2.4.2圆内接四边形（课件）（共35张PPT）九年级数学上册（苏科版）

(共35张PPT)
2.4.2 圆周角
——圆的内接四边形
第2章对称图形——圆
教学目标
01
理解圆的内接四边形、四边形的外接圆的概念
02
掌握并熟练运用圆内接四边形的性质
03
掌握圆内接四边形的判定，初步认识辅助圆模型
圆的内接四边形的概念
01
二、定义
复习引入
回顾1：确定圆的条件？
不在同一条直线上的三点确定一个圆。
C
A
B
O
01
二、定义
复习引入
回顾2：三角形的外接圆？圆的内接三角形？
三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，
这个三角形叫做圆的内接三角形。
C
A
B
O
01
二、定义
情境引入
探究1：过四边形的4个顶点能画一个圆吗？
过四边形的4个顶点不一定能画一个圆。
C
A
B
O
D1
D3
如图，四边形ABCD1、四边形ABCD2的4个顶点不能画一个圆，
但是，四边形ABCD3的4个顶点可以。
D2
01
二、定义
情境引入
探究2：如图，四边形的ABCD3的四个顶点都在O上，请类比三角形，描述四边形ABCD3与O的关系？
C
A
B
O
D3
三角形的3个顶点确定一个圆 四边形的4个顶点都在同一个圆上
这个圆叫做三角形的外接圆
这个三角形叫做圆的内接三角形
三角形的3个顶点确定一个圆 四边形的4个顶点都在同一个圆上
这个圆叫做三角形的外接圆 这个圆叫做四边形的外接圆
这个三角形叫做圆的内接三角形 这个四边形叫做圆的内接四边形
02
二、定义
知识精讲
圆的内接四边形的概念
一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。
eg：如图，四边形ABCD是O的内接四边形，
O是四边形ABCD的外接圆。
C
D
A
B
O
圆内接四边形的性质
02
二、定义
知识精讲
确定圆的条件
【思考1-1】如下图，在 O的内接四边形ABCD中，BD是 O的直径，问：∠A与∠C、∠ABC与∠ADC有怎样的数量关系
作图
C
D
A
B
O
∵BD是 O的直径，
∴∠A=90°，∠C=90°，
∴∠A+∠C=180°。
又∵四边形内角和是360°，
∴∠ABC+∠ADC=180°。
【总结】在此情况下，圆内接四边形的对角互补。
02
二、定义
知识精讲
确定圆的条件
【思考1-2】如下图，圆心O不在 O的内接四边形ABCD的对角线上，上述结论是否仍然成立
作图
C
D
A
B
O
E
作直径DE，连接AE、CE，
∵BD是 O的直径，
∴∠DAE+DCE=90°+90°=180°，
又∵四边形内角和是360°，
∴∠ABC+∠ADC=180°。
又∵=，
∴∠BCE=∠BAE，
∴∠DAB+∠DCB=∠DAB+∠BCE+∠DCE
=∠DAB+∠BAE+∠DCE=∠DAE+DCE=180°。
【总结】圆内接四边形的对角互补。
02
二、定义
知识精讲
确定圆的条件
【思考1-3】还有其他证明“圆内接四边形的对角互补”的方法吗？【提示：从新学的圆周角的知识点入手】
作图
C
D
A
B
同理：∠B+∠D=180°。
∵∠A的度数是的度数的一半，
∠C的度数是的度数的一半，
和的度数的和是360°，
∴∠A+∠C=×360°=180°。
02
二、定义
知识精讲
性质
性质1：圆内接四边形的对角互补。
eg：∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°。
C
D
A
B
02
二、定义
知识精讲
确定圆的条件
【思考2-1】如下图，四边形ABCD是 O的内接四边形，问 ：∠C与∠BOD有怎样的数量关系
作图
∵四边形ABCD是 O的内接四边形，
∴∠A+∠C=180°，
又∵∠A=∠BOD，
∴∠BOD+∠C=180°。
C
D
A
B
O
【总结】∠BOD+∠C=180°是利用性质1推导出的常见结论。
02
二、定义
知识精讲
确定圆的条件
【思考2-2】如下图，B、C、D是 O上的三个点，已知∠C=105°，求∠BOD的度数
作图
设点A是优弧BD上一点（不与B、D重合），连接AB、AD，
根据题意可得：∠A+∠C=180°，
∵∠C=105°，∴∠A=75°，
∴∠BOD=2∠A=150°。
C
D
B
O
A
【总结】需要利用辅助线构造圆的内接四边形。
02
二、定义
知识精讲
确定圆的条件
【思考3】如下图，四边形ABCD是 O的内接四边形，∠BAE是∠BAD的外角，问 ：∠C与∠BAE有怎样的数量关系
作图
∵四边形ABCD是 O的内接四边形，
∴∠BAD+∠C=180°，
又∵∠BAD+∠BAE=180°，
∴∠C=∠BAE。
【总结】圆内接四边形的任意一个外角等于它相邻的内角的对角。
C
D
A
B
O
E
02
二、定义
知识精讲
性质2：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。
【注释：它的内对角即和它相邻的内角的对角】
eg：∠C=∠BAE。
C
D
A
B
O
E
性质
注意：
性质1是定理，可直接使用；性质2选择、填空可用
例1-1、圆内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，则∠D=________。
03
典例精析
解：设∠A的度数为x，则∠B的度数为2x，∠C的度数为3x,
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A+∠C=∠B+∠D=180°，
∴x+3x=180°，解得：x=45°，
∴∠B=2x=90°，
∴∠D=90°。
90°
例1-2、如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，
=。若∠C=110°，则∠ABC的度数等于________。
03
典例精析
解：连接AC，
∵四边形ABCD是半圆的内接四边形，
∴∠DAB=180°-∠DCB=70°，
∵=，
∴∠CAB=∠DAB=35°，
55°
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC=90°-∠CAB=55°。
例2、如图，四边形ABCD内接于 O，若∠C=130°，则∠BOD的度数为（　　）
A．50° B．100° C．130° D．150°
03
典例精析
B
解：∵四边形ABCD内接于 O，∠C=130°，
∴∠A=180°-∠C=50°，
∴∠BOD=2∠A=100°。
例3、如图，A、B、C是 O上三点，D是AB延长线上一点，∠CBD=65°，则∠AOC=________。
03
典例精析
130°
解：点E是优弧AB上一点（不与A、B重合），
连接AE、CE，
根据题意可得：∠E+∠CBA=180°，
∵∠CBD+∠CBA=180°，
∴∠E=∠CBD=65°，
∴∠AOC=2∠E=130°。
E
圆内接四边形的判定
用假设法：
其中三点确定一个圆，
假设第四个点不在圆上
02
二、定义
知识精讲
确定圆的条件
【思考1】在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，问：A、B、C、D四点共圆吗
作图
第四个点不在圆上，
即第四个点在圆外或圆内
02
二、定义
知识精讲
确定圆的条件
【思考1】在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，问：A、B、C、D四点共圆吗
作图
A、B、C三点可确定 O，①假设点D在圆外，
根据题意可得：∠B+∠AEC=180°，
∵∠B+∠D=180°，
∴∠AEC=∠D，
与三角形的外角定理矛盾，故假设不成立。
C
A
B
O
D
E
设AD与 O交于点E，连接CE，
02
二、定义
知识精讲
确定圆的条件
【思考1】在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，问：A、B、C、D四点共圆吗
作图
A、B、C三点可确定 O，②假设点D在圆内，
根据题意可得：∠B+∠E=180°，
∵∠B+∠ADC=180°，
∴∠E=∠ADC，
与三角形的外角定理矛盾，故假设不成立。
延长AD交 O于点E，连接CE，
C
A
B
O
D
E
02
二、定义
知识精讲
确定圆的条件
【思考1】在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，问：A、B、C、D四点共圆吗
作图
C
A
B
O
D
E
综上，点D在圆上，
即A、B、C、D四点共圆。
C
A
B
O
D
E
【总结】
如果四边形ABCD的一组对角互补，那么A、B、C、D四点共圆。
02
二、定义
知识精讲
判定
判定1：
如果四边形ABCD的一组对角互补，那么A、B、C、D四点共圆。
eg：∵∠A+∠C=180°或∠B+∠D=180°，
∴A、B、C、D四点共圆。
C
D
A
B
O
02
二、定义
知识精讲
确定圆的条件
【思考2】在四边形ABCD中，∠ADB=∠ACB，问：A、B、C、D四点共圆吗
作图
A、B、C三点可确定 O，①假设点D在圆外，
∵=，
∴∠AEB=∠ACB，
∵∠ADB=∠ACB，
∴∠AEB=∠ADB，
与三角形的外角定理矛盾，故假设不成立。
设AD与 O交于点E，连接BE，
C
A
B
O
D
E
02
二、定义
知识精讲
确定圆的条件
【思考2】在四边形ABCD中，∠ADB=∠ACB，问：A、B、C、D四点共圆吗
作图
A、B、C三点可确定 O，②假设点D在圆外，
∵=，
∴∠E=∠ACB，
∵∠ADB=∠ACB，
∴∠E=∠ADB，
与三角形的外角定理矛盾，故假设不成立。
延长AD交 O于点E，连接BE，
C
A
B
O
D
E
02
二、定义
知识精讲
确定圆的条件
【思考2】在四边形ABCD中，∠ADB=∠ACB，问：A、B、C、D四点共圆吗
作图
C
A
B
O
D
E
C
A
B
O
D
E
综上，点D在圆上，
即A、B、C、D四点共圆。
【总结】
如果四边形ABCD中，∠ADB=∠ACB，那么A、B、C、D四点共圆。
02
二、定义
知识精讲
判定
判定2：
如果四边形ABCD中，∠ADB=∠ACB或∠BAC=∠BDC或∠CBD=∠CAD或∠DCA=∠DBA，那么A、B、C、D四点共圆。
eg：∵∠ADB=∠ACB或∠BAC=∠BDC或∠CBD=∠CAD或∠DCA=∠DBA，
∴A、B、C、D四点共圆。
C
D
A
B
O
注意：
判定1可直接使用；
判定2选择、填空可用
例1、如图，在 ABCD中，∠BAD为钝角，且AE⊥BC，AF⊥CD。
（1）求证：A、E、C、F四点共圆；
（2）设线段BD与（1）中的圆交于M、N，求证：BM=DN。
03
典例精析
（1）证明：∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEC=∠AFC=90°，
∴∠AEC+∠AFC=180°，
∴A、E、C、F四点共圆；
例1、如图，在 ABCD中，∠BAD为钝角，且AE⊥BC，AF⊥CD。
（2）设线段BD与（1）中的圆交于M、N，求证：BM=DN。
03
典例精析
（2）证明：连接AC交BD于点O，
由（1）可知：∠AEC=90°，
∴AC是 O的直径，
∵ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，O为圆心，
∴OM=ON，
∴OB-OM=OD-ON，即BM=DN。
O
例2、若在四边形ABCD中，∠BAC=∠BDC=30°，∠ACB=75°，则∠ADB=________。
03
典例精析
解：∵∠BAC=∠BDC，
∴A、B、C、D四点共圆【选择、填空可用判定2】，
∵=，
∴∠ADB=∠ACB=75°。
C
D
A
B
75°
课后总结
一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。
性质1：圆内接四边形的对角互补。
性质2：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。
【性质1是定理，可直接使用；性质2选择、填空可用】
判定1：如果四边形ABCD的一组对角互补，那么A、B、C、D四点共圆。
判定2：如果四边形ABCD中，∠ADB=∠ACB或∠BAC=∠BDC或∠CBD=∠CAD或∠DCA=∠DBA，那么A、B、C、D四点共圆。
【判定1可直接使用；判定2选择、填空可用】