2022-2023学年北京市平谷区七年级（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年北京市平谷区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 一个电子的静止质量约为原子质量单位，将用科学记数法表示应为( )
A. B. C. D.
2. 下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
3. 两条直线被第三条直线所截，形成了“三线八角”，为了便于记忆，同学们可仿照图用双手表示“三线八角”两大拇指代表被截直线，食指代表截线下列三幅图依次表示( )
A. 同位角、内错角、同旁内角 B. 同位角、同旁内角、内错角
C. 同位角、对顶角、同旁内角 D. 同位角、内错角、对顶角
4. 下列因式分解正确的是( )
A. B.
C. D.
5. 已知、满足方程组，则的值为( )
A. B. C. D.
6. 如图，点在直线上，，，若，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
7. 有理数，在数轴上的位置如图，则正确的结论是( )
A. B. C. D.
8. 中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”其中的“筹”原意是指孙子算经中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如图，表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，遇零则置空例如用算筹表示就是，则用算筹可表示为( )
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）
9. 因式分解：______．
10. 如果，那么用含的代数式表示，则 ______ ．
11. 某班有名同学利用假期参与了社区志愿服务活动，他们的社区服务时长如表所示．
服务时长小时
人数人
这名同学社区服务的平均时长是 小时．
12. 把两块形状、大小相同的三角尺按照如图所示的样子放置，则，理由是______ ．
13. 某餐饮外卖平台规定，点单时除点餐费用外，需另付配送费元某学习小组统计了一段时间内该外卖平台的部分订单中，每单的消费总额和每单不计算配送费的消费额的数据，对于两种情况得到的两组数据有如下个判断：
众数不同；
中位数不同；
平均数相同；
方差相同．
其中所有正确判断的序号是______ ．
14. 用一个的值说明“”是错误的，则的值可以是______ ．
15. 直线、相交于点，，为平面上一点，若，则 ______ ．
16. 某校要举办秋季运动会，初一班有四名同学分别想参与，，，和的比赛，其中甲同学擅长跑和，乙同学擅长跑和，丙同学擅长跑、和，丁同学最擅长跑为了让班级取得好成绩，也让他们每个人都可以参加比赛，并且每人只能参加一项比赛，那么只能派______ 参加比赛．
三、解答题（本大题共13小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
计算：．
18. 本小题分
计算：．
19. 本小题分
解不等式并把解集在数轴上表示．
20. 本小题分
解不等式组并写出它的整数解．
21. 本小题分
解方程组．
22. 本小题分
已知，求的值．
23. 本小题分
已知，求的值．
24. 本小题分
完成下面证明：
已知：，．
求证：．
证明：，
______ ______ ______
又，
______ ．
______
25. 本小题分
通过一次数学活动我们发现，如果两个两位数的十位数字相同，个位数字的和为，那么这样的两位数相乘会有如下规律：
这组计算蕴含着简算规律：十位数字相同，个位数字和为的两个两位数相乘，积的末两位数是个位数字的乘积，前几位是十位数字与十位数字加一的乘积．
若有两个两位数的十位数字相同，个位数字的和为的两个数的乘积为，请你利用小组发现的规律写出这两个数______ ______ ；
若设这两个两位数相同的十位数字为，个位数字分别设为、，请你用学过的知识证明十位数字相同，个位数字的和为的这样的两位数的乘积的一般规律．
证明：
______ ，
______ ．
26. 本小题分
每年的月日是“世界读书日”某校为了解月份七年级学生的读书情况，老师随机调查了七年级名学生读书的册数，进行统计分析，绘制成如图表所示，根据图表信息，解答下列问题：
册数
人数
根据上述表格中的信息绘制出扇形统计图如下数据分成四组：阅读册数为的人数，阅读册数为的人数，阅读册数为的人数，阅读册数为的人数请根据以上数据回答：
直接写出表中的值为______ ；
名学生月份读书册数的中位数______ 册；
扇形统计图中，月份阅读本书的人数所在扇形的圆心角是______ 度；
若规定：每月阅读本以上含本课外书籍者为完成阅读任务，据此估计该校名学生中，完成阅读任务的有多少人？
27. 本小题分
列方程组解应用题：
平谷大桃久负盛名，张伯伯为了丰富自家大桃的品种，计划购买黄油桃和水蜜桃两个品种的树苗，经了解，棵黄油桃树苗和棵水蜜桃的树苗共需元，一棵黄油桃树苗比一棵水蜜桃树苗贵元注：所购的黄油桃树苗价格都一样，所购的水蜜桃树苗的价格都一样
求这两种树苗的单价各多少元？
为了错峰成熟，尽量达到供需平衡，张伯伯欲购买的黄油桃树苗比水蜜桃多棵，总费用不超过元，最多可以购买水蜜桃树苗多少棵？
28. 本小题分
如图，，平分，交于点，过点作与交于点．
依据题意补充图形；
设，则 ______ 用含的式子表示；
求证：．
29. 本小题分
若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“友好方程”，例如：方程的解为不等式组的解集为因为所以称方程为不等式组，的“友好方程”．
请你写出一个方程______ ，使它和不等式组为“友好方程”；
若关于的方程是不等式组的“友好方程”，求的取值范围；
若关于的方程是关于的不等式组的“友好方程”，且此时不等式组有个整数解，试求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
故选：．
根据科学记数法表示绝对值较小数的记数规则表示出即可．
本题考查了科学记数法表示绝对值较小的数，，是记数法的形式，，的正负取决于小数点移动的方向，左移正，右移负．
2.【答案】
【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
根据合并同类项，单项式乘多项式，幂的乘方，同底数幂的乘法法则进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：两条直线被第三条直线所截，形成了“三线八角”，为了便于记忆，同学们可仿照图用双手表示“三线八角”两大拇指代表被截直线，食指代表截线上列三幅图依次表示同位角、内错角、同旁内角，
故选：．
根据同位角、内错角、同旁内角的定义，逐一判断即可解答．
本题考查了同位角、内错角、同旁内角，对顶角、邻补角，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，不属于因式分解，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
先提公因式，再运用公式法继续分解，逐一判断即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是解二元一次方程组，熟知利用加减法解二元一次方程组是解答此题的关键．
直接把两式相加即可得出结论．
【解答】
解：
得，，
解得．
故选：．
6.【答案】
【解析】解：，
，
又，
，
，
，
．
故选：．
首先根据，得，然后根据两直线平行同旁内角互补可求出的度数．
此题主要考查了平行线的性质，垂直的定义，解答此题的关键是准确识图，理解两直线平行同旁内角互补．
7.【答案】
【解析】解：由题意得，，
，且，
，，，，
选项A，，不符合题意，选项B符合题意，
故选：．
先根据有理数，在数轴上的位置确定它们的符号、大小及绝对值，再对各选项进行逐一辨别．
此题考查了运用数轴上的点表示有理数的运用能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
8.【答案】
【解析】解：用算筹表示为：
千位上是，用横式表示：即为，
百位上是，则置空，
十位上是，则用横式表示，即为，
个位上是，则用纵式表示，即为，
故选：．
根据算筹的计算方式进行求解即可．
本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是理解清楚题意，明确清楚各数位用横式还是纵式表示．
9.【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
首先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式分解因式是解题关键．
10.【答案】
【解析】解：，
．
故答案为：．
根据等式性质变形即可．
本题考查等式的变形，解题的关键是掌握等式性质．
11.【答案】
【解析】解：这名同学社区服务的平均时长是：
小时．
故答案为：．
根据加权平均数的公式直接代入数据计算即可．
本题考查了加权平均数，正确理解加权平均数的概念是解题的关键．
12.【答案】内错角相等，两直线平行
【解析】解：，
，内错角相等，两直线平行．
故答案为：内错角相等，两直线平行．
根据平行线的判定定理即可得到结论．
本题考查了平行线的判定定理，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：由题意知，统计了每单的消费总额是在每单不计算配送费额的基础上，每个数据增加，
所以这两组数据的众数不同；中位数不同；平均数不同；方差相同．
故答案为：．
根据众数、中位数、平均数以及方差的意义求解即可．
本题考查了众数、中位数、平均数以及方差，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
14.【答案】
【解析】解：，
当时，是正确的；
当时，是错误的，
故答案为：答案不唯一．
运用实数绝对值的计算方法进行讨论、求解．
此题考查了实数绝对值的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识．
15.【答案】或
【解析】解：如图，当在上方时，
，
，
，
；
如图，当在下方时，
，
，
，
；
综上，的度数为或，
故答案为：或．
分两种情况讨论，当在上方时，根据对顶角相等得出的度数，再根据进行计算即可；当在下方时，根据进行计算即可．
本题考查了对顶角的性质，熟知对顶角相等的性质是解题的关键，同时掌握分类讨论思想的应用．
16.【答案】丙
【解析】解：甲同学擅长跑和，丁同学最擅长跑，
让丁同学跑，甲同学跑，
乙同学擅长跑和，丙同学擅长跑、和，
让乙同学跑，丙同学跑，
故答案为：丙．
根据四名同学最擅长的项目分析即可得出答案．
本题考查了数据的分析的观念，正确理解题意是关键．
17.【答案】解：
．
【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了负整数指数幂，零指数幂，有理数的乘方，有理数的加减混合运算，绝对值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】解：原式
．
【解析】将用平方差公式计算，将多项式乘多项式，合并同类项即可．
本题考查了整式的化简，平方差公式的应用和多项式乘多项式是考查的重点．
19.【答案】解：，
，
，
，
，
该不等式的解集在数轴上表示如图所示：

【解析】按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
20.【答案】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
所以这个不等式组的解集为：，
整数解为：，，，，．
【解析】分别求出两个不等式的解集，再求出一元一次不等式组的解集，最后求出整数解．
本题主要考查了解一元一次不等式组的知识、整数的知识，难度不大，认真计算即可．
21.【答案】解：，
得：，
解得：，
把代入中得：，
解得：，
原方程组的解为：．
【解析】利用加减消元法进行计算，即可解答．
本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键．
22.【答案】解：
，
当时，原式，
的值为．
【解析】先去括号，再合并同类项，然后把的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
本题考查了整式的混合运算化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
23.【答案】解：，
，
．
【解析】将已知等式化成，将所求整式去括号合并同类项，最后整体代入即可．
本题考查了整式的化简，去括号和合并同类项是本题考查的重点，在化简过程中注意正负号的变化．
24.【答案】 两直线平行内错角相等 内错角相等两直线平行
【解析】证明：，
两直线平行内错角相等．
又，
，
内错角相等两直线平行．
故答案为：；；两直线平行内错角相等；；内错角相等两直线平行．
根据题目中的证明过程，结合图形利用平行线的性质和判定进行填写即可．
此题主要考查了平行线的判定和性质，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的判定及性质：两直线平行同位角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补．
25.【答案】
【解析】解：根据规律：
，
；
故答案为：；
，
，
原式
，
，
故答案为：，．
直接根据规律计算即可得出结论；
根据已知两个两位数的个位数字分别为和则，然后根据多项式乘以多项式的法则展开计算即可得出结论．
本题主要考查了数字问题，利用多项式乘多项式找出规律是解答本题的关键．
26.【答案】
【解析】解：，
故答案为：；
名学生读书的册数第，个数据分别为，，所以中位数为．
故答案为：；
，
故答案为：；
人，
答：估计该校名学生中，完成阅读任务的有人．
利用总人数减去，，的人数即可得到的人数的值；
根据中位数的定义解答即可；
利用的人数除以总人数，再乘以度即可得；
用总人数乘以阅读本以上含本的百分比即可．
此题考查了统计表，中位数，扇形统计图及用样本估计总体，求扇形的圆心角度数，中位数，利用部分的比例求总体中的数量，正确理解统计图表是解题的关键．
27.【答案】解：设购买一棵购买黄油桃需要元，购买一棵水蜜桃需要元，
依题意，得：，
解得：，
答：购买一棵购买黄油桃需要元，购买一棵水蜜桃需要元；
设购买水蜜桃树苗棵，则购买黄油桃树苗棵，
依题意，得：，
解得：．
答：最多可以购买水蜜桃树苗棵．
【解析】设购买一棵购买黄油桃需要元，购买一棵水蜜桃需要元，根据“棵黄油桃树苗和棵水蜜桃的树苗共需元，一棵黄油桃树苗比一棵水蜜桃树苗贵元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购买黄油桃树苗棵，则购买水蜜桃树苗棵，根据总价单价数量结合总费用不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
28.【答案】
【解析】解：图形如图所示：
解：，
，
，
．
故答案为：；
证明：平分，
，
，
，
，
根据要求画出图形即可；
证明，理由平行线的性质解决问题；
利用平行线的性质，角平分线的定义证明即可．
本题考查作图复杂作图，垂线等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
29.【答案】
【解析】解：解不等式组得，
不等式组为“友好方程”可以是，
故答案为：；
解不等式组得：，
解方程得：，
关于的方程是不等式组的“友好方程”，
，
解得：，
即的取值范围是；
解方程得，
解关于的不等式组得，
不等式组有个整数解，
，
，
关于的方程是关于的不等式组的“友好方程”，
，
解得，
所以的取值范围是．
求出不等式组的解集，根据解集即可得出方程；
先分别求出方程的解和不等式组的解集，根据题意得出，再去解不等式组的解集即可；
解关于的不等式组得，由不等式组有个整数解得出，解得，由关于的方程是关于的不等式组的“友好方程”得出，解得，即可得出满足两个条件的的取值范围．
本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解和解一元一次不等式组等知识点，能根据题意得出关于和的不等式组是解此题的关键．
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