九年级数学上分层优化堂堂清5 21.2.3解一元二次方程（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
九年级数学上分层优化堂堂清
二十一章 一元二次方程
21.2.3解一元二次方程
第四课时 因式分解法
学习目标：
复习巩固熟练掌握因式分解的几种方法。
学会利用因式分解解一元二次方程。
会选择合适的方法解一元二次方程。
老师对你说：
一、 因式分解的方法
因式分解的方法：
①提公因式法： ；
②公式法：平方差公式： ；
完全平方公式： ；
③十字相乘法：分解，若且，则 (x+m) (x+n) 。
题型考点：①对因式分解进行熟练应用。
二、因式分解法求解一元二次方程的步骤：
把方程的右边化为0；
把方程左边分解因式成两个一次因式乘积的形式；
令每个因式等于0，化为两个一元一次方程的形式；
（4）解这两个一元一次方程，其解就是一元二次方程的解。
三、选择适合（指定）方法解一元二次方程
一元二次方程的解法选择
在一元二次方程四种解法中，一般的选择顺序为：①直接开平方法——②因式分解法——③公式法——④配方法；
对于稍复杂的一元二次方程，要先观察，能否直接用开平方法或因式分解法，不用化为一元二次方程的一般形式；
对于可化为一元二次方程的分式方程，一定要验根
基础提升 教材核心知识点精练
知识点1：用因式分解法解一元二次方程
【例1-1】一元二次方程 的根是（ ）
A． B． C．， D．，
【例1-2】方程的根是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【例1-3】用因式分解法解下列方程．
； (2)
知识点2：选择合适的方法解一元二次方程
【例2-1】解方程2（4x﹣3）2＝3（4x﹣3）最适当的方法是（　　）
A．直接开方法 B．配方法 C．公式法 D．分解因式法
【例2-2】用适当的方法解下列方程：
(2)
． (4)
【例2-3】用指定的方法解方程：
（用配方法）； (2) （用公式法）；
(3) （用因式分解法）； (4) （用适当的方法）
能力强化提升训练
1.解关于x的一元二次方程
2.小敏与小霞两位同学解方程的过程如下框：
小敏：两边同除以，得，则． 小霞：移项，得，提取公因式，得．则或，解得，．
你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
3.对于实数m，n，先定义一种新运算“ ”如下：m n，若x （﹣2）＝10，则实数x等于（　　）
A．3 B．﹣4 C．8 D．3或8
4 .定义：如果一个一元二次方程的两个实数根的比值与另一个一元二次方程的两个实数根的比值相等，我们称这两个方程为“相似方程”，例如，（x﹣3）（x﹣6）＝0的实数根是3或6，x2﹣3x+2＝0的实数根是1或2，3：6＝1：2，则一元二次方程（x﹣3）（x﹣6）＝0与x2﹣3x+2＝0为相似方程．下列各组方程不是相似方程的是（　　）
A．x2﹣16＝0与x2＝25
B．（x﹣6）2＝0与x2+4x+4＝0
C．x2﹣7x＝0与x2+x﹣6＝0
D．（x+2）（x+8）＝0与x2﹣5x+4＝0
堂堂清
选择题（每小题4分，共32分）
1 .方程的两个根为（ ）
A. B.
C. D.
2.一元二次方程的解是（ ）
A． B． C． D．
3.如果二次三项式x2+px+q能分解成（x+3）（x﹣1）的形式，则方程x2+px+q＝0的两个根为（　　）
A．x1＝﹣3，x2＝1 B．x1＝﹣3；x2＝﹣1
C．x1＝3；x2＝﹣1 D．x1＝3；x2＝1
4已知方程x2﹣7x+10＝0的两个根是等腰三角形的两边长，则这个等腰三角形的周长为（　　）
A．9 B．12 C．12或9 D．不能确定
5.若菱形两条对角线的长度是方程x2﹣6x+8＝0的两根，则该菱形的边长为（ ）
A． B．4 C．25 D．5
6.用因式分解法解方程，下列方法中正确的是（ ）
A．(2x－2)(3x－4)=0 ， ∴2x－2=0或3x－4=0
B．(x+3)(x－1)=1 ，∴x+3=0或x－1=1
C．(x－2)(x－3)=2×3 ， ∴x－2=2或x－3=3
D．x(x+2)=0 ，∴x+2=0
7.下列一元二次方程最适合用因式分解法来解的是（　　　）
A． B． C． D．
8.若等腰三角形三边的长分别是，，3，且，是关于的一元二次方程的两个根，则满足上述条件的的值有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．3个以上
填空题（每小题4分，共20分）
方程x（x+4）＝0的解是 　
10 .一元二次方程的根是________
11 .方程2x2+1=3x的解为________
12 .三角形两边的长分别为2和5，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为 _____.
13 .对于任意实数a、b，定义一种运算：，若，则x的值为________．
解答题（共48分）
14 .（8分）解方程：
（1）（x﹣2）（x﹣5）＝2；
（2）2（x﹣3）2＝x2﹣9．
（8分）选用适当的方法，解下列方程：
（1）2x2+5x+2＝0；
（2）（2x+3）2＝4（2x+3）；
（3）x2﹣2x．
（4）x2+5x+6＝0
16.（8分）下面是小明解一元二次方程2x（x﹣5）＝3（5﹣x）的过程：
解：原方程可化为2x（x﹣5）＝﹣3（x﹣5），……第一步
方程两边同除以（x﹣5）得，2x＝﹣3，……第二步
系数化为1得x．
小明的解答是否正确？若正确，请说明理由；若不正确，请指出从第几步开始出现错误，分析出现错误的原因，并写出正确的解答过程．
17.（8分）在实数范围内定义新运算“△”，其规则为：a△b＝a2﹣ab，根据这个规则，解决下列问题：
（1）求（x+2）△5＝0中x的值；
（2）证明：（x+m）△5＝0中，无论m为何值，x总有两个不同的值．
18.（8分）阅读下列材料：在解一元二次方程时，无论是用直接开平方法、配方法还是用因式分解法，我们都是将一元二次方程转化为两个一元一次方程，用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如：一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解一元一次方程和一元二次方程，可得，，．
再如，解无理方程（根号下含有未知数的方程），可以通过方程两边平方把它转化为，解得．
（1）解下列方程：
①
②
根据材料给你的启示，求函数的最小值
19.(8分)阅读下面的例题，解方程的过程如下：
①当时，原方程化为，解得：（舍去）．
②当时，原方程可化为，解得：（舍去）．
原方程的解：．
请参照例题解方程：．
拓展培优*冲刺满分
1.已知、、是的三边长，关于的一元二次方程有两个相等的实数根．
请判断的形状；
当，时，求一元二次方程的解．
2.已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个根都是正整数，求a的最小值．
3.解方程：
九年级数学上分层优化堂堂清
二十一章 一元二次方程
21.2.3解一元二次方程
第四课时 因式分解法（解析版）
学习目标：
复习巩固熟练掌握因式分解的几种方法。
学会利用因式分解解一元二次方程。
会选择合适的方法解一元二次方程。
老师对你说：
一、 因式分解的方法
因式分解的方法：
①提公因式法： ；
②公式法：平方差公式： ；
完全平方公式： ；
③十字相乘法：分解，若且，则 (x+m) (x+n) 。
题型考点：①对因式分解进行熟练应用。
二、因式分解法求解一元二次方程的步骤：
把方程的右边化为0；
把方程左边分解因式成两个一次因式乘积的形式；
令每个因式等于0，化为两个一元一次方程的形式；
（4）解这两个一元一次方程，其解就是一元二次方程的解。
三、选择适合（指定）方法解一元二次方程
一元二次方程的解法选择
在一元二次方程四种解法中，一般的选择顺序为：①直接开平方法——②因式分解法——③公式法——④配方法；
对于稍复杂的一元二次方程，要先观察，能否直接用开平方法或因式分解法，不用化为一元二次方程的一般形式；
对于可化为一元二次方程的分式方程，一定要验根
基础提升 教材核心知识点精练
知识点1：用因式分解法解一元二次方程
【例1-1】一元二次方程 的根是（ ）
A． B． C．， D．，
【答案】．D
【分析】首先移项，将方程右边移到左边，再提取公因式x，可得，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”，即可求得方程的解．
【详解】解：，
移项得：，
因式分解得：，
∴或，
解得：，，故D正确．
故选：D．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程的解法，解题关键在于要根据方程的特点灵活选用合适的方法，本题运用的是因式分解法．
【例1-2】方程的根是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】先把方程的左边分解因式化为从而可得答案．
【详解】解：，
或
解得：
故选B
【点拨】本题考查的是利用因式分解的方法解一元二次方程，掌握“十字乘法分解因式”是解本题的关键．
【例1-3】用因式分解法解下列方程．
； (2) ．
【答案】(1) ； (2)
【分析】（1）利用因式分解法解答，即可求解；（2）利用因式分解法解答，即可求解．
（1）解：， （2）解：
∴， ∴，
∴， ∴，
∴或， ∴．
∴．
【点拨】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
知识点2：选择合适的方法解一元二次方程
【例2-1】解方程2（4x﹣3）2＝3（4x﹣3）最适当的方法是（　　）
A．直接开方法 B．配方法 C．公式法 D．分解因式法
【分析】方程移项得到2（4x﹣3）2﹣3（4x﹣3）＝0，利用提公因式分解即可得到（4x﹣3）[2（4x﹣3）﹣3]＝0，则4x﹣3＝0或[2（4x﹣3）﹣3]＝0，解一元一次方程即可．
【解答】解：（此题用分解因式法最适当）
移项得，2（4x﹣3）2﹣3（4x﹣3）＝0，
∴（4x﹣3）[2（4x﹣3）﹣3]＝0，
∴4x﹣3＝0或[2（4x﹣3）﹣3]＝0，
∴x1，x2．
故选：D．
【点评】本题考查了利用因式分解法解一元二次方程：先把方程变形，使方程右边为0，然后把方程左边进行因式分解，于是一元二次方程转化为两个一元一次方程，解一元一次方程即可得到一元二次方程的解．
【例2-2】用适当的方法解下列方程：
(2)
． (4) ．
【答案】(1) ； (2) ；
（3）； (4)
【分析】（1）原方程利用直接开平方法求解即可； （2）原方程移项后，利用分解因式法求解即可；
（3）原方程移项后，利用分解因式法求解即可；（4）原方程利用公式法求解即可.
（1）解：原方程即为， （2）解：移项，得，
两边开平方，得， 即为，
解得：； ∴或，
解得：；
（3）解：移项得，
即为，
∴或，
解得：；
（4）方程中，，
∴，
∴.
【点拨】本题考查了一元二次方程的解法，属于基础题目，根据方程的特点、选取合适的解法是解题的关键.
【例2-3】用指定的方法解方程：
（用配方法）； (2) （用公式法）；
(3) （用因式分解法）； (4) （用适当的方法）
【答案】(1) ； (2)
(3) (4)
【分析】（1）利用配方法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可；
（3）利用因式分解法解方程即可； （4）先将给出的方程进行变形，然后利用因式分解法解方程即可．
解：（1）移项，得：，
系数化1，得：，
配方，得：，
，
，
∴，；
（2）原方程可变形为，
，，，
，原方程有两个不相等的实数根，
，
∴，；
（3）原方程可变形为：，
整理得：，
解得，；
（4）原方程可变形为：，
整理得：，
，
∴，
【点拨】本题主要考查的是配方法，公式法，因式分解法解一元二次方程的有关知识，掌握配方法的基本步骤，一元二次方程的求根公式是解题关键．
能力强化提升训练
解关于x的一元二次方程
【答案】 ，
【分析】利用因式分解法求解即可．
解：因式分解得：，
∴或，
解得：，．
【点拨】本题考查了解一元二次方程，能够根据方程特点灵活选用不同的解法是解题关键．
小敏与小霞两位同学解方程的过程如下框：
小敏：两边同除以，得，则． 小霞：移项，得，提取公因式，得．则或，解得，．
你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
【答案】两位同学的解法都错误，正确过程见解析
【分析】根据因式分解法解一元二次方程
【详解】解：
小敏：两边同除以，得，则．（×） 小霞：移项，得，提取公因式，得．则或，解得，．（×）
正确解答：
移项，得，
提取公因式，得，
去括号，得，
则或，
解得，．
【点拨】本题考查因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解的技巧准确计算是解题关键．
3.对于实数m，n，先定义一种新运算“ ”如下：m n，若x （﹣2）＝10，则实数x等于（　　）
A．3 B．﹣4 C．8 D．3或8
【分析】根据定义，分x≥﹣2和x＜﹣2两种情况进行解方程，得出x的值．
【解答】解：当x≥﹣2时，x2+x﹣2＝10，
解得：x1＝3，x2＝﹣4（不合题意，舍去）；
当x＜﹣2时，（﹣2）2+x﹣2＝10，
解得：x＝8（不合题意，舍去）；
∴x＝3．
故选：A．
【点评】本题考查了解一元二次方程，体现了分类讨论的数学思想，分x≥﹣2和x＜﹣2两种情况进行解方程是解题的关键．
4 .定义：如果一个一元二次方程的两个实数根的比值与另一个一元二次方程的两个实数根的比值相等，我们称这两个方程为“相似方程”，例如，（x﹣3）（x﹣6）＝0的实数根是3或6，x2﹣3x+2＝0的实数根是1或2，3：6＝1：2，则一元二次方程（x﹣3）（x﹣6）＝0与x2﹣3x+2＝0为相似方程．下列各组方程不是相似方程的是（　　）
A．x2﹣16＝0与x2＝25
B．（x﹣6）2＝0与x2+4x+4＝0
C．x2﹣7x＝0与x2+x﹣6＝0
D．（x+2）（x+8）＝0与x2﹣5x+4＝0
【答案】C
【解析】分别求出选项中两个方程的解，再结合“相似方程”的定义即可确定结论．
A．方程x2﹣16＝0的实数根是±4，x2＝25的实数根是±5，
∵4：（﹣4）＝5：（﹣5），
∴一元二次方程x2﹣16＝0与x2＝25为相似方程；
B．方程（x﹣6）2＝0的实数根是6，x2+4x+4＝0的实数根是﹣2，
∵6：6＝﹣2：﹣2，
∴一元二次方程（x﹣6）2＝0与x2+4x+4＝0为相似方程；
C．方程x2﹣7x＝0的实数根是0或7，x2+x﹣6＝0的实数根是﹣3或2，
∵0：7≠﹣3：2，
∴一元二次方程x2﹣7x＝0与x2+x﹣6＝0不是相似方程；
D．方程（x+2）（x+8）＝0的实数根是﹣2或﹣8，x2﹣5x+4＝0的实数根是1或4，
∵﹣2：﹣8＝1：4，
∴一元二次方程（x+2）（x+8）＝0与x2﹣5x+4＝0为相似方程。
堂堂清
选择题（每小题4分，共32分）
1 .方程的两个根为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】将进行因式分解，，计算出答案．
∵
∴
∴．
【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握因式分解法解一元二次方程．
2.一元二次方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：，移项，得，
分解因式，得，则或，
解得：．故选：C．
3.如果二次三项式x2+px+q能分解成（x+3）（x﹣1）的形式，则方程x2+px+q＝0的两个根为（　　）
A．x1＝﹣3，x2＝1 B．x1＝﹣3；x2＝﹣1
C．x1＝3；x2＝﹣1 D．x1＝3；x2＝1
【答案】A
【解析】根据已知分解因式和方程得出x+3＝0，x﹣1＝0，求出方程的解即可．
∵二次三项式x2+px+q能分解成（x+3）（x﹣1）的形式，
∴x+3＝0，x﹣1＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝1，
即方程x2+px+q＝0的两个根为x1＝﹣3，x2＝1
4已知方程x2﹣7x+10＝0的两个根是等腰三角形的两边长，则这个等腰三角形的周长为（　　）
A．9 B．12 C．12或9 D．不能确定
【答案】B
【解析】可先求得方程的两根，再根据等腰三角形的性质，结合三角形三边关系进行判断，再求得三角形的周长即可．
解方程x2﹣7x+10＝0可得x＝2或x＝5，
∴等腰三角形的两边长为2或5，
当底为2时，则等腰三角形的三边长为2、5、5，满足三角形三边关系，此时等腰三角形的周长
为12；
当底为5时，则等腰三角形的三边长为5、2、2，2+2＜5，不满足三角形三边关系；
∴等腰三角形的周长为12。
5.若菱形两条对角线的长度是方程x2﹣6x+8＝0的两根，则该菱形的边长为（ ）
A． B．4 C．25 D．5
【详解】解：解方程，得，
即，
∵四边形是菱形，
∴，
由勾股定理得，
即菱形的边长为，
故选：．
6.用因式分解法解方程，下列方法中正确的是（ ）
A．(2x－2)(3x－4)=0 ， ∴2x－2=0或3x－4=0
B．(x+3)(x－1)=1 ，∴x+3=0或x－1=1
C．(x－2)(x－3)=2×3 ， ∴x－2=2或x－3=3
D．x(x+2)=0 ，∴x+2=0
【详解】A：等式右边为0，分解正确，符合题意；
B：等式右边≠0，不符合题意；
C：等式右边≠0，不符合题意；
D：x(x+2)=0 ，∴x+2=0或x=0；
故答案为：A
7.下列一元二次方程最适合用因式分解法来解的是（　　　）
A． B． C． D．
【详解】解：A、∵，
∴，即最适合用公式法来解，故本选项不符合题意；
B、，
∴，
∴最适合用因式分解法来解，故本选项符合题意；
C、最适合用公式法来解，故本选项不符合题意；
D、，
∴最适合用直接开平方法来解，故本选项不符合题意；
故选：B.
8.若等腰三角形三边的长分别是，，3，且，是关于的一元二次方程的两个根，则满足上述条件的的值有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．3个以上
【详解】解：①当a，b是等腰三角形的两条腰，则a=b．
∵a，b是关于x的一元二次方程的两个根，
∴．
∴m=4．
∴．
∴．
∴a=2，b=2．
此时2，2，3能够构成等腰三角形．
故m=4符合题意．
②当3是等腰三角形的一条腰时，则等腰三角形的另一条腰的长度是3．
∵a，b是关于x的一元二次方程的两个根，
把x=3代入得．
∴m=3．
∴．
∴，．
此时1，3，3能够构成等腰三角形．
∴m的值为4或3，共2个值．
故选：B．
填空题（每小题4分，共20分）
方程x（x+4）＝0的解是 　 ．
【分析】直接利用因式分解法求解即可得到答案；
【解答】解：∵x（x+4）＝0，
∴x+4＝0或x＝0，
即x1＝0，x2＝﹣4，
故答案为：x1＝0，x2＝﹣4；
【点评】本题考查因式分解法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法
10 .一元二次方程的根是________
【答案】，
【分析】由两式相乘等于0，则这两个式子均有可能为0即可求解．
【详解】解：由题意可知：或，
∴或，
故答案为：或．
【点拨】本题考查一元二次方程的解法，属于基础题，计算细心即可．
11 .方程2x2+1=3x的解为________
【答案】
【分析】先移项，再利用因式分解法解答，即可求解．
【详解】解：移项得：，
∴，
∴或，
解得：，
故答案为：．
【点拨】此题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，并灵活选用合适的方法解答是解题的关键．
12 .三角形两边的长分别为2和5，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为 _____.
【答案】12
【分析】解方程得第三边边长可能的值，代入三角形三边关系验证，进而求出周长即可．
【详解】∵第三边的长是方程的根，解得x=3或5
当x=3时，由于2＋3=5，不能构成三角形；
当x=5时，由于2＋5>5，能构成三角形；
故该三角形三边长分别为2,5,5，则周长为2＋5＋5=12．
故答案为12．
【点拨】本题考查了解一元二次方程，三角形三边关系，利用三角形三边关系验证三边长是否能构成三角形是解决本题的关键．
13 .对于任意实数a、b，定义一种运算：，若，则x的值为________．
【答案】或2
【分析】根据新定义的运算得到，整理并求解一元二次方程即可．
【详解】解：根据新定义内容可得：，
整理可得，
解得，，
故答案为：或2．
【点拨】本题考查新定义运算、解一元二次方程，根据题意理解新定义运算是解题的关键．
解答题（共48分）
14 .（8分）解方程：
（1）（x﹣2）（x﹣5）＝2；
（2）2（x﹣3）2＝x2﹣9．
【分析】（1）先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程；
（2）先变形为2（x﹣3）2﹣（x+3）（x﹣3）＝0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）x2﹣7x+12＝0，
（x﹣4）（x﹣3）＝0，
x﹣4＝0或x﹣3＝0，
所以x1＝4，x2＝3；
（2）2（x﹣3）2﹣（x+3）（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（2x﹣6﹣x﹣3）＝0，
x﹣3＝0或2x﹣6﹣x﹣3＝0，
所以x1＝3，x2＝9．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
（8分）选用适当的方法，解下列方程：
（1）2x2+5x+2＝0；
（2）（2x+3）2＝4（2x+3）；
（3）x2﹣2x．
（4）x2+5x+6＝0．
【分析】（1）利用公式法求解可得；
（2）利用因式分解法求解可得；
（3）利用公式法求解可得；
（4）利用因式分解法求解可得．
【解答】解（1）2x2+5x+2＝0，
a＝2，b＝5，c＝2，
b2﹣4ac＝52﹣4×2×2＝9＞0，
x，
x1，x2＝﹣2；
（2）（2x+3）2＝4（2x+3），
（2x+3）2﹣4（2x+3）＝0，
（2x+3）（2x+3﹣4）＝0，
2x+3＝0或2x+3﹣4＝0，
解得x1，x2；
（3）x2﹣2x，
2x2﹣4x﹣1＝0，
a＝2，b＝﹣4，c＝﹣1，
b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×2×（﹣1）＝24＞0，
x，
x1，x2；
（4）x2+5x+6＝0，
（x+3）（x+2）＝0，
x+3＝0或x+2＝0，
x1＝﹣3，x2＝﹣2．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
16.（8分）下面是小明解一元二次方程2x（x﹣5）＝3（5﹣x）的过程：
解：原方程可化为2x（x﹣5）＝﹣3（x﹣5），……第一步
方程两边同除以（x﹣5）得，2x＝﹣3，……第二步
系数化为1得x．
小明的解答是否正确？若正确，请说明理由；若不正确，请指出从第几步开始出现错误，分析出现错误的原因，并写出正确的解答过程．
【分析】先移项，再提取公因式分解因式，即可得到两个一元一次方程的积，再解一元一次方程即可．
【解答】解：从第二步开始出现的错误，其错误原因是等式的性质2用错，
正确的解答过程如下：
2x（x﹣5）＝﹣3（x﹣5），
2x（x﹣5）+3（x﹣5）＝0，
（x﹣5）（2x+3）＝0，
则x﹣5＝0或2x+3＝0，
解得：x1＝5、x2．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
17.（8分）在实数范围内定义新运算“△”，其规则为：a△b＝a2﹣ab，根据这个规则，解决下列问题：
（1）求（x+2）△5＝0中x的值；
（2）证明：（x+m）△5＝0中，无论m为何值，x总有两个不同的值．
【分析】（1）根据题意的运算法则可得出关于x的一元二次方程，解出该方程的解即可；
（2）根据题意的运算法则可得出关于x的一元二次方程，再根据其根的判别式计算，即可证明．
【解答】解：（1）由题意可得：（x+2）△5＝（x+2）2﹣5（x+2）＝0，
整理得：x2﹣x﹣6＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝3．
故x的值为﹣2或3；
（2）证明：由题意可得：（x+m）△5＝（x+m）2﹣5（x+m）＝0，
整理得：x2+（2m﹣5）x+m2﹣5m＝0，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（2m﹣5）2﹣4（m2﹣5m）＝25＞0．
∴无论m为何值，方程x2+（2m﹣5）x+m2﹣5m＝0总有两个不相等的实数根，即无论m为何值，x总有两个不同的值．
【点评】本题考查解一元二次方程，由一元二次方程根的判别式判断其根的情况．读懂题意，掌握新定义的运算法则是解题关键．
18.（8分）阅读下列材料：在解一元二次方程时，无论是用直接开平方法、配方法还是用因式分解法，我们都是将一元二次方程转化为两个一元一次方程，用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如：一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解一元一次方程和一元二次方程，可得，，．
再如，解无理方程（根号下含有未知数的方程），可以通过方程两边平方把它转化为，解得．
（1）解下列方程：
①
②
（2）根据材料给你的启示，求函数的最小值．
【详解】（1）①∵
∴
∴，，
②∵
∴，即
∴
∴，
∵
∴
∵
∴
∴（舍去）
∴的解为：
（2）将原函数转化成关于x的一元二次方程，得，
当时，
∵x为实数
∴
∴且；
当时，得：，方程有解（x的值存在）；
∴
∴．
19.(8分)阅读下面的例题，解方程的过程如下：
①当时，原方程化为，解得：（舍去）．
②当时，原方程可化为，解得：（舍去）．
原方程的解：．
请参照例题解方程：．
【答案】
【分析】分和，两种情况进行讨论求解即可．
解：当时，原方程化为，解得：（舍去）．
当时，原方程可化为，解得：（舍去）．
原方程的解：．
【点拨】本题考查解一元二次方程．理解并掌握题干中给出的解方程的方法，是解题的关键.
拓展培优*冲刺满分
1.已知、、是的三边长，关于的一元二次方程有两个相等的实数根．
请判断的形状；
当，时，求一元二次方程的解．
【答案】(1) △ABC为直角三角形； (2)
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式以及勾股定理的逆定理，即可求解；（2）由（1）可得，再代入原方程，利用因式分解法解答，即可求解．
解：（1）∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
∴△ABC为直角三角形；
（2）∵，，，
∴，
∴，
∴原方程为，
解得：．
【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，勾股定理的逆定理，熟练掌握一元二次方程的解法，一元二次方程根的判别式，勾股定理的逆定理是解题的关键．
2.已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个根都是正整数，求a的最小值．
详解】（1）证明：依题意得：
，
，
∴ ．
∴方程总有两个实数根；
（2）由，
可化为：
得 ，
∵ 方程的两个实数根都是正整数，
∴ ．
∴ ．
∴a的最小值为0．
解方程：
【答案】
【分析】将原方程整理，移项，令，然后解关于t的一元二次方程，获得t的值，代回原方程即可求解．
解：
移项，整理得：
令，原式变为
解得，（舍去）
∴，即
解得，
故答案为 ，．
【点拨】本题考查了换元法解一元二次方程，问题的关键是令，然后解关于t的一元二次方程，一定要注意舍去不合理的根．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)