2022-2023学年河南省郑州市十校联盟高二（下）联考数学试卷（含解析）

2022-2023学年河南省郑州市十校联盟高二（下）联考数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知函数在处可导，若，则( )
A. B. C. D.
2. 已知等差数列的前项和为，，，则使取得最大值时的值为( )
A. B. C. D.
3. 易系辞上有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中．如图，白圈为阳数，黑点为阴数．若从这个数中任取个数，则这个数中至少有个阳数的概率为( )
A.
B.
C.
D.
4. 年月，某校，，，，，六名同学参加了中学生地球科学奥林匹克竞赛，均在比赛中取得优异成绩，现这名同学和他们的主教练共人站成一排合影留念，则主教练和站在两端，、相邻，、不相邻的排法种数为( )
A. B. C. D.
5. 在易怒与患心脏病这两个变量的计算中，有以下结论：当由独立性检验可知有的把握认为易怒与患心脏病有关时，那么在个易怒的人中有人患心脏病；由的观测值得到有的把握认为易怒与患心脏病有关系，是指有的可能性使得推断出现错误；由独立性检验可知有的把握认为易怒与患心脏病有关，是指在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为某人是否患心脏病与是否易怒有关，其中正确结论的个数是( )
A. B. C. D.
6. 设随机变量，，若，则( )
A. B. C. D.
7. 已知函数的定义域为，且，，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
8. 已知数列满足，，恒成立，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 甲、乙两地举行数学联考，统计发现：甲地学生的成绩，乙地学生的成绩如图分别是其正态分布的密度曲线，则( )
附：若随机变量，则，，
A. 甲地数学的平均成绩比乙地的低
B. 甲地数学成绩的离散程度比乙地的小
C.
D. 若 ，则
10. 某车间加工同一型号零件，第一、二台车床加工的零件分别占总数的，，各自产品中的次品率分别为，记“任取一个零件为第台车床加工”为事件，“任取一个零件是次品”为事件，则( )
A. B. C. D.
11. 如图的形状出现在南宋数学家扬辉所著的详解九章算法商功中后人称为“三角垛”，“三角垛”最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，，设第层有个球，从上往下层球的总数为，则( )
A. B.
C. D. 存在正整数，使得为质数
12. 下列不等式正确的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为 ．
14. 已知数列的前项和为，，，则 ______ ．
15. 在我校运动会期间，为了各项赛事的顺利进行，学生会组织了个志愿服务小组，前往个比赛场地进行志愿服务若每个场地至少分配个志愿服务小组，每个志愿服务小组只能在个场地进行服务，并且甲小组不去比赛场地，则不同的分配方法种数为______ ．
16. 设函数在区间上有两个极值点，则的取值范围是______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知的展开式中所有项的二项式系数和为，各项系数和为．
求和的值；
求的展开式中的常数项．
18. 本小题分
已知函数，其图象在点处的切线方程为．
求，的值与函数的单调区间；
若对，不等式恒成立，求的取值范围．
19. 本小题分
已知为等差数列，为等比数列，的前项和，，．
求数列，的通项公式；
记，求数列的前项和．
20. 本小题分
为了宣传航空科普知识，某校组织了航空知识竞赛活动活动规定初赛需要从道备选题中随机抽取道题目进行作答假设在道备选题中，小明正确完成每道题的概率都是且每道题正确完成与否互不影响，小宇能正确完成其中道题且另外道题不能完成．
求小明至少正确完成其中道题的概率；
设随机变量表示小宇正确完成题目的个数，求的分布列及数学期望；
现规定至少完成其中道题才能进入决赛，请你根据所学概率知识，判断小明和小宇两人中选择谁去参加市级比赛活动规则不变会更好，并说明理由．
21. 本小题分
某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成．每批产品的非原料总成本元与生产该产品的数量千件有关，经统计得到如下数据：
根据以上数据，绘制如图所示的散点图．
观察散点图，两个变量不具有线性相关关系，现考虑用对数函数模型和指数函数模型分别对两个变量的关系进行拟合．
根据散点图判断，与均为大于零的常数哪一个适宜作为非原料总成本关于生产该产品的数量的回归方程类型；给出判断即可，不必说明理由
根据的判断结果及表中的数据，建立关于的回归方程；
已知每件产品的原料成本为元，若该产品的总成本不得高于元，请估计最多能生产多少千件产品．
参考数据：
其中，．
参考公式：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．
22. 本小题分
已知函数，．
讨论函数的单调性；
若恒成立，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：函数在处可导，
．
故选：．
利用导数的定义求解．
本题主要考查导数的定义，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：设等差数列的公差为，
，
则，
，
则，解得，
故，
所以等差数列的前项和为正，从第项开始为负数，
故使取得最大值时的值为．
故选：．
根据已知条件，结合等差数列的性质，以及等差数列的前项和公式，即可求解．
本题主要考查等差数列的性质，以及等差数列的前项和公式，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：从这个数中任取个数，
基本事件总数，
个数中阳数有个，
这个数中至少有个阳数包含的基本事件个数，
这个数中至少有个阳数的概率为．
故选：．
从这个数中任取个数，基本事件总数，这个数中至少有个阳数包含的基本事件个数，由此能求出这个数中至少有个阳数的概率．
本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：根据题意，分步进行分析：
主教练和站在两端，有种情况，
中间人分种情况讨论：
若相邻且与相邻，有种安排方法，
若相邻且不与相邻，有种安排方法，
则中间人有安排方法，则有种不同的安排方法．
故选：．
根据题意，分步进行分析：主教练和站在两端，由排列数公式计算可得其排法数目，中间人分种情况讨论：若相邻且与相邻，若相邻且不与相邻，由加法原理可得其排法数目，由分步计数原理计算可得答案．
本题考查了排列组合的应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：由独立性检验可知有的把握认为易怒与患心脏病有关，
是指在犯错误的概率不超过的前提下，
可以认为某人是否患心脏病与易怒有关，则错误，正确．
由的观测值得到有的把握认为易怒与患心脏病有关系，
是指有的可能性使得推断出现错误，则正确．
故选：．
由独立性检验判断即可．
本题考查独立性检验思想，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：随机变量，
，解得，
，．
故选：．
根据随机变量和，写出概率的表示式，得到关于的方程，解出的值，再根据，由二项分布的方差公式求得到结果．
本题考查二项分布的概率与方差，属基础题．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了利用导数研究函数的单调性，由已知构造新函数是解题的关键，考查等价转化思想与运算求解能力，属于中档题．
设，利用导数可得在定义域上单调递减，从而得到，于是可以求出的解集．
【解答】
解：设，
则．
，，
，在定义域上单调递减．
，
．
又，
，
，
的解集为．
故选：．

8.【答案】
【解析】解：，
，即，
数列是等差数列，
，，
，
，
对，，
也符合上式，
，
，即的最小值为．
故选：．
通过等差数列的定义求出的通项公式，再由裂项相消法求出，从而求出的最小值．
本题考查由数列的递推式求数列的通项和前项和，数中档题．
9.【答案】
【解析】解：观察图像可以看出，甲的平均分为，小于乙的平均分，A正确；
图像中还可以看出乙地数据更加集中，故乙地方差更小，B错误；
根据对称性，选项错误；
若 时，根据题干数据，，根据对称性，，
另有，根据对称性，，
于是，选项正确．
故选：．
从图像的对称轴可以读出平均分大小关系，从图像的离散程度可分析出方差的关系，选项C利用正态曲线的对称性判断，选项D可以通过计算得出．
本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：依题意，，，，故C正确；
对于，，所以，故A错误；
对于，，所以，故B正确；
，故D正确．
故选：．
根据条件概率概率公式计算可得．
本题考查条件概率，考查学生的计算能力，是基础题．
11.【答案】
【解析】解：依题意因为，，，，，
以上个式子累加可得，
又满足上式，所以，故，故A错误；
因，，，，，
所以，故B正确；
因为，所以，故C正确；
因为，故当且为整数时，，
此时、必有一个为大于的偶数，则为合数，
则不存在正整数，使得为质数，D错误，
故选：．
根据每层的球的个数可得，利用累加法求得，即可求得，的值，判断，；根据，可判断；根据，结合数的奇偶性，可判断．
本题考查累加法求数列的通项公式，以及等差数列的前项和的求解，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：对于：令且，则，
在上单调递增，
故，仅当时等号成立，即，
，故A错误；
则，即，
综上所述，；
令，则，
令，则，
当时，，单调递减，
，即，
在上单调递减，
，即，故C正确；
当时，，故，
即，
时，，
令时，则，即，故B正确；
对于：令，
则，
由得，即在上单调递减，
，即，
，即，故D正确．
故选：．
根据选项，构造函数令且，，，逐一分析选项，即可得出答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：
由题意得在上恒成立，
因为，所以在上恒成立，
即在上恒成立，只需，其中，所以，
即的取值范围是．
故答案为：．
由题意得到在上恒成立，参变分离，只需，求出，从而得到答案．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：因为，
所以当时，，即，
若，则，故，显然与矛盾，故，
所以，又，
所以是以首项为，公差为的等差数列，
所以，故．
故答案为：．
利用与题设条件推得，从而得到是等差数列，进而利用等差数列的通项公式即可得解．
本题主要考查数列递推式，数列的求和，考查运算求解能力，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：人分成组有两种方案：“”、“”，
则共有种分组方法，
组分配到个场地，甲小组不去比赛场地，有种方法，
根据分步乘法原理不同的分配方法数为：．
故答案为：．
先将人分组，再将组分配到个场地，然后根据分步计数乘法定理求解即可．
本题考查了排列组合的简单计数问题，考查了学生的运算能力，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：，
，
由题意知在上有两个不相等的实根，
将其变形为，
设，，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
的极大值为，又，，
画出函数的大致图象如图，
，即，
故答案为：
求得，由题意知在区间上有两个实根，即与的图象有两个交点，画出函数的大致图象即可求解．
本题考查了利用导数处理极值问题，属于中档题．
17.【答案】解：由条件可得，
解得．
．
展开式的通项为：
．
当即时，；
当即时，；
所求的常数项为．
【解析】根据结论得到方程组，解出即可；
首先对原式整理为，写出展开式的通项，再求出其常数项即可得到答案．
本题考查二项式定理相关知识，属于中档题．
18.【答案】解：，
，
函数的图象在点处的切线方程为．
，，
解得，．
，
令，解得或；令，解得．
函数的单调递增为，；单调递减区间为．
由可得：，．


单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
由表格可知：当时，函数取得极大值，，又．
函数在上的最大值为．
由，不等式恒成立，．
，
解得或．
的取值范围是．
【解析】由已知可得，，利用导数的几何意义可得，联立解得即可．
利用导数可得出函数的单调性极值与最值，由，不等式恒成立，解出即可．
本题考查了利用导数可得出函数的单调性极值与最值、切线方程，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
19.【答案】解：设的公差为，的公比为，
由已知可得，，则，
即．
，，又，
，解得，即．
由知，
令，
式两边同乘得：，
错位相减得
则．
【解析】由的前项和，即可求出等比数列的通项公式，由和即可求出等差数列的通项公式．
利用错位相减法即可求得数列的前项和．
本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20.【答案】解：记“小明至少正确完成其中道题”为事件，
则．
的可能取值为，，，
，
，
，
的分布列为；
数学期望．
由知，小明进入决赛的概率为；
记“小宇至少正确完成其中道题”为事件，则；
因为，故小宇进决赛的可能性更大，
所以应选择小宇去参加比赛．
【解析】小明至少正确完成其中道题包含两种情况：一是小明正确完成道题，二是小明正确完成道题，然后由互斥事件的概率公式求解即可；
由题意得的可能取值为，，，然后求各自对应的概率，从而可求出的分布列及数学期望；
分别计算出他们两人至少完成其中道题的概率，通过比较概率的大小可得答案．
本题主要考查离散型随机变量分布列，以及期望的求解，属于中档题．
21.【答案】解：适宜作为非原料总成本关于生产该产品的数量的回归方程类型．
，，
令，则，即是关于的线性回归方程．
，，
，．
关于的线性回归方程为，即，
关于的回归方程为．
由题可知，该产品的非原料总成本不得高于，
令，解得．
故估计最多能生产千件产品．
【解析】从图中可知，回归曲线呈指数型，故更适宜；
令，则，再根据参考公式求出回归系数与即可得关于的线性回归方程，然后结合指对运算得关于的回归方程；
由题可知，该产品的非原料总成本不得高于，令，解出的取值范围即可得解．
本题考查回归方程的求法与应用，考查学生对数据的分析与处理能力，属于中档题．
22.【答案】解：的定义域为，，
当时，恒成立，所以在上单调递减；
当时，令解得，所以在上单调递增；
令解得，所以在上单调递减，
综上所述：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
已知在恒成立，化简得
所以恒成立，
令，故在上单调递增，
所以，问题转化为在恒成立，
设，
当时，恒成立，在上单调递增，又，
所以时，，不符合题意；
当时，在上单调递减，上单调递增，
所以，
当时，都有均不符合题意，
当时，，此时在恒成立，
综上所述：．
【解析】求导，对进行讨论，利用导函数的正负即可求出的单调性；
利用将问题转化为恒成立，换元后得到新的函数，求导分析其单调性，并对进行讨论，即可求解．
本题考查导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性，构造函数证明不等式，化归转化思想，属难题．
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