵使这个方程有两个不相等的实数根，
∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4c，
∴②③均可，
选②解方程，则这个方程为：x2+3x+1＝0，
∴x，
∴x1，x2；
选③解方程，则这个方程为：x2+3x﹣1＝0，
∴x1，x2．
【点评】本题主要考查的是根据一元二次方程根的判别式以及解一元二次方程，一元二次方程中根的判别式大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式小于0，方程无解．
19.（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+3m＝0．
(1)求证：无论m取任何实数，方程总有实数根；
(2)若等腰三角形的其中一边为4，另两边是这个方程的两根，求m的值．
【详解】（1）证明：Δ＝[﹣（m+3）]2﹣4×1×3m＝m2﹣6m+9＝（m﹣3）2．
∵（m﹣3）2≥0，即Δ≥0，
∴无论m取任何实数，方程总有实数根；
（2）解：当腰为4时，
把x＝4代入x2﹣（m+3）x+3m＝0，
得，16﹣4m﹣12+3m＝0，解得m＝4；
当底为4时，
则程x2﹣（m+3）x+3m＝0有两相等的实数根，
∴Δ＝0，
∴（m﹣3）2＝0，
∴m＝3，
综上所述，m的值为4或3．
拓展培优*冲刺满分
1.已知关于的一元二次方程，其中，，为的三边．
(1)若是方程的根，判断的形状，并说明理由；
(2)若方程有两个相等的实数根，判断的形状，并说明理由．
（1）
解：把x=1代入方程得，
，
化简得，
则该三角形的形状为等腰三角形．
（2）
解：由题意可得方程有两个相等的实数根
则的判别式：
化简可得
则该三角形的形状为直角三角形
阅读下列材料，解答问题：
为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程可化为，解此方程得.当时，，∴；当时，，∴，∴原方程的解为.
(1)填空：在原方程得到方程(*)的过程中，利用________法达到了降次的目的，体现了________的数学思想；
(2)解方程：
【答案】(1)换元 转化(2)
【解析】解：(1) 由题意，得在原方程得到方程y2-5y+4=0的过程中，利用了换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想．
故答案为：换元，转化；
(2)设，则原方程可化为，解得
当时，，解得或；
当时，，解得或，
∴原方程的解为.
故答案为：(1)换元 转化；(2)
已知：平行四边形ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2﹣mx+=0的两个实数根．
（1）当m为何值时，平行四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；
（2）若AB的长为1，那么平行四边形ABCD的周长是多少？
【答案】（1）1；；（2）3
【解析】（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD．
又∵AB、AD的长是关于x的方程x2﹣mx+=0的两个实数根，
∴△＝（﹣m）2﹣4×（）＝（m﹣1）2＝0，∴m＝1，
∴当m为1时，四边形ABCD是菱形．
当m＝1时，原方程为x2﹣x+=0，即（x-）2＝0，解得：x1＝x2＝，
∴菱形ABCD的边长是．
（2）把x＝1代入原方程，得：1﹣m+=0，解得：m=．
将m=代入原方程，得：x2-x+=0，解得x＝1或，∴方程的另一根AD=，
∴ ABCD的周长是2×（1+）＝3
我们规定：对于任意实数a、b、c、d有[a，b]*[c，d]＝ac﹣bd，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：[3，2]*[5，1]＝3×5﹣2×1＝13．
（1）求[﹣4，3]*[2，﹣6]的值；
（2）已知关于x的方程[x，2x﹣1]*[mx+1，m]＝0有两个实数根，求m的取值范围．
【分析】（1）用新定义运算法则列式计算；
（1）先根据新定义得到x（mx+1）﹣m（2x﹣1）＝0，再把方程化为一般式，接着根据题意得到Δ＝（1﹣2m）2﹣4m m≥0且m≠0，解不等式即可．
【解答】解：（1）[﹣4，3]*[2，﹣6]＝﹣4×2﹣3×（﹣6）＝10；
（2）根据题意得x（mx+1）﹣m（2x﹣1）＝0，
整理得mx2+（1﹣2m）x+m＝0，
∵关于x的方程[x，2x﹣1]*[mx+1，m]＝0有两个实数根，
∴Δ＝（1﹣2m）2﹣4m m≥0且m≠0，
解得m且m≠0．
【点评】本题属于新定义题型，考查一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式，根据题意得到关于m的不等式是解题的关键．
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