2023年湖北省黄冈市部分学校九年级（下）期中数学试卷（含解析）

2023年湖北省黄冈市部分学校九年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 的相反数是( )
A. B. C. D.
2. 年月日，十四届全国人大一次会议闭幕后，国务院总理李强在答记者问时表示，我们国家现在适合劳动年龄人口已经有近亿人，每年新增劳动力是万人，人力资源丰富仍然是中国一个巨大优势或者说显著优势其中万用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
3. 如图，已知直线，直角三角形顶点在直线上，且，若，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
4. 如图是某个几何体的三视图，则该几何体是( )
A. 圆锥
B. 长方体
C. 三棱柱
D. 圆柱
5. 若点与点关于轴对称，则点所在的象限是( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
6. 如图，在半径为的中，弦于点，若，则弧的长为( )
A.
B.
C.
D.
7. 如图，在矩形中，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点若，，则长为( )
A. B. C. D.
8. 如图是二次函数的部分图象，顶点坐标为下列结论：；方程有两个相等的实数根；；其中所有正确结论的序号是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9. 若分式有意义，则的取值范围为 ．
10. 计算： ______ ．
11. 某校组织了一分钟跳绳比赛活动，体育组随机抽取了名参赛学生的成绩，将这组数据整理后制成如下统计表：这组数据的中位数是______．
一分钟跳绳个数个
学生人数名
12. 已知，是关于的方程的两个根，则的值______ ．
13. 如图，在正方形中，点在上，，，垂足分别为，，，则的长为______．
14. 如图，小明在一块平地上测山高，先在处测得山顶的仰角为，然后向山脚直行米到达处，再测得山顶的仰角为，那么山高约是______米结果保留整数，参考数据：，．
15. 给出一组有规律的数：，，，，，，小明通过观察发现，当为大于的奇数时，；当为大于的偶数时，按此规律，计算前个数的和为______ ．
16. 如图，在直角坐标系中，已知点，点为轴正半轴上一动点，连接，以为一边向下作等边，连接，则的最小值为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
先化简再求值：，其中，．
18. 本小题分
某校开发了“书画、器乐、戏曲、棋类”四大类兴趣课程．为了解全校学生对每类课程的选择情况，随机抽取了若干名学生进行调查每人必选且只能选一类，先将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
本次随机调查了多少名学生？
补全条形统计图中“书画”、“戏曲”的空缺部分；
若该校共有名学生，请估计全校学生选择“戏曲”类的人数；
学校从这四类课程中随机抽取两类参加“全市青少年才艺展示活动”，用树形图或列表法求出恰好抽到“器乐”和“戏曲”类的概率．书画、器乐、戏曲、棋类可分别用字母，，，表示
19. 本小题分
为更好地推进生活垃圾分类工作，改善城市生态环境某小区准备购买，两种型号的垃圾箱，通过市场调研得知：购买个型垃圾箱和个型垃圾箱共需元，购买个型垃圾箱比购买个型垃圾箱少用元．
求每个型垃圾箱和型垃圾箱各多少元？
该小区物业计划用不多于元的资金购买，两种型号的垃圾箱共个两种都需要购买，则该小区最多可购买型垃圾箱多少个？
20. 本小题分
如图，与相切于点，，分别交于点，，
求证：；
已知，，求阴影部分的面积．
21. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，一次函数的图象与轴交于点．
求一次函数的解析式；
根据函数的图象，直接写出不等式的解集；
点是轴上一点，且的面积等于面积的倍，求点的坐标．
22. 本小题分
某市精准扶贫工作已进入攻坚阶段贫困户张大爷在某单位的帮扶下，把一片坡地改造后种植了优质水果篮莓，今年正式上市销售在销售的天中，第一天卖出千克，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出千克第天的售价为元千克，关于的函数解析式为：
且第天的售价为元十克，第天的售价为元千克已知种植销售蓝莓的成本是元千克，每天的利润是元利润销售收入成本．
______ ， ______ ；
求销售蓝莓第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少？
在销售蓝莓的前天中不包含第天，当天利润不低于元的共有多少天？
23. 本小题分
已知、的顶点在上，顶点在上，且，连接，与交于点．
如图，若，求证：平分；
如图，若与不垂直，是否仍平分么？请作出结论，并说明理由；
如图，若，，求的长．
24. 本小题分
如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其顶点为点，连结．
求这条抛物线所对应的二次函数的表达式及顶点的坐标；
在抛物线的对称轴上取一点，点为抛物线上一动点，使得以点、、、为顶点、为边的四边形为平行四边形，求点的坐标；
在的条件下，将点向下平移个单位得到点，点为抛物线的对称轴上一动点，求的最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了相反数的性质，只有符号不同的两个数互为相反数，的相反数是．
根据相反数的定义直接求得结果．
【解答】
解：的相反数是．
故选：．
2.【答案】
【解析】解：万．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
3.【答案】
【解析】解：，，
，
直线，
．
故选：．
先根据直角三角形的性质求出的度数，再由平行线的性质即可得出结论．
本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同位角相等是解题的关键．
4.【答案】
【解析】
【分析】
由主视图和左视图确定是柱体、棱柱还是圆柱，再由俯视图确定具体形状．
此题考查了由三视图判断几何体，关键是熟练掌握三视图，主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
【解答】
解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是圆可判断出这个几何体是圆柱．
故选：．
5.【答案】
【解析】解：点、点关于轴对称，
，，
解得：，，
点在第一象限，
故选：．
根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求出、的值，即可得到结论．
本题考查了关于轴、轴对称的点的坐标以及各点所在象限的性质，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
6.【答案】
【解析】解：连接、，
，，
，
由圆周角定理得：，
的长为：，
故选：．
连接、，根据直角三角形的性质求出，根据圆周角定理求出，再根据弧长公式计算吗，得到答案．
本题考查的是弧长的计算，掌握弧长公式、圆周角定理是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：连接，
由尺规作图过程可知，，为的平分线，
，
，
≌，
，
四边形为矩形，
，，，
，
，
设，
则，
在中，由勾股定理得，，
即，
解得，
长为．
故选：．
连接，由尺规作图过程可知，，为的平分线，可证明≌，则，由矩形的性质及勾股定理可得，，设，则，在中，由勾股定理可列方程为，解方程即可．
本题考查作图基本作图、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
8.【答案】
【解析】解：抛物线开口向上，
，
抛物线顶点坐标为，
，
，正确；
抛物线顶点坐标为，
方程有两个相等的实数根，
方程有两个相等的实数根，正确；
由图象可得时，，
抛物线对称轴为直线，
时，，正确．
抛物线顶点坐标为，
，
，正确．
故选：．
由抛物线开口方向及对称轴的位置可判断，由顶点坐标为可判断，由时及抛物线的对称性可得时，从而判断．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了分式有意义的条件，利用分母不为零得出不等式是解题关键．
根据分母不为零，分式有意义，可得答案．
【解答】
解：由题意，得．
解得，
故答案为：．
10.【答案】
【解析】解：原式
，
故答案为：．
利用绝对值的性质及零指数幂进行计算即可．
本题考查实数的运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
11.【答案】
【解析】解：这组数据的中位数是第、个数据的平均数，而这两个数据分别为、，
所以这组数据的中位数是，
故答案为：．
根据中位数的定义求解即可．
本题主要考查中位数，将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
12.【答案】
【解析】解：，是关于的方程的两个根，
，，
．
故答案为：．
利用根与系数的关系得到，，再代入所求式子中计算即可．
本题主要考查根与系数的关系、一元二次方程的解，解题关键是熟知根与系数的关系：，是一元二次方程的两根时，，．
13.【答案】
【解析】解：如图，连接，
在正方形中，，，
，，，
在和中，
，
≌，
；
，，，
四边形是矩形，
，
，
故答案为：．
根据正方形的四条边都相等可得，正方形的对角线平分一组对角可得，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；求出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可即可求解．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，熟记正方形的性质得到三角形全等的条件是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：由题意得米，
设米，则米，
在中，，
米，
在中，，
解得．
山高约为米．
故答案为：．
由题意得米，设米，则米，米，在中，，解方程即可得出答案．
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
15.【答案】
【解析】解：，，，，，，
的值每个一循环，
，，
．
故答案为：．
根据数的变化找出的值每个一循环，结合，，即可求出结果．
本题考查了规律型中数字的变化类，根据数值的变化找出的值每个一循环是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：如图，以为对称轴作等边，延长交轴于，
是等边三角形，是等边三角形，
，，，，
，
≌，
，
，
，，，
，
，，
，，
点在上移动，
当时，有最小值，
此时，．
故答案为：．
以为对称轴作等边，由“”可证≌，可得，由直角三角形的性质可求，，则点在上移动，当时，有最小值，即可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，垂线段最短，确定点的运动轨迹是解题的关键．
17.【答案】解：原式
，
当，时，原式．
【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把、的值代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
18.【答案】解：本次随机调查的学生人数为人；
书画的人数为人，戏曲的人数为人，
补全图形如下：
估计全校学生选择“戏曲”类的人数约为人；
列表得：
共有种等可能的结果，其中恰好抽到“器乐”和“戏曲”类的有种结果，
恰好抽到“器乐”和“戏曲”类的概率为．
【解析】由棋类的人数及其所占百分比可得总人数；
总人数乘以书画对应百分比求得其人数，再根据各类型人数之和等于总人数求得戏曲人数，从而补全图形；
利用样本估计总体思想求解可得；
列表或树状图将所有等可能的结果列举出来后利用概率公式求解即可．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率的知识．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率所求情况数与总情况数之比．
19.【答案】解：设每个型垃圾箱元，每个型垃圾箱元，
根据题意得：，
解得：．
答：每个型垃圾箱元，每个型垃圾箱元；
设该小区购买个型垃圾箱，则购买个型垃圾箱，
根据题意得：，
解得：，
的最大值为．
答：该小区最多可购买型垃圾箱个．
【解析】设每个型垃圾箱元，每个型垃圾箱元，根据“购买个型垃圾箱和个型垃圾箱共需元，购买个型垃圾箱比购买个型垃圾箱少用元”，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设该小区购买个型垃圾箱，则购买个型垃圾箱，利用总价单价数量，结合总价不多于元，可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
20.【答案】解：连接，
与相切于点
，
，
，
，
由可知：是等腰三角形，
，
，
，
，
，
扇形的面积为：，
的面积为：，

【解析】连接，由切线的性质可知，由于，所以，从而可证明，从而可知；
由可知：是等腰三角形，所以，从可求出扇形的面积以及的面积
本题考查切线的性质，解题的关键是求证，然后利用等腰三角形的三线合一定理求出与的长度，从而可知扇形与的面积，本题属于中等题型．
21.【答案】解：反比例函数的图象经过点，，
，，
解得，，
，，
把、的坐标代入得，
解得，
一次函数的解析式为．
观察图象，不等式的解集为：或．
连接，，由题意，
，
设，
由题意，
解得，
或．
【解析】利用待定系数法求出，的坐标即可解决问题．
观察图象写出一次函数的图象不在反比例函数的图象上方的自变量的取值范围即可解决问题．
根据，求出的面积，设，构建方程即可解决问题．
本题考查了待定系数法求函数的解析式，根据函数的解析式求点的坐标，根据三角形的面积求点的坐标，注意数形结合思想的应用．
22.【答案】
【解析】解：当第天的售价为元千克，代入得，
，
解得，
当第天的售价为元千克时，代入，
则，
故答案为：，；
由第天的销售量为，
当时，
，
当时，，
当时，，
，
随的增大而增大，
当时，，
，
当时，．
答：销售蓝莓第天时，当天利润最大，最大为元．
当时，令，
解得，，
抛物线的开口向下，
时，，
，
为正整数，
有天利润不低于元，
当时，令，
解得，
，
为正整数，
有天利润不低于元，
综上所述，当天利润不低于元的天数共有天．
根据题意将相关数值代入即可；
在的基础上分段表示利润，讨论最值；
分别在中的两个函数取值范围内讨论利润不低于的天数，注意天数为正整数．
本题考查了一次函数和二次函数的实际应用，应用了分类讨论的数学思想．
23.【答案】证明：，，
四边形为矩形，
，
矩形为正方形，
平分；
解：平分，
理由如下：过点作于，于，
，
四边形为矩形，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
矩形为正方形，
平分；
解：过点作于，
设，则，
由可知：平分，
，
，．
，
，
，
∽，
，即，
解得：，
在中，，，
，
，
，
，
．
【解析】证明四边形为正方形，根据正方形的性质定理证明结论；
过点作于，于，证明≌，得到，根据正方形的性质证明即可；
过点作于，根据∽求出，根据等腰直角三角形的性质计算即可．
本题考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、正方形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
24.【答案】解：抛物线经过、，，
，
解得，
抛物线的解析式为，
，
顶点的坐标为；
设直线是解析式为，
把，代入，得，
，
直线的解析式为，
过点作于点，
以，，，为顶点的四边形是以为边的平行四边形，
，，
，
，
≌，
，
设，则，
，
或，
当时，，
，
当时，，
综上所述，满足条件点点的坐标为或；
由题意，，和关于对称轴直线对称，连接交对称轴于点，连接，，过点作于点，交对称轴于点，连接则，，，
在中，，则在中，，
，
，
为最小值，
，
，
的最小值为．
【解析】利用待定系数法，把问题转化为解方程组即可；
过点作于点，证明≌，推出，设，则，可得，推出或，即可解决问题；
由题意，，和关于对称轴直线对称，连接交对称轴于点，连接，，过点作于点，交对称轴于点，连接则，，，证明，由，推出为最小值．
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，平行四边形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，学会用转化的思想来思考问题，属于中考压轴题．
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