1.1 探索勾股定理 北师大版数学 八年级上册（DOC，含答案解析）

1.1 探索勾股定理 北师大版数学 八年级上册
学校:______姓名:______班级:______考号:______
一、单选题
1.历史上对勾股定理的一种证法采用了如图所示的图形，其中两个全等直角三角形的两边，在一条直线上．证明中用到的面积相等关系是( )

A. B.
C. D.
2.下列说法正确的是( )
A.若，，是的三边长，则＋
B.若，，是的三边长，则＋
C.若，，是的三边长，，则＋
D.若，，是的三边长，，则＋
3.已知为直角三角形,在下列四组数中,不可能是它的三边长的一组是( )
A. B. C. D.
4.有下列说法：①已知分别是直角三角形的三边长，则必有；②直角三角形中，两条边的平方和等于第三边的平方；③在中，若，边的长分别是，则；④在中，若，分别是的对边，则.其中正确的有( )
A.个 B.个 C.个 D.个
5.已知直角三角形的斜边长为,一直角边长为,则另一直角边长为( )
A. B. C. D.
6.我国是最早了解勾股定理的国家之一，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是( )
A. B. C. D.
7.在中，，，，以的长为直径作半圆，则此半圆的面积为( )
A. B. C. D.以上都不对
8.一直角三角形的一条直角边的长是,另一条直角边与斜边长的和是,则斜边的长是( )
A. B. C. D.
9.如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点都在格点上，则的三边长，，的大小关系是( )

A. B. C. D.
10.如图，在中，，点是上一点，，若，，则( )

A. B. C. D.
二、填空题
11.在中，，若，，则的长是 ．
12.沐沐用七巧板拼了一个对角线长为的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形（如图所示），则长方形的对角线长为 ．

13.勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：勾广三，股修四，经隅五．观察下列勾股数：，，；，，；，，；，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为的一类勾股数，如：，，；，，；，若此类勾股数的勾为为正整数，则其弦是 结果用含的式子表示.
14.如图所示，在中，，分别以为边向外作正方形，面积分别为，，.若，，则 ．

15.在中，，若，则 ．
16.如图所示，在中，，，，则的面积= .

17.已知两条线段的长分别为和当第三条线段的长为 时，这三条线段能围成一个直角三角形.
18.定义：如图，点，把线段分割成三条线段，和，若以，，为边的三角形是一个直角三角形，则称点，是线段的勾股分割点．若，，则的长为 ．

19.如图，把长、宽、对角线的长分别是，，的长方形沿对角线剪开，与一个直角边长为的等腰直角三角形拼接成右边的图形，用面积割补法能够得到的一个等式是 ．

三、解答题
20.如图，中，，，是上一点，，且，求长．

21.在中，，，，的对边分别是，，．
(1)已知，，求；
(2)已知，，求．
22.如图所示，在四边形中，.若，，，求的长．

23.如图是弦图的示意图，弦图最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，它标志着中国古代的数学成就．它由个全等的直角三角形与一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形，每个直角三角形的两条直角边分别为、，斜边为请你运用此图形证明勾股定理：．

24.在中，边上的高,求的周长．
25.在数学活动课上，老师要求学生在的正方形网格中(小正方形的边长为画直角三角形，要求三个顶点都在格点上，而且三边与或都不平行．利用下图画四种图形，并直接写出其周长．(两直角边长的比相等的两个直角三角形算一种)

26.已知：如图，在四边形中，，，.求证：．

27.如图所示，，，，，求图中半圆的面积．

参考答案
1.【答案】D
【解析】由，可知，
∴，
整理，得,
∴证明中用到的面积相等关系是
2.【答案】D
【解析】对于选项，因为只有在直角三角形的前提条件下才能使用勾股定理，所以项不正确.
对于选项，因为不知道哪一条边是斜边，所以项不正确.
对于选项，因为，
所以是斜边长，
故应有，
所以项不正确.
只有选项符合勾股定理的内容.
故选.
3.【答案】C
4.【答案】A
【解析】①没有明确是斜边长，所以①是错误的；
②显然是错误的；
③由于条件中明确了，所以说是斜边，即是斜边长，根据勾股定理应有，所以③是错误的；
④由于条件中明确了，所以为斜边长，所以④是正确的，
所以四个说法中只有④是正确的．
故选．
5.【答案】B
6.【答案】D
【解析】
整理得即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
整理得即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；

整理得即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
.根据图形不能证明勾股定理，
故本选项符合题意.故选.
7.【答案】B
【解析】在中，，∴， ∴半圆
8.【答案】D
9.【答案】D
【解析】由勾股定理,得. 又.故答案为.
10.【答案】B
【解析】设，则，
在中，，
在中，，
所以，，
解得，
即.．
故答案为：．
11.【答案】
【解析】设，则.
由勾股定理，得，
解得.
12.【答案】
【解析】解：根据图形可知：长方形的长是正方形的对角线为，长方形的宽是正方形对角线的一半为，
根据勾股定理可知，长方形的对角线长：．
故答案为：．
13.【答案】
【解析】∵为正整数，
当为偶数，设其股是，则弦为，
根据勾股定理得，，
解得，
弦是
故答案为：
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】
【解析】如图，过点作于点，
设，则，
在 中，，
在中，，
∴，
解得，
∴．
在中，
，
∴，
∴的面积

17.【答案】或
【解析】若为斜边长，根据勾股定理得第三边长为；若不为斜边长，根据勾股定理得第三边长为则当第三条线段的长取或时，这三条线段能围成一个直角三角形.
18.【答案】或
【解析】①当为最大线段时，
点是线段的勾股分割点，
；
②当为最大线段时，
点是线段的勾股分割点，
．
综上所述，的长为或
19.【答案】
【解析】右图可以理解为由三个直角三角形组成，其面积分别为，和；
还可以理解为一个直角梯形，其面积为.
根据面积相等，得，
整理得，
即，
所以.
20.【答案】∵，，，
∴，
∴
【解析】∵，，，
∴，
∴
21.【答案】(1)解：∵，∴.
(2)∵，∴.
22.【答案】∵，
∴、均是直角三角形，
由题意得，，，，
在中，，
在中，，
∴
23.【答案】解：由图可知：


．
，
所以．
【解析】利用大正方形的面积等于个三角形的面积加上中间小正方形的面积，进而证明问题．
24.【答案】分以下两种情况： 当垂足在线段上时(如图①)，由勾股定理得
，
，
∴.
故的周长为.
当垂足在线段的延长线上时(如图②)，由勾股定理得
，
，
∴.
故的周长为.
综上，的周长为或.

【解析】分以下两种情况： 当垂足在线段上时(如图①)，由勾股定理得
，
，
∴.
故的周长为.
当垂足在线段的延长线上时(如图②)，由勾股定理得
，
，
∴.
故的周长为.
综上，的周长为或.

25.【答案】解：答案不唯一，如图①～图⑤．
图①中，直角三角形的周长；
图②中，直角三角形的周长；
图③中，直角三角形的周长；
图④中，直角三角形的周长；
图⑤中，直角三角形的周长．

26.【答案】证明：连接
，
.
，
，

，
，
，
，


27.【答案】解：如图，∵在直角中，，，，
∴ ．
则在直角中，由勾股定理得到： ，
∴图中半圆的面积（ ） （）．
答：图中半圆的面积是 ．
【解析】首先，在直角中，利用勾股定理求得；然后在直角中，由勾股定理求得斜边的长度；最后根据圆形的面积公式进行解答．
解答此题的关键在于理解勾股定理的概念的相关知识，掌握直角三角形两直角边、的平方和等于斜边的平方即．