九年级数学上分层优化堂堂清9 第二十一章 一元二次方程小结复习（含解析）

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九年级数学上分层优化堂堂清
二十一章 一元二次方程
本章小结与复习
知识体系构建
老师对你说：
1. 一元二次方程的相关概念
(1)定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2 的整式方程．
(2)一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项、常数项，a、b、c分别称为二次项系数、一次项系数、常数项．
2.一元二次方程的解法
（1）直接开平方法：形如（x+m）2=n(n≥0)的方程，可直接开平方求解.
( 2 )因式分解法：可化为（ax+m）(bx+n)=0的方程，用因式分解法求解.
( 3 )公式法:一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0的求根公式为x=（b2-4ac≥0）.
配方法：当一元二次方程的二次项系数为1，一次项系数为偶数时，也可以考虑用配方法．
3.根的判别式
(1)当Δ＝>0时，原方程有两个不相等的实数根．
(2)当Δ＝=0时，原方程有两个相等的实数根．
(3)当Δ＝<0时，原方程没有实数根．
4.列一元二次方程解应用题
（1）解题步骤：①审题；② 设未知数；③ 列一元二次方程；④解一元二次方程；⑤检验根是否有意义；⑥作答．
（2）应用模型：一元二次方程经常在增长率问题、面积问题等方面应用.
①平均增长率（降低率）问题：公式：b＝a(1±x)n，a表示基数，x表示平均增长率（降低率），n表示变化的次数，b表示变化n次后的量；
②利润问题：利润=售价-成本；利润率=利润/成本×100%；
③传播、比赛问题：
④面积问题：a.直接利用相应图形的面积公式列方程；b.将不规则图形通过割补或平移形成规则图形，运用面积之间的关系列方程.
注意：运用一元二次方程解决实际问题时，方程一般有两个实数根，则必须要根据题意检验根是否有意义.
考点整合训练
考点一、一元二次方程有关概念
1.下列方程是一元二次方程的是( )
A． B．x2=2x C．（2x+1）（2x﹣1）=4x（x+7） D．x（x2﹣5）=5
2.若m是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（ ）
A．0 B．2 C． D．4
若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（ ）
A． B． C． D．或
考点二、一元二次方程的解法
4 .下面是小明同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
．
解：二次项系数化为1，得，第一步
移项，得，第二步
配方，得，第三步
变形，得，第四步
开方，得，第五步
解得，，第六步
(1)上面小明同学的解法中运用“配方法”将一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现的数学思想是______，其中“配方法”依据的一个数学公式是______；
(2)上述解题过程，从第______步开始出现错误，请写出正确的解答过程．
5用适当方法解方程：x2﹣7x＋6＝0．
6 .若，则的值是（ ）
A．2 B．3 C．或3 D．2或
7 .按要求解方程
(1)（直接开平方法）；
(2)（配方法）；
(3)（公式法）
(4)（因式分解法）
(5)（换元法）
8 .先阅读下面的内容，再解答问题．
【阅读】例题：求多项式的最小值．
解：，
∵，∴
∴多项式的最小值是4
(1)请写出例题解答过程中把一个三项二次式转化为一个二项式的平方运用的公式是______；
(2)求多项式的最大值．
考点三、一元二次方程根的判别式与根与系数的关系
已知关于的方程．
(1)求证：无论取何值，这个方程总有实数根；
(2)若等腰的底边长，另两边、恰好是这个方程的两个根，求的周长。
10 .关于x的方程有实数根，则a的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
11 .方程有两个实数根，则m的取值范围（ ）
A．且 B．且 C． D．且
12 .已知关于的方程
(1)当取什么值时，方程只有一个根？
(2)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．
13 .关于的一元二次方程有实数根．
(1)求的取值范围；
(2)如果，是方程的两个解，令，求的最大值．
14 .已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+4x+1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数m的取值范围；
（2）是否存在实数m，使该方程的两个实数根x1、x2满足2x1x2﹣x1﹣x2＝3，若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．
考点四、一元二次方程的应用
15 .今年下半年以来，猪肉价格不断上涨，主要是由非洲猪瘟疫情导致．非洲猪瘟疫情发病急，蔓延速度快．某养猪场第一天发现3头生猪发病，两天后发现共有192头生猪发病．
（1）求每头发病生猪平均每天传染多少头生猪？
（2）若疫情得不到有效控制，按照这样的传染速度，3天后生猪发病头数会超过1500头吗？
16 .电影《流浪地球2》讲述了太阳即将毁灭，人类在地球表面建造出巨大的推进器，以便寻找新的家园．然而宇宙之路危机四伏，为了拯救地球，流浪地球时代的年轻人再次挺身而出，展开争分夺秒的生死之战的故事．2023年元宵节，某电影院开展“弘扬家国情怀，彰显中华气魄”系列活动，对团体购买《流浪地球2》电影票实行优惠，决定在原定零售票价基础上每张降价20元，这样按原定零售票价需花费3000元购买的门票，现在只花费了1800元．
（1）求每张电影票的原定零售票价；
（2）为了促进消费，该影院决定对网上购票的个人也采取优惠，原定零售票价经过连续两次降价后票价为每张32元，求平均每次降价的百分率．
17 .如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）．
（1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640m2的羊圈？
（2）羊圈的面积能达到650m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
18 .百货商店服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．
（1）现在每件童装降价5元，那么每天可售出多少件，每天可盈利多少元？
（2）要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？
19 .如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，P、Q、M、N分别从A、B、C、D出发，沿AD、BC、CB、DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止、已知在相同时间内，若BQ＝xcm（x≠0），则AP＝2xcm，CM＝3xcm，DN＝x2cm．
（1）当x为何值时，点P、N重合；
（2）当x为何值时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形．
20 .某商店购入A，B两款商品，进货价和销售价如表（利润＝销售价﹣进货价）：
A款 B款
进货价（元/件） 40 28
销售价（元/件） 55 40
（1）商店购进A，B两款共80件，其中A款购进x件，则商店A，B两款全部售出后可获得的总利润为 　（3x+960）元　（用含x的代数式表示）；
（2）商店打算把B款进行调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售出4件，经调查发现，销售价每降价1元，平均每天可多售出2件，问：将销售价格定为每件多少元时，才能使B款平均每天的销售利润为96元？
如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交线段AB于点D，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E，连结CD．设BC＝a，AC＝b；
（1）线段AD的长度是方程x2+2ax﹣b2＝0的一个根吗？说明理由．
（2）若点E是线段AC的中点，求的值．
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二十一章 一元二次方程
本章小结与复习 （解析版）
知识体系构建
老师对你说：
1. 一元二次方程的相关概念
(1)定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2 的整式方程．
(2)一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项、常数项，a、b、c分别称为二次项系数、一次项系数、常数项．
2.一元二次方程的解法
（1）直接开平方法：形如（x+m）2=n(n≥0)的方程，可直接开平方求解.
( 2 )因式分解法：可化为（ax+m）(bx+n)=0的方程，用因式分解法求解.
( 3 )公式法:一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0的求根公式为x=（b2-4ac≥0）.
配方法：当一元二次方程的二次项系数为1，一次项系数为偶数时，也可以考虑用配方法．
3.根的判别式
(1)当Δ＝>0时，原方程有两个不相等的实数根．
(2)当Δ＝=0时，原方程有两个相等的实数根．
(3)当Δ＝<0时，原方程没有实数根．
4.列一元二次方程解应用题
（1）解题步骤：①审题；② 设未知数；③ 列一元二次方程；④解一元二次方程；⑤检验根是否有意义；⑥作答．
（2）应用模型：一元二次方程经常在增长率问题、面积问题等方面应用.
①平均增长率（降低率）问题：公式：b＝a(1±x)n，a表示基数，x表示平均增长率（降低率），n表示变化的次数，b表示变化n次后的量；
②利润问题：利润=售价-成本；利润率=利润/成本×100%；
③传播、比赛问题：
④面积问题：a.直接利用相应图形的面积公式列方程；b.将不规则图形通过割补或平移形成规则图形，运用面积之间的关系列方程.
注意：运用一元二次方程解决实际问题时，方程一般有两个实数根，则必须要根据题意检验根是否有意义.
考点整合训练
考点一、一元二次方程有关概念
1.下列方程是一元二次方程的是( )
A． B．x2=2x C．（2x+1）（2x﹣1）=4x（x+7） D．x（x2﹣5）=5
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【详解】A、是分式方程，故A错误；
B、x2=2x是一元二次方程，故B正确；
C、原方程整理为28x+1=0，因此原方程是一元一次方程，故C错误；
D、原方程整理为x3-5x-5=0，因此原方程是高次方程，故D错误；
故选B．
【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
2.若m是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（ ）
A．0 B．2 C． D．4
【答案】D
【分析】根据一元二次方程的解的定义得出，即得出．再将代数式变为，最后整体代入求值即可．
【详解】解：∵m是一元二次方程的一个根，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
【点评】本题考查一元二次方程的解的定义，代数式求值．掌握一元二次方程的解就是使方程成立的未知数的值是解题关键．
若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】C
【分析】将代入方程，得到，再利用一元二次方程根的定义得到，确定出m的值即可．
【详解】解：将代入，
得：，
解得：，
∵，
∴，
∴
故选C．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了一元二次方程的定义．
考点二、一元二次方程的解法
4 .下面是小明同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
．
解：二次项系数化为1，得，第一步
移项，得，第二步
配方，得，第三步
变形，得，第四步
开方，得，第五步
解得，，第六步
(1)上面小明同学的解法中运用“配方法”将一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现的数学思想是______，其中“配方法”依据的一个数学公式是______；
(2)上述解题过程，从第______步开始出现错误，请写出正确的解答过程．
【答案】(1)转化思想，完全平方公式
(2)三，解答过程见详解
【分析】（1）根据解答过程判断依据即可；
（2）根据配方法判断即可．
【详解】（1）解法中运用“配方法”将一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现的数学思想是转化思想，其中“配方法”依据的一个数学公式是完全平方公式；
（2）解题过程，从第三步开始出现错误，正确的解答过程如下：
解：
，
，
，
，
，
解得，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的几种常见解法：直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法，结合方程的特点选择合适的解法是解题的关键．
5用适当方法解方程：x2﹣7x＋6＝0．
【答案】x1＝6，x2＝1
【分析】因式分解法求解可得．
【详解】解：（1）因式分解可得：（x﹣6）（x﹣1）＝0，
∴x﹣6＝0或x﹣1＝0，
解得：x1＝6，x2＝1；
【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
6 .若，则的值是（ ）
A．2 B．3 C．或3 D．2或
【答案】C
【分析】先设，则方程即可变形为，解方程即可求得即的值．
【详解】解：设，则原方程可化为：，
即，
解得：或，
∴或，
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
7 .按要求解方程
(1)（直接开平方法）；
(2)（配方法）；
(3)（公式法）
(4)（因式分解法）
(5)（换元法）
【答案】(1)，
(2)，
(3)，
(4)或
(5)，
【分析】（1）先移项，变成，然后直接开平方；
（2）把方程的二次项系数化为1，移项，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解；
（3）找出方程中二次项系数，一次项系数及常数项，计算出根的判别式，由根的判别式大于0，得到方程有解，将，及的值代入求根公式即可求出原方程的解；
（4）将方程整理为，然后通过提取公因式进行因式分解，再求解即可；
（5）先令，则原方程变形为，运用因式分解法解得，，再把和3分别代入得到关于的一元二次方程，然后解两个一元二次方程，最后确定原方程的解．
【详解】（1）解：，
，
，
，
∴，；
（2），
，
，
，
，
∴，；
（3），
，，，
，
∴，
∴，；
（4），
，
，
，
，
∴或，
∴或；
（5），
令，则原方程变形为，
即：，
解得：，，
当时，，解得：，
当时，，解得：，
∴原方程的解为：，．
【点评】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法、公式法、因式分解法、配方法、换元法是解题的关键．
8 .先阅读下面的内容，再解答问题．
【阅读】例题：求多项式的最小值．
解：，
∵，∴
∴多项式的最小值是4
(1)请写出例题解答过程中把一个三项二次式转化为一个二项式的平方运用的公式是______；
(2)求多项式的最大值．
【答案】(1)完全平方公式(2)30
【分析】（1）根据完全平方公式的含义可得答案；
（2）把原式化为，再利用非负数的性质可得答案．
【详解】（1）解：公式为：，即：完全平方公式，
故答案为：完全平方公式；
（2）
；
∵，
∴，
∴的最大值是．
【点评】本题考查的是利用完全平方公式分解因式，非负数的性质，掌握利用完全平方公式求解代数式的最值是解本题的关键．
考点三、一元二次方程根的判别式与根与系数的关系
已知关于的方程．
(1)求证：无论取何值，这个方程总有实数根；
(2)若等腰的底边长，另两边、恰好是这个方程的两个根，求的周长．
【答案】(1)见解析(2)5
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，由此即可证出：无论取何值，这个方程总有实数根；
（2）根据等腰三角形的性质可得，则该方程有两个相等实数根，求出m的值，再根据三角形的三边关系及三角形的周长公式即可求出的周长．
【详解】（1）证明：，
无论取何值，这个方程总有实数根；
（2）解：∵等腰的底边长，
∴，
∵、恰好是这个方程的两个根，
∴该方程的根有两个相等实数根，
∴
解得：，
原方程为，
解得：．
、2、1能组成三角形，
该三角形的周长为．
【点评】本题考查了根的判别式、三角形三边关系、等腰三角形的性质以及解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
10 .关于x的方程有实数根，则a的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
【答案】A
【分析】讨论：当时，方程化为一元一次方程，有一个实数解；当时，根据判别式的意义得到，解得且，然后综合两种情况得到a的取值范围．
【详解】解：当时，方程化为，
解得，
当时，，
解得，
综上所述，a的取值范围为．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
11 .方程有两个实数根，则m的取值范围（ ）
A．且 B．且 C． D．且
【答案】A
【分析】由方程有两个实数根，可得，再解不等式组即可得到答案．
【详解】解：∵方程有两个实数根，
∴，
解得：且，
故选A
【点评】本题考查的是一元二次方程的含义，一元二次方程根的判别式的含义，二次根式有意义的条件，理解题意，建立不等式组是解本题的关键．
12 .已知关于的方程
(1)当取什么值时，方程只有一个根？
(2)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)且
【分析】（1）先根据方程只有一个根可知此方程是一元一次方程，故可得出的值；
（2）根据方程有两个相等的实数根可知，由此即可得出的取值范围．
【详解】（1）解：当时，得：，
此时，
则方程为一元一次方程，它的根是，此时方程只有一个根，
∴当时，方程只有一个根；
（2）∵关于的方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：且，
∴的取值范围是且．
【点评】本题考查一元一次方程，一元二次方程的定义及根的判别式．一元二次方程根的情况与判别式的关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根．掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键．
13 .关于的一元二次方程有实数根．
(1)求的取值范围；
(2)如果，是方程的两个解，令，求的最大值．
【答案】(1)
(2)18
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围；
（2）利用根与系数的关系可得出x1＋x2＝4，x1 x2＝k＋2，结合w＝x1x22＋x12x2＋k，由增减性可求w的最大值．
【详解】（1）解：关于的一元二次方程有实数根，
∴，
解得：，
的取值范围为．
（2）解：，是关于的一元二次方程的两个解，
，，
，
时，的最大值为．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当Δ≥0时，方程有实数根”；（2）利用根与系数的关系结合w＝x1x22＋x12x2＋k，根据增减性可求w的最大值．
14 .已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+4x+1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数m的取值范围；
（2）是否存在实数m，使该方程的两个实数根x1、x2满足2x1x2﹣x1﹣x2＝3，若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根可知Δ＞0，且m﹣1≠0，即可求得m的取值范围；
（2）根据根与系数的关系可知：，，代入2x1x2﹣x1﹣x2＝3，列出方程即可求得m的值，然后再检验即可．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+4x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0且m﹣1≠0，
∴16﹣4（m﹣1）＞0且m﹣1≠0，
解得m＜5且m≠1；
（2）存在，理由如下：
根据根与系数的关系可知：，．
∵2x1x2﹣x1﹣x2＝3．
∴，
解得m＝3．
经检验m＝3是分式方程的解，
∴m＝3．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的判别式和根与系数的关系，由根与系数的关系列出关于m的方程是一种经常使用的解题方法
考点四、一元二次方程的应用
15 .今年下半年以来，猪肉价格不断上涨，主要是由非洲猪瘟疫情导致．非洲猪瘟疫情发病急，蔓延速度快．某养猪场第一天发现3头生猪发病，两天后发现共有192头生猪发病．
（1）求每头发病生猪平均每天传染多少头生猪？
（2）若疫情得不到有效控制，按照这样的传染速度，3天后生猪发病头数会超过1500头吗？
【答案】（1）7头；（2）会超过1500头
【分析】（1）设每头发病生猪平均每天传染x头生猪，根据“第一天发现3头生猪发病，两天后发现共有192头生猪发病”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据3天后生猪发病头数=2天后生猪发病头数×（1+7），即可求出3天后生猪发病头数，再将其与1500进行比较即可得出结论．
【详解】解：（1）设每头发病生猪平均每天传染头生猪，
依题意，得，
解得：， （不合题意，舍去）．
答：每头发病生猪平均每天传染7头生猪．
（2）（头，．
答：若疫情得不到有效控制，3天后生猪发病头数会超过1500头．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
16 .电影《流浪地球2》讲述了太阳即将毁灭，人类在地球表面建造出巨大的推进器，以便寻找新的家园．然而宇宙之路危机四伏，为了拯救地球，流浪地球时代的年轻人再次挺身而出，展开争分夺秒的生死之战的故事．2023年元宵节，某电影院开展“弘扬家国情怀，彰显中华气魄”系列活动，对团体购买《流浪地球2》电影票实行优惠，决定在原定零售票价基础上每张降价20元，这样按原定零售票价需花费3000元购买的门票，现在只花费了1800元．
（1）求每张电影票的原定零售票价；
（2）为了促进消费，该影院决定对网上购票的个人也采取优惠，原定零售票价经过连续两次降价后票价为每张32元，求平均每次降价的百分率．
【分析】（1）设每张门票的原定票价为x元，则降价后的价格为（x﹣20）元，根据数量＝总价÷单价结合按原定票价需花费3000元购买的门票张数现在只花费了1800元，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设原定票价平均每次的降价率为y，根据原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．．
【解答】解：（1）设每张门票的原定票价为x元，则降价后的价格为（x﹣20）元，
依题意，得：，
解得：x＝50，
经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意．
答：每张门票的原定票价为50元．
（2）设原定票价平均每次的降价率为y，
依题意，得：50（1﹣y）2＝32，
解得：y1＝0.2＝20%，y2＝1.8（不合题意，舍去）．
答：原定票价平均每次的降价率为20%．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
17 .如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）．
（1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640m2的羊圈？
（2）羊圈的面积能达到650m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
【分析】（1）根据BC＝栅栏总长﹣2AB，再利用矩形面积公式即可求出；
（2）把S＝650代入（1）中函数解析式中，解方程，取在自变量范围内的值即可．
【解答】解：（1）设矩形ABCD的边AB＝xm，则边BC＝70﹣2x+2＝（72﹣2x）m．
根据题意，得x（72﹣2x）＝640，
化简，得 x2﹣36x+320＝0 解得 x1＝16 x2＝20，
当x＝16时，72﹣2x＝72﹣32＝40；
当x＝20时，72﹣2x＝72﹣40＝32．
答：当羊圈的长为40m，宽为16m或长为32m，宽为20m时，能围成一个面积为644m2 的羊圈；
（2）答：不能，
理由：由题意，得x（72﹣2x）＝650，
化简，得 x4﹣366+322＝0，
Δ＝（﹣36）2﹣4×335＝﹣4＜0，
∴一元二次方程没有实数根．
∴羊圈的面积不能达到 650m2．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找到周长等量关系是解决本题的关键．
18 .百货商店服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．
（1）现在每件童装降价5元，那么每天可售出多少件，每天可盈利多少元？
（2）要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？
【分析】（1）根据每件童装降价1元，平均每天就可多售出2件，得出每件童装降价5元，每天可售出20+5×2＝30件，再根据每件盈利40元，即可得出每天的盈利；
（2）设每件应降价x元，每天可以多销售的数量为2x件，每件的利润为（40﹣x），由总利润＝每件的利润×数量建立方程求出其解即可．
【解答】解：（1）∵每件童装降价1元，平均每天就可多售出2件，
∴每件童装降价5元，每天可售出20+5×2＝30件；
∴每天可盈利：（40﹣5）×30＝1050（元）；
（2）设每件应降价x元，由题意，得
（40﹣x）（20+2x）＝1200，
解得：x1＝10，x2＝20，
则每件童装应降价10元或20元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
19 .如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，P、Q、M、N分别从A、B、C、D出发，沿AD、BC、CB、DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止、已知在相同时间内，若BQ＝xcm（x≠0），则AP＝2xcm，CM＝3xcm，DN＝x2cm．
（1）当x为何值时，点P、N重合；
（2）当x为何值时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形．
【分析】（1）由于若BQ＝xcm（x≠0），则AP＝2xcm，CM＝3xcm，DN＝x2cm，而点P、N重合，那么2x+x2＝20，解这个方程即可求出x的值；
（2）由于当N点到达A点时，x＝2，此时M点和Q点还未相遇，所以点Q只能在点M的左侧．
以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形时分两种情况：
①当点P在点N的左侧时，由此即可得到关于x的方程，解方程即可；
②当点P在点N的右侧时，由此也可以列出关于x的方程，解方程即可．
【解答】解：（1）∵P，N重合，
∴2x+x2＝20，
∴，（舍去），
∴当时，P，N重合；
（2）因为当N点到达A点时，x＝2，此时M点和Q点还未相遇，
所以点Q只能在点M的左侧，
①当点P在点N的左侧时，依题意得
20﹣（x+3x）＝20﹣（2x+x2），
解得x1＝0（舍去），x2＝2，
当x＝2时四边形PQMN是平行四边形；
②当点P在点N的右侧时，依题意得
20﹣（x+3x）＝（2x+x2）﹣20，
解得x1＝﹣10（舍去），x2＝4，
当x＝4时四边形NQMP是平行四边形，
所以当x＝2或x＝4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形．
【点评】此题是一个运动型问题，把运动和平行四边形的性质结合起来，利用题目的数量关系列出一元二次方程解决问题．解题时首先要认真阅读题目，正确理解题意，然后才能正确设未知数列出方程解题．
20 .某商店购入A，B两款商品，进货价和销售价如表（利润＝销售价﹣进货价）：
A款 B款
进货价（元/件） 40 28
销售价（元/件） 55 40
（1）商店购进A，B两款共80件，其中A款购进x件，则商店A，B两款全部售出后可获得的总利润为 　（3x+960）元　（用含x的代数式表示）；
（2）商店打算把B款进行调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售出4件，经调查发现，销售价每降价1元，平均每天可多售出2件，问：将销售价格定为每件多少元时，才能使B款平均每天的销售利润为96元？
【分析】（1）把A，B两款商品的利润相加，即可得到答案；
（2）根据总利润等于每件利润乘以销售量列方程可解得答案．
【解答】解：（1）∵（55﹣40）x+（40﹣28）（80﹣x）＝（3x+960）元，
∴商店A，B两款全部售出后可获得的总利润为（3x+960）元，
故答案为：（3x+960）元；
（2）设B款销售价格定为每件m元时，才能使B款平均每天的销售利润为96元，
根据题意得：（m﹣28）[4+2×（40﹣m）]＝96，
解得：m＝34或m＝36，
答：B款销售价格定为每件34或36元时，才能使B款平均每天的销售利润为96元．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程．
如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交线段AB于点D，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E，连结CD．设BC＝a，AC＝b；
（1）线段AD的长度是方程x2+2ax﹣b2＝0的一个根吗？说明理由．
（2）若点E是线段AC的中点，求的值．
【分析】（1）根据勾股定理求出AD，利用求根公式解方程，比较即可；
（2）根据勾股定理列出算式，计算即可．
【解答】解：（1）由勾股定理得，AB＝＝，
∴AD＝﹣a，
解方程x2+2ax﹣b2＝0得，x＝＝±﹣a，
∴线段AD的长是方程x2+2ax﹣b2＝0的一个根；
（2）∵AD＝AE，
∴AE＝EC＝，
由勾股定理得，a2+b2＝（b+a）2，
整理得，＝，
【点评】本题考查的是勾股定理、一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的求根公式、勾股定理是解题的关键。
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