河南省信阳市高中2023-2024学年高二上学期开学考试
数学试题
一、单选题
1.已知集合，则
A.
B.
C.
D.
2.若（为虚数单位，是的共轭复数），则
A.
B.
C.
D.
3.抛搃两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚正面向上"事件“第三枚反面向上”，则事件与的关系是
A.
B.
C.相互独立
D.互斥
4.已知向量，则向量在向量上的投影向量
A.
B.
C.
D.
5.甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女，若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，则选出的2名教师性别相同的概率是
A.
B.
C.
D.
6.车厘子是一种富含维生素和微量元素的水果，其味道甘美，受到众人的喜爱。根据车厘子的果径大小，可将其从小到大依次分为6个等级，其等级与其对应等级的市场销售单价（单位：元/千克）近似满足函数关系式.若花同样的钱买到的1级果比5级果多3倍，且3级果的市场销售单价为60元/千克，则6级果的市场销售单价最接近（）
A.元/千克
B.元/千克
C.元/千克
D.元/千克
7.如图，在正四面体中，点分别是棱上的点（不含端点），，记二面角的大小为，在点从点运动到点的过程中，下列结论正确的是
A.一直增大
C.先增大后减小
B.一直减小
D.先减小后增大
8.在中，角所对应的边分别为，且边上的高为，则角的取值范围为
A.
B.
C.
D.
二、多选题
9.设为复数，下列命题中正确的是
A.若，则
C.若，则
B.若，则
D.若，则
10.已知向量，则下列结论正确的是
A.若向量同向，则
B.若向量反向，则
C.若，则
D.若，则
11.数学与音乐有着紧密的关联，每一个音都是由纯音合成，纯音的数学模型是函数.像我们平时听到的乐音不只是一个音在响，而是许多个纯音的结合，称为复合音.复合音的产生是发声体在全段振动，产生的频率为的基音的同时，其各部分，如二分之一、三分之一部分也在振动，产生的频率恰好是全段振动频率的倍数，如$2f，3f$等.这些音叫谐音，因为其振幅较小，我们一般不易单独听出来.如我们听到的某个声音函数，对此以下说法正确的是
A.函数的周期为
C.函数图象关于直线对称
B.函数图象关于点对称
D.函数在单调递增
12.如图1，在菱形$ABCD$中，是的中点，将沿直线翻折至的位置，得到如图2所示的四棱雉.若是的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是
A.点到平面的距离恒为
B.当时，过点的截面周长为4
C.异面直线与所成的角不断变小
D.当时，直线与平面所成的角的正切值为
三、填空题
13.河北省九大高峰按照海拔（单位：米）排名依次为小五台山（2882）、驼梁山（2281）、雾灵山（2118）、长城岭（2100）、白石山（2096）、野三坡（1983）、祖山（1428）、天桂山（1270）、狼牙出（1105），则这九大高峰的海拔数据的第70百分位数为 。
14.已知点在平面$ABC$内，为平面$ABC$外一点，且，则的最小值是 。
15.已知一组样本数据的方差为5.且满足，则样本数据的方差为 。
16.已知中，，且的最小值为，若为边$AB$上任意一点，则的最小值是 。
四、解答题
17.已知复数，其中是虚数单位，.
（1）若为纯虚数，求的值；
（2）若，求的虚部
18.已知，设向量.
（1）若，求的值；
（2）若，求的值.
19.已知的内角的对边分别为，且.
（1）求角；
（2）设的角平分线交于点，若，求的面积的最小值.
20.如图，在直三棱柱中，，且，点为线段上的动点.
（1）当为线段中点时，求证：平面平面；
（2）当直线$AP$与平面所成角的正切值为时，求二面角的余弦值.
21.甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛，约定赛制如下：
等计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另人轮空每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一A最终获胜，比赛结束已知在每场比赛中，甲胜乙和甲胜丙的概率均为，乙胜丙的概率为，各场比赛的结果相互独立.经抽签，第一场比赛甲轮空.
（1）求前三场比赛结束后，丙被淘汰的概率；
（2）求只需四场比赛就决出冠军的概率；
（3）求甲最终获胜的概率.
22.已知函数的图象如图所示.
（1）求函数的单调递减区间；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线，把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的曲线对应的函数记作.
（1）求函数的最小值；
（2）若函数在内恰有6个零点求的值.河南省信阳市高中2023-2024学年高二上期开学考试
数学答案
1.A 2.C 3.C 4.A 5.B 6.C 7.D 8.C 9.AD 10.ABD 11.BD
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