2023—2024 学年高三质量检测（一）
数学参考答案
一、选择题本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A D D A C B B
二、选择题本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。
题号 9 10 11 12
答案 AB AC ACD ACD
三、填空题本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。
3
13． √
5 5 4
14．160 15． 16．[ , 2]
5 3 3
四、解答题本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10 分）
解：（1）设该等差数列{ }的公差为 ，等比数列{ }的公比为 ，
1 + = 1
由已知得{ 2， ............................................................................................................... 2 分 1 + 3 = 1
因为数列{ }为正项数列，{ }为正项递增数列，
所以 = 2， = 1， ........................................................................................................................... 4 分
所以 = 1 + ( 1) × 1 = ， = 1 × 2
1 = 2 1． .............................................................. 6 分
, 为奇数
（2）由已知得 = { ， ............................................................................................ 7 分
2 1 , 为偶数
所以数列{ }的前2 项和为
2 = ( 1 + 3 + + 2 1) + ( 2 + 4 + + 2 )
= (1 + 3 + + 2 1) + (21 + 23 + + 22 1) ........................................................................... 8 分
(1 + 2 1) 21 × (1 4 )
= +
2 1 4
3 2+22 +1 2
= ． .................................................................................................................................. 10 分
3
18．（12 分）
证：（1）∵底面 为正方形，
∴ ⊥ ， ....................................................................................................................................... 1 分
又∵ ⊥ ， ∩ = , , 平面 ， ................................................................... 3 分
∴ ⊥平面 ， .............................................................................................................................. 4 分
第1页 共5页
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∵ 平面 ， ........................................................................................................................... 5 分
∴平面 ⊥平面 ． ................................................................................................................. 6 分
解：（法一）（2）取 中点为 ，连结 ，
∵在△ 中， = ，∠ = 60°，
∴ ⊥ ,△ 为等边三角形．
∵平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ， ........................................................................................................................... 7 分
以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设底面正方形 的边长为 2，
∴ (0,0, √3)， (1,0,0)， (1 , 2 , 0)， ( 1 , 2 , 0)， ( 1 , 0 , 0)，
∴ = (1 , 2 , √3)， = ( 1 , 2 , √3)， ............................................................................ 9 分
设平面 的一个法向量 = ( , , )，
则{ = 0
+ 2 √3 = 0
，即{ ，
= 0 + 2 √3 = 0
令 = 3，则 = 0， = 2√3，
∴ = (0 , 3 , 2√3)， ..................................................................................................................... 10 分
由（1）可知平面 的一个法向量 = (0 , 1 , 0)， .................................................................. 11 分
设平面 与平面 的夹角为 ，
| | 3 √21
则 = = = ，
| || | √21×1 7
21
∴平面 与平面 夹角的余弦值为√ ． ................................................................................ 12 分
7
z
P
D C
O
y
（法二）（2）设平面 与平面 的交线为 ，
A B
∵ // ， 平面 ， 平面 ， x
∴ //平面
(，第 18 题图 1)
又∵ 平面 ，
∴ // ， // ，
∵平面 与平面 有一个交点 ，
∴ 为过点 且与 平行的一条直线，如下图， .............................................................................. 7 分
取 中点为 ，取 中点为 ，连结 ， ， ，
∵底面四边形 为正方形， , 分别为 , 的中点，
∴ // ，
又∵ ⊥平面 ，
∴ ⊥平面 ， ............................................................................................................................. 8 分
∵ 平面 ，
第2页 共5页
{#{QQABAQgAoggIQBAAABhCQQ1yCgGQkBACCAgOwBAEoAAACQFABAA=}#}
∴ ⊥ ，
∵在△ 中， = ， 为 的中点，
∴ ⊥ ， ⊥ ，
又 ∩ = ， , 平面 ，
∴ ⊥平面 ，
∴ ⊥ ，
又∵∠ 为锐角，
∴∠ 为平面 与平面 的夹角， ..................................................................................... 10 分
设底面正方形 的边长为 2，
√3 √21
在△ 中， = √ 2 + 2 = √7， ∠ = = = ，
√7 7
∴平面 与平面 夹角的余弦值为√
21
． ................................................................................ 12 分
7
l
P
D C
O
M
A B
(第 18 题图 2)
19．（12 分）
解：（1）由正弦定理得 + 3 = ， ......................................... 2 分
因为 = [ ( + )] = ( + )，
所以 + 3 = ( + ) ， ................................................................ 3 分
即 + 3 = + ，
2 = ，
而 ≠ 0，
1
所以 = ， ............................................................................................................................... 5 分
2
又因为 ∈ (0 , )，
所以 = 2π． ........................................................................................................................................ 6 分
3
13
（2）因为 = ， ∈ (0 , )，
14
3√3所以 = √1 2 = ， ...................................................................................................... 7 分
14
2 2 5√3
= ( + ) = + = ， .............................................................. 8 分
3 3 14
5
由正弦定理 = = ，得 = =5√3 3√3 √3，
14 14 2
第3页 共5页
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解得 = 3， = 7， .......................................................................................................................... 10 分
则 = = 2，
1 1 5 3 15 3
所以 √ √ △ = × × × = × 2 × 3 × = ． ....................................................... 12 分 2 2 14 14
20．（12 分）
解：（1）记“质检员甲认定一箱产品合格”为事件 ，“该箱产品不含次品”为事件 ，
3 3 11
则 ( ) = 0.8 × 1 + 0.1 × 93 + 0.1 ×
8
3 = ， ............................................................................... 3 分 10 10 12
4
( ) = 0.8 = ， .............................................................................................................................. 4 分
5
4
( ) 48
由条件概率公式得 ( | ) = = 5
( ) 11
= ，
55
12
48
所以在质检员甲认定一箱产品合格的条件下，该箱产品不含次品的概率为 ． ........................ 6 分
55
（2）由题意可得 可以取0，1，2， ................................................................................................ 7 分
11
则 ( = 0) = ( ) = ， ................................................................................................................. 8 分
12
1 2 1 2 23
( = 1) = 0.1 × 1 9 + 0.1 × 2 83 3 = ， .................................................................................... 9 分 10 10 300
22
1
8 1 ( = 2) = 0.1 × 3 = ， ......................................................................................................... 10 分 10 150
所以随机变量 的分布列为
0 1 2
11 23 1
12 300 150
.............................................................................................................................................................. 11 分
3 23 1 9
所以 ( ) = 0 × + 1 × + 2 × = ． .............................................................................. 12 分
25 300 150 100
21．（12 分）
解：（1） ′( ) = ，............................................................................................................... 1 分
当 0时，由 ′( ) > 0， ( )在 上单调递增， ....................................................................... 2 分
当 > 0时，由 ′( ) = 0，可得 = ，
∴ ∈ ( ∞ , )时， ′( ) < 0， ( )单调递减； ....................................................................... 3 分
∈ ( , +∞)时， ′( ) > 0， ( )单调递增． .................................................................... 4 分
∴当 0时， ( )在 上单调递增；
当 > 0时， ( )在区间( ∞, )上单调递减，在区间( ,+∞)上单调递增．
（2）设 ( ) = + ( + 1) 1( 0)，则 ′
1
( ) = + ， ......................... 5 分
+1
1
（i）当 1时， ′( ) = + 1 0， ................................................. 6 分
+1
∴ ( )在区间[0,+∞)上单调递增，则 ( ) (0) = 0恒成立， ............................................. 7 分
1 ′ 1
（ii）当 > 1时，令 ( ) = + ，则 ( ) = 2， ........................................... 8 分 +1 ( +1)
第4页 共5页
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1 2
令 ( ) = ，则 ′( ) = + > 0，
( +1)2 ( +1)3
∴ ( )在区间[0,+∞)上单调递增，则 ( ) (0) = 0，
∴ ( )在区间[0,+∞)上单调递增，则 ( ) (0) = 2 ， .................................................... 9 分
①若1 < 2，则 ′( ) 0恒成立，则 ( )在区间[0,+∞)上单调递增，
∴ ( ) (0) = 0， ........................................................................................................................ 10 分
1
②若 > 2，则 ′(0) < 0， ′( + 1) = ( 1) + > 0，
2+
∴ 0 ∈ (0, + 1)，使得
′( 0) = 0，
∴ ( )在区间[0 , 0)上单调递减，则 ( 0) < (0) = 0，与条件矛盾， ................................. 11 分
综上所述，实数 的取值范围为( ∞ , 2]． ............................................................................... 12 分
22．（12 分）
解：（1）由双曲线定义可知|| 1| | 2|| = 2 = 2，∴ = 1， ........................................... 1 分
又由| 1 2| = 4，∴ = 2， ....................................................... 2 分
∵ 2 + 2 = 2，∴ = √3， ...................................................... 3 分
2
∴双曲线 的方程为 2 = 1． .................................................. 4 分
3
（2）（i）设 ( 0, 0)， ( 1, 1)， ( 2, 2)，则 1 = √3 1①， 2 = √3 2②，
将①+②可得 1 + 2 = √3( 1 2)，将① ②可得 1 2 = √3( 1 + 2)， ............................ 5 分
1+ 2 √3( 1 2) 1+ 2 3( 1 2)∴ = ，即 = ， ................................................................................... 6 分
√3( 1+ 2) 1 2 1+ 2 1 2
由题可知| | = | |，∴ 1 + 2 = 2 0， 1 + 2 = 2 0，
0 3( 1 2) 3 0
∴ = ，即 = ， .......................................................................................................... 7 分 0 1 2 0
3 0
∴直线 的方程为 0 = ( 0)，即3 = 3 2 20 0 0 0， 0
又∵点 在 上，∴3 20
2
0 = 3，则3 0 0 = 3， ................................................................ 8 分
2
2 = 1，
将方程联立{ 3 得( 2 3 2 20 0) + 6 0 3
2
0 = 0，
3 0 0 = 3，
∴ 3 2 + 6 3 20 0 = 0，由 = 0可知方程有且仅有一个解，
∴ 与 有且仅有一个交点． ....................................................... 9 分
= √3 ， √3 √3
（ii）由（2）（i）联立{ 可得 1 = ，同理可得 2 = ， ......... 10 分
3 = 3， √3 0 0 √3 0+ 00 0
3
∴| | | | = √ 21 +
2 √ 21 2 +
2
2 = 4| 1 2| = 4 × 2 2 = 4， ............................................ 11 分 3 0 0
1 2 1 | | 1 | | 1 | |
∴ + = + 2√ × = √2，当且仅当 = 即 时取等号．
| | | | | | 2 | | 2 | | 2
| | = √2
又∵| | ∈ (0 , +∞)，
1 2
∴ + 的取值范围为[√2 , +∞)． ............................................. 12 分 | | | |
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{#{QQABAQgAoggIQBAAABhCQQ1yCgGQkBACCAgOwBAEoAAACQFABAA=}#}绝密★启用前 试卷类型：A
2023—2024 学年高三质量检测（一）
数学试卷 2023.08
本试卷共 4页，22小题，满分 150分。考试用时 120分钟。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，正确粘贴条形码；
2.作答选择题时，用2B铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑；
3.非选择题的答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上；不准使用铅笔和涂
改液；不按以上要求作答无效；
4.考试结束后，考生上交答题卡。
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1．已知集合 A {x | 2x 1}， B { 2 , 1 , 0 ,1 , 2}，则 A B
A．{0 ,1 , 2} B．{1 , 2} C．{ 2 , 1 , 0} D．{ 2 , 1}
2．已知复数 z满足 zi=1 2i，则 z 的虚部为
A．1 B． 1 C． 2 D． 2
3．已知向量 a,b满足 a (a 4b)， b (a 3b)，则向量 a,b的夹角为
π π 2π 5π
A． B． C． D．
6 3 3 6
ax
4．已知函数 f (x) ln(e 1) 3 为奇函数，则 a
x 2
1 1
A． B． 2 C． D．3
2 3
5．“ a 5 ”是“圆C1 : x2 y2 1与圆C2 : (x a)2 (y 2a)2 36存在公切线”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不2 充分也不必要条件
6．已知函数 f (x) cos( x ) 的图象大致如图，则 f (x
12f)15( πxc)o s(c osx( x ) ))
46
1
A B 2
y
． ．
2 2
C 3． D．1
2 O 5π 11π x
4 4
(第 6题图)
2023—2024 学年高三质量检测（一） 数学试卷 第 1 页(共4页)
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7．数列{an}中， a1 2， a2 3， an 1 anan 2 ，则 a2024
1 2
A． 2 B． 3 C． D．
3 3
8．已知一个圆锥的母线长为 10，高为 8，则该圆锥内切球的表面积与圆锥的表面积之比为
3 3 1 3
A． B． C． D．
5 8 3 13
二、选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求。全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分。
9．若随机变量 X ~ N (10 , 22)，则
A． P(X 10) 0.5 B． P(X 8) P(X 12) 1
C． P(8 X 14) P(10 X 16) D．D(2X 1) 8
10．已知函数 f (x)的定义域为R ， f (x 1)为偶函数， f (3x 2)为奇函数，则
A． f (x)的图象关于 x 1对称 B． f (x)的图象关于 (1 , 0)对称
20
C． f (x 4) f (x) D． f (i) 1
i 0
2 2 1
11 x y．已知椭圆 E : 2 1 (a b 0) 的离心率为 ，左、右焦点分别为 F , F ，上顶点为 P，a b2 2 1 2
若过 F1且倾斜角为30 的直线 l交椭圆 E于 A,B两点，△PAB的周长为8，则
A．直线 PF2的斜率为 3 B．椭圆 E的短轴长为 4
48
C． PF1 PF2 2 D．四边形 APBF2 的面积为 13
12．欧拉是人类历史上最伟大的数学家之一．在数学史上，人们称 18世纪为欧拉时代．直到
今天，我们在数学及其应用的众多分支中，常常可以看到欧拉的名字，如著名的欧拉函
数．欧拉函数 (n) (n N*)的函数值等于所有不超过正整数 n且与 n互素的正整数的个数，
例如 (1) 1， (4) 2，则下列说法正确的是
A． (15) (3) (5) B． n1 n2 ，都有 (n1) (n2 )
C．方程 (n) n 1 (n N*)有无数个根 D． (7k ) 6 7k 1 (k N )
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。
13．已知 为锐角， tan 2，则 sin cos ．
2
14． (x2 )6 的展开式中， 3的系数为 ．
x x
2 15．过抛物线C : y 4x焦点 F 的直线 l交抛物线C于 A，B两点，且 AF 3FB，若M 为 AB
的中点，则M 到 y轴的距离为 ．
16．正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 2，底面 ABCD内（含边界）的动点 P到直线CC1的距
离与到平面 ADD1A1的距离相等，则三棱锥 P AB1D1体积的取值范围为 ．
2023—2024 学年高三质量检测（一） 数学试卷 第 2 页(共4页)
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四、解答题：本题共 6小题，共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
已知数列 {an} 为正项等差数列，数列 {bn} 为递增的正项等比数列， a1 1 ，
a1 b1 a2 b2 a4 b3 0．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
a , n为奇数
（2）数列{c } c
n
n 满足 n ，求数列{cn}的前 2n项的和．
bn , n为偶数
18．（12分）
在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD为正方形， AB PD．
（1）证明：平面 PAD 平面 ABCD；
（2）若 PA PD， PDA 60 ，求平面 PAD与平面 PBC 夹角的余弦值．
P
D C
A B
(第 18题图)
19．（12分）
已知 a , b , c分别为三角形△ABC三个内角 A , B ,C的对边，且 ccosB 3bcosC a b ．
（1）求C；
（2）若 a 5， cosB
13
，D为 AB边上一点，且 BD 5，求△ACD的面积．
14
2023—2024 学年高三质量检测（一） 数学试卷 第 3 页(共4页)
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20．（12分）
某厂生产的产品每 10件包装成一箱，每箱含 0，1，2件次品的概率分别为 0.8，0.1，0.1．在
出厂前需要对每箱产品进行检测，质检员甲拟定了一种检测方案：开箱随机检测该箱中的 3
件产品，若无次品，则认定该箱产品合格，否则认定该箱产品不合格．
（1）在质检员甲认定一箱产品合格的条件下，求该箱产品不含次品的概率；
（2）若质检员甲随机检测一箱中的 3件产品，抽到次品的件数为 X ，求 X 的分布列及期望．
21．（12分）
已知函数 f (x) e x mx (m R)．
（1）讨论 f (x)的单调性；
f (x) ln（(x2 ）1当) 1x 0时，若关于 x的不等式 f (x) ln(x 1) 1 0 恒成立，求实数m的取值范围．
22．（12分）
x2 y2
已知双曲线C : 2 2 1 (a 0 , b 0) 的左、右焦点分别为 F1，F2 ，且 | F1F2 | 4，若C上a b
的点M 满足 |MF1 | |MF2 | 2恒成立．
（1）求C的方程；
（2）若过点M 的直线 l与C的两条渐近线交于 P，Q两点，且 |MP | = |MQ |．
（i）证明： l与C有且仅有一个交点；
1 2
（ii）求 |OP | |OQ | 的取值范围．
2023—2024 学年高三质量检测（一） 数学试卷 第 4 页(共4页)
{#{QQABAQgAoggIQBAAABhCQQ1yCgGQkBACCAgOwBAEoAAACQFABAA=}#}
