九年级数学上分层优化堂堂清7 21.3 实际问题与一元二次方程（含解析）

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九年级数学上分层优化堂堂清
二十一章 一元二次方程
21.3实际问题与一元二次方程
第一课时 传播速度问题
学习目标：
1.掌握按照一定速度逐步传播问题；
2.培养建立数学建模及应用一元二次方程解决实际问题的能力。
3.掌握根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理．
4.掌握列方程解应用题的步骤和关键．
老师对你说：
一 列一元二次方程解应用题的一般步骤
（1）审：读懂题目，弄清题意，明确已知量、未知量，以及它们之间的关系．
（2）设：设出未知数．
（3）列：找出相等关系，列出方程．
（4）解：解方程，求出未知数的值．
（5）验：检验方程的解是否符合实际意义．
（6）答：写出答案．
二 常见实际问题
（1）传播问题
传染源第一轮被传染的第二轮被传染的第二轮传染后的总数．
即：传播、传染问题：原病例数×（1＋传播数）传播轮数＝总病例数
（2）平均增长（降低）率问题
①设基数为，平均增长率为，则第一次增长后的值为，两次增长后的值为，依次类推，次增长后的值为．
②设基数为，平均降低率为，则第一次降低后的值为，两次降低后的值为，依次类推，次降低后的值为
即：增长率问题：原数×（1＋增长率）增长轮数＝总数，
原数×（1－下降率）下降轮数＝总数。
单双循环问题：单循环：＝总数；双循环：＝总数。（表示参与数量）
基础提升 教材核心知识点精练
知识点1：传播速度问题
【例1-1】请根据图片内容，回答下列问题：
(1)每轮传染中，平均一个人传染了几个人？
(2)按照这样的速度传染，第三轮将新增多少名感染者（假设每轮传染人数相同）？
【例1-2】有两人患了流感，经过两轮传染后共有288人患了流感，求每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x人，则可列方程为_____．
知识点2：循环问题
【例2-1】毕业之际，九年级数学兴趣小组的同学相约到某礼品店购买礼品，每两个同学都相互赠送一件礼品，共购买礼品30件，设该数学兴趣小组有人，根据题意，可列方程为 _____________．
【例2-2】某种植物的主干长出若干个数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是111，则每个支干长出 个小分支．
【例2-3】组织一次排球邀请赛，采取单循环的形式，即每两个队都要打一场比赛．
(1)如果有四个队参赛，则需要打多少场比赛？
(2)写出比赛的总场数与参赛队伍数量之间的函数关系式；
(3)经过最后统计，共打了28场比赛，求这次比赛共有多少个队参加？
知识点3：增长率问题
【例3-1】小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
B． C． D．
【例3-2】某厂一月份产值为2万元，以后每月产值的增长率都为x，且第一季度总产值为10万元，那么可以列出方程是__________．
能力强化提升训练
1 .2019年年底以来，湖北省武汉市发现一种新型冠状病毒引起的急性呼吸道传染疾病。
(1)在新冠初期，人们因为不了解这种病毒所以也没有及时进行隔离，若有1人感染后经过两轮的传染将会有144人感染了“新冠”，求每一轮传染后平均一个人会传染了几个人
(2)后来，大家众志成城，全都隔离在家，但玲玲爷爷种的糖心苹果遇到了滞销，于是玲玲在朋友圈帮爷爷销售，糖心苹果的成本为8元/千克，她发现当售价为12元/千克时，每天可卖出40千克，而每涨1元时，每天就少卖出10千克.如果每天要达到150元的利润而且又最大限度地帮爷爷增加销量，请你帮玲玲确定销售单价．
2. 网课期间小夏写了封保护眼睛的倡议书，用微博转发的方式传播，设计了如下转发规则：将倡议书发表在自己的微博上，然后邀请x个好友转发，每个好友转发之后，又邀请x个互不相同的好友转发，已知经过两轮转发后，共157人参与了此次活动，则x为______人．
3 .某公司2月份销售新上市的A产品20套，由于该产品的经济适用性，销量快速上升，4月份该公司销售A产品达到45套，并且2月到3月和3月到4月两次的增长率相同．
(1)求该公司销售A产品每次的增长率；
(2)若A产品每套盈利2万元，则平均每月可售30套，为了尽量减少库存，该公司决定采取适当的降价措施，经调查发现，A产品每套每降万元，公司平均每月可多售出20套；若该公司在5月份要获利70万元，则每套A产品需降价多少？
4.某图书店在2022年国庆节期间举行促销活动，某课外阅读书进货价为每本8元，标价为每本15元.
(1)该图书店举行了国庆大回馈活动，连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每本9.6元的价格售出，求图书店每次降价的百分率；
(2)在九月底该书店老板去进货该书500本，按照（1）两次降价后的价格在国庆节全部售出；国庆节后老板去进货发现进货价上涨了，进货量比九月底增加，以标价的八折全部售出后，比国庆节的总利润多1200元，求的值.
堂堂清
选择题（每小题4分，共32分）
1 .学校组织一次乒乓球赛，要求每两队之间都要赛一场．若共赛了28场，则有几个球队参赛？设有个球队参赛，则满足的关系式为（ ）
B． C． D．
某校组织了一次以班级为单位的校内足球赛，比赛采用循环赛，即每个球队都要与其它球队比赛一场，经过统计该学习一共要组织55场比赛，则参加本次比赛的球队数是(　　)
A．9 B．10 C．11 D．12
3.某镇2012年投入教育经费2000万元，为了发展教育事业，该镇每年教育经费的年增长率均为x，预计到2014年共投入9500万元，则下列方程正确的是(　　)
A．2000x2=9500
B．2000(1+x)2=9500
C．2000(1+x)=9500
D．2000+2000(1+x)+2000(1+x)2=9500
4 .电影《我和我的祖国》讲述了普通人与国家之间息息相关的动人故事．一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，若把平均每天票房的增长率记作x，则可以列方程为（ ）
A． B．
C． D．
5.有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中，平均一个人传染的人数（ ）
A．8人 B．9人 C．10人 D．11人
6.某市2021年国内生产总值（GDP）比2020年增长了12%，由于受到国际金融危机的影响，预计2022比2021年增长7%，若这两年GDP年平均增长率为%，则%满足的关系是
A． B．
C． D．
7 .今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有( )
A．9人 B．10人 C．11人 D．12人
8 .某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，从二月份起，由于改进操作技术，使得第一季度共生产钢铁1850吨，问二、三月份平均每月的增长率是多少？若设二、三月份平均每月的增长率为x，则可得方程（　　）
A． B．
C． D．
填空题（每小题4分，共20分）
某工厂去年10月份机器产量为500台，12月份的机器产量达到720台，设11、12月份平均每月机器产量增长的百分率为x，则根据题意可列方程_______________
10 .若一人患了流感，经过两轮传染后共有121人感染了流感．按照这样的传染速度，若2人患了流感，第一轮传染后患流感的人数共有_____人．
11 .今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有_____人．
12 .某足球比赛，要求每两支球队之间都要比赛一场，若共比赛场，则有______支球队参加比赛．
13 .一种药品经过两次降价，药价从原来每盒60元降至现在的48.6元，则平均每次降价的百分率是___．
解答题（共48分）
14 .（8分）为了陶冶情操开发智力丰富课余生活，市实验校成立了课外“象棋特长班”．开班仪式上，班内同学一一握手自我介绍(即每位同学都和班内其他同学握手)．老师对握手次数做了统计，全班共握手105次，问：该象棋班共有多少名学生？
15 .（8分）春季是传染病多发季节．2023年3月，我国某地甲型流感病毒传播速度非常快，开始有4人被感染，经过两轮传播后，就有256人患了甲型流感．若每轮传染的速度相同，求每轮每人传染的人数．
16 （8分）.随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人．
(1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；
(2)预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？
17 .（8分）农机厂计划用两年时间把产量提高69%．如果每年比上一年提高的百分数相同，求这个百分数．
18 .（8分）参加研讨会的教师每两人握一次手，共握手36次，这次参加研讨会的教师共有多少名？
19 .（8分）在国家的宏观调控下，某市的商品房成交价由今年3月份的5000元下降到5月份的4050元
(1)问4、5两月平均每月降价的百分率是多少？
(2)如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到7月份该市的商品房成交均价是否会跌破3000元？请说明理由．
拓展培优*冲刺满分
据统计，目前某市基站的数量约万座，计划到2023年底，全市基站数是目前的4倍，到2025年底，全市基站数最将达到万座．
计划到2023年底，全市基站的数量是多少万座？
求2023年底到2025年底，全市基站数量的年平均增长率．
2.为丰富居民业余生活，某居民区组建筹委会，该筹委会动员居民自愿集资建立一个书刊阅览室.经预算，一共需要筹资30 000元，其中一部分用于购买书桌、书架等设施，另一部分用于购买书刊.
（1）筹委会计划，购买书刊的资金不少于购买书桌、书架等设施资金的3倍，问最多用多少资金购买书桌、书架等设施？
（2）经初步统计，有200户居民自愿参与集资，那么平均每户需集资150元.镇政府了解情况后，赠送了一批阅览室设施和书籍，这样，只需参与户共集资20 000元.经筹委会进一步宣传，自愿参与的户数在200户的基础上增加了ａ%（其中）.则每户平均集资的资金在150元的基础上减少了%，求ａ的值.
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二十一章 一元二次方程
21.3实际问题与一元二次方程
第一课时 传播速度问题（解析版）
学习目标：
1.掌握按照一定速度逐步传播问题；
2.培养建立数学建模及应用一元二次方程解决实际问题的能力。
3.掌握根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理．
4.掌握列方程解应用题的步骤和关键．
老师对你说：
一 列一元二次方程解应用题的一般步骤
（1）审：读懂题目，弄清题意，明确已知量、未知量，以及它们之间的关系．
（2）设：设出未知数．
（3）列：找出相等关系，列出方程．
（4）解：解方程，求出未知数的值．
（5）验：检验方程的解是否符合实际意义．
（6）答：写出答案．
二 常见实际问题
（1）传播问题
传染源第一轮被传染的第二轮被传染的第二轮传染后的总数．
即：传播、传染问题：原病例数×（1＋传播数）传播轮数＝总病例数
（2）平均增长（降低）率问题
①设基数为，平均增长率为，则第一次增长后的值为，两次增长后的值为，依次类推，次增长后的值为．
②设基数为，平均降低率为，则第一次降低后的值为，两次降低后的值为，依次类推，次降低后的值为
即：增长率问题：原数×（1＋增长率）增长轮数＝总数，
原数×（1－下降率）下降轮数＝总数。
单双循环问题：单循环：＝总数；双循环：＝总数。（表示参与数量）
基础提升 教材核心知识点精练
知识点1：传播速度问题
【例1-1】请根据图片内容，回答下列问题：
(1)每轮传染中，平均一个人传染了几个人？
(2)按照这样的速度传染，第三轮将新增多少名感染者（假设每轮传染人数相同）？
【答案】(1)每轮传染中，平均一个人传染了10个人
(2)第三轮将新增1210名感染者
【分析】（1）设平均一个人传染了x个人，第一轮传染了x人，第一轮传染后一共有（1+x）名感染者；第二轮传染时这（1+x）人每人又传染了x人，则第二轮传染了x（1+x）人，列出方程求解即可；
（2）根据（1）中的结果进行计算即可．
【详解】（1）解：设平均一个人传染了x个人．
则可列方程：．
解得，（舍去）．
答：每轮传染中，平均一个人传染了10个人．
（2）（名）．
答：按照这样的速度传染，第三轮将新增1210名感染者．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确地理解题意，找出题目中的等量关系列出方程求解是解题的关键．
【例1-2】有两人患了流感，经过两轮传染后共有288人患了流感，求每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x人，则可列方程为_____．
【答案】
【分析】先根据题意列出第一轮传染后患流感的人数，再根据题意列出第二轮传染后患流感的人数，而已知第二轮传染后患流感的人数，故可得方程．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，
第一轮传染后患流感的人数是：，
第二轮传染后患流感的人数是：，
而已知经过两轮传染后共有288人患了流感，则可得方程：
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，要根据题意列出第一轮传染后患流感
知识点2：循环问题
【例2-1】毕业之际，九年级数学兴趣小组的同学相约到某礼品店购买礼品，每两个同学都相互赠送一件礼品，共购买礼品30件，设该数学兴趣小组有人，根据题意，可列方程为 _____________．
【答案】
【分析】由题意，列出一元二次方程即可得到答案．
【详解】解：设该数学兴趣小组有人，根据题意得，
故答案为：．
【点评】本题考查一元二次方程解实际应用题，根据题意建立等量关系是解题的关键．
【例2-2】某种植物的主干长出若干个数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是111，则每个支干长出 个小分支．
【答案】
【分析】设每个支干长出个小分支，利用主干、支干和小分支的总数是111，列出一元一次方程，解方程即可求解．
【详解】解：设每个支干长出个小分支，根据题意得，
即，
解得：（舍去）
故答案为：．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
【例2-3】组织一次排球邀请赛，采取单循环的形式，即每两个队都要打一场比赛．
(1)如果有四个队参赛，则需要打多少场比赛？
(2)写出比赛的总场数与参赛队伍数量之间的函数关系式；
(3)经过最后统计，共打了28场比赛，求这次比赛共有多少个队参加？
【答案】(1)6；
(2)
(3)8
【分析】（1）采取单循环的形式，如果有四个队参赛，则需要打：场；
（2）直接根据题意列出函数关系式即可；
（3）根据参赛的每两个队之间都要比赛一场结合总共28场，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】（1）如果有四个队参赛，则需要打：
场；
（2）总场数与参赛队伍数量之间的函数关系式：；
（3）设比赛组织者应邀请x个队参赛，
根据题意得：，
解得：，（舍去），
这次比赛共有8个队参加．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题的关键．
知识点3：增长率问题
【例3-1】小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】平均增长率为x，关系式为：第三天揽件量＝第一天揽件量×（1＋平均增长率）2，把相关数值代入即可．
【详解】解：由题意得：第一天揽件200件，第三天揽件242件，
∴可列方程为：，
故选：A．
【点睛】此题考查一元二次方程的应用，得到三天的揽件量关系式是解决本题的突破点，难度一般．
【例3-2】某厂一月份产值为2万元，以后每月产值的增长率都为x，且第一季度总产值为10万元，那么可以列出方程是__________．
【答案】
【分析】由题意可求出二月份产值为万元，三月份产值为万元．再根据第一季度总产值为10万元即可列出方程．
【详解】由题意可求出二月份产值为万元，
∴三月份产值为万元．
∵第一季度总产值为10万元，
∴可以列出方程是．
故答案为：．
【点评】本题考查一元二次方程的实际应用．理解题意，找出等量关系，列出等式是解题关键．
能力强化提升训练
1 .2019年年底以来，湖北省武汉市发现一种新型冠状病毒引起的急性呼吸道传染疾病。
(1)在新冠初期，人们因为不了解这种病毒所以也没有及时进行隔离，若有1人感染后经过两轮的传染将会有144人感染了“新冠”，求每一轮传染后平均一个人会传染了几个人
(2)后来，大家众志成城，全都隔离在家，但玲玲爷爷种的糖心苹果遇到了滞销，于是玲玲在朋友圈帮爷爷销售，糖心苹果的成本为8元/千克，她发现当售价为12元/千克时，每天可卖出40千克，而每涨1元时，每天就少卖出10千克.如果每天要达到150元的利润而且又最大限度地帮爷爷增加销量，请你帮玲玲确定销售单价．
【答案】(1)11人
(2)11元
【分析】（1）设每轮传染中平均一个人传染了人，根据1人感染“新冠”经过两轮传染后共有144人感染“新冠”，列出一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
（2）设小玲应该将售价定为元，则每天可以卖出千克，根据总利润=每斤的利润销售数量，列出一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染了人，
依题意，得：，
即
解得：，（不合题意，舍去）．
答：每轮传染中平均一个人传染了11人．
（2）解：设玲玲应该将售价定为元，则每天可以卖出千克，
依题意得：
，
整理，得：，
解得：，
最大限度的帮爷爷增加销量，
小玲应该将售价定位11元，
答：小玲应该将售价定为11元．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
网课期间小夏写了封保护眼睛的倡议书，用微博转发的方式传播，设计了如下转发规则：将倡议书发表在自己的微博上，然后邀请x个好友转发，每个好友转发之后，又邀请x个互不相同的好友转发，已知经过两轮转发后，共157人参与了此次活动，则x为______人．
【答案】12
【分析】根据传播规则结合经过两轮转发后共有157个人参与了此活动，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：依题意，得：，
解得：(不合题意，舍去)．
故答案为：12．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
某公司2月份销售新上市的A产品20套，由于该产品的经济适用性，销量快速上升，4月份该公司销售A产品达到45套，并且2月到3月和3月到4月两次的增长率相同．
(1)求该公司销售A产品每次的增长率；
(2)若A产品每套盈利2万元，则平均每月可售30套，为了尽量减少库存，该公司决定采取适当的降价措施，经调查发现，A产品每套每降万元，公司平均每月可多售出20套；若该公司在5月份要获利70万元，则每套A产品需降价多少？
【答案】(1)
(2)1万元
【分析】（1）设该公司销售产品每次的增长率为，根据2月份及4月份该公司产品的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设每套产品需降价万元，则平均每月可售出套，根据总利润每套的利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．
【详解】（1）解：设该公司销售产品每次的增长率为，
依题意，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：该公司销售产品每次的增长率为．
（2）设每套产品需降价万元，则平均每月可售出套，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：，．
答尽量减少库存，
．
答：每套产品需降价1万元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键
4.某图书店在2022年国庆节期间举行促销活动，某课外阅读书进货价为每本8元，标价为每本15元.
(1)该图书店举行了国庆大回馈活动，连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每本9.6元的价格售出，求图书店每次降价的百分率；
(2)在九月底该书店老板去进货该书500本，按照（1）两次降价后的价格在国庆节全部售出；国庆节后老板去进货发现进货价上涨了，进货量比九月底增加，以标价的八折全部售出后，比国庆节的总利润多1200元，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设商城每次降价的百分率为x，利用经过两次降价后的价格=原价每次降价的百分率，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
（2）分别求出国庆节的总利润和国庆节后的总利润，根据国庆节后的总利润比国庆节的总利润多1200元列出方程，求出的值即可
【详解】（1）设图书店每次降价的百分率为x，
依题意得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：商城每次降价的百分率为．
（2）根据题意得，
整理得，
解得，，或（舍去）
故的值为
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
堂堂清
选择题（每小题4分，共32分）
1 .学校组织一次乒乓球赛，要求每两队之间都要赛一场．若共赛了28场，则有几个球队参赛？设有个球队参赛，则满足的关系式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设有x个球队参加比赛，那么第一个球队和其他球队打（x-1）场球，第二个球队和其他球队打（x-2）场，以此类推可以知道共打（1+2+3+…+x-1）场球，然后根据计划安排28场比赛即可列出方程.
【详解】设有x个球队参加比赛，
依题意得1+2+3+…+x-1=28，
即
故选：B.
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，和实际生活结合比较紧密，准确找到关键描述语，从而根据等量关系准确的列出方程是解决问题的关键。
某校组织了一次以班级为单位的校内足球赛，比赛采用循环赛，即每个球队都要与其它球队比赛一场，经过统计该学习一共要组织55场比赛，则参加本次比赛的球队数是(　　)
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】C
【分析】设邀请x个球队参加比赛，那么每个球队和其他球队打（x-1）场球，共打场球，然后根据计划安排55场比赛即可列出方程求解．
【详解】解：设邀请x个球队参加比赛，
依题意得即=55，
∴x2-x-110=0，
∴x=11或x=-10（不合题意，舍去）．
故选：C．
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用．此题和实际生活结合比较紧密，准确找到关键描述语，从而根据等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．此题还要判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
3.某镇2012年投入教育经费2000万元，为了发展教育事业，该镇每年教育经费的年增长率均为x，预计到2014年共投入9500万元，则下列方程正确的是(　　)
A．2000x2=9500
B．2000(1+x)2=9500
C．2000(1+x)=9500
D．2000+2000(1+x)+2000(1+x)2=9500
【答案】D
【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×(1+增长率)，参照本题，如果教育经费的年平均增长率为x，根据2012年投入2000万元，预计到2014年投入9500万元即可得出方程．
【详解】依题意得 2013年投入为2000(x+1)，2014年投入为2000(1+x)2，
∴2000+2000(x+1)+2000(1+x)2=9500．
故选：D．
【点评】
本题考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语，就能找到等量关系，是解决问题的关键．同时要注意增长率问题的一般规律．
4 .电影《我和我的祖国》讲述了普通人与国家之间息息相关的动人故事．一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，若把平均每天票房的增长率记作x，则可以列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意分别用含x式子表示第二天，第三天的票房数，将三天的票房相加得到票房总收入，即可得出答案．
【详解】解：设增长率为x，由题意可得出，第二天的票房为3(1+x)，第三天的票房为3(1+x)2，
根据题意可列方程为．
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是读懂题意，找出等量关系式．
5.有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中，平均一个人传染的人数（ ）
A．8人 B．9人 C．10人 D．11人
【答案】B
【详解】设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，第一轮过后有（1+x）个人感染，第二轮过后有（1+x）+x（1+x）个人感染，
由题意可知：1+x+x（1+x）=100，
整理得，，
解得x=9或-11， x=-11不符合题意，舍去．
那么每轮传染中平均一个人传染的人数为9人．
故选B．
6.某市2021年国内生产总值（GDP）比2020年增长了12%，由于受到国际金融危机的影响，预计2022比2021年增长7%，若这两年GDP年平均增长率为%，则%满足的关系是
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】设2016年的国内生产总值为1，
∵2017年国内生产总值（GDP）比2016年增长了12%，∴2017年的国内生产总值为1+12%；
∵2018年比2017年增长7%，∴2018年的国内生产总值为（1+12%）（1+7%），
∵这两年GDP年平均增长率为x%，∴2018年的国内生产总值也可表示为：，
∴可列方程为：（1+12%）（1+7%）=．故选D．
7 .今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有( )
A．9人 B．10人 C．11人 D．12人
【答案】B
【详解】试题解析：设这个QQ群共有x人，
依题意有x（x-1）=90，
解得：x=-9（舍去）或x=10，
∴这个QQ群共有10人
8 .某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，从二月份起，由于改进操作技术，使得第一季度共生产钢铁1850吨，问二、三月份平均每月的增长率是多少？若设二、三月份平均每月的增长率为x，则可得方程（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】第一个月是560，第二个月是560（1+x），第三月是560（1+x）2
，所以第一季度总计560+560（1+x）+560（1+x）2=1850，选D.
填空题（每小题4分，共20分）
某工厂去年10月份机器产量为500台，12月份的机器产量达到720台，设11、12月份平均每月机器产量增长的百分率为x，则根据题意可列方程_______________
【答案】
【分析】根据增长率公式即可列出方程.
【详解】解：根据题意可列方程为：，
故答案为：.
【点评】本题考查一元二次方程的应用——增长率问题.若连续两期增长率相同，那么a(1+x)2=b，其中a为变化前的量，b为变化后的量，增长率为x．
10 .若一人患了流感，经过两轮传染后共有121人感染了流感．按照这样的传染速度，若2人患了流感，第一轮传染后患流感的人数共有_____人．
【答案】22
【分析】设每轮传染中1人传染给x人，则第一轮传染后共（1+x）人患流感，第二轮传染后共[1+x+x（x+1）]人患流感，列出方程进行计算即可.
【详解】解：设每轮传染中1人传染给x人，则第一轮传染后共（1+x）人患流感，第二轮传染后共[1+x+x（x+1）]人患流感，
根据题意得：1+x+x（x+1）＝121，
解得：x1＝10，x2＝﹣12（舍去），
∴2（1+x）＝22．
故答案为22．
【点评】考查一元二次方程的应用，读懂题目，找出题目中的等量关系是解题的关键.
11 .今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有_____人．
【答案】10
【分析】设该群一共有x人，则每人收到（x﹣1）个红包，根据群内所有人共收到90个红包，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：设该群一共有x人，则每人收到（x﹣1）个红包，
依题意，得：x（x﹣1）＝90，
解得：x1＝10，x2＝﹣9（舍去）．
故答案为10．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
12 .某足球比赛，要求每两支球队之间都要比赛一场，若共比赛场，则有______支球队参加比赛．
【答案】10
【分析】先列出x支篮球队，每两队之间都比赛一场，共可以比赛x（x-1）场，再根据题意列出方程为x（x-1）=45．
【详解】∵有x支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，
∴共比赛场数为x（x-1），
∴共比赛了45场，
∴x（x-1）=45，
解得：x1=10，x2=-9（舍去），
故答案为：10.
【点评】此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键是从实际问题中抽象出相等关系．
13 .一种药品经过两次降价，药价从原来每盒60元降至现在的48.6元，则平均每次降价的百分率是___．
【答案】10．
【分析】设该药品平均每次降价的百分率为，根据降价后的价格=降价前的价格(1-降价的百分率)，则第一次降价后的价格是60()，第二次后的价格是60()2，据此即可列方程求解．
【详解】设平均每次降价的百分率是，则第二次降价后的价格为元，
根据题意得：，
即，
解得，(舍去)，．
所以平均每次降价的百分率是0.1，即．
故答案为：10．
解答题（共48分）
14 .（8分）为了陶冶情操开发智力丰富课余生活，市实验校成立了课外“象棋特长班”．开班仪式上，班内同学一一握手自我介绍(即每位同学都和班内其他同学握手)．老师对握手次数做了统计，全班共握手105次，问：该象棋班共有多少名学生？
【答案】这次参加开班仪式的有15人．
【分析】根据题意设这次参加开班仪式的同学有x人，则每人应握(x﹣1)次手，并列出一元二次方程，继而进行求解即可，注意负数根舍去.
解：设这次参加开班仪式的同学有x人，则每人应握(x﹣1)次手，由题意得：
x(x﹣1)=105，
即：x2﹣x﹣210=0，
解得：x1=15，x2=﹣14(不符合题意舍去)．
答：这次参加开班仪式的有15人．
【点拨】本题考查一元二次方程的实际应用，仔细审题理解题意，列方程进行分析求解.
15 .（8分）春季是传染病多发季节．2023年3月，我国某地甲型流感病毒传播速度非常快，开始有4人被感染，经过两轮传播后，就有256人患了甲型流感．若每轮传染的速度相同，求每轮每人传染的人数．
【答案】每轮每人传染的人数为7人
【分析】设每轮每人传染的人数为x人，则第一轮中有人被感染，第二轮中有人被感染，根据“开始有4人被感染，经过两轮传播后，就有256人患了甲型流感”，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
解：设每轮每人传染的人数为x人，则第一轮中有人被感染，第二轮中有人被感染，
根据题意得：，
即，
解得：， (不符合题意，舍去)．
答：每轮每人传染的人数为7人．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
16 （8分）.随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人．
(1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；
(2)预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？
【答案】(1)这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为
(2)5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人
【分析】（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为，根据题意，列出一元二次方程，进行求解即可；
（2）设5月份后10天日均接待游客人数是y万人，根据题意，列出不等式进行计算即可．
【详解】（1）解：设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为，由题意，得：
，
解得：（负值已舍掉）；
答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为；
（2）设5月份后10天日均接待游客人数是y万人，由题意，得：
，
解得：；
∴5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人．
【点评】本题考查一元二次方程和一元一次不等式的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程和不等式，是解题的关键．
17 .（8分）农机厂计划用两年时间把产量提高69%．如果每年比上一年提高的百分数相同，求这个百分数．
【答案】.
【分析】可设原来的产量为1，等量关系为：原来的产量增长率）原来的产量 ，把相关数值代入求得正数解即可．
【详解】解：设这个百分数为，原来的产量为1，依题意有
，
解得，（不合题意，舍去）．
答：这个百分数是．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用；根据两年后的产量得到等量关系是解决本题的关键．
18 .（8分）参加研讨会的教师每两人握一次手，共握手36次，这次参加研讨会的教师共有多少名？
【答案】9人
【分析】设参加研讨会的教师有x人，每个人都与另外的人握手一次，则每个人握手（x 1）次，且其中任何两人的握手只有一次，因而共有x（x 1）次，设出未知数列方程解答即可．
【详解】设参加研讨会的教师有x人，根据题意列方程得，
x（x 1）＝36，
解得x1＝9，x2＝ 8（不合题意，舍去）；
答：参加研讨会的教师有9人．
【点评】此题主要考查一元二次方程的应用，理解：设有x人参加聚会，每个人都与另外的人握手一次，则每个人握手（x 1）次是关键．
19 .（8分）在国家的宏观调控下，某市的商品房成交价由今年3月份的5000元下降到5月份的4050元
(1)问4、5两月平均每月降价的百分率是多少？
(2)如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到7月份该市的商品房成交均价是否会跌破3000元？请说明理由．
【答案】(1)
(2)不会，理由见解析
【分析】（1）设4、5两月平均每月降价的百分率是x，那么4月份的房价为，5月份的房价为，然后根据5月份的4050元即可列出方程解决问题；
（2）根据（1）的结果可以计算出今年7月份商品房成交均价，然后和3000元进行比较即可作出判断．
【详解】（1）解：设4、5两月平均每月降价的百分率是x，
，（舍）
答：4、5两月平均每月降价的百分率是．
（2）否，理由如下：
∵（元）
，
∴预测到7月份该市的商品房成交均价不会跌破3000元．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，和实际生活结合比较紧密，正确理解题意，找到关键的数量关系，然后列出方程是解题的关键．
拓展培优*冲刺满分
据统计，目前某市基站的数量约万座，计划到2023年底，全市基站数是目前的4倍，到2025年底，全市基站数最将达到万座．
计划到2023年底，全市基站的数量是多少万座？
求2023年底到2025年底，全市基站数量的年平均增长率．
【答案】(1) 计划到2023年底，全市5G基站的数量是6万座.；(2)2023年底到2025年底，全市5G基站数量的年平均增长率为
【分析】（1）按照条件计算即可；（2）设出未知数，按题目要求列出算式，得出结果检验．
（1）解：（万座），
答：计划到2023年底，全市基站的数量是6万座.
（2）解：设2023年底到2025年底，全市基站数量的年平均增长率为x，
依题意，得，
解得（不符合题意，舍去），
答：2023年底到2025年底，全市5G基站数量的年平均增长率为；
【点拨】本题主要考查一元二次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键．
2.为丰富居民业余生活，某居民区组建筹委会，该筹委会动员居民自愿集资建立一个书刊阅览室.经预算，一共需要筹资30 000元，其中一部分用于购买书桌、书架等设施，另一部分用于购买书刊.
（1）筹委会计划，购买书刊的资金不少于购买书桌、书架等设施资金的3倍，问最多用多少资金购买书桌、书架等设施？
（2）经初步统计，有200户居民自愿参与集资，那么平均每户需集资150元.镇政府了解情况后，赠送了一批阅览室设施和书籍，这样，只需参与户共集资20 000元.经筹委会进一步宣传，自愿参与的户数在200户的基础上增加了ａ%（其中）.则每户平均集资的资金在150元的基础上减少了%，求ａ的值.
【答案】（1）7500元；（2）50.
【详解】试题分析：（1）设用于购买书桌、书架等设施的为x元，则购买书籍的有（30000-x）元，利用“购买书刊的资金不少于购买书桌、书架等设施资金的3倍”，列出不等式求解即可；
（2）根据“自愿参与的户数在200户的基础上增加了a%（其中a＞0）．则每户平均集资的资金在150元的基础上减少了a%，且总集资额为20000元”列出方程求解即可．
试题解析：（1）设用于购买书桌、书架等设施的为x元，则购买书籍的有（30000-x）元，
根据题意得：30000-x≥3x，
解得：x≤7500．
答：最多用7500元购买书桌、书架等设施；
（2）根据题意得：200（1+a%）×150（1-a%）=20000
整理得：a2+10a-3000=0，
解得：a=50或a=-60（舍去），
所以a的值是50．
【点评】1.一元二次方程的应用;2.一元一次不等式的应用.
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