九年级数学上分层优化堂堂清6 21.2.4 一元二次方程根与系数的关系（含解析）

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九年级数学上分层优化堂堂清
二十一章 一元二次方程
21.2.4一元二次方程根与系数的关系
学习目标：
1.探索一元二次方程的根与系数的关系。
2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题。
老师对你说：
一、根与系数的关系
（1）语言表达：也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.
（2）数学表达：对于一元二次方程，若，则。
若一元二次方程的两个实数根是，当，则
注意它的使用条件为a≠0，Δ≥0。
二、一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）的应用
（1）验根：不解方程，利用根与系数的关系可检验两个数是不是一元二次方程的两个根；
（2）已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；
（3）不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值。
（4）已知方程的两根，求作一个一元二次方程；
（5）已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围；
（6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号。
注意：一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）的应用常常涉及一下代数式的一些重要变形，需要牢牢记住：
①；
②；
③；
④；
⑤；
⑥；
⑦；
⑧；
⑨。
基础提升 教材核心知识点精练
知识点1：一元二次方程根与系数的关系
【例1-1】关于x的一元二次方程有两根，其中一根为，则这两根之积为（ ）
A. B. C. 1 D.
【例1-2】已知关于x的一元二次方程
（1）求证：无论m为何值，方程总有实数根；
（2）若，是方程的两个实数根，且，求m的值．
【例1-3】已知、是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．
知识点2：根与系数关系的应用
【例2-1】若则以为根的一元二次方程是（ ）
A. B. C. D.
【例2-3】已知关于的一元二次方程.
（1）若方程有实数根，求实数的取值范围；
（2）若方程两实数根分别为，，且满足，求实数的值
能力强化提升训练
1.已知a，b是方程的两个根，则的值 ．
2.已知关于的方程有两个实数根，．
（1）求实数的取值范围；
（2）若，求的值．
3.已知，是方程的两个根，则代数的值为 ．
4.已知关于x的一元二次方程有实数根．
（1）求实数m的取值范围；
（2）当m＝2时，方程的根为x1，x2，
①求代数式的值；
②求代数式的值．
堂堂清
选择题（每小题4分，共32分）
1 .一元二次方程x2﹣2x＝0其中一个根是0，则另一个根的值是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．﹣2
已知、是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．
已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x﹣m2＝0的两根，下列结论中不一定正确的是（　　）
A．x1+x2＞0 B．x1 x2＜0
C．x1≠x2 D．方程必有一正根
已知关于的一元二次方程有一个根为,则另一个根为（ ）
A． B． C． D．
5.如果关于x的一元二次方程的两个根分别是，，那么p，q的值分别是（ ）
A．3，4 B．-7，12 C．7，12 D．7，-12
6 .若p、q是方程的两个不相等的实数根，则代数式的值为 ．
方程根的符号是（ ）
A．两根一正一负 B．两根都是负数 C．两根都是正数 D．无法确定
8. 已知关于的方程的两实数根为，，若，则的值
为（ ）
A. B. C. 或3 D. 或3
填空题（每小题4分，共20分）
9 .若、是一元二次方程的两个根，则的值是 ．
10 .若关于x的一元二次方程两根为，且，则m的值为________
11 .设x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m＝0的两个根，当x1为1时则x1x2的值是________．
12 .设x1，x2是方程x2﹣3x+m＝0的两个根，且x1+x2﹣x1x2＝1，则m＝　　．
已知方程x2﹣2023x+1＝0的两根分别为x1，x2．则的值为 　　．
解答题（共48分）
14 .（8分）已知x＝﹣2是关于x的一元二次方程x2+x+c2﹣8c﹣2＝0的一个根．
（1）求c．
（2）求此方程的另一个根．
15 .（9分）不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积：
（1）﹣2x2+3＝0；
（2）x2﹣7x﹣3＝0；
（3）3x（x﹣2）＝5．
16（7分）已知关于x的方程的两根为满足：，求实数k的值
17 .（8分）已知关于x的方程mx2﹣（m+3）x+3＝0（m≠0）．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．
18 .（8分）定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，求的值．
19 .（8分）已知关于x的方程有两实数根，，
(1)若，求k的值．
(2)是否存在实数k满足，若存在请求出k的值，若不存在请说明理由．
拓展培优*冲刺满分
1 .已知关于x的方程有两实数根，，
(1)若，求k的值．
(2)是否存在实数k满足，若存在请求出k的值，若不存在请说明理由．
2.已知关于x的一元二次方程有实数根．
（1）求实数k的取值范围．
（2）设方程的两个实数根分别为，若，求k的值
综合与探究：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程是“邻根方程”，例如：一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程：x2+x＝0是“邻根方程”．
（1）通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”：x2+x﹣6＝0．
（2）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣2）x﹣2m＝0（m是常数）是“邻根方程”，求m的值．
（3）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b是常数，且a＜0）是“邻根方程”，令t＝2﹣b2，求t的最大值．
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二十一章 一元二次方程
21.2.4一元二次方程根与系数的关系（解析版）
学习目标：
1.探索一元二次方程的根与系数的关系。
2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题。
老师对你说：
一、根与系数的关系
（1）语言表达：也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.
（2）数学表达：对于一元二次方程，若，则。
若一元二次方程的两个实数根是，当，则
注意它的使用条件为a≠0，Δ≥0。
二、一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）的应用
（1）验根：不解方程，利用根与系数的关系可检验两个数是不是一元二次方程的两个根；
（2）已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；
（3）不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值。
（4）已知方程的两根，求作一个一元二次方程；
（5）已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围；
（6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号。
注意：一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）的应用常常涉及一下代数式的一些重要变形，需要牢牢记住：
①；
②；
③；
④；
⑤；
⑥；
⑦；
⑧；
⑨。
基础提升 教材核心知识点精练
知识点1：一元二次方程根与系数的关系
【例1-1】关于x的一元二次方程有两根，其中一根为，则这两根之积为（ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】D
【解析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求解．
关于x的一元二次方程有两根，其中一根为，
设另一根为，则，
，
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
【例1-2】已知关于x的一元二次方程
（1）求证：无论m为何值，方程总有实数根；
（2）若，是方程的两个实数根，且，求m的值．
【答案】（1）见解析 （2）或．
【解析】（1）根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，只要判定即可得到答案；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，，整体代入得到求解即可得到答案．
【详解】（1）证明：关于的一元二次方程，
∴，，，
∴，
∵，即，
∴不论为何值，方程总有实数根；
（2）解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∵，
∴，
∴，整理，得，解得，，
∴m的值为或．
【点评】本题考查一元二次方程根的情况与判别式关系，一元二次方程根与系数的关系，熟记一元二次方程判别式与方程根的情况联系、一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键．
【例1-3】已知、是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【分析】通分：，根据韦达定理：一元二次方程根与系数的关系：，可得出答案．
【详解】解： 由韦达定理：，可得
，
故选：A ．
【点评】本题考查了一元二次方程韦达定理的应用，检验学生对一元二次方程根与系数的关系知识点的掌握情况．
知识点2：根与系数关系的应用
【例2-1】若则以为根的一元二次方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A.
【解析】
又∵
∴
∴，
∴以为根的一元二次方程是.故选A.
【例2-2】若是一元二次方程的两个根，则的值为( )
A．3 B．2 C．1 D．
【答案】A
【分析】利用一元二次方程的定义，根与系数的关系，可得，，再代入，即可求解．
【详解】解：∵是一元二次方程的两个根，
∴，，
∴，
∴．
故选：A
【点评】本题主要考查了一元二次方程的定义，根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的定义，根与系数的关系是解题的关键．
【例2-3】已知关于的一元二次方程.
（1）若方程有实数根，求实数的取值范围；
（2）若方程两实数根分别为，，且满足，求实数的值
【答案】（1）；（2）实数的值是1.
【分析】（1）根据方程有实数根的条件，即Δ≥0求解即可；
（2）由韦达定理把x1+x2和x1x2分别用含m的式子表达出来，然后根据x12+x22=16+x1x2求解即可.
【详解】（1）由题意得
当时，原方程有实数根，， ;
（2）由韦达定理得，
，
解得 （舍去）
实数的值是1.
【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，牢记（1）“当△≥0时，方程有实数根”；（2）根与系数的关系，是解题的关键.
能力强化提升训练
1.已知a，b是方程的两个根，则的值 ．
【答案】
【分析】由根与系数关系知，，即知a＜0，b＜0，化简原式，所以原式
故答案为：﹣14．
【详解】解：∵a，b是方程的两个根，
∴，，
∴a＜0，b＜0，
∴
∴原式
故答案为：﹣14．
【点睛】本题主要考查根与系数关系、完全平方公式变形及二次根式的运算及化简；能够根据a,b的关系式确定其取值范围，进而准确处理二次根式的运算及化简是解题的关键．
2.已知关于的方程有两个实数根，．
（1）求实数的取值范围；
（2）若，求的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据一元二次方程根的情况，可得，从而求出结论；
（2）由根与系数的关系得：，，然后将，代入方程变形可得，，然后代入已知等式并利用等量代换即可求出结论．
【详解】解：（1）由题意，有
（2）由根与系数的关系得：，
，
，
或
【点评】本题是对一元二次方程的综合考查，熟练掌握一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系是解决本题的关键．
3.已知，是方程的两个根，则代数的值为 ．
【答案】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系以及解的定义，得，再代入降次求值即可．
【详解】解：由题意，得，
，，
原式，
，
，
=．
故答案为：．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，整式的化简求值，本题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系．
4.已知关于x的一元二次方程有实数根．
（1）求实数m的取值范围；
（2）当m＝2时，方程的根为x1，x2，
①求代数式的值；
②求代数式的值．
【答案】（1）；（2）①4；②1
【分析】（1）根据根的判别式进行求解；
（2）由根与系数的关系得出，，
①利用完全平方公式对原式进行化简，然后代入求解即可；
②由方程的根为x1，x2得到，，据此对原式进行化简，最后根据根与系数的关系进行求解．
【详解】解：（1）由题意知，，
解得，；
（2）当m＝2时，方程为，
∴，，
①原式；
②由题意知，，，
∴原式．
【点睛】本题考查根的判别式，根与系数的关系，求代数式的值，熟练掌握根的判别式与根与系数的关系是解题的关键，第（2）②注意隐含的条件：，．
堂堂清
选择题（每小题4分，共32分）
1 .一元二次方程x2﹣2x＝0其中一个根是0，则另一个根的值是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．﹣2
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解即可．
【解答】解：∵x2﹣2x＝0，
∴a＝1，b＝﹣2，c＝0，
设x1＝0，另一个根为x2，
∵0+x2＝2，
∴x2＝2，
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程根据系数的关系，熟练掌握，是解答本题的关键．
已知、是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【分析】通分：，根据韦达定理：一元二次方程根与系数的关系：，可得出答案．
【详解】解： 由韦达定理：，可得
，
故选：A ．
【点评】本题考查了一元二次方程韦达定理的应用，检验学生对一元二次方程根与系数的关系知识点的掌握情况．
已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x﹣m2＝0的两根，下列结论中不一定正确的是（　　）
A．x1+x2＞0 B．x1 x2＜0
C．x1≠x2 D．方程必有一正根
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，求出x1x2，x1+x2的值，分析后即可判断A项，B项是否符合题意；再结合判别式，分析后即可判断C项，D项是否符合题意．
【解答】解：A、根据根与系数的关系可得出x1+x2＝2＞0，结论A正确，不符合题意；
B、根据根与系数的关系可得出x1 x2＝﹣m2≤0，结论B不一定正确，符合题意；
C、根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ＞0，由此即可得出x1≠x2，结论C正确，不符合题意；
D、由x1 x2＝﹣m2≤0，结合判别式可得出方程必有一正根，结论D正确，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键。
已知关于的一元二次方程有一个根为,则另一个根为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系，x +x =,把x =1代入即可求出.
【详解】解：方程有一个根是,另-一个根为，
由根与系数关系，即
即方程另一根是
故选:．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系的应用，还可根据一元二次方程根的定义先求出k的值，再解方程求另一根.
5.如果关于x的一元二次方程的两个根分别是，，那么p，q的值分别是（ ）
A．3，4 B．-7，12 C．7，12 D．7，-12
【答案】B
【分析】根据根与系数的关系，直接代入计算即可．
【详解】∵关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为，，
∴3+4=-p，3×4=q，
∴p=-7，q=12，
故选：B．
【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的字母表达式，并会代入计算．
6 .若p、q是方程的两个不相等的实数根，则代数式的值为 ．
【答案】
【分析】根据一元二次方程的解的定义得到，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体思想计算即可．
【详解】∵若p、q是方程的两个不相等的实数根，
∴，，
∴，
∴
，
故答案为：．
【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程的解，利用整体思想降次消元是解题的关键．
方程根的符号是（ ）
A．两根一正一负 B．两根都是负数 C．两根都是正数 D．无法确定
【答案】C
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系分析求解．
【详解】解：的两根分别为，，则，，
∴方程的两根同号，且两根都是正数，
故选：C．
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，理解一元二次方程的两根，满足，是解题关键．
8. 已知关于的方程的两实数根为，，若，则的值
为（ ）
A. B. C. 或3 D. 或3
【答案】A
【解析】利用根与系数的关系以及求解即可．
由题意可知：，且
∵，
∴，解得：或，
∵，即，
∴，
【点评】本题考查根与系数的关系以及根据方程根的情况确定参数范围，解题的关键是求出，再利用根与系数的关系求出或（舍去）．
填空题（每小题4分，共20分）
9 .若、是一元二次方程的两个根，则的值是 ．
【答案】6
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，由根的定义可得，代入即可得答案．
【详解】∵，，
∴．
故答案为：6
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系及方程根的概念．
10 .若关于x的一元二次方程两根为，且，则m的值为________
【答案】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，然后即可确定两个根，再由根与系数的关系求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程两根为，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
11 .设x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m＝0的两个根，当x1为1时则x1x2的值是________．
【答案】-2
【分析】把代入，得，所以方程为，即可求解．
【详解】解：把代入，得：
解得：，
∴方程为，
∴x1x2==-2．
故答案为：-2
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握若，是一元二次方程 的两个实数根，则，是解题的关键．
12 .设x1，x2是方程x2﹣3x+m＝0的两个根，且x1+x2﹣x1x2＝1，则m＝　　．
【分析】根据根与系数的关系，确定x1+x2、x1x2的值，然后代入方程中，解方程确定m的值．
【解答】解：∵x1、x2是方程x2﹣3x+m＝0的两个根，
∴x1+x2＝3，x1x2＝m，
∵x1+x2﹣x1x2＝1，
∴3﹣m＝1，
∴m＝2．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、一元一次方程的解法，将x1+x2＝3，x1x2＝m代入方程，并解方程是解决此类题目经常使用的方法．
已知方程x2﹣2023x+1＝0的两根分别为x1，x2．则的值为 　　．
【分析】由题意得x1 x2＝1，20231x+1＝0，将代数式变形后再代入求解即可．
【解答】解：∵方程x2﹣2023x+1＝0的两根分别为x1，x2，
∴x1 x2＝1，20231x+1＝0，
∴20231x＝﹣1，
∴
2023x1
＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了根的定义及根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1 x2，熟练掌握代数式的求值技巧是解题的关键．
解答题（共48分）
14 .（8分）已知x＝﹣2是关于x的一元二次方程x2+x+c2﹣8c﹣2＝0的一个根．
（1）求c．
（2）求此方程的另一个根．
【分析】（1）将x＝﹣2代入解析式即可求出c的值；
（2）把c的值代入方程，从而解出另一根．
【解答】解：（1）∵x＝﹣2是关于x的一元二次方程x2+x+c2﹣8c﹣2＝0的一个根，
∴4﹣2+c2﹣8c﹣2＝0，
∴c2﹣8c＝0，
即c（c﹣8）＝0，
解得c1＝0，c2＝8．
故c的值是0或8；
（2）当c＝0时，
x2+x﹣2＝0，即（x﹣1）（x+2）＝0，
解得x1＝1，x2＝﹣2．
当c＝8时，
x2+x﹣2＝0，即（x﹣1）（x+2）＝0，
解得x1＝1，x2＝﹣2．
故另一根为x＝1．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，要知道，一元二次方程的解使得方程左右两边相等．
15 .（9分）不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积：
（1）﹣2x2+3＝0；
（2）x2﹣7x﹣3＝0；
（3）3x（x﹣2）＝5．
【分析】（1）根据方程的系数，结合“两根之和等于，两根之积等于”，即可求出方程﹣2x2+3＝0的两根之和与两根之积；
（2）根据方程的系数，结合“两根之和等于，两根之积等于”，即可求出方程x2﹣7x﹣3＝0的两根之和与两根之积；
（3）将原方程化为一般式，根据方程的系数，结合“两根之和等于，两根之积等于”，即可求出方程3x（x﹣2）＝5的两根之和与两根之积．
【解答】解：（1）∵a＝﹣2，b＝0，c＝3，
∴x1+x20，x1 x2；
（2）∵a＝1，b＝﹣7，c＝﹣3，
∴x1+x27，x1 x23；
（3）原方程化为一般式为3x2﹣6x﹣5＝0．
∵a＝3，b＝﹣6，c＝﹣5，
∴x1+x22，x1 x2．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的一般式，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．
16（7分）已知关于x的方程的两根为满足：，求实数k的值
【答案】
【分析】利用根的判别式求出k的取值范围，利用根与系数的关系求出，，代入，即可求得k的值.
【详解】解：∵关于x的方程的两根为
∴
解得：
，
∵
∴
代入， 得：
解得：
∵
∴
【点评】本题考查一元二次方程根的判别式、根与系数的关系以及一元二次方程求解，熟练掌握相关知识点是解题关键.
17 .（8分）已知关于x的方程mx2﹣（m+3）x+3＝0（m≠0）．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．
【分析】（1）先计算判别式的值得到Δ＝（m+3）2﹣4m×3＝（m﹣3）2，再根据非负数的值得到△≥0，然后根据判别式的意义得到方程总有两个实数根；
（2）利用因式分解法解方程得到x1＝1，x2，然后利用整数的整除性确定正整数m的值．
【解答】（1）证明：∵m≠0，
Δ＝（m+3）2﹣4m×3
＝m2﹣6m+9
＝（m﹣3）2，
而（m﹣3）2≥0，即△≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：（x﹣1）（mx﹣3）＝0，
x﹣1＝0或mx﹣3＝0，
∴x1＝1，x2，
当m为正整数1或3时，x2为整数，
即方程的两个实数根都是整数，
∴正整数m的值为1或3．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
18 .（8分）定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，求的值．
【答案】5
【分析】①根据凤凰方程的定义可知：是方程的一个根，以及方程有两个相等的实数根，，求出的值，再进行计算即可；②利用凤凰方程的定义、根据系数法的关系求解．
【详解】解：法一：根据题意得：
解得：，
则．
法二：∵是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，
∴的两个根均为1，
∴，
∴，
∴．
【点评】本题考查一元二次方程的解和一元二次方程判别式与根的个数的关系．理解凤凰方程的定义，得到是方程的一个根，是解题的关键．本题也可以利用根与系数的关系进行解题．
19 .（8分）已知关于x的方程有两实数根，，
(1)若，求k的值．
(2)是否存在实数k满足，若存在请求出k的值，若不存在请说明理由．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用根与系数的关系得到，再由得到，解方程求出，再根据方程有解，利用根的判别式求出k的范围即可得到答案；
（2）由题意可得，当，方程有两个相等的实数根，利用根的判别式求解即可；当时，则，利用根与系数的关系求解即可．
【详解】（1）解：∵关于x的方程有两实数根，，
∴，
又∵，
∴，
解得；
∵方程要有实数根，
∴，
∴，
解得，
∴；
（2）解：∵，
∴，
当是，则，
∴，
解得；
当时，则，
又∵，
∴（舍去）；
综上所述，存在实数满足．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，熟知一元二次方程根与系数的关系，根的判别式是解题的关键．
拓展培优*冲刺满分
1 .已知关于x的方程有两实数根，，
(1)若，求k的值．
(2)是否存在实数k满足，若存在请求出k的值，若不存在请说明理由．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用根与系数的关系得到，再由得到，解方程求出，再根据方程有解，利用根的判别式求出k的范围即可得到答案；
（2）由题意可得，当，方程有两个相等的实数根，利用根的判别式求解即可；当时，则，利用根与系数的关系求解即可．
【详解】（1）解：∵关于x的方程有两实数根，，
∴，
又∵，
∴，
解得；
∵方程要有实数根，
∴，
∴，
解得，
∴；
（2）解：∵，
∴，
当是，则，
∴，
解得；
当时，则，
又∵，
∴（舍去）；
综上所述，存在实数满足．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，熟知一元二次方程根与系数的关系，根的判别式是解题的关键．
2.已知关于x的一元二次方程有实数根．
（1）求实数k的取值范围．
（2）设方程的两个实数根分别为，若，求k的值．
【答案】（1）k； （2）k=3
【解析】（1）∵一元二次方程有实数根．
∴ 0，即32-4（k-2）0，
解得k
（2）∵方程的两个实数根分别为，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得k=3．
【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系式，熟练掌握一元二次方程有关知识是解题的关键．
综合与探究：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程是“邻根方程”，例如：一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程：x2+x＝0是“邻根方程”．
（1）通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”：x2+x﹣6＝0．
（2）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣2）x﹣2m＝0（m是常数）是“邻根方程”，求m的值．
（3）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b是常数，且a＜0）是“邻根方程”，令t＝2﹣b2，求t的最大值．
【分析】（1）根据解一元二次方程的方法求出已知方程的两个根，再计算两根的差是否为1，从而确定方程是否为“邻根方程”；
（2）先解方程求得其根，再根据新定义列出关于m的方程，注意有两种情况；
（3）根据新定义得方程的大根与小根的差为1，列出a与b的关系式，再由t＝2﹣b2，得t与a的关系，化简即可．
【解答】解：（1）x2+x﹣6＝0，
∴（x+3）（x﹣2）＝0，
∴x1＝﹣3，x2＝2，
∵2﹣（﹣3）≠1，
∴x2+x﹣6＝0．不是“邻根方程”；
（2）解方程得：（x﹣m）（x+2）＝0，
∴x1＝m，x2＝﹣2，
∵方程x2﹣（m﹣2）x﹣2m＝0（m是常数）是“邻根方程”，
∴m＝﹣2+1或m＝﹣2﹣1，
∴（3）解方程ax2+bx+2＝0得：
x1，x2，
∵关于x的方程ax2+bx+2＝0（a、b是常数，a＜0）是“邻根方程”，
∴1，
∴a，
等号两边平方得：b2﹣8a＝a2，
∴b2＝a2+8a≥0，
∴a≥0或a≤﹣8，
∵a＜0，t＝2﹣b2，
∴t＝2﹣（a2+8a）＝﹣（a+4）2+18，
∴当a＝﹣8时，t有最大值2．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“邻根方程”的定义，本题属于中等题型．
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