九年级数学上分层优化堂堂清1 21.1一元二次方程（含解析）

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九年级数学上分层优化堂堂清
二十一章 一元二次方程
21.1一元二次方程
学习目标：
1.经历一元二次方程概念的形成过程，知道什么是一元二次方程.
2.会把一元二次方程化成一般形式，并知道各项及系数的名称.
3.能说出什么是一元二次方程的解（根）
1.一元二次方程的定义
（1）一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
2.一般形式：ax +bx+c=0（a≠0）。
.其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．
（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
3..使方程两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。
基础提升 教材核心知识点精练
知识点1：一元二次方程定义
【例1-1】、下列方程中，哪些是一元二次方程？哪些不是一元二次方程．
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）（为已知数）；
（7）．
【例1-2】若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为 　　．
知识点2 一元二次方程一般式
【例2-1】将方程化成的形式，则，，的值分别为（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
【例2-2】把方程x（x+1）＝3（x﹣2）化成一般式ax2+bx+c＝0（a＞0）的形式，则a、b、c的值分别是（　　）
A．a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3 B．a＝1，b＝﹣2，c＝﹣6
C．a＝1，b＝﹣2，c＝3 D．a＝1，b＝﹣2，c＝6
知识点3 一元二次方程的解
【例3-1】已知一元二次方程x2+kx+4＝0有一个根为1，则k的值为（　　）
A．4 B．5 C．﹣4 D．﹣5
【例3-2】判断方程后面括号里的数是否为方程的根．
（1）；
能力强化 能力强化训练
1.关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0，求m的值．
2.若是关于的一元二次方程，则的取值范围为______
3.关于x的一元二次方程2（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0化为一般形式后为2x2﹣3x﹣1＝0，试求b，c的值．
4.若关于 的一元二次方程 没有一次项，则 的值为___________．
5.已知a是一元二次方程的根．求代数式的值．
6.若关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为_____
堂堂清
选择题（每小题4分，共32分）
1.下列关于x的方程：①ax2+bx+c＝0；②x24＝0；③2x2﹣3x+1＝0；④x2﹣2+x3＝0．其中是一元二次方程的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2.将一元二次方程3x2﹣3＝6x化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是（　　）
A．3，﹣3 B．3，0 C．3，6 D．3，﹣6
3.关于x的一元二次方程2xa﹣2+m＝4的解为x＝1，则a+m的值为（　　）
A．9 B．8 C．6 D．4
4关于x的一元二次方程2xa﹣2+m＝4的解为x＝1，则a+m的值为（　　）
A．9 B．8 C．6 D．4
5.将方程化成的形式，则，，的值分别为（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
6.关于x的方程是一元二次方程，则（ ）
A． B． C．或 D．
7.若是关于的一元二次方程，则的值是(　　)
A． B． C． D．不能确定
8.已知m为方程的根，那么的值为（ ）
A． B．0 C．2022 D．4044
二、填空题（每小题4分，共20分）
9.一元二次方程的一次项系数为______．
10.关于x的方程x2﹣kx﹣6＝0有一根为x＝﹣3，则k的值为____．
11.若关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为_____．
12.请你写出一个有一根为1，另一个根介于和1之间的的一元二次方程：_______________________.
13.若a是方程2x2+x﹣2＝0的根，则代数式2023﹣a2a的值是　 　
三、解答题（共48分）
14.（8分）已知关于x的方程．
(1)当k取何值时，此方程是一元一次方程？并求出此方程的根；
(2)当k取何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项．
15.（8分）若x2a＋b－2xa－b＋3＝0是关于x的一元二次方程，试求整数a，b的值．
16.先化简，再求值：，其中是一元二次方程的根．
17.（8分）用方程描述下面问题中的数量关系（不用求解）
（1）剪出一张面积是240cm2的矩形彩纸，使它的长比宽多1cm，这张彩纸的长是多少？
（2）某企业2021年全年收入720万元，2023年全年收入845万元，求该企业全年收入的年平均增长率。
18.（8分）如果方程与方程有且只有一个公共根，求a的值．
19.（8分）已知a是方程的一个根，求代数式的值
拓展培优*冲刺满分
1. 已知a2﹣3a+1＝0，求下列各式的值：
（1）2a2﹣6a﹣3；
（2）a2+a﹣2；
（3）a﹣a﹣1．
2.我们定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．
(1)请判断方程是不是倍根方程，并说明理由；
(2)若是倍根方程，则___________．
3.如图，在中，，从点为圆心，长为半径画弧交线段于点，以点为圆心长为半径画弧交线段于点，连结．
(1)若，求的度数：
(2)设．
①请用含的代数式表示与的长；
②与的长能同时是方程的根吗？说明理由．
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二十一章 一元二次方程
21.1一元二次方程
第一课时
学习目标：
1.经历一元二次方程概念的形成过程，知道什么是一元二次方程.
2.会把一元二次方程化成一般形式，并知道各项及系数的名称.
3.能说出什么是一元二次方程的解（根）
1.一元二次方程的定义
（1）一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
2.一般形式：ax +bx+c=0（a≠0）。
.其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．
（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
3..使方程两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。
基础提升 教材核心知识点精练
知识点1：一元二次方程定义
【例1-1】、下列方程中，哪些是一元二次方程？哪些不是一元二次方程．
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）（为已知数）；
（7）．
【答案】（1）不是（2）不是（3）是（4）不是（5）不是（6）不是（7）是
【解析】（1）解：中两个未知数，是二元二次方程，
故不是一元二次方程；
（2）解：中对式子进行整理，两边项都消去了，剩下，为一元一次方程，
故不是一元二次方程；
（3）解：中对含有一个未知数，未知数的最高次数为1，
故是一元二次方程；
（4）解：中，分母里含有未知数，是分式方程，
故不是一元二次方程；
（5）解：不是整式方程，
故不是一元二次方程；
（6）解：中当是，原式化为，
故不是一元二次方程；
（7）解：化简即为，
∴是一元二次方程．
【例1-2】若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为 　　．
【分析】利用一元二次方程的定义判断即可求出a的值．
【解答】解：∵方程是关于x的一元二次方程，
∴a2﹣14＝2且a+4≠0，
解得：a＝4．
故答案为：4．
【点评】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．
知识点2 一元二次方程一般式
【例2-1】将方程化成的形式，则，，的值分别为（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
【答案】C
【解析】解：将原方程化为一般形式得：，
∴，，．故选：C．
【例2-2】把方程x（x+1）＝3（x﹣2）化成一般式ax2+bx+c＝0（a＞0）的形式，则a、b、c的值分别是（　　）
A．a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3 B．a＝1，b＝﹣2，c＝﹣6
C．a＝1，b＝﹣2，c＝3 D．a＝1，b＝﹣2，c＝6
【分析】先去括号，再移项、合并同类项，化为ax2+bx+c＝0（a＞0）的形式，再根据对应相等得到a、b、c的值．
【解答】解：去括号得，x2+x＝3x﹣6，
移项得，x2﹣2x+6＝0，
所以a、b、c的值可以分别是1，﹣2，6．
故选：D．
【点评】一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数），其中a叫二次项系数，b叫一次项系数，c叫常数项．
知识点3 一元二次方程的解
【例3-1】已知一元二次方程x2+kx+4＝0有一个根为1，则k的值为（　　）
A．4 B．5 C．﹣4 D．﹣5
【分析】将x＝1代入原方程，可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k的值．
【解答】解：将x＝1代入原方程得：12+k+4＝0，
解得：k＝﹣5，
∴k的值为﹣5．
故选：D．
【例3-2】判断方程后面括号里的数是否为方程的根．
（1）；
（2）．
【答案】（1），是原方程的根（2）是原方程的根，不是原方程的根
【解析】（1）解：将代入原方程，
左边，右边，
左边右边，
∴是原方程的根；
将代入原方程，
左边，右边，
左边右边，
∴是原方程的根；
∴，是原方程的根
（2）解：将代入原方程，
左边，右边，
左边右边，
∴是原方程的根；
将代入原方程，
左边，右边，
左边右边，
∴不是原方程的根，
∴是原方程的根，不是原方程的根．
能力强化 能力强化训练
1.关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0，求m的值．
【分析】常数项为0，即m2﹣3m+2＝0，再根据方程是一元二次方程，须满足m﹣1≠0，问题可求．
【解答】解：由题意，得：m2﹣3m+2＝0①，m﹣1≠0②，
解①得：m＝2或1；解②得：m≠1，∴m＝2．
【点评】本题考查对一元二次方程的掌握情况，要特别注意二次项的系数不为0这个隐含条件。
2.若是关于的一元二次方程，则的取值范围为______．
【答案】且
【分析】根据一元二次方程的定义及二次根式有意义的条件直接列不等式求解即可得到答案；
【详解】解：∵是关于的一元二次方程，
∴，，
解得：且，
故答案为：且；
【点评】本题考查一元二次方程定义及二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握两个知识点．
3.关于x的一元二次方程2（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0化为一般形式后为2x2﹣3x﹣1＝0，试求b，c的值．
【分析】先利用乘法公式展开，再合并得到一般式为2x2+（b﹣4）x+2﹣b+c＝0，于是得到b﹣4＝﹣3，2﹣b+c＝﹣1，然后解方程得到b、c的值．
【解答】解：2（x2﹣2x+1）+bx﹣b+c＝0，
2x2+（b﹣4）x+2﹣b+c＝0，
所以b﹣4＝﹣3，2﹣b+c＝﹣1，
解得b＝1，c＝﹣2．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式：任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
4.若关于 的一元二次方程 没有一次项，则 的值为___________．
【答案】
【分析】根据一元二次方程的一般形式可知一次项为，由方程没有一次项可得，即可得答案．
【详解】∵关于 的一元二次方程 没有一次项，
∴，
解得：．
故答案为：．
【点评】本题考查一元二次方程的一般形式，解题的关键是掌握一元二次方程的一般形式．一元二次方程：只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程经过整理都可化成一般形式．
5.已知a是一元二次方程的根．求代数式的值．
【答案】6
【解析】解：
，
∵a是一元二次方程的根，
∴，即，
∴原式．
6.若关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为_____．
【答案】1
【分析】将代入方程中结合一元二次方程的二次项系数不为即可得出答案．
【详解】解：将代入方程中得，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程解的定义，熟记相关定义是解本题的关键．
堂堂清
选择题（每小题4分，共32分）
1.下列关于x的方程：①ax2+bx+c＝0；②x24＝0；③2x2﹣3x+1＝0；④x2﹣2+x3＝0．其中是一元二次方程的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A．
【解析】考查一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
①ax2+bx+c＝0，当a＝0时，该方程不是一元二次方程；
②x24＝0属于分式方程；
③2x2﹣3x+1＝0符合一元二次方程的定义；
④x2﹣2+x3＝0的最高次数是3，属于一元三次方程；
综上所述，其中一元二次方程的个数是1个．
2.将一元二次方程3x2﹣3＝6x化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是（　　）
A．3，﹣3 B．3，0 C．3，6 D．3，﹣6
【答案】D
【分析】先化成一元二次方程的一般形式，再找出二次项系数和一次项系数即可．
【详解】解：3x2﹣3＝6x，
移项得：3x2-6x-3=0，
二次项系数和一次项系数分别是3和-6，
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，多项式的项和单项式的系数等知识点，能熟记一元二次方程的一般形式是解此题的关键，注意：①一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0），②找项的系数带着前面的符号．
3.关于x的一元二次方程2xa﹣2+m＝4的解为x＝1，则a+m的值为（　　）
A．9 B．8 C．6 D．4
【分析】根据一元二次方程的概念和其解的概念解答即可．
【解答】解：因为关于x的一元二次方程2xa﹣2+m＝4的解为x＝1，
可得：a﹣2＝2，2+m＝4，
解得：a＝4，m＝2，
所以a+m＝4+2＝6．
故选：C．
4关于x的一元二次方程2xa﹣2+m＝4的解为x＝1，则a+m的值为（　　）
A．9 B．8 C．6 D．4
【分析】根据一元二次方程的概念和其解的概念解答即可．
【解答】解：因为关于x的一元二次方程2xa﹣2+m＝4的解为x＝1，
可得：a﹣2＝2，2+m＝4，
解得：a＝4，m＝2，
所以a+m＝4+2＝6．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的概念和其解的概念是关键．
5.将方程化成的形式，则，，的值分别为（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
【答案】C
【解析】解：将原方程化为一般形式得：，
∴，，．故选：C．
6.关于x的方程是一元二次方程，则（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】D
【分析】根据一元二次方程的定义知：a-2≠0，据此可以求得a的取值范围．
【详解】关于x的方程是一元二次方程，
只有选项符合题意，
故选D．
【点评】本题考查了一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的概念是解题的关键，一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．
7.若是关于的一元二次方程，则的值是(　　)
A． B． C． D．不能确定
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的定义，得出，进而即可求解．
【详解】解：∵是关于的一元二次方程，
∴，
解得：，
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
8.已知m为方程的根，那么的值为（ ）
A． B．0 C．2022 D．4044
【答案】B
【分析】根据题意有，即有，据此即可作答．
【详解】∵m为的根据，
∴，且m≠0，
∴，
则有原式=，
故选：B．
【点评】本题考查了利用未知数是一元二次方程的根求解代数式的值，由m为得到是解答本题的关键．
二、填空题（每小题4分，共20分）
9.一元二次方程的一次项系数为______．
【答案】
【分析】根据一元二次方程一次项系数的定义可直接得出答案．
【详解】解：一元二次方程的一次项为，一次项系数为，
故答案为：．
【点评】本题考查一元二次方程的一般形式，一元二次方程经过整理都可化成一般形式．其中叫作二次项，a是二次项系数；叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项．掌握上述知识是解题的关键．
10.关于x的方程x2﹣kx﹣6＝0有一根为x＝﹣3，则k的值为____．
【答案】
【分析】将，代入中，即可得到k值．
【详解】解：将代入中，得到：
故答案为：
【点评】本题考查知道一元二次方程的解的应用，根据相关知识点解题是重点．
11.若关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为_____．
【答案】1
【分析】将代入方程中结合一元二次方程的二次项系数不为即可得出答案．
【详解】解：将代入方程中得，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程解的定义，熟记相关定义是解本题的关键．
12.请你写出一个有一根为1，另一个根介于和1之间的的一元二次方程：_______________________.
【答案】（答案不唯一）
【详解】试题分析：此题答案不唯一.因另一个根介于-2和1之间，设另一个根为-1，利用两交点式建立方程即可.
解：根据题意，设中另一个根为-1，
∴.
故答案为.
13.若a是方程2x2+x﹣2＝0的根，则代数式2023﹣a2a的值是　 　．
【答案】2022
【解析】∵a是方程2x2+x﹣2＝0的根，
∴2a2+a＝2，
∴2023﹣a2-a＝2023-（2a2+a）＝20232＝2022．
三、解答题（共48分）
14.（8分）已知关于x的方程．
(1)当k取何值时，此方程是一元一次方程？并求出此方程的根；
(2)当k取何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项．
【答案】(1)，
(2)，二次项系数是，一次项系数是，常数项是
【分析】（1）根据二次项系数等于零，一次项系数不等于零时是一元一次方程，可得答案；
（2）根据二次项系数不等于零是一元二次方程，可得答案．
【详解】（1）由是一元一次方程，得
，
解得，
原方程变为：，
∴
解得；
（2）由是一元二次方程，得
，
解得，
∴时，是一元二次方程，
二次项系数是，一次项系数是，常数项是．
【点评】本题考查了一元二次方程，二次项系数等于零，一次项系数不等于零是元一次方程得我定义；熟练掌握定义是解答本题的关键．
15.（8分）若x2a＋b－2xa－b＋3＝0是关于x的一元二次方程，试求整数a，b的值．
【答案】整数a，b的值为a＝1，b＝0或a＝1，b＝－1.
【分析】本题根据一元二次方程的定义求解．分5种情况分别求解即可．
【详解】分五种情况讨论：
①2a+b=2，a-b=1，解得a=1，b=0.
②2a+b=2，a-b=0，解得a=，b=，不合题意，舍去．
③2a＋b＝1，a－b＝2，解得a＝1，b＝－1.
④2a＋b＝0，a－b＝2，解得a=，b=-，不合题意，舍去．
⑤2a＋b＝2，a－b＝2，解得a=，b=-，不合题意，舍去．
∴整数a，b的值为a＝1，b＝0或a＝1，b＝－1.
【点评】本题考查一元二次方程的概念．解题关键是分5种情况讨论x的指数．
16.先化简，再求值：，其中是一元二次方程的根．
【答案】，1．
【分析】根据分式的运算法则进行计算化简，再根据是方程的根可得，再代入即可．
【详解】解：原式
．
∵是方程的根，
∴．
∴．
∴ 原式．
【点评】本题主要考查了分式的化简求值，一元二次方程的解．掌握分式的运算法则和整体代入求值是关键．
17.（8分）用方程描述下面问题中的数量关系（不用求解）
（1）剪出一张面积是240cm2的矩形彩纸，使它的长比宽多1cm，这张彩纸的长是多少？
（2）某企业2021年全年收入720万元，2023年全年收入845万元，求该企业全年收入的年平均增长率。
【答案】（1）；（2）720（1+x）2＝845．
【解析】（1）设这张彩纸的长是cm，则：
（2）设该企业全年收入的年平均增长率为x，根据题意，得
720（1+x）2＝845．
18.（8分）如果方程与方程有且只有一个公共根，求a的值．
【答案】-2
【分析】有且只有一个公共根，建立方程便可求解了．
【详解】解：∵有且只有一个公共根
∴
∴
∵当a=-1时两个方程完全相同，故a≠-1，
∴
∴
当时，代入第一个方程可得
1-a+1=0
解得：
【点评】本题考查根与系数的关系，关键在于有一个公共根的理解，从而建立方程，求得根．
19.（8分）已知a是方程的一个根，求代数式的值．
【答案】，3
【分析】根据方程根的定义，化简代入计算即可．
【详解】解：
，
∵a是方程的一个根，
∴，
即．
∴原式．
【点评】本题考查了一元二次方程的根即使得方程左右两边相等的未知数的值，正确理解定义是解题的关键．
19.（8分）已知m是方程x2﹣x﹣2=0的一个实数根，求代数式（m2﹣m）（m﹣+2015）的值．
【答案】4032
【详解】试题分析：由于m是方程x2﹣x﹣2=0的一个实数根，所以m2﹣m﹣2=0，所以m2﹣m=2，m2﹣2=﹣m，然后代入原式即可求出答案．
试题解析：由题意可知：m2﹣m﹣2=0，
∴m2﹣m=2，m2﹣2=m，
∴m﹣=1，
∴原式=2×（1+2015）=4032
【点评】掌握一元二次方程的解的定义是解题关键。
拓展培优*冲刺满分
1. 已知a2﹣3a+1＝0，求下列各式的值：
（1）2a2﹣6a﹣3；
（2）a2+a﹣2；
（3）a﹣a﹣1．
【分析】（1）由已知条件变形得到a2﹣3a＝﹣1，再把2a2﹣6a﹣3变形为2（a2﹣3a）﹣3，然后利用整体代入的方法计算；
（2）把已知等式两边除以a得到a3，再利用完全平方公式得到a2+a﹣2＝（a）2﹣2，然后利用整体代入的方法计算；
（3）利用完全平方公式变形得到a﹣a﹣1＝±，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：（1）∵a2﹣3a+1＝0，
∴a2﹣3a＝﹣1，
∴2a2﹣6a﹣3＝2（a2﹣3a）﹣3＝2×（﹣1）﹣3＝﹣5；
（2）∵a2﹣3a+1＝0，
∴a3，
∴a2+a﹣2＝（a）2﹣2＝32﹣2＝7；
（3）a﹣a﹣1±±．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．解决此类常利用整体代入的方法计算 。
2.我们定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．
(1)请判断方程是不是倍根方程，并说明理由；
(2)若是倍根方程，则___________．
【答案】(1)是，理由见解析
(2)4或16
【分析】（1）根据题意和题目中的方程，求得方程的解，据此即可判定；
（2）根据题目中的方程和题意，利用分类讨论的方法可以求得n的值．
【详解】（1）解：方程是倍根方程，
理由如下：
由方程，
解得，，
，
方程是倍根方程；
（2）解：由方程，
解得，，
方程是倍根方程，
或，
得或，
故或，
故答案为：4或16．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，正确理解“倍根方程”的定义是解题的关键．
3.如图，在中，，从点为圆心，长为半径画弧交线段于点，以点为圆心长为半径画弧交线段于点，连结．
(1)若，求的度数：
(2)设．
①请用含的代数式表示与的长；
②与的长能同时是方程的根吗？说明理由．
【答案】（1）；（2）①，；②是，理由见解析
【分析】（1）根据直角三角形、等腰三角形的性质，判断出△DBC是等边三角形，即可得到结论；
（2）①根据线段的和差即可得到结论；
②根据方程的解得定义，判断AD是方程的解，则当AD=BE时，同时是方程的解，即可得到结论．
【详解】解：（1）∵，
，
又，
是等边三角形．
．
（2）①∵
又，
．
②∵
∴线段的长是方程的一个根．
若与的长同时是方程的根，则，
即，
，
，
∴当时，与的长同时是方程的根．
【点评】本题考查了勾股定理，一元二次方程的解；熟练掌握直角三角形和等腰三角形的性质求边与角的方法，掌握判断一元二次方程的解得方法是解题的关键．
老师对你说：
老师对你说：
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