2022-2023学年河北省秦皇岛市抚宁区八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年河北省秦皇岛市抚宁区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列二次根式中，最简二次根式是( )
A. B. C. D.
2. 在函数中，自变量的取值范围是( )
A. B. C. D.
3. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
4. 下列计算：
；
；
；
．
其中结果正确的个数为( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
5. 菱形的边长为，，则菱形的面积为( )
A. B. C. D.
6. 如图，直线过点和点，则方程的解是( )
A.
B.
C.
D.
7. 如图，两根木条钉成一个角形框架，且，，将一根橡皮筋两端固定在点，处，拉展成线段，在平面内，拉动橡皮筋上的一点，当四边形是菱形时，橡皮筋再次被拉长了( )
A. B. C. D.
8. 如图，在正方形中，为中点，过点作交的延长线于点，连接，若，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
9. 如图，过点的一次函数的图象与正比例函数的图象相交于点，则这个一次函数的解析式是( )
A.
B.
C.
D.
10. 如图，在 中，，按以下步骤作图：以点为圆心，小于的长为半径画弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点；作射线交于点，则下列结论中不能由条件推理得出的是( )
A. 平分 B. C. D.
11. 如图，矩形中，，，动点从点出发，沿运动至点停止，设运动的路程为，的面积为，则与的函数关系用图象表示正确的是( )
A. B.
C. D.
12. 如图，已知长方形顶点坐标为，，，，一次函数的图象与长方形的边有公共点，则的变化范围是( )
A. 或
B. 或
C.
D.
二、填空题（本大题共6小题，共19.0分）
13. 若函数是正比例函数，则该函数的图象经过第______象限．
14. 一组数据，，，，中，唯一众数是，平均数是，这组数据的中位数是______ ．
15. 如图，若点关于轴的对称点在一次函数的图象上，则的值为______．
16. 如下图，在矩形中，，，将沿对角线翻折，点落在点处，交于点，则线段的长为________．
17. 如图，直线和直线分别与轴交于和两点，则不等式组的解集为______ ．
18. 如图，已知一次函数的图象经过，两点，并且交轴于点，交轴于点则该一次函数的解析式为______ ；的面积为______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共65.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 本小题分
计算：
；
．
20. 本小题分
若，求代数式的值．
21. 本小题分
如图，每个小正方形的边长为．
求四边形的周长；
求证：．
22. 本小题分
七年级二班举办了主题为“致敬航天人，共筑星河梦”的演讲比赛由学生，学生，老师、班长一起组成四人评委团，对演讲者现场打分，满分分图是甲、乙二人的演讲得分的不完整折线图，已知二人得分的平均数都是分．
班长给乙的打分是______ 分，补全折线图；
在参加演讲的同学中，如果某同学得分的四个数据的方差越小，则认为评委对该同学演讲的评价越一致请通过计算推断评委对甲、乙两位同学中哪位同学的评价更一致；
要在甲、乙两位同学中选出一人参加年级的演讲比赛按照扇形统计图图中各评委的评分占比，分别计算两人各自的最后得分，得分高的能被选中，请判断谁被选中．
23. 本小题分
如图：在中，、分别平分与它的邻补角，于，于，直线分别交、于、．
求证：四边形为矩形；
试猜想与的关系，并证明你的猜想．
24. 本小题分
如图，一个正方体铁块放置在高为的圆柱形容器内，现以一定的速度往容器内注水，注满容器为止容器顶部离水面的距离与注水时间之间的函数图象如图所示．
求直线的解析式，并求出容器注满水所需的时间．
求正方体铁块的体积．
25. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，以边向上作正方形，交于点．
求点的坐标；
若是直线上的一动点，则在轴上是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请简要说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、，是最简二次根式，符合题意；
B、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
C、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
D、，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的概念判断即可．
本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
2.【答案】
【解析】解：根据题意得，，
解得．
故选：．
根据被开方数大于等于，分母不等于列式进行计算即可得解．
本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为；二次根式的被开方数是非负数．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查勾股定理的逆定理，属于基础题由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解答】
解：，不可以构成直角三角形，故A选项错误；
B.，可以构成直角三角形，故B选项正确；
C.，不可以构成直角三角形，故C选项错误；
D.，而且它们不符合三角形的三边关系，不可以构成直角三角形，故D选项错误．
故选：．
4.【答案】
【解析】解：，所以正确；
，所以正确；
，所以正确；
，所以正确．
故选：．
利用二次根式的性质对进行判断；根据平方差公式对进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算：在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
5.【答案】
【解析】解：四边形是菱形，
，，，
，
是等边三角形，
，，
菱形的边长为，
，
，
，
菱形的面积．
故选：．
由四边形是菱形，得到，，，又，得到是等边三角形，求出，得到，于是菱形的面积．
本题考查菱形的性质，菱形的面积，关键是由菱形的性质推出是等边三角形，得到的长，求出的长，得到的长，由菱形的面积公式即可求解．
6.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了一次函数与一元一次方程，任何一元一次方程都可以转化为为常数，的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于确定已知直线与轴的交点的横坐标的值．所求方程的解，即为函数图象与轴交点横坐标，确定出解即可．
【解答】
解：方程的解，即为函数图象与轴交点的横坐标，
直线过，
方程的解是，
故选：．
7.【答案】
【解析】解：连接，交于，
四边形是菱形，，，
，，，
，
，
橡皮筋再次被拉长了，
故选：．
根据菱形的性质得出，进而解答即可．
此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的性质得出的长解答．
8.【答案】
【解析】解：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
在与中，
，
≌，
，
为的中点，，
，，
，
在中，根据勾股定理得：
，
故选：．
根据证明≌，得到，在中，根据勾股定理求即可．
本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，根据证明出≌是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：点在正比例函数的图象上，横坐标为，
，
，
设一次函数解析式为：，
一次函数的图象过点，与正比例函数的图象相交于点，
可得出方程组，
解得，
则这个一次函数的解析式为，
故选：．
根据正比例函数图象确定点坐标再根据图象确定点的坐标，设出一次函数解析式，代入一次函数解析式，即可求出．
此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，解决问题的关键是利用一次函数的特点，来列出方程组，求出未知数，即可写出解析式．
10.【答案】
【解析】解：根据作图的方法可得平分，
平分，
，
，
，
，
，
，
故选D．
根据作图过程可得得平分，再根据角平分线的性质和平行四边形的性质可证明，进而得到，
此题主要考查了平行四边形的性质、角平分线的作法、平行线的性质；熟记平行四边形的性质是解决问题的关键关键．
11.【答案】
【解析】解：当点在上运动时，三角形的面积不断增大，最大面积；
当点在上运动时，三角形的面积为定值．
当点在上运动时三角形的面积不断减小，当点与点重合时，面积为．
故选：．
当点在上运动时，三角形的面积不断增大，当点在上运动时，三角形的面积不变，当点在上运动时三角形的面积不断减小，然后计算出三角形的最大面积即可得出答案．
本题主要考查的是动点问题的函数图象，分别得出点在、、上运动时的图象是解题的关键．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了一次函数图象上点的坐标的特征，在直线的平行移动过程中，按题意找出直线经过的关键点是解题的关键．由于一次函数的图象与长方形的边有公共点，观察图象可知，公共点最左端是点，最右端是点，于是把、的坐标代入分别求得值即可．
【解答】
解：由直线随的数值不同而平行移动，知当直线通过点时，
把代入，，
解得；
当直线通过点时，把代入，得，
解得．
则的范围为．
故选：．
13.【答案】二、四
【解析】解：由题意得：，且，
解得：，
函数解析式为，
，
该函数的图象经过第二、四象限．
故答案为：二、四．
根据正比例函数定义可得：，且，计算出的值，然后可得解析式，再根据正比例函数的性质可得答案．
此题主要考查了正比例函数的定义和性质，关键是掌握形如是常数，的函数叫做正比例函数；正比例函数是常数，，当时，直线依次经过第三、一象限，从左向右上升，随的增大而增大；当时，直线依次经过第二、四象限，从左向右下降，随的增大而减小．
14.【答案】
【解析】解：平均数是，
，
，
唯一众数是，
，至少有一个为，
，或，，
这组数据为，，，，；
这组数据的中位数是．
故答案为：．
先由平均数确定的值，再由唯一众数是，确定，的值即可．
本题主要考查数据集中趋势中的平均数、众数、中位数的应用，由唯一众数是，确定，的值是难点．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了用待定系数法确定一次函数解析式，以及关于轴对称对称点的坐标特征，掌握一次函数的性质和关于轴对称是解题的关键．
先求得点关于轴的对称点，再把对称点代入一次函数即可得出的值．
【解答】
解：点关于轴的对称点，
把代入一次函数，得，
解得，
故答案为．
16.【答案】
【解析】解：设，则，
四边形为矩形，
，
；
由题意得：，
，
；
由勾股定理得：
，
即，
解得：，
．
故答案为：．
首先根据题意得到，然后根据勾股定理得到关于线段、、的方程，解方程即可解决问题．
本题主要考查了几何变换中的翻折变换及其应用问题；解题的关键是根据翻折变换的性质，结合全等三角形的判定及其性质、勾股定理等几何知识，灵活进行判断、分析、推理或解答．
17.【答案】
【解析】解：当时，，则时，，
当时，，则时，，
因为时，，
所以当时，，
即不等式组的解集为．
故答案为．
观察函数图象，写出直线在直线上方且直线在轴上方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：一次函数与一元一次不等式的关系从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
18.【答案】
【解析】解：将点，代入，
得：，解得：，
一次函数的解析式为：；
对于，当时，，当时，，
点的坐标为，点的坐标为，
，，
，
过点作轴于，过点作轴于，如图所示：

点，
，，
，，
．
故答案为：；．
将点，代入求出，即可得一次函数的解析式；然后求出点，点，进而可求出，过点作轴于，过点作轴于，则，，进而可求出，，然后根据即可得出答案．
此题主要考查了一次函数的图象，三角形的面积，解答此题的关键是熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式；理解点的坐标与线段之间的关系．
19.【答案】解：
；
．
【解析】先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答；
利用二次根式的除法法则进行计算，即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20.【答案】解：，
，
代数式的值为．
【解析】利用完全平方公式进行计算，即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
21.【答案】解：由题意可知，，，，
四边形的周长为．
证明：连接．
，，，
，
是直角三角形，
即．
【解析】利用勾股定理分别求出、、、即可解决问题；
求出、、，利用勾股定理的逆定理即可证明；
本题考查勾股定理．勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
22.【答案】
【解析】解：分，
班长给乙的打分是分，
故答案为：；
补全图形如图所示：
，
，
．
，
评委对乙同学的评价更一致；
各评委的评分占比为：：：：：：，
甲：分，
乙：分．
，
甲被选中．
根据平均分求出总分，再减去其他三人所打的分数，即可作答，再补全图形即可；
求出甲乙两位同学分数的方差，据此判定即可；
先求出评委的评分占比，再根据加权平均数的计算方法计算即可作答．
本题考查了折线统计图、扇形统计图，方差以及加权平均数的知识，掌握方差以及加权平均数的计算方法，注重数形结合的思想，是解答本题的关键．
23.【答案】证明：于，于，
，
又、分别平分与它的邻补角，
，，
，
三个角为直角的四边形为矩形；
解：且；
证明：四边形为矩形，
对角线相等且互相平分，
，
，
，
又矩形的对角线相等且互相平分，
是的中位线，
．
【解析】由于，于可得，再由，、分别平分与它的邻补角，能证出，从而得证．
由矩形的性质可证，从而可代换出内错角相等，两直线平行，又因为是的中点，由三角形中位线定理相应的推论可知是的中点．
此题考查的知识点是矩形的判定和性质及三角形的中位线定理，关键是由已知推出四边形的三个角为直角；由矩形的性质可证，从而可代换出内错角相等，两直线平行，又因为是的中点，由三角形中位线定理相应的推论可知是的中点．
24.【答案】解：设直线的解析式为，
将点和代入中，
得，
解得，
直线的解析式为．
令，即，
解得，
故容器注满水所需的时间为．
由图象段可知正方体的高为，
即正方体的棱长为，
故正方体的体积为
【解析】待定系数法求出得解析式即可，令时，求出值；
根据图象确定出正方形的高即可求解．
本题考查了一次函数的实际应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求解析式．
25.【答案】解：直线：与轴交于点，与轴交于点，
当，解得：，则，
当，解得：，则，
以边向上作正方形，交于点，
，
，，
，
，
≌，
，
；
解：依题意：在轴上，
，直线：，
令，解得：，
则，
当为边时，，，
或，
当为对角线时，设，
，，
根据平移可得即，代入，即，
解得：，
则，
综上所述，或或．
【解析】根据一次函数的解析式，分别令，，进而得出，的坐标，证明≌，根据全等三角形的性质即可求解；
令，解得：，则，当为边时，，，当为对角线时，，设，根据平移可得，代入，即可求解．
本题考查了一次函数的图象与性质，坐标与图形，正方形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键．
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