九年级数学上分层优化堂堂清10 第二十一章 一元二次方程单元测试题（含解析）

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九年级数学上分层优化堂堂清
二十一章 一元二次方程
本章综合素质测评
一、选择题(每小题3分,共30分)
1 . 一元二次方程x2﹣2x＝1的二次项系数、一次项系数、常数项分别是(　　)
A. 1，2，﹣1 B. 1，﹣2，1 C. ﹣1，﹣2，1 D. 1，﹣2，﹣1
如果关于x的一元二次方程，有一个解是0，那么m的值是（ ）
A. 3 B. C. D. 0或
3 .用配方法解一元二次方程时，变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
4 .若m是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（ ）
A．0 B．2 C． D．4
5.方程的根是（ ）
A. B. C. D.
6 .已知x＝2是一元二次方程x2+mx+2＝0一个解，则m的值是（　　）
A. ﹣3 B. 3 C. 0 D. 0或3
7 .下列方程中有两个不相等的实数根的方程是（ ）
A． B． C． D．
8 .已知x、y都是实数，且(x2+y2)(x2+y2+2)﹣3＝0，那么x2+y2的值是(　　)
A. ﹣3 B. 1 C. ﹣3或1 D. ﹣1或3
9 .已知关于x的方程(k﹣2)2x2+(2k+1)x+1＝0有实数根，则k的取值范围是(　　)
A. k＞且k≠2 B. k≥且k≠2 C. k＞ D. k≥
10 .已知一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0的两根x1、x2，则x12﹣4x1+x1x2＝(　　)
A. 0 B. 1 C. 2 D. ﹣1
填空题(每小题3分,共15分)
11．已知 x＝﹣1 是方程 x 2+ax+3﹣a＝0 的一个根，则 a 的值是__________ ．
12 .若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是 __________
13 .微信红包是沟通人们之间感情的一种方式，已知小明在2020年“元旦节”收到微信红包为300元，2022年为675元，若这两年小明收到的微信红包的年平均增长率为x，根据题意可列方程为(　　)
A. 300(1+2x)＝675 B. 300(1+x2)＝675
C. 300(1+x)2＝675 D. 300+x2＝675
14 .已知 x1，x2 是方程 x 2﹣3x+1＝0 的两个实数根，则
＝____________
15 .如图，在中，，，，动点由点出发沿方向向点匀速移动，速度为，动点由点出发沿方向向点匀速移动，速度为．动点，同时从，两点出发，当的面积为时，动点，的运动时间为 ．
解答题(共8小题，共75分)
16 .（10分）选择适当方法解下列方程
（1）（3x﹣1）2＝（x﹣1）2
（2）3x（x﹣1）＝2﹣2x
17 .（8分）已知关于的一元二次方程．
(1)请判断这个方程根的情况；
(2)若该方程有一个根小于1，求的取值范围．
（7分）当m为何值时，关于x的方程为一元二次方程，并求这个一元二次方程的解．
19 .（8分）已知关于的方程
(1)当取什么值时，方程只有一个根？
(2)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．
20 .（8分）某钢铁厂计划今年第一季度一月份的总产量为500t，三月份的总产量为720t，若平均每月的增长率相同．
（1）第一季度平均每月的增长率；
（2）如果第二季度平均每月的增长率保持与第一季度平均每月的增长率相同，请你估计该厂今年5月份总产量能否突破1000t？
21.（10分） 商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
(1)若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少元？
(2)设每件商品降价x元，则商场日销售量增加 件，每件商品，盈利 元(用含x的代数式表示)；
(3)在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？
22.（12分）已知关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣2＝0．
(1)求证：无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；
(2)设x2+mx+m﹣2＝0的两个实数根为x1，x2，若y＝x12+x22+4x1x2，求出y与m的函数关系式；
(3)在(2)的条件下，若﹣1≤m≤2时，求y的取值范围．
23.（12分）阅读材料：各类方程的解法
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想转化，把未知转化为已知．
用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2-2x=0，可以通过因式分解把它转化为x(x2+x-2)=0，解方程x=0和x2+x-2=0，可得方程x3+x2-2x=0的解．
（1）问题：方程x3+x2-2x=0的解是x1=0,x2= ，x3= ；
（2）拓展：用“转化”思想求方程的解；
（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD=8m，宽AB=3m，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求AP的长．
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二十一章 一元二次方程
本章综合素质测评（解析版）
一、选择题(每小题3分,共30分)
1 . 一元二次方程x2﹣2x＝1的二次项系数、一次项系数、常数项分别是(　　)
A. 1，2，﹣1 B. 1，﹣2，1 C. ﹣1，﹣2，1 D. 1，﹣2，﹣1
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项可得答案．
【详解】一元二次方程整理成一般形式为：x2﹣2x﹣1=0，二次项系数、一次项系数、常数项分别是1、﹣2、﹣1．
故选D．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
如果关于x的一元二次方程，有一个解是0，那么m的值是（ ）
A. 3 B. C. D. 0或
【答案】B
【解析】
【分析】把x=0代入方程（m-3）x2+3x+m2-9=0中，解关于m的一元二次方程，注意m的取值不能使原方程对二次项系数为0．
【详解】解：把x=0代入方程（m-3）x2+3x+m2-9=0中，得
m2-9=0，
解得m=-3或3，
当m=3时，原方程二次项系数m-3=0，舍去，
∴m=-3
故选：B．
【点评】本题考查的是一元二次方程解的定义，一元二次方程的概念，掌握方程的解的含义是解题的关键.
3 .用配方法解一元二次方程时，变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】在方程两边加上16，然后把方程左边配成完全平方形式即可．
【详解】解：，
配方得，即．
故选：C．
【点评】本题考查了解一元二次方程－配方法，关键是掌握配方的方法：当二次项系数为1时，两边加上一次项系数一半的平方．
4 .若m是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（ ）
A．0 B．2 C． D．4
【答案】D
【分析】根据一元二次方程的解的定义得出，即得出．再将代数式变为，最后整体代入求值即可．
【详解】解：∵m是一元二次方程的一个根，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
【点评】本题考查一元二次方程的解的定义，代数式求值．掌握一元二次方程的解就是使方程成立的未知数的值是解题关键．
5.方程的根是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】观察原方程，可用公式法求解.
【详解】解：∵，，，
∴，
∴；
故选：D.
【点评】本题考查了一元二次方程的解法，正确理解运用一元二次方程的求根公式是解题的关键.
6 .已知x＝2是一元二次方程x2+mx+2＝0一个解，则m的值是（　　）
A. ﹣3 B. 3 C. 0 D. 0或3
【答案】A
【解析】
【分析】直接把x＝2代入已知方程就得到关于m的方程，再解此方程即可．
【详解】解：∵x＝2是一元二次方程x2+mx+2＝0的一个解，
∴4+2m+2＝0，
∴m＝﹣3．
故选：A．
【点评】本题考查的是一元二次方程的解，难度系数较低，直接把解代入方程即可.
7 .下列方程中有两个不相等的实数根的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分别求出每一个方程的判别式Δ的值，找出的方程即可．
【详解】解：A、，∴方程有两个相等的实数根，故本选项不符合题意；
B、，∴方程有两个不相等的实数根，故本选项符合题意；
C、，∴方程没有实数根，故本选项不符合题意；
D、，∴方程没有实数根，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程有两个相等的实数根；③当时，方程无实数根．
8 .已知x、y都是实数，且(x2+y2)(x2+y2+2)﹣3＝0，那么x2+y2的值是(　　)
A. ﹣3 B. 1 C. ﹣3或1 D. ﹣1或3
【答案】B
【解析】
【详解】解：∵（x2＋y2）(x2＋y2＋2)－3=0，
∴（x2＋y2）2+2(x2＋y2)－3=0，
解得：x2＋y2=-3或x2＋y2=1
∵x2＋y2>0
∴x2＋y2=1
故选B．
【点评】本题考查了多项式的乘法，解二元一次方程，关键是熟练运用整体思想．
9 .已知关于x的方程(k﹣2)2x2+(2k+1)x+1＝0有实数根，则k的取值范围是(　　)
A. k＞且k≠2 B. k≥且k≠2 C. k＞ D. k≥
【答案】D
【解析】
【分析】分类讨论：当k-2=0，解k=2，原方程为一元一次方程，有一个实数根；当k-2≠0，即k≠2，当△=(2k+1)2-4(k-2)2≥0方程有实数根，然后综合两种情况得到k的取值范围．
【详解】当k﹣2＝0，即k＝2时，原方程为5x+1＝0，
解得：x＝﹣，
∴k＝2符合题意；
当k﹣2≠0，即k≠2时，△＝(2k+1)2﹣4×1×(k﹣2)2＝20k﹣15≥0，
解得：k≥且k≠2，
综上所述：k≥，
故选D．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，根的判别式，一元一次方程的解，熟练掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程的根的关系是解题的关键.
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
10 .已知一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0的两根x1、x2，则x12﹣4x1+x1x2＝(　　)
A. 0 B. 1 C. 2 D. ﹣1
【答案】A
【解析】
【分析】根据根与系数的关系得到x1x2＝﹣5，根据方程根的定义可得x12﹣4x1＝5，然后利用整体代入的方法计算即可．
【详解】∵x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0的根，
∴x12﹣4x1＝5，x1x2＝﹣5，
∴x12﹣4x1+x1x2＝5﹣5＝0，
故选A．
【点评】本题考查了一元二次方程的根，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握相关知识是解题的关键.
填空题(每小题3分,共15分)
11．已知 x＝﹣1 是方程 x 2+ax+3﹣a＝0 的一个根，则 a 的值是__________ ．
【分析】把 x＝﹣1 代入方程 x 2+ax+3﹣a＝0 得到关于 a 的一元一次方程，解之即可．
【解答】解：把 x＝﹣1 代入方程 x 2+ax+3﹣a＝0 得：
1﹣a+3﹣a＝0，
解得：a＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，正确掌握代入法是解题的关键
12 .若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是 __________ ．
【答案】
【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．
13 .微信红包是沟通人们之间感情的一种方式，已知小明在2020年“元旦节”收到微信红包为300元，2022年为675元，若这两年小明收到的微信红包的年平均增长率为x，根据题意可列方程为(　　)
A. 300(1+2x)＝675 B. 300(1+x2)＝675
C. 300(1+x)2＝675 D. 300+x2＝675
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意得2021年收到的微信红包为300(1+x)元，2022年收到的微信红包为300(1+x)(1+x)元，进而可列出方程.
【详解】这两年小明收到的微信红包的年平均增长率为x，由题意得：
300(1+x)2＝675，
故选C．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用——增长率问题，正确理解题意，表示出2020、2022年微信收到的红包是解题的关键.。
14 .已知 x1，x2 是方程 x 2﹣3x+1＝0 的两个实数根，则
＝____________ ．
【分析】首先根据根与系数的关系求出 x1+x2＝3，x1x2＝1，然后将
变形，再将 x1+x2＝3，x1x2＝1 代 入即可．
【解答】解：∵x1，x2 是方程 x 2﹣3x+1＝0 的两个实数根，
根据根与系数的关系有：x1+x2＝3，x1x2＝1，
所以
＝3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查根与系数的关系，关键是熟练运用．
15 .如图，在中，，，，动点由点出发沿方向向点匀速移动，速度为，动点由点出发沿方向向点匀速移动，速度为．动点，同时从，两点出发，当的面积为时，动点，的运动时间为 ．
【答案】
【分析】设，的运动时间为，可得，用表示出的面积，并令其等于，即可解出的值，即动点，的运动时间．
【详解】解：设动点，的运动时间为，且，则，．
，，
又的面积为，
，解得，（舍去）．
故动点，的运动时间为．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，准确地设出未知量，并通过解方程求解是解决本题的常见方法。
解答题(共8小题，共75分)
16 .（10分）选择适当方法解下列方程
（1）（3x﹣1）2＝（x﹣1）2
（2）3x（x﹣1）＝2﹣2x
【答案】(1)x1＝0，x2＝；(2)x1＝1，x2＝﹣．
【解析】
【分析】(1)将等号左边的式子移动到等号右边,然后根据平方差公式进行因式分解,再进行解一元一次方程即可求解,(2) 将等号左边的式子移动到等号右边,然后根据提公因式法进行因式分解,再进行解一元一次方程即可求解,
【详解】(1)3x﹣1＝±(x﹣1),
即3x﹣1＝x﹣1或3x﹣1＝﹣(x﹣1),
所以x1＝0,x2＝；
(2)3x(x﹣1)+2(x﹣1)＝0,
(x﹣1)(3x+2)＝0,
x﹣1＝0或3x+2＝0,
所以x1＝1,x2＝﹣．
【点评】本题主要考查因式分解法解一元二次方程,解决本题的关键是要熟练掌握因式分解的方法.
17 .（8分）已知关于的一元二次方程．
(1)请判断这个方程根的情况；
(2)若该方程有一个根小于1，求的取值范围．
【答案】(1)有两个实数根
(2)
【分析】（1）根据根的判别式即可求出答案；
（2）求出方程的两根，根据该方程有一个根小于1列出不等式，解不等式即可得到答案．
【详解】（1）解：根据题意得：
，
∵无论取何值时，，
∴原方程有两个实数根；
（2）解：∵，
； ，
∵该方程有一个根小于1，
∴，
∴．
【点评】本题考查了一元二次方程根的情况，公式法解一元二次方程，解题的关键是熟练运用根的判别式
（7分）当m为何值时，关于x的方程为一元二次方程，并求这个一元二次方程的解．
【答案】m=﹣2，x1=0，x2=2
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义，得到关于m的一元二次方程和关于m的不等式，解之即可得到m的值，代入原方程解一元二次方程即可．
【详解】根据题意得：
解得：m=﹣2．
即原方程为：﹣4x2+8x=0，解得：x1=0，x2=2．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，正确掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
19 .（8分）已知关于的方程
(1)当取什么值时，方程只有一个根？
(2)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)且
【分析】（1）先根据方程只有一个根可知此方程是一元一次方程，故可得出的值；
（2）根据方程有两个相等的实数根可知，由此即可得出的取值范围．
【详解】（1）解：当时，得：，
此时，
则方程为一元一次方程，它的根是，此时方程只有一个根，
∴当时，方程只有一个根；
（2）∵关于的方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：且，
∴的取值范围是且．
【点评】本题考查一元一次方程，一元二次方程的定义及根的判别式．一元二次方程根的情况与判别式的关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根．掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键．
20 .（8分）某钢铁厂计划今年第一季度一月份的总产量为500t，三月份的总产量为720t，若平均每月的增长率相同．
（1）第一季度平均每月的增长率；
（2）如果第二季度平均每月的增长率保持与第一季度平均每月的增长率相同，请你估计该厂今年5月份总产量能否突破1000t？
【答案】（1）20%（2）能．
【解析】
【分析】（1）设第一季度平均每月的增长率为x，根据该厂一月份及三月份的总产量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据五月份的总产量=三月份的总产量×（1+增长率）2，即可求出今年五月份的总产量，再与1000进行比较即可得出结论．
【详解】（1）设第一季度平均每月的增长率为x，根据题意得：
500（1+x）2=720
解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（舍去）．
答：第一季度平均每月的增长率为20%．
（2）720×（1+20%）2=1036.8（t）．
∵1036.8＞1000，
∴该厂今年5月份总产量能突破1000t．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，求出今年五月份的总产量．
21.（10分） 商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
(1)若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少元？
(2)设每件商品降价x元，则商场日销售量增加 件，每件商品，盈利 元(用含x的代数式表示)；
(3)在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？
【答案】（1）若某天该商品每件降价3元，当天可获利1692元；
（2）2x，50﹣x；
（3）每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000元
【解析】
【分析】（1）根据“盈利=单件利润×销售数量”即可得出结论；
（2）根据“每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件”结合每件商品降价x元，即可找出日销售量增加的件数，再根据原来没见盈利50元，即可得出降价后的每件盈利额；
（3）根据“盈利=单件利润×销售数量”即可列出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再根据尽快减少库存即可确定x的值．
【详解】（1）当天盈利：（50-3）×（30+2×3）=1692（元）．
答：若某天该商品每件降价3元，当天可获利1692元．
（2）∵每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件，
∴设每件商品降价x元，则商场日销售量增加2x件，每件商品，盈利（50-x）元．
故答案为2x，50-x；
（3）根据题意，得：（50-x）×（30+2x）=2000，
整理，得：x2-35x+250=0，
解得：x1=10，x2=25，
∵商城要尽快减少库存，
∴x=25．
答：每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000元．
【点评】考查了列代数式、有理数混合运算的实际应用、一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找出数量关系列出一元二次方程（或算式）
22.（12分）已知关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣2＝0．
(1)求证：无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；
(2)设x2+mx+m﹣2＝0的两个实数根为x1，x2，若y＝x12+x22+4x1x2，求出y与m的函数关系式；
(3)在(2)的条件下，若﹣1≤m≤2时，求y的取值范围．
【答案】(1)证明见解析；(2)y＝m2+2m﹣4；(3)﹣5≤y≤4．
【解析】
【分析】(1)证明一元二次方程的根的判别式△＞0即可；
(2)根据根与系数的关系得到x1+x2＝﹣m，x1x2＝m﹣2，然后利用整体代入即可求得函数关系式；
(3)先求出(2)中抛物线的顶点，然后结合二次函数的性质即可求得答案.
【详解】(1)∵△＝m2﹣4(m﹣2)＝(m﹣2)2+4＞0，
∴无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根．
(2)∵ x2+mx+m﹣2＝0的两个实数根为x1、x2，
∴x1+x2＝﹣m，x1x2＝m﹣2，
∴y＝x12+x22+4x1x2＝(x1+x2)2+2x1x2＝(﹣m)2+2(m﹣2)＝m2+2m﹣4；
(3)∵y＝m2+2m﹣4＝(m+1)2﹣5，
∴顶点(﹣1，﹣5)，
又∵﹣1≤m≤2，∴当x＝﹣1时，y最小值＝﹣5，
当x＝2时，y最大值＝4，
∴﹣5≤y≤4．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，抛物线的性质等，熟练掌握相关知识是解题的关键.
23.（12分）阅读材料：各类方程的解法
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想转化，把未知转化为已知．
用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2-2x=0，可以通过因式分解把它转化为x(x2+x-2)=0，解方程x=0和x2+x-2=0，可得方程x3+x2-2x=0的解．
（1）问题：方程x3+x2-2x=0的解是x1=0,x2= ，x3= ；
（2）拓展：用“转化”思想求方程的解；
（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD=8m，宽AB=3m，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求AP的长．
【答案】(1)-2，1；（2）x=3；（3）4m.
【解析】
【分析】（1）因式分解多项式，然后得结论；
（2）两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，注意验根；
（3）设AP的长为xm，根据勾股定理和BP+CP=10，可列出方程，由于方程含有根号，两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，
【详解】解：（1），
，
所以或或
，，；
故答案为，1；
（2），
方程的两边平方，得
即
或
，，
当时，，
所以不是原方程的解．
所以方程的解是；
（3）因为四边形是矩形，
所以，
设，则
因为，
，
两边平方，得
整理，得
两边平方并整理，得
即
所以．
经检验，是方程的解．
答：的长为．
【点评】考查了转化的思想方法，一元二次方程的解法．解无理方程时注意验根．解决（3）时，根据勾股定理和绳长，列出方程是关键．
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