2022-2023学年湖南省湘西州花垣县华鑫教育集团九年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖南省湘西州花垣县华鑫教育集团九年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 的相反数是( )
A. B. C. D.
2. 据国家海洋研究机构统计，中国有约平方公里的海洋国土处于争议中，可用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
3. 下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
4. 掷一枚质地均匀的骰子，下列事件是不可能事件是( )
A. 向上一面点数是奇数 B. 向上一面点数是偶数
C. 向上一面点数是大于 D. 向上一面点数是小于
5. 如图，两个一次函数图象的交点坐标为，则关于，的方程组的解为( )
A. B. C. D.
6. 下列函数中，图象经过原点的是( )
A. B. C. D.
7. 平面内三条直线、、，若，，则直线、的位置关系是( )
A. 垂直 B. 平行 C. 相交 D. 以上都不对
8. 如图，点是 对角线的交点，过点分别交，于点，，下列结论成立的是( )
A. B.
C. D.
9. 已知一元二次方程有一个根为，则的值为 ( )
A. B. C. D.
10. 二次函数的部分图象如图，则下列说法正确的有( )
；；；当时，；．
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）
11. 分解因式：______．
12. 计算： ．
13. 函数的自变量的取值范围是______ ．
14. 如图，点在第一象限，与轴所夹的锐角为，，则的值是______ ．
15. 在半径为的圆中，的圆心角所对的弧长等于______ ．
16. 华鑫学校运动队要从甲、乙、丙、丁四名跳高运动员中随机抽取一人参加比赛，甲的平时成绩最好，请问抽取甲参加比赛的概率是______ ．
17. 如图，已知，，分别是的三条边长，，我们把关于的形如的一次函数称为“勾股正比例函数”，若点在“勾股正比例函数”的图象上，且的面积是，则的值是______ ．
18. 如图，与都是以为直角顶点的等腰直角三角形，交于点，且，当是直角三角形时， ______ ．
三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）
19. 在一次数学综合实践活动中，小明计划测量一座城门大楼的高度，在点处测得楼顶的仰角为，他正对着城楼前进米到达处，再登上米高的楼台处，并测得此时楼顶的仰角为，请你依据测量的数据求出楼顶到地面的距离．参考数据：，，
四、解答题（本大题共7小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20. 本小题分
计算：．
21. 本小题分
先化简，再从整数、、中选一个合适的的值代入求值．
22. 本小题分
如图，是半圆的直径，点是半圆上不与点、重合的一个动点，延长到点，使，是的中点，连接、．
求证：≌；
连接，当四边形是菱形时，求的度数．
23. 本小题分
为了解花垣县居民“绿色出行”方式的情况，华鑫学校数学兴趣小组以问卷调查的形式，随机调查了花垣县部分出行居民的主要出行方式参与问卷调查的市民都只从以下五个种类中选择一类，并将调查结果绘制成如下不完整的统计图．
种类
出行方式 共享单车 步行 公交车 的士 私家车
根据以上信息，回答下列问题：
参与本次问卷调查的居民共有______ 人，其中选择类的人数有______ 人；
在扇形统计图中，求类对应扇形圆心角的度数，并补全条形统计图；
花垣县约有万人出行，若将，，这三类出行方式均视为“绿色出行”方式，请估计该县“绿色出行”方式的人数．
24. 本小题分
为创建国家级生态市，遵义市政府决定对市区周边水域的水质进行改善，这项工程由甲、乙两个工程队承包已知甲工程队每天的施工量是乙工程队的倍，若先让乙工程队单独施工天后甲工程队加入，甲、乙两个工程队合作天后，可完成总工程的．
求甲工程队单独完成这项工程需要多少天；
甲工程队每天需支付的工程款为万元，乙工程队每天需支付的工程款为万元，若工程费用不超过万元，则甲工程队最多工作多少天？
25. 本小题分
如图，在中，，，，点为上一点，以为半径作交于点，的中垂线分别交，于点，，连结．
求证：为的切线；
若，，求与之间的函数关系式．
26. 本小题分
如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，已知，，．
求抛物线的解析式；
在抛物线的对称轴上是否存在点，使是等腰三角形？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由；
点是线段上的一个动点，过点作轴的垂线与抛物线相交于点，求的最大面积及此时点的坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：的相反数为．
故选：．
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
本题主要考查相反数，关键是掌握相反数的定义．
2.【答案】
【解析】解：，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
3.【答案】
【解析】解：、无法计算，故此选项错误；
B、，正确；
C、，故此选项错误；
D、，故此选项错误．
故选：．
直接利用幂的乘方运算法则，积的乘方运算法则和同底数幂的乘法运算法则分别化简求出答案．
此题主要考查了幂的乘方运算法则以及积的乘方运算法则和同底数幂的乘法运算等知识，正确掌握运算法则是解题关键．
4.【答案】
【解析】
【分析】
根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
【解答】
解：、向上一面点数是奇数是随机事件；
B、向上一面点数是偶数是随机事件；
C、向上一面点数是大于是不可能事件；
D、向上一面点数是小于是必然事件，
故选：．
5.【答案】
【解析】
【分析】
根据任何一个一次函数都可以化为一个二元一次方程，再根据两个函数交点坐标就是二元一次方程组的解可直接得到答案．
本题主要考查了函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．
【解答】
解：直线与的交点坐标为，
二元一次方程组的解为，
故选：．
6.【答案】
【解析】解：函数的图象经过原点，点满足函数的关系式；
A、当时，，即，点满足函数的关系式；故A选项正确；
B、当时，，即，点不满足函数的关系式；故B选项错误；
C、的图象是双曲线，不经过原点；故C选项错误；
D、当时，，即，点不满足函数的关系式；故D选项错误；
故选：．
将点依次代入下列选项的函数解析式进行一一验证即可．
本题综合考查了二次函数、一次函数、反比例图象上的点的坐标特征．经过函数图象上的某点，该点一定满足该函数的解析式．
7.【答案】
【解析】解：，，
，
故选B．
根据平行线的判定得出即可．
本题考查了平行线的判定，能灵活运用平行线的判定定理进行推理是解此题的关键．
8.【答案】
【解析】解： 的对角线，交于点，
，，，
，
在和中，
，
≌，
，，，
又，
选项A正确，选项B、、不正确，
故选：．
证≌，得，，，进而得出结论．
此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
9.【答案】
【解析】解：把代入方程得，
解得．
故选：．
根据一元二次方程的解的定义，把代入方程得关于的一次方程，然后解一次方程即可．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
10.【答案】
【解析】解：由抛物线开口向下，即；对称轴，则，，
，选项正确
对称轴，
，
，选项正确；
当时，函数的值最大，
，选项正确；
抛物线对称轴为直线，与轴的一个交点为，
另一个与的交点为，
，选项正确；
图象与轴的交点和知时，，选项错误；
故选：．
根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
主要考查图象与二次函数系数之间的关系，掌握二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与轴的交点、抛物线与轴的交点的确定是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：，
，
．
故答案为：．
先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查分式的加法．掌握分式加法法则是解题的关键．
根据同分母分式加法法则，直接让分子相加即可．
【解答】
解：原式．
故答案为：．
13.【答案】
【解析】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
根据分母不为可得：，然后进行计算即可解答．
本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握分母不为是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：如图，作轴于．
，，
，
，
，
故答案为：．
如图，作轴于根据，，求出，再利用勾股定理求出即可解决问题．
本题考查解直角三角形，坐标图形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
15.【答案】
【解析】解：设弧长为，
，
故答案为．
根据弧长公式直接解答．
本题考查了弧长公式，直接代入公式解答即可．
16.【答案】
【解析】解：从甲、乙、丙、丁四名跳高运动员中随机抽取一人参加比赛，抽取甲参加比赛的概率是．
故答案为：．
直接根据概率公式求解即可．
本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
17.【答案】
【解析】解：点在“勾股正比例函数”的图象上，
，即，
的面积是，且已知，，分别是的三条边长，
，即，，
，
，
解得，舍去，
故答案为：．
由题意得到个关系式：，，结合勾股定理，完全平方公式变形即可求解．
考查了一次函数图象上点的坐标特征以及勾股定理的应用，根据题目中所给定义和完全平方公式是解答本题的关键．
18.【答案】或
【解析】
【分析】
解：与都是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
如图，时，，
，
，
在中，，
；
如图，时，，
由得，≌，
，
，
点、、三点共线，
过点作，
则，
在中，，
，
综上所述，或．
故答案为：或．
【分析】
本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，难点在要分情况讨论，时证明得到点、、三点共线是解题的关键．
根据等腰直角三角形的性质可得，，再求出，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再分时，根据等腰直角三角形的性质可得，再求出的长，然后利用勾股定理列式求出，从而得解；，求出，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出点、、三点共线，过点作，根据等腰直角三角形的性质求出，再利用勾股定理列式求出，然后根据计算即可得解．
19.【答案】解：作交于点，交于点，如图所示，
由题意可得，米，，，米，，
，
，
，
，
设米，则米，
，
，
，
解得，，
答：楼顶到地面的距离是米．
【解析】作交于点，交于点，然后根据题意和锐角三角函数可以求得城门大楼的高度．
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．
20.【答案】解：
．
【解析】根据零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值计算即可．
本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值等考点的运算．
21.【答案】解：
，
要使原分式有意义，
可取．
原式．
【解析】先将原式化简，再根据分式有意义的条件选取代入即可．
本题主要考查了分式的化简求值问题，掌握分式有意义的条件是解决本题的关键．
22.【答案】解：点是的中点，，
，，
．
，
，
在和中，
≌；
连接，
由得，，
四边形是平行四边形，
当时，四边形是菱形，
，
是等边三角形，
．
【解析】根据三角形中位线定理可得，，进而可得，然后再证明，可利用判定：≌；
连接，根据全等可得，再由可得，再由可得四边形是平行四边形，然后再利用菱形的性质可得，从而证明是等边三角形，进而可得答案．
此题主要考查了菱形的性质，以及全等三角形的判定和性质，关键是掌握菱形邻边相等，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
23.【答案】
【解析】解：参与本次问卷调查的市民共有：人，
其中选择类的人数有：人，
故答案为：，；
类人数所占百分比为：，
类对应扇形圆心角的度数为，类的人数为人，
补全条形图如下：
万人，
答：该市“绿色出行”方式的人数约为万人．
根据种出行方式的人数和所占的百分比可以求得参与本次问卷调查的市民人数，再根据类所占的百分比，即可求得类的人数；
根据扇形统计图中的数据可以求得类所占的百分比，从而可以求得类对应扇形圆心角的度数和类的人数，并补全条形统计图；
根据统计图中的数据可以计算出我市“绿色出行”方式的人数．
本题考查条形统计图、扇形统计图、统计表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
24.【答案】解：设甲工程队单独完成这项工程需要天，则乙工程队单独完成这项工程需要天，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：甲工程队单独完成这项工程需要天．
由可知乙工程队单独完成这项工程所需时间为天．
设甲工程队工作天，则乙工程队工作天，
依题意得：，
解得：．
答：甲工程队最多工作天．
【解析】设甲工程队单独完成这项工程需要天，则乙工程队单独完成这项工程需要天，根据“甲工程队工作天，乙工程队工作天，可完成总工程的”，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
由可得出乙工程队单独完成这项工程所需时间，设甲工程队工作天，则乙工程队工作天，根据总工程费用每天支付给甲工程队的工程费甲工程队工作的时间每天支付给乙工程队的工程费乙工程队工作的时间，结合总工程费用不超过万元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
25.【答案】连接．
，
，
是的中垂线，
．
，
，
．
．
，
又为的半径，
为的切线，
连接．
在中，
，，，
，，
，，
，，
在中，
在中，
，

【解析】连接，由于是的中垂线，从而可知，又因为，所以，从而可证明；
连接，由题意可知：，，，，然后在中与中利用勾股定理分别求出，化简原式即可求出答案．
本题考查圆的综合问题，涉及切线的性质，勾股定理、垂直平分线的性质等知识，综合程度较高．
26.【答案】解：由题意得：
，
解得：．
抛物线解析式为；
存在使是等腰三角形，理由：
，
抛物线对称轴为直线，
，且，
，．
，
当时，如图，
过点作于点，则，
，
，
；
当时，此时有两解，如图，
则有或；
当时，过点作于点，如图，
点在对称轴上，
可设，则，
，，
．
，
．
，
∽．
．
，
．
综上，点坐标为或或或；
设直线交轴于点，如图，
，
．
设直线的解析式为，则：
，
解得：．
直线的解析式为．
轴，
设，则，
，．
．
．
，
当时，，有最大值，
此时点的坐标为．
当运动到的中点时，的面积最大，最大面积为，此时点坐标为．
【解析】由、、的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；
可设出点坐标，则可表示出、和的长，分、、三种情况分别得到关于点纵坐标的方程，可求得点坐标；
由、的坐标可求得直线的解析式，可设出点坐标，则可表示出点的坐标，从而可表示出的长，可表示出的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值及此时点的坐标．
本题是一道二次函数的综合题，主要考查了待定系数法确定函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，等腰三角形的判定与性质，二次函数的极值，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
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