2.4.2圆的一般方程课件-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册(共17张PPT)

(共17张PPT)
2.4.2
圆的一般方程
人教A版（2019）选择性必修第一册
学习目标
1. 掌握圆的一般方程、及其推导过程与特点。
2. 会根据圆的一般方程写出圆的半径和圆心坐标。
3.会根据给定的条件求圆的一般方程，并且能用圆的一般方程解决有关问题。
4.核心素养：逻辑推理、数学抽象、数学运算
一、复习导入
直线方程的表达形式
直线的方程 斜率不存在 斜率为0 直线过原点
点斜式：= ()
斜截式：
两点式：=
截距式：+=1
一般式：
×
√
√
×
√
√
×
×
√
×
×
×
√
√
√
问题1：类比直线方程的研究过程，圆的方程是否也有一般式？
二、新课讲授
1、圆的一般方程

将括号打开，得到形如：
追问1：方程 是否表示圆？
配方得到：
0，
0，
0，
(-,- )，半径.
(-,- ).
解，不表示任何图形.
当＞0时，我们把方程 叫做圆的一般方程.
问题2：圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点呢？
标准方程 一般方程
方程
代数特征
系数
圆心
半径

的二元二次方程
＞0
例1 判断下列方程表示什么图形，并说明理由.
（1）
（2）
三、巩固新知
分析：法①：配方，转化为标准方程，找圆心半径
法②：直接用公式＞0来判断
解（1）：
（1）式变形为
表示圆心为(1,-2)，半径为的圆
（2）法一：
（2）式变形为
当≠0时，
表示圆心为(- ,0)，半径为的圆
当=0时，
表示点(0,0)
（2）法二：
由圆的一般式方程 ，得
2 ，=0， =- ，
则=4 +4 ≥0
当＞0时，
表示圆心为(- ,0)，半径为的圆
当=0时，
表示点(0,0)
例2 求过三点， ，的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径.
解：设圆的方程为 ，
待定系数法
因为点在圆上，故它们都满足方程，则
解得
所以圆的一般方程为： ，
圆心为(4,-3)，半径为.
小结：待定系数法
标准方程：
①参量：( )、
②三元二次方程组
一般方程：
①参量：、
②三元一次方程组
更加适合用待定系数法
问题3：什么是待定系数法？如何运用待定系数法求圆的方程呢？
一般先写出含有未知系数的解的形式（如一种类型的方法、算式或表达式），然后再根据问题所给的条件解得所设的未知系数.由于其中的系数是未知和待定的，这类方法就被称为待定系数法.
（1）根据题意，选择标准方程或一般方程；
（2）根据条件列出关于 或,的方程组；
（3）解出 或,，得到标准方程或一般方程.
变式训练 已知四点， ，， ，问这四个点是否在同一个圆上.
解：设过点的圆的方程为 ，则
解得
所以圆的一般方程为： ，
将点代入圆的方程得：
左右两边相等，故在圆上.
分析：解法二
1， -1
为过, 的圆的直径
求出半径，得到圆的标准方程
将点代入方程，判断其是否在圆上
例3 已知线段的端点的坐标为端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程.
分析：如何理解轨迹和轨迹方程
直线：在平面直角坐标系中，与定点连线的倾斜角为定值的点的集合.
圆：在平面直角坐标系中，到定点的距离等于定长的点的集合.
轨迹：符合一定规则的点集.
轨迹方程：点的坐标所满足的方程.
A
B
M
解：设过点，则有
，
于是有， ①
由于在圆上，故有
4
把①式代入得：
4
整理得
这就是点的轨迹方程，它表示以(, )为圆心，半径为1的圆.
小结：
已知定曲线上一动点，动点与存在某种关系，求动点的轨迹方程.
方法：用从动点坐标表示主动点坐标，代入给定的曲线方程.
四、课堂小结
1、圆的一般方程：
五、作业布置
课本P88：练习 第2、3题
2、从数入手，用好待定系数法、方程思想.
3、求动点的轨迹方程.