九年级数学上分层优化堂堂清8 21.3 实际问题与一元二次方程（含解析）

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九年级数学上分层优化堂堂清
二十一章 一元二次方程
21.3实际问题与一元二次方程
第二课时 面积问题，销售利润问题
学习目标：
1.根据实际问题中的数量关系，正确列出一元二次方程。
2.通过列方程解应用题体会一元二次方程在实际生活中的应用，经历将实际问题转化为数学问题的过程，提高数学应用意识。
老师对你说：
1.几何面积问题：利用勾股定理建立一元二次方程。
利用面积公式建立二元一次方程。
2.销售利润问题：总利润＝单利润×数量
现单利润＝原单利润＋涨价部分（－降价部分）
现数量＝原数量－（原数量＋）
3.数字问题
(1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、
　　　 千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字
只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用
其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位
数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：
　　　　　 100c+10b+a.
　 (2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1.
　　　如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1.
　　　几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2.
　　　如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2.
基础提升 教材核心知识点精练
知识点1：几何图形问题
【例1-1】如图，一农户要建一个矩形鸡舍，为了节省材料，鸡舍的一边利用长为12米的墙，另外三边用长为27米的建筑材料围成，为方便进出，在垂直墙的一边留下一个宽1米的门，所围成矩形鸡舍的长、宽分别是多少时，鸡舍面积为90平方米？

【例1-2】如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以厘米/秒的速度移动，如果、分别是从同时出发，求经过几秒时，
的面积等于平方厘米？
五边形的面积最小？最小值是多少？
知识点2：数字问题
【例2-1】阅读材料，回答下列问题：
反序数：
有这样一对数，一个数的数字排列完全颠倒过来变成另一个数，简单的说，就是顺序相反的两个数，我们把这样的一对数称为“反序数”，比如：的反序数是，的反序数是．
用方程知识解决问题：
若一个两位数，其十位上的数字比个位上的数字大3，这个两位数与其反序数之积为，求这个两位数．
【例2-2】下图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数(如6，7，8，l3，14，l5，20，21，22)．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为（ ）．
A．32 B．126 C．135 D．144
知识点3：销售利润问题
【例3-1】水果批发市场有一种高档水果，如果每千克盈利(毛利)10元，每天可售出600kg．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量将减少20kg．
(1)若以每千克能盈利17元的单价出售，求每天的总毛利润为多少元；
(2)现市场要保证每天总毛利润为7500元，同时又要使顾客得到实惠，求每千克应涨价多少元；
(3)现需按毛利润的10%缴纳各种税费，人工费每日按销售量每千克支出1.5元，水电房租费每日300元．若每天剩下的总纯利润要达到6000元，求每千克应涨价多少元．
【例3-2】2022北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注：利润=销售价-进货价）
类别价格 A款钥匙扣 B款钥匙扣
进货价（元／件） 30 25
销售价（元／件） 45 37
(1)网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数？
(2)冬奥会临近结束时，网店打算把B款钥匙扣调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元？
能力强化提升训练
1 .某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过度，那么这个月这户居民只交10元电费；如果超过度，这个月除了交10元电费外，超过部分按每度元交费．
该厂某户居民1月份用电90度，超过了度的规定，试写出超过部分应交的电费．（用含的代数式表示）
(2)下表是这户居民2月、3月的用电情况，请根据其中的数据，求电厂规定的度是多少．
月份 用电量/度 交电费总数/元
2月 80 25
3月 45 10
2 .某农场去年种植了亩地的南瓜，亩产量为，根据市场需要，今年该农场扩大了种植面积，并且全部种植了高产的新品种南瓜，今年南瓜亩产量的增长率是种植面积的增长率的，设南瓜种植面积的增长率为．
(1)则今年南瓜的种植面积为________亩；今年南瓜亩产量为_______（用含的代数式表示）
(2)今年南瓜的总产量为，求南瓜亩产量的增长率．
3.甲、乙两工程队共同承建某高速路隧道工程，隧道总长2000米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质情况不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米，隧道施工成本为6万元；乙每合格完成1米，隧道施工成本为8万元．
（1）若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？
（2）实际施工开始后因地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖m米，乙因特殊地质，在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖m米，若最终每天实际总成本比计划多（11m-8）万元，求m的值．
4 .解读诗词通过列方程算出周瑜去世时的年龄：大江东去浪淘尽，千古风流数人物，而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符，哪位学子算得快，多少年华属周瑜？诗词大意：周瑜三十岁当东吴都督，去世时的年龄是两位数，十位数字比个位数字小三，个位数字的平方等于他去世时的年龄．
堂堂清
一、选择题（每小题4分，共32分）
1.有一个两位数，个位数字与十位数字之和为8，把它的个位数字与十位数字对调，得到一个新数，新数与原数之积为1855，则原两位数是（ ）
A．35 B．53 C．62 D．35或53
修建一个面积为 平方米的矩形花园，它的长比宽多 米，设宽为 米，可列方程为 （　　）
A． B．
C． D．
3 .某网店销售一批运动装，平均每天可销售20套，每套盈利45元；为扩大销售量，增加盈利，采取降价措施，一套运动服每降价1元，平均每天可多卖4套，若网店要获利2100元，设每套运动装降价元，则列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4 .如图，要设计一幅宽、长的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，则横彩条和竖彩条的宽度分别是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
5 .某餐厅主营盒饭业务，每份盒饭的成本为元．若每份盒饭的售价为元，每天可卖出份．市场调查反映：如调整价格，每涨价元，每天要少卖出份．若该餐厅想让每天盒饭业务的利润达到元，设每份盒饭涨价元，则符合题意的方程是（ ）
A． B．
C． D．
6 .如图，将一张正方形铁皮的四个角同时切去边长为2的四个小正方形，制成一个无盖箱子，若箱子的底面边长为，原正方形铁皮的面积为，则无盖箱子的外表面积为（　　）

A．1 B．4 C．6 D．9
7.为加快推动生态巩义建设步伐，形成“城在林中、园在城中、山水相依，林路相随”的生态格局，市政府计划在某街心公园的一块矩形空地上修建草坪，如图，矩形长为40m，宽为30m，在矩形内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为，道路的宽度应为多少 设矩形地块四周道路的宽度为xm，根据题意，下列方程不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8 .《九章算术》是我国传统数学中重要的著作之一，奠定了我国传统数学的基本框架其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就《九章算术》记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”大意：有一扇形状是矩形的门，它的高比宽多6尺8寸，它的对角线长1丈，问它的高与宽各是多少？利用方程思想设矩形门宽为尺，则依题意所列方程为（ ）
（1丈=10尺，1尺=10寸）
A． B．
C． D．
二、填空题（每小题4分，共20分）
9 .如图，在宽为 ，长为的矩形地面上修建两条同样宽且互相垂直的道路，其余部分作为耕地为．则道路的宽为是 ．
10 .已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上的数字与十位上的数字的平方和比这个两位数小4，设个位上的数字为，列出关于的方程： .
11 .如图所示，在矩形ABCD中，，点P在边CD上，且，将沿BP折叠，若点C的对应点F落在矩形ABCD的边上，则CD的长度为 ．
12 .某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客尽可能多得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，则该商品的销售定价为 元．
13 .商场某种商品进价为120元/件，售价130元/件时，每天可销售70件；售价单价高于130元时，每涨价1元，日销售量就减少1件，据此，若销售单价为　 元时，商场每天盈利达1500元．
三、解答题（共48分）
14 .（8分）某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量净减少10个,因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，商店若将准备获利2000元，定价为多少元？
15 .（8分）有一块长、宽的矩形铁皮．

(1)如图1，如果在铁皮的四个角裁去四个边长一样的正方形后，将其折成底面积为的无盖长方体盒子，求裁去的正方形的边长；
(2)由于需要，计划制作一个有盖的长方体盒子，为了合理利用材料，某学生设计了如图2所示的裁剪方案，阴影部分为裁剪下来的边角料，其中左侧的两个阴影部分为正方形，问能否折出底面积为的有盖盒子？如果能，请求出盒子的体积；如果不能，请说明理由．
（8分）如图，用篱笆靠墙围成矩形花圃，墙可利用的最大长度为15米，花圃一面利用墙，其余三面用篱笆围成，篱笆总长为24米．

(1)若围成的花圃面积为40平方米时，求的长；
(2)围成的花圃面积能否为75平方米，如果能，请求的长；如果不能，请说明理由．
17 .（8分）某网店专门销售某种品牌的工艺品，成本为30元/件，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示．

(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)如果规定每天工艺品的销售量不低于240件且有盈利，销售单价x应定在什么范围？
(3)如果在（2）的条件下，网店每天销售利润为3750元，求该种工艺品销售单价是多少元？
18 .（8分）阅读材料，回答下列问题：
反序数：
有这样一对数，一个数的数字排列完全颠倒过来变成另一个数，简单的说，就是顺序相反的两个数，我们把这样的一对数称为“反序数”，比如：的反序数是，的反序数是．
用方程知识解决问题：
若一个两位数，其十位上的数字比个位上的数字大3，这个两位数与其反序数之积为，求这个两位数．
19 .（8分）把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形……按此规律排列下去，解答下列问题：
（1）第5个图案中黑色三角形的个数有　　个．
（2）第n个图案中黑色三角形的个数能是50个吗？如果能，求出n的值；如果不能，试用一元二次方程的相关知识说明道理．
拓展培优*冲刺满分
1.今年某村农产品喜获丰收，该村村委会在网上直播销售A、B两种优质农产品礼包．
(1)已知今年7月份销售A种农产品礼包256包，8、9月该礼包十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，9月份的销售量达到400包．若设8、9两个月销售量的月平均增长率为x，求x的值；
(2)若B种农产品礼包每包成本价为16元，当售价为每包30元时，每月销量为200包．为了尽快减少库存，该村准备在10月进行降价促销，经调查发现，若B种农产品礼包每包每降价1元，月销售量可增加20包，当B种农产品礼包每包降价多少元时，该村销售B种农产品礼包在10月份可获利2860元
2.某市创建“绿色发展模范城市”，针对境内长江段两种主要污染源：生活污水和沿江工厂污染物排放，分别用“生活污水集中处理”(下称甲方案)和“沿江工厂转型升级”(下称乙方案)进行治理，若江水污染指数记为Q，沿江工厂用乙方案进行一次性治理(当年完工)，从当年开始，所治理的每家工厂一年降低的Q值都以平均值n计算，第一年有40家工厂用乙方案治理，共使Q值降低了12 ．经过三年治理，境内长江水质明显改善 ．
（1）求的n值；
（2）从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m，三年来用乙方案治理的工厂数量共190家，求m的值，并计算第二年用乙方案新治理的工厂数量；
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二十一章 一元二次方程
21.3实际问题与一元二次方程 （解析版）
第二课时 面积问题，销售利润问题
学习目标：
1.根据实际问题中的数量关系，正确列出一元二次方程。
2.通过列方程解应用题体会一元二次方程在实际生活中的应用，经历将实际问题转化为数学问题的过程，提高数学应用意识。
老师对你说：
1.几何面积问题：利用勾股定理建立一元二次方程。
利用面积公式建立二元一次方程。
2.销售利润问题：总利润＝单利润×数量
现单利润＝原单利润＋涨价部分（－降价部分）
现数量＝原数量－（原数量＋）
3.数字问题
(1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、
　　　 千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字
只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用
其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位
数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：
　　　　　 100c+10b+a.
　 (2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1.
　　　如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1.
　　　几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2.
　　　如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2.
基础提升 教材核心知识点精练
知识点1：几何图形问题
【例1-1】如图，一农户要建一个矩形鸡舍，为了节省材料，鸡舍的一边利用长为12米的墙，另外三边用长为27米的建筑材料围成，为方便进出，在垂直墙的一边留下一个宽1米的门，所围成矩形鸡舍的长、宽分别是多少时，鸡舍面积为90平方米？

【答案】鸡舍的边长、分别是9米，10米．
【分析】设的长度为米，则的长度为米，的长度为米，根据矩形的面积公式列方程求解，即可得到答案．
【详解】解：设的长度为米，则的长度为米，的长度为米，
根据题意得：，
解得：，，
当时，，不合题意，舍去；
当时，，
即，，
答：鸡舍的边长、分别是9米，10米．
【点评】本题考查了一元二次方程的实际应用，矩形的面积公式，一元二次方程的解法，根据题目的等量关系正确列方程是解题关键．
【例1-2】如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以厘米/秒的速度移动，如果、分别是从同时出发，求经过几秒时，
的面积等于平方厘米？
五边形的面积最小？最小值是多少？
【答案】(1)2秒或4秒；(2)3秒时，五边形的面积最小，最小值是39平方厘米
【分析】（1）设运动时间为，则，，再由面积公式建立方程求解即可；
（2）由（1）可得：要使的面积有最大值，则要使取最大值，则此时，面积为9， 则此时五边形的面积最小，从而可得答案．
（1）解：设运动时间为，则，，
则，
解得：或．
∴经过2秒或4秒时，的面积等于8平方厘米．
（2）由（1）可得：
∴要使的面积有最大值，则要使取最大值，则此时，面积为9，
则此时五边形的面积最小，最小值为．
【点拨】本题主要考查动点问题，一元二次方程的应用，配方法的应用，熟练的解一元二次方程是解本题的关键．
知识点2：数字问题
【例2-1】阅读材料，回答下列问题：
反序数：
有这样一对数，一个数的数字排列完全颠倒过来变成另一个数，简单的说，就是顺序相反的两个数，我们把这样的一对数称为“反序数”，比如：的反序数是，的反序数是．
用方程知识解决问题：
若一个两位数，其十位上的数字比个位上的数字大3，这个两位数与其反序数之积为，求这个两位数．
【答案】
【分析】设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为，根据这个两位数与其反序数之积为，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
解：设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为，
根据题意得：，
∴，即，
∴，
∴
解得或（舍去），
∴，
∴这个两位数为．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【例2-2】下图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数(如6，7，8，l3，14，l5，20，21，22)．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为（ ）．
A．32 B．126 C．135 D．144
【答案】D
【分析】根据日历上数字规律得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，以及利用最大数与最小数的积为192，求出两数，再利用上下对应数字关系得出其他数即可．
【详解】解：根据图象可以得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，设最小数为：，则最大数为，根据题意得出：
，
解得：，，（不合题意舍去），
故最小的三个数为：8，9，10，
下面一行的数字分别比上面三个数大7，即为：15，16，17，
第3行三个数，比上一行三个数分别大7，即为：22，23，24，
故这9个数的和为：，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了数字变化规律以及一元二次方程的解法，解题的关键是根据已知得出最大数与最小数的差为16．
知识点3：销售利润问题
【例3-1】水果批发市场有一种高档水果，如果每千克盈利(毛利)10元，每天可售出600kg．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量将减少20kg．
(1)若以每千克能盈利17元的单价出售，求每天的总毛利润为多少元；
(2)现市场要保证每天总毛利润为7500元，同时又要使顾客得到实惠，求每千克应涨价多少元；
(3)现需按毛利润的10%缴纳各种税费，人工费每日按销售量每千克支出1.5元，水电房租费每日300元．若每天剩下的总纯利润要达到6000元，求每千克应涨价多少元．
【答案】(1)每天的总毛利润为7820元；
(2)每千克应涨价5元；
(3)每千克应涨价15元或元
【分析】（1）设每千克盈利x元，可售y千克，由此求得关于y与x的函数解析式，进一步代入求得答案即可；
（2）利用每千克的盈利×销售的千克数＝总利润，列出方程解答即可；
（3）利用每天总毛利润﹣税费﹣人工费﹣水电房租费＝每天总纯利润，列出方程解答即可．
【详解】（1）解：设每千克盈利x元，可售y千克，
设y=kx+b，
则当x＝10时，y＝600，
当x＝11时，y＝600﹣20＝580，
由题意得，，
解得．
所以销量y与盈利x元之间的关系为y＝﹣20x+800，
当x＝17时，y＝460，
则每天的毛利润为17×460＝7820元；
（2）解：设每千克盈利x元，由（1）可得销量为（﹣20x+800）千克，
由题意得x（﹣20x+800）＝7500，
解得：x1＝25，x2＝15，
∵要使得顾客得到实惠，应选x＝15，
∴每千克应涨价15﹣10＝5元；
（3）解：设每千克盈利x元，
由题意得x（﹣20x+800）﹣10%x（﹣20x+800）﹣1.5（﹣20x+800）﹣300＝6000，
解得：x1＝25，x2，
则每千克应涨价25﹣10＝15元或10元．
【点评】此题主要一元二次方程的实际运用，找出题目蕴含的数量关系，理解销售问题中的基本关系是解决问题的关键．
【例3-2】2022北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注：利润=销售价-进货价）
类别价格 A款钥匙扣 B款钥匙扣
进货价（元／件） 30 25
销售价（元／件） 45 37
(1)网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数？
(2)冬奥会临近结束时，网店打算把B款钥匙扣调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元？
【答案】(1)购进A款钥匙扣20件，购进B款钥匙扣件
(2)30元或34元
【分析】（1）设购进A款钥匙扣x件，购进B款钥匙扣件，根据等量关系：两款钥匙扣共花费850元，建立一元一次方程即可求解；
（2）设将B款钥匙扣销售价定为每件y元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元；由题意列出关于y的一元二次方程，解方程即可．
【详解】（1）解：设购进A款钥匙扣x件，购进B款钥匙扣件，
由题意得：，
解得：，
则（件）；
答：购进A款钥匙扣20件，购进B款钥匙扣件．
（2）解：设将B款钥匙扣销售价定为每件y元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元，
由题意得：，
整理得：，
解得：，，
答：将B款钥匙扣销售价定为每件30元或34元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元．
【点评】本题是方程的综合，考查了一元一次方程与一元二次方程在实际中的应用，正确理解题意，找到等量关系并列出方程是钥匙的关键．
能力强化提升训练
1 .某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过度，那么这个月这户居民只交10元电费；如果超过度，这个月除了交10元电费外，超过部分按每度元交费．
该厂某户居民1月份用电90度，超过了度的规定，试写出超过部分应交的电费．（用含的代数式表示）
(2)下表是这户居民2月、3月的用电情况，请根据其中的数据，求电厂规定的度是多少．
月份 用电量/度 交电费总数/元
2月 80 25
3月 45 10
【答案】(1)x（90－x）元； (2)50度
【分析】（1）根据题意可得用电90度超过了规定度数（90－x）度，再由超过部分按每度元交电费，即可求解；
（2）根据题意可得2月份用电量超过x度，列出方程，再由3月份用电45度只交电费10元，可得x≥45，即可求解．
（1）解：∵规定用电x度，
∴用电90度超过了规定度数（90－x）度，
∵超过部分按每度元交电费，
∴超过部分应交的电费为x（90－x）元．
（2）解∶2月份用电量超过x度，依题意得
x（80－x）＝25－10．
整理得x2－80x＋1500＝0．
解这个方程得x1＝30，x2＝50．
根据题意得：3月份用电45度只交电费10元，
∴电厂规定的x≥45，
∴x1＝30不合题意，舍去．
∴x＝50．
答：电厂规定的x度为50度．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
2 .某农场去年种植了亩地的南瓜，亩产量为，根据市场需要，今年该农场扩大了种植面积，并且全部种植了高产的新品种南瓜，今年南瓜亩产量的增长率是种植面积的增长率的，设南瓜种植面积的增长率为．
(1)则今年南瓜的种植面积为________亩；今年南瓜亩产量为_______（用含的代数式表示）
(2)今年南瓜的总产量为，求南瓜亩产量的增长率．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）南瓜种植面积的增长率为，去年种植了亩地的南瓜，可求出南瓜种植面积，南瓜亩产量的增长率是种植面积的增长率的，则南瓜亩产量的增长率为，由此即可求解；
（2）去年南瓜亩产量为，今年南瓜的总产量为，南瓜亩产量的增长率为，由此列出方程，即可求解．
【详解】（1）解：去年种植了亩地的南瓜，南瓜种植面积的增长率为，
∴今年南瓜的种植面积为，
∵去年种植南瓜亩产量为，今年南瓜亩产量的增长率是种植面积的增长率的，
∴南瓜亩产量的增长率是，
∴今年南瓜亩产量为，
故答案为：，．
（2）解：根据题意得：，
∴，解方程得，或（舍去），
∴南瓜亩产量的增长率为．
【点评】本题主要考查一元二次方程在实际问题中的应用，掌握题目中的数量关系列方程是解题的关键．
3.甲、乙两工程队共同承建某高速路隧道工程，隧道总长2000米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质情况不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米，隧道施工成本为6万元；乙每合格完成1米，隧道施工成本为8万元．
（1）若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？
（2）实际施工开始后因地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖m米，乙因特殊地质，在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖m米，若最终每天实际总成本比计划多（11m-8）万元，求m的值．
【答案】（1）1000米；（2）4
【分析】（1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工（2000-x）米，由工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论；
（2）根据总成本=每米施工成本×每天施工的长度结合每天实际总成本比计划多（11m-8）万元，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：（1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工（2000-x）米，
依题意，得：8（2000-x）≥×6x，
解得：x≤1000．
答：甲最多施工1000米．
（2）依题意，得：（6+m）（6+m）+8（6-m）=6×（6+8）+11m-8，
整理，得：m2-8m+16=0，
解得：m1=m2=4．
答：m的值为4．
【点睛】考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
4 .解读诗词通过列方程算出周瑜去世时的年龄：大江东去浪淘尽，千古风流数人物，而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符，哪位学子算得快，多少年华属周瑜？诗词大意：周瑜三十岁当东吴都督，去世时的年龄是两位数，十位数字比个位数字小三，个位数字的平方等于他去世时的年龄．
【答案】周瑜去世时的年龄为岁
【分析】设周瑜去世时的年龄的个位数字为，则十位数字为根据题意建立方程求出其值即可．
【详解】解：设周瑜去世时的年龄的个位数字为，则十位数字为，依题意得：
，
解得，，
当时，，（不合题意，舍去），
当时，（符合题意），
答：周瑜去世时的年龄为岁．
【点睛】本题是一道数字问题的应用题，考查了列一元二次方程解实际问题的运用，在解答中根据题意设未知数，列出正确的方程是解题的关键．
堂堂清
一、选择题（每小题4分，共32分）
1.有一个两位数，个位数字与十位数字之和为8，把它的个位数字与十位数字对调，得到一个新数，新数与原数之积为1855，则原两位数是（ ）
A．35 B．53 C．62 D．35或53
【答案】D
【分析】设十位数字为x，则个位数字为，根据新数与原数之积为1855，列出方程，解方程即可．
【详解】解：设十位数字为x，则个位数字为，根据题意得：
，
解得：或，
∴这个两位数为35或53，故D正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系列出方程．
修建一个面积为 平方米的矩形花园，它的长比宽多 米，设宽为 米，可列方程为 （　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设宽为x米，则长为米，根据矩形花园的面积为100平方米，即可由矩形面积公式得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设宽为x米，则长为米，
依题意得：．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
3 .某网店销售一批运动装，平均每天可销售20套，每套盈利45元；为扩大销售量，增加盈利，采取降价措施，一套运动服每降价1元，平均每天可多卖4套，若网店要获利2100元，设每套运动装降价元，则列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设每套运动装降价x元，则每天的销售量为（20+4x）件，根据总利润=每件的利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：根据题意得每套运动装降价x元，则每天的销售量为（20+4x）件，
依题意，得：（45-x）（20+4x）=2100．
故选： A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
4 .如图，要设计一幅宽、长的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，则横彩条和竖彩条的宽度分别是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【答案】C
【分析】要求彩条的宽度，可设横彩条的宽为，则竖彩条宽为，横彩条的长为矩形的宽，竖彩条的长为矩形的长，由此可分别求出横竖彩条的面积，由图可知横竖彩条有重叠的面积，所以横竖彩条的面积减去重叠的部分等于总面积的三分之一，由此列方程并求解即可．
【详解】解：设横彩条的宽度为，则竖彩条的宽度为，
由图可知一个横彩条的面积为：，一个竖彩条的面积为：，
有四个重叠的部分，重叠的面积为：，
因为所有彩条的面积为总面积的三分之一，
所以列方程为：
，
解得：，（不符合题意，舍去），
∴，
应设计横的彩条宽为，竖的彩条宽为．
故选：．
【点评】本题考查的是一元二次方程的应用，理解题意，根据题、图，正确的列出方程是解决本题的关键，此时注意，重叠的面积在算横竖彩条的面积时算了两次，故减去一次，才等于总面积的三分之一．
5 .某餐厅主营盒饭业务，每份盒饭的成本为元．若每份盒饭的售价为元，每天可卖出份．市场调查反映：如调整价格，每涨价元，每天要少卖出份．若该餐厅想让每天盒饭业务的利润达到元，设每份盒饭涨价元，则符合题意的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据总利润=每盒的利润×销售量，而每盒的利润=售价-进价，再结合“每份盒饭的成本为元．若每份盒饭的售价为元，每天可卖出份．市场调查反映：如调整价格，每涨价元，每天要少卖出份”即可得出答案．
【详解】解：每份盒饭涨价元后，利润为(16+x-12)元，
销售量为(360-40x)盒，
∴可得方程为，
故选A．
【点评】本题考查了一元二次方程的实际应用．正确理解题意，根据题意找到等量关系是解题的关键．
6 .如图，将一张正方形铁皮的四个角同时切去边长为2的四个小正方形，制成一个无盖箱子，若箱子的底面边长为，原正方形铁皮的面积为，则无盖箱子的外表面积为（　　）

A．1 B．4 C．6 D．9
【答案】D
【分析】根据题意，得出原正方形铁皮的边长为，从而得到原正方形铁皮的面积为，即，解得，从而得到无盖箱子的外表面积为，即可得到答案．
【详解】解：正方形铁皮的四个角同时切去边长为2的四个小正方形，制成一个无盖箱子，若箱子的底面边长为，
原正方形铁皮的边长为，
原正方形铁皮的面积为，
又正方形铁皮的面积为，
，
解得，
无盖箱子的外表面积为，
故选：D．
【点评】本题考查方程的实际应用，读懂题意，准确表示出各个边长，根据等量关系列出方程求解是解决问题的关键．
7.为加快推动生态巩义建设步伐，形成“城在林中、园在城中、山水相依，林路相随”的生态格局，市政府计划在某街心公园的一块矩形空地上修建草坪，如图，矩形长为40m，宽为30m，在矩形内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为，道路的宽度应为多少 设矩形地块四周道路的宽度为xm，根据题意，下列方程不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据要使草坪的面积为，列一元二次方程，进一步判断即可．
【详解】解：可列方程，
故C选项不符合题意，
变形后，可得或，
故A选项不符合题意，D选项不符合题意，
不能得到，
故B选项符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意是解题的关键．
8 .《九章算术》是我国传统数学中重要的著作之一，奠定了我国传统数学的基本框架其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就《九章算术》记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”大意：有一扇形状是矩形的门，它的高比宽多6尺8寸，它的对角线长1丈，问它的高与宽各是多少？利用方程思想设矩形门宽为尺，则依题意所列方程为（ ）
（1丈=10尺，1尺=10寸）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设门宽为x尺，则门的高度为尺，利用勾股定理及门的对角线长1丈，即可得出关于x的方程，此题得解．
【详解】解：设门宽为x尺，则门的高度为尺，
依题意得：，
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．
二、填空题（每小题4分，共20分）
9 .如图，在宽为 ，长为的矩形地面上修建两条同样宽且互相垂直的道路，其余部分作为耕地为．则道路的宽为是 ．
【答案】1米
【分析】设道路的宽为．由题意可得：，解方程即可求解．
【详解】解：设道路的宽为．
由题意可得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
∴道路的宽为米．
故答案为：．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
10 .已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上的数字与十位上的数字的平方和比这个两位数小4，设个位上的数字为，列出关于的方程： .
【答案】
【分析】用x表示出十位上数，即可表示出这个两位数，再根据题目条件列出方程化简即可.
【详解】∵个位上的数字为，个位上的数字比十位上的数字小4
∴十位上的数字为
所以这个两位数为
∵个位上的数字与十位上的数字的平方和比这个两位数小4
∴
化简得
故答案为.
【点睛】本题考查一元二次方程的应用——数字问题，解题的关键是正确的表示出这个两位数，从而建立方程.
11 .如图所示，在矩形ABCD中，，点P在边CD上，且，将沿BP折叠，若点C的对应点F落在矩形ABCD的边上，则CD的长度为 ．
【答案】或
【分析】根据矩形的形状分类讨论，分AD＞DC和AD＜DC两种情况讨论，当AD＞DC时，点F落在AD边上，则设CD的长度为x．根据翻折的性质，有，．即在中，用勾股定理表示出，再在中，利用勾股定理得，解方程即可得解；当AD＜DC时，由翻折变换可知四边形BCPF是正方形，即有PC=BC，则CD易求．
【详解】解：如图1所示，AD＞DC时，
当点F落在AD边上，则设CD的长度为x．
由翻折变化可知，，．
在中，
由勾股定理得，，
∴．
根据翻折可知BF=BC，
在中，
由勾股定理得，，即，
解得，或（舍去）；
如图2所示，AD＜DC时，
当点F落在AB边上，由翻折变换可知，四边形BCPF是正方形，
∴，
解得．
故CD的长度为：或．
故答案为：或．
【点评】本题考查了几何图形的翻折、勾股定理、正方形的判定与性质以及一元二次方程的应用等知识，注重分类讨论的思想是解答本题的关键．
12 .某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客尽可能多得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，则该商品的销售定价为 元．
【答案】56
【分析】将销售单价定为x元/件，则每星期可卖出件，根据总利润=每件的利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【详解】解：将销售单价定为x元/件，则每星期可卖出件，
根据题意得：，
整理得：，
解得：．
∵要使顾客获得实惠，
∴．
即该商品的销售定价为56元．
故答案为：56．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
13 .商场某种商品进价为120元/件，售价130元/件时，每天可销售70件；售价单价高于130元时，每涨价1元，日销售量就减少1件，据此，若销售单价为　 元时，商场每天盈利达1500元．
【答案】150或170/170或150
【分析】设涨价x元，根据单件利润=售价－进价、利润=单件利润×销售量列出一元二次方程，然后解方程即可解答．
【详解】解：设涨价x元，根据题意得：（130+x－120）（70－x）=1500，
整理得：x2－60x+800=0，
解得：x1=20，x2=40，
所以销售单价为130+20=150元或130+40=170元，
故答案为：150或170．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出一元二次方程是解答的关键．
三、解答题（共48分）
14 .（8分）某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量净减少10个,因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，商店若将准备获利2000元，定价为多少元？
【答案】该商品定价60元．
【分析】设每个商品定价x元，然后根据题意列出方程求解即可．
【详解】解：设每个商品定价x元，由题意得：
解得，
当x=50时，进货180-10（50-52）=200，不符题意，舍去
当x=60时，进货180-10（60-52）=100，符合题意．
答：当该商品定价60元，进货100个．
【点评】本题主要考查一元一次方程的应用，关键是设出未知数然后列方程求解即可．
15 .（8分）有一块长、宽的矩形铁皮．

(1)如图1，如果在铁皮的四个角裁去四个边长一样的正方形后，将其折成底面积为的无盖长方体盒子，求裁去的正方形的边长；
(2)由于需要，计划制作一个有盖的长方体盒子，为了合理利用材料，某学生设计了如图2所示的裁剪方案，阴影部分为裁剪下来的边角料，其中左侧的两个阴影部分为正方形，问能否折出底面积为的有盖盒子？如果能，请求出盒子的体积；如果不能，请说明理由．
【答案】(1)
(2)能，
【分析】（1）设截去的小正方形的边长为，则长方体盒子的底的长为，宽为．根据题意列出方程就可以求出其解．
（2）设左边的小正方形的边长为，根据其底面积为180列出方程，若有解即可能剪裁，否则不能．
【详解】（1）设小正方形的边长为．得：
，
解得：（舍去），．
答：裁去的正方形的边长为2．
（2）能；
设小正方形的边长为．得：
，
解得：（舍去），．
体积为
【点评】本题是一道几何图形问题，考查了利用矩形的面积公式建立一元二次方程求解的运用．在解答中注意要检验方程的根是否使实际问题有意义．这是在解答时学生容易忽略的问题．
（8分）如图，用篱笆靠墙围成矩形花圃，墙可利用的最大长度为15米，花圃一面利用墙，其余三面用篱笆围成，篱笆总长为24米．

(1)若围成的花圃面积为40平方米时，求的长；
(2)围成的花圃面积能否为75平方米，如果能，请求的长；如果不能，请说明理由．
【答案】(1)BC的长为4米
(2)不能围成面积为75平方米的花圃．理由见解析
【分析】（1）设的长度为x米，根据矩形的面积公式，列出方程进行求解即可；
（2）根据题意，列出方程，利用判别式进行判断即可．
【详解】（1）解：设的长度为x米，则的长度为米，
根据题意得：，
整理得：，
解得：．
∵，
∴舍去．
答：的长为4米．
（2）不能围成，理由如下：
当时，
整理得，

∴该方程无实数根，
∴不能围成面积为75平方米的花圃．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用．找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键。
17 .（8分）某网店专门销售某种品牌的工艺品，成本为30元/件，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示．

(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)如果规定每天工艺品的销售量不低于240件且有盈利，销售单价x应定在什么范围？
(3)如果在（2）的条件下，网店每天销售利润为3750元，求该种工艺品销售单价是多少元？
【答案】(1)
(2)
(3)网店每天销售利润为3750元，该种工艺品销售单价是45元．
【分析】（1）设销售y（件）与销售单价x（元）的关系式为，把，代入，再利用待定系数法求解函数解析式即可；
（2）每天工艺品的销售量不低于240件且有盈利，再建立不等式组解题即可；
（3）由每天销售利润为3750元，再建立一元二次方程，再解方程即可．
【详解】（1）解：设销售y（件）与销售单价x（元）的关系式为，
把，代入可得：
∴，
解得：，
∴销售y（件）与销售单价x（元）的关系式为．
（2）由题意可得：，
解得：；
（3）由题意可得：，
整理得：，
解得：，，
∵，
∴，
∴网店每天销售利润为3750元，该种工艺品销售单价是45元．
【点睛】本题考查的是一次函数的实际应用，一元一次不等式组的应用，一元二次方程的应用，理解题意，熟练的建立不等式组与一元二次方程是解本题的关键．
18 .（8分）阅读材料，回答下列问题：
反序数：
有这样一对数，一个数的数字排列完全颠倒过来变成另一个数，简单的说，就是顺序相反的两个数，我们把这样的一对数称为“反序数”，比如：的反序数是，的反序数是．
用方程知识解决问题：
若一个两位数，其十位上的数字比个位上的数字大3，这个两位数与其反序数之积为，求这个两位数．
【答案】
【分析】设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为，根据这个两位数与其反序数之积为，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【详解】解：设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为，
根据题意得：，
∴，即，
∴，
∴
解得或（舍去），
∴，
∴这个两位数为．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
19 .（8分）把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形……按此规律排列下去，解答下列问题：
（1）第5个图案中黑色三角形的个数有　　个．
（2）第n个图案中黑色三角形的个数能是50个吗？如果能，求出n的值；如果不能，试用一元二次方程的相关知识说明道理．
【答案】（1）15；（2）不能，理由见详解．
【分析】（1）第5个图案中黑色三角形的个数有（1+2+3+4+5）个；
（2）根据图形的变化规律总结出第n个图形黑色三角的个数为，即可求解．
【详解】解：（1）由图形的变化规律知，第5个图案中黑色三角形的个数有：1+2+3+4+5=15，
故答案是：15；
（2）不能，理由如下：
第n个图案中黑三角的个数为1+2+3+4+...+n=，
根据题意，得，
解得：不是整数，不合题意，
所以第n个图案中黑色三角形的个数不能是50个．
【点睛】本题主要考查图形的变化规律和一元二次方程的应用，归纳出第n个图形黑色三角的个数为是解题的关键．
拓展培优*冲刺满分
1.今年某村农产品喜获丰收，该村村委会在网上直播销售A、B两种优质农产品礼包．
(1)已知今年7月份销售A种农产品礼包256包，8、9月该礼包十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，9月份的销售量达到400包．若设8、9两个月销售量的月平均增长率为x，求x的值；
(2)若B种农产品礼包每包成本价为16元，当售价为每包30元时，每月销量为200包．为了尽快减少库存，该村准备在10月进行降价促销，经调查发现，若B种农产品礼包每包每降价1元，月销售量可增加20包，当B种农产品礼包每包降价多少元时，该村销售B种农产品礼包在10月份可获利2860元
【答案】(1)的值为25%
(2)当B种农产品礼包每包降价3元时，该村销售B种农产品礼包在10月份可获利2860元
【分析】（1）利用9月份的销售量=7月份的销售量月平均增长率，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出x的值；
（2）设B种农产品礼包每包降价m元，则每包的销售利润为元，月销售量为包，利用总利润=每包的销售利润×月销售量，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】（1）依题意得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：的值为25%．
（2）设B种农产品礼包每包降价m元，则每包的销售利润为元，月销售量为包，依题意得：，
整理得：，
解得：，.
∵为了尽快减少库存，
∴．
答：当B种农产品礼包每包降价3元时，该村销售B种农产品礼包在10月份可获利2860元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
2.某市创建“绿色发展模范城市”，针对境内长江段两种主要污染源：生活污水和沿江工厂污染物排放，分别用“生活污水集中处理”(下称甲方案)和“沿江工厂转型升级”(下称乙方案)进行治理，若江水污染指数记为Q，沿江工厂用乙方案进行一次性治理(当年完工)，从当年开始，所治理的每家工厂一年降低的Q值都以平均值n计算，第一年有40家工厂用乙方案治理，共使Q值降低了12 ．经过三年治理，境内长江水质明显改善 ．
（1）求的n值；
（2）从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m，三年来用乙方案治理的工厂数量共190家，求m的值，并计算第二年用乙方案新治理的工厂数量；
【答案】（1）；（2），60家
【分析】（1）直接利用第一年有40家工厂用乙方案治理，共使Q值降低了12，列出关于n的一元一次等式，从而求出答案；
（2）从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m，三年来用乙方案治理的工厂数量共190家，列出关于m的一元二次等式，从而求出m及第二年用乙方案新治理的工厂数量．
【详解】解：(1)由题意可得：，解得；
(2)由题意可得：，
解得：，（舍去），
∴第二年用乙方案新治理的工厂数量为：（家）．
【点评】本题主要考查了一元一次方程和一元二次方程的实际应用，解题的关键是要读懂题目的意思，根据所给条件，找出合适的等量关系，列出方程从而求解．
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