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2023年潍坊市初中学业水平考试
数学试题
注意事项：
1.本试题满分150分，考试时间120分钟；
2.答卷前，请将试卷和答题纸上的项目填涂清楚；
3.请在答题纸相应位置作答，不要超出答题区域，不要答错位置．
第I卷（选择题共44分）
一、单项选择题（共6小题，每小题4分，共24分．每小题的四个选项中只有一项正确）
1. 在实数1，－1，0，中，最大的数是（ ）
A. 1 B. －1 C. 0 D.
【答案】D
【解析】
【分析】正数大于0，负数小于0，两个正数；较大数的算术平方根大于较小数的算术平方根．
【详解】解：，∴
∴
故选：D．
【点睛】本题考查实数的大小比较，二次根式的化简，掌握二次根式的性质公式是解题的关键．
2. 下列图形由正多边形和圆弧组成，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义（在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形）和轴对称图形的定义（如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形）逐项判断即可得．
【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，则此项不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，则此项不符合题意；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，则此项不符合题意；
D、既是轴对称图形又是中心对称图形，则此项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，熟记定义是解题关键．
3. 实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，下列判断正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据数轴性质可得，，据此逐项判断即可得．
【详解】解：由数轴可知，，．
A、，则此项错误，不符合题意；
B、，则此项错误，不符合题意；
C、，
，则此项正确，符合题意；
D、，
，则此项错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了数轴、绝对值的性质，熟练掌握数轴的性质是解题关键．
4. 在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件的示意图，其中，卯的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据俯视图的定义（从上面观察物体所得到的视图是俯视图）即可得．
【详解】解：卯的俯视图是 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了俯视图，熟记俯视图的概念是解题关键．
5. 如图，在直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，下列结论正确的是（ ）
A. 当时， B. 当时，
C. 当时， D. 当时，
【答案】B
【解析】
【分析】结合一次函数与反比例函数的图象，逐项判断即可得．
【详解】解：A、当时，，则此项错误，不符合题意；
B、当时，，则此项正确，符合题意；
C、当时，，则此项错误，不符合题意；
D、当时，，则此项错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的图象，熟练掌握函数图象法是解题关键．
6. 如图，在直角坐标系中，菱形的顶点A的坐标为，．将菱形沿x轴向右平移1个单位长度，再沿y轴向下平移1个单位长度，得到菱形，其中点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】如图，过作轴于，求解，，可得，求解，，可得，再利用平移的性质可得．
【详解】解：如图，过作轴于，
∵菱形的顶点A的坐标为，．
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∵将菱形沿x轴向右平移1个单位长度，再沿y轴向下平移1个单位长度，
∴；
故选A
【点睛】本题考查的是菱形的性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，图形的平移，熟练的求解B的坐标是解本题的关键．
二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分．每小题的四个选项中，有多项正确，全部选对得5分，部分选对得3分，有错选的得0分）
7. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据立方根与算术平方根、积的乘方、同底数幂的乘法法则逐项判断即可得．
【详解】解：A、，则此项错误，不符合题意；
B、，则此项正确，符合题意；
C、，则此项正确，符合题意；
D、，则此项错误，不符合题意；
故选：BC．
【点睛】本题考查了立方根与算术平方根、积的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握各运算法则是解题关键．
8. 下列命题正确的是（ ）
A. 在一个三角形中至少有两个锐角
B. 在圆中，垂直于弦的直径平分弦
C. 如果两个角互余，那么它们的补角也互余
D. 两条直线被第三条直线所截，同位角一定相等
【答案】AB
【解析】
【分析】根据三角形的内角和定理、垂径定理、互余与互补、平行线的性质逐项判断即可得．
【详解】解：A、在一个三角形中至少有两个锐角，原命题正确，则此项符合题意；
B、在圆中，垂直于弦的直径平分弦，原命题正确，则此项符合题意；
C、设与互余，
，
，
∴如果两个角互余，那么它们的补角也互余，命题错误，则此项不符合题意；
D、两条平行直线被第三条直线所截，同位角一定相等，原命题错误，则此项不符合题意；
故选：AB．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、垂径定理、互余与互补、平行线的性质，熟练掌握各定理和性质是解题关键．
9. 已知抛物线经过点，则下列结论正确的是（ ）
A. 拋物线的开口向下
B. 拋物线的对称轴是
C. 拋物线与轴有两个交点
D. 当时，关于的一元二次方程有实根
【答案】BC
【解析】
【分析】将点代入可求出二次函数的解析式，再根据二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的联系逐项判断即可得．
【详解】解：将点代入得：，解得，
，
抛物线的开口向上，抛物线的对称轴是，选项A错误，选项B正确；
方程的根的判别式，
∴方程有两个不相等的实数根，
抛物线与轴有两个交点，选项C正确；
由二次函数的性质可知，这个抛物线的开口向上，且当时，取得最小值，
∴当时，与没有交点，
∴当时，关于的一元二次方程没有实根，选项D错误；
故选：BC．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的联系，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
10. 发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动，图①是发动机的实物剖面图，图②是其示意图．图②中，点A在直线l上往复运动，推动点B做圆周运动形成，与表示曲柄连杆的两直杆，点C、D是直线l与的交点；当点A运动到E时，点B到达C；当点A运动到F时，点B到达D．若，，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 当与相切时， D. 当时，
【答案】AC
【解析】
【分析】如图，由题意可得：，，，，从而可判断A，B，如图，当与相切时，求解，可得，可判断C；当时，如图，可得，，，可判断D；从而可得答案．
【详解】解：如图，由题意可得：
，，，，
∴，故A符合题意；
，故B不符合题意；
如图，当与相切时，
∴，
∴，
∴，故C符合题意；
当时，如图，
∴，
∴，，
∴，故D不符合题意；
故选AC
【点睛】本题考查的是线段的和差运算，圆的切线的性质，勾股定理的应用，理解题意熟练的利用数形结合的方法解题是关键．
第II卷（非选择题共106分）
三、填空题（共4小题，每小题4分，共16分．只写最后结果）
11. 从、，中任意选择两个数，分别填在算式里面的“□”与“○”中，计算该算式的结果是______．（只需写出一种结果）
【答案】（或或，写出一种结果即可）
【解析】
【分析】先利用完全平方公式计算二次根式的乘法，再计算二次根式的除法即可得．
【详解】解：①选择和，
则
．
②选择和，
则
．
③选择和，
则
．
故答案为：（或或，写出一种结果即可）．
【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．
12. 用与教材中相同型号的计算器，依次按键 ，显示结果为 ．借助显示结果，可以将一元二次方程的正数解近似表示为_____．（精确到）
【答案】
【解析】
【分析】先利用公式法求出一元二次方程的解，再根据精确度的概念即可得．
【详解】解：一元二次方程中的，
则，
所以这个方程的正数解近似表示为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了近似数、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键．
13. 投掷两枚骰子，朝上一面的点数之和为7的概率是_____．
【答案】
【解析】
【分析】先画出树状图，从而可得投掷两枚骰子，朝上一面的点数的所有等可能的结果，再找出投掷两枚骰子，朝上一面的点数之和为7的结果，然后利用概率公式计算即可得．
【详解】解：由题意，画出树状图如下：
由图可知，投掷两枚骰子，朝上一面的点数的所有等可能的结果共有36种，其中，投掷两枚骰子，朝上一面的点数之和为7的结果有6种，
则投掷两枚骰子，朝上一面点数之和为7的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了利用列举法求概率，正确画出树状图是解题关键．
14. 在《数书九章》（宋·秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图所示，表示塔的高度，表示竹竿顶端到地面的高度，表示人眼到地面的高度，、、在同一平面内，点A、C、E在一条水平直线上．已知米，米，米，米，人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D，可求出塔的高度．根据以上信息，塔的高度为______米．
【答案】##
【解析】
【分析】如图，过作于，交于，可得，证明，可得，可得，从而可得答案．
【详解】解：如图，过作于，交于，
则，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，解得：，经检验符合题意；
∴（米）；
故答案为：
【点睛】本题考查的是相似三角形的实际应用，作出合适的辅助线构建相似三角形是解本题的关键．
四、解答题（共8小题，共90分．请写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
15. （1）化简：
（2）利用数轴，确定不等式组的解集．
【答案】（1）；（2）画图见解析，不等式组的解集为：．
【解析】
【分析】（1）先通分计算括号内的分式的减法，再通分计算分式的加法运算即可；
（2）分别解不等式组中的两个不等式，再在数轴上表示两个不等式的解集，再确定两个解集的公共部分即可．
【详解】解：（1）
；
（2），
由① 得：，
解得：，
由② 得：，
解得：，
两个不等式的解集在数轴上表示如下：
∴不等式组的解集为：．
【点睛】本题考查的是分式的加减运算，一元一次不等式组的解法，熟记分式的加减运算的运算法则与解不等式组的方法与步骤是解本题的关键．
16. 如图，在中，平分，，重足为点E，过点E作、交于点F，G为的中点，连接．求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】如图，延长交于，证明，则，证明，则，即，解得，即是的中点，是的中位线，进而可得．
【详解】证明：如图，延长交于，
∵平分，，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，即，解得，
∴是的中点，
又∵是的中点，
∴是的中位线，
∴．
【点睛】本题考查了角平分线，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，中位线．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
17. 如图，l是南北方向的海岸线，码头A与灯塔B相距24千米，海岛C位于码头A北偏东方向．一艘勘测船从海岛C沿北偏西方向往灯塔B行驶，沿线勘测石油资源，勘测发现位于码头A北偏东方向的D处石油资源丰富．若规划修建从D处到海岸线的输油管道，则输油管道的最短长度是多少千米？（结果保留根号）
【答案】千米
【解析】
【分析】过点作于点，由垂线段最短可得的长即为所求，先求出，再根据等腰直角三角形的判定与性质可得，然后在中，解直角三角形可得的长，从而可得的长，最后利用含30度角的直角三角形的性质求解即可得．
【详解】解：如图，过点作于点，
由垂线段最短可知，的长即为所求，
由题意得：，千米，
，，，
，
是等腰直角三角形，
，
在中，千米，千米，
千米，
在中，千米，
答：输油管道的最短长度是千米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、垂线段最短、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．
18. 为研究某种化学试剂挥发情况，某研究团队在两种不同的场景下做对比实验，收集了该试剂挥发过程中剩余质量y（克）随时间x（分钟）变化的数据（），并分别绘制在直角坐标系中，如下图所示．
（1）从，，中，选择适当的函数模型分别模拟两种场景下随变化的函数关系，并求出相应的函数表达式；
（2）查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为3克．在上述实验中，该化学试剂在哪种场景下发挥作用的时间更长？
【答案】（1）场景A中随变化的函数关系为，场景B中随变化的函数关系为
（2）场景B
【解析】
【分析】（1）由图象可知，场景A中随变化的函数关系为，将，代入，进而可得；场景B中随变化的函数关系为，将代入，进而可得；
（2）场景A中当时，；场景B中，将代入，解得，,判断作答即可．
【小问1详解】
解：由图象可知，场景A中随变化的函数关系为，
将，代入，得，
解得，
∴；
场景B中随变化的函数关系为，
将，代入，得，解得，
∴；
【小问2详解】
解：场景A中当时，；
场景B中，将代入，得，解得，
∵，
∴该化学试剂在场景B下发挥作用的时间更长．
【点睛】本题考查了函数图象，一次函数解析式，二次函数解析式．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
19. 某中学积极推进校园文学创作，倡导每名学生每学期向校报编辑部至少投1篇稿件．学期末，学校对七、八年级的学生投稿情况进行调查．
【数据的收集与整理】
分别从两个年级随机抽取相同数量的学生，统计每人在本学期投稿的篇数，制作了频数分布表．
投稿篇数（篇） 1 2 3 4 5
七年级频数（人） 7 10 15 12 6
八年级频数（人） 2 10 13 21 4
【数据的描述与分析】
（1）求扇形统计图中圆心角的度数，并补全频数直方图．
（2）根据频数分布表分别计算有关统计量：
统计量 中位数 众数 平均数 方差
七年级 3 3 1.48
八年级 m n 3.3 1.01
直接写出表格中m、n的值，并求出．
【数据的应用与评价】
（3）从中位数、众数、平均数、方差中，任选两个统计量，对七、八年级学生的投稿情况进行比较，并做出评价．
【答案】（1），见解析；（2），，；（3）见解析
【解析】
【分析】（1）利用乘以七年级学生投稿2篇的学生所占百分比即可得的值；根据八年级学生的投稿篇数的频数分布表补全频数直方图即可；
（2）根据中位数和众数的定义、加权平均数公式即可得；
（3）从中位数、众数、平均数、方差的意义进行分析即可得．
【详解】解：（1）两个年级随机抽取的学生数量为（人），
则．
补全频数直方图如下：
（2），
将八年级学生的投稿篇数按从小到大进行排序后，第25个数和第26个数的平均数即为其中位数，
，，
中位数，
∵在八年级学生的投稿篇数中，投稿篇数4出现的次数最多，
∴众数．
（3）从中位数、众数、平均数来看，八年级学生的均高于七年级学生的，而且从方差来看，八年级学生的小于七年级学生的，所以八年级学生的投稿情况比七年级学生的投稿情况好．
【点睛】本题考查了扇形统计图、频数分布表、频数分布直方图、中位数、众数、平均数、方差，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关键．
20. 工匠师傅准备从六边形的铁皮中，裁出一块矩形铁皮制作工件，如图所示．经测量，，与之间的距离为2米，米，米，，．，，是工匠师傅画出的裁剪虚线．当的长度为多少时，矩形铁皮的面积最大，最大面积是多少？
【答案】当的长度为米时，矩形铁皮的面积最大，最大面积是平方米
【解析】
【分析】连接，分别交于点，交于点，先判断出四边形是矩形，从而可得，再判断出四边形和四边形都是矩形，从而可得米，，然后设矩形的面积为平方米，米，则米，米，利用矩形的面积公式可得关于的二次函数，最后利用二次函数的性质求解即可得．
【详解】解：如图，连接，分别交于点，交于点，
，
，
米，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是矩形，
，，
，
，
四边形是矩形，
，
四边形和四边形都是矩形，
米，，
和都是等腰直角三角形，
，
，
设矩形的面积为平方米，米，则米，米，
米，
米，
，
又，与之间的距离为2米，米，
，
由二次函数的性质可知，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，
则当时，取得最大值，最大值为，
答：当的长度为米时，矩形铁皮的面积最大，最大面积是平方米．
【点睛】本题考查了二次函数的几何应用、矩形的判定与性质等知识点，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
21. 如图，正方形内接于，在上取一点E，连接，．过点A作，交于点G，交于点F，连接，．
（1）求证：；
（2）若，，求阴影部分的面积．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）如图，连接，证明，再证明，，可得，结合，从而可得结论；
（2）如图，连接，，过作于，设，在上取Q，使，证明，，，可得，，求解，而，可得，，，可得，再求解x，利用进行计算即可．
【小问1详解】
解：如图，连接，
∵，则，
∴，
∵正方形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴．
【小问2详解】
如图，连接，，过作于，设，在上取Q，使，
∵O为正方形中心，
∴，，而，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，而，
∴，
∴，
∴，，
而正方形的边长，
∴，
解得：，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
而，
∴．
【点睛】本题考查的是正多边形与圆，圆周角定理的应用，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，含的直角三角形的性质，扇形面积的计算，作出合适的辅助线是解本题的关键．
22. ［材料阅读]
用数形结合的方法，可以探究的值，其中．
例求的值．
方法1：借助面积为1的正方形，观察图①可知
的结果等于该正方形的面积，
即．
方法2：借助函数和的图象，观察图②可知
的结果等于，，，…，…等各条竖直线段的长度之和，
即两个函数图象的交点到轴的距离．因为两个函数图象的交点到轴的距为1，
所以，．
【实践应用】
任务一 完善的求值过程．
方法1：借助面积为2的正方形，观察图③可知______．
方法2：借助函数和的图象，观察图④可知
因为两个函数图象的交点的坐标为______，
所以，______．
任务二 参照上面的过程，选择合适的方法，求的值．
任务三 用方法2，求值（结果用表示）．
【迁移拓展】
长宽之比为的矩形是黄金矩形，将黄金矩形依次截去一个正方形后，得到的新矩形仍是黄金矩形．
观察图⑤，直接写出的值．
【答案】任务一，方法1：；方法2：，；任务二，；任务三，；[迁移拓展]
【解析】
【分析】任务一，仿照例题，分别根据方法1，2进行求解即可；
任务二，借助函数和得出交点坐标，进而根据两个函数图象的交点到轴的距离．因为两个函数图象的交点到轴的距为2，即可得出结果；
任务三 参照方法2，借助函数和的图象，得出交点坐标，即可求解；
[迁移拓展]观察图⑤第一个正方形的面积为，第二个正方形的面积为，……进而得出则的值等于长宽之比为的矩形减去1个面积为的正方形的面积，即可求解．
【详解】解：任务一，方法1：借助面积为2的正方形，观察图③可知
故答案为：．
方法2：借助函数和的图象，观察图④可知
因为两个函数图象交点的坐标为，
所以，．
故答案为：，．
任务二：参照方法2，借助函数和的图象，，
解得：
∴两个函数图象的交点的坐标为，
．
任务三 参照方法2，借助函数和的图象，两个函数图象的交点的坐标为，
∴
[迁移拓展]根据图⑤，第一个正方形的面积为，第二个正方形的面积为，……
则的值等于长宽之比为的矩形减去1个面积为1的正方形的面积，
即
【点睛】本题考查了一次函数交点问题，正方形面积问题，理解题意，仿照例题求解是解题的关键．
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2023年潍坊市初中学业水平考试
数学试题
注意事项：
1.本试题满分150分，考试时间120分钟；
2.答卷前，请将试卷和答题纸上的项目填涂清楚；
3.请在答题纸相应位置作答，不要超出答题区域，不要答错位置．
第I卷（选择题共44分）
一、单项选择题（共6小题，每小题4分，共24分．每小题的四个选项中只有一项正确）
1. 在实数1，－1，0，中，最大的数是（ ）
A. 1 B. －1 C. 0 D.
2. 下列图形由正多边形和圆弧组成，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，下列判断正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件的示意图，其中，卯的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，在直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，下列结论正确的是（ ）
A. 当时， B. 当时，
C 当时， D. 当时，
6. 如图，在直角坐标系中，菱形的顶点A的坐标为，．将菱形沿x轴向右平移1个单位长度，再沿y轴向下平移1个单位长度，得到菱形，其中点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分．每小题的四个选项中，有多项正确，全部选对得5分，部分选对得3分，有错选的得0分）
7. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
8. 下列命题正确的是（ ）
A. 在一个三角形中至少有两个锐角
B. 在圆中，垂直于弦的直径平分弦
C. 如果两个角互余，那么它们的补角也互余
D. 两条直线被第三条直线所截，同位角一定相等
9. 已知抛物线经过点，则下列结论正确的是（ ）
A. 拋物线的开口向下
B. 拋物线的对称轴是
C. 拋物线与轴有两个交点
D. 当时，关于的一元二次方程有实根
10. 发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动，图①是发动机的实物剖面图，图②是其示意图．图②中，点A在直线l上往复运动，推动点B做圆周运动形成，与表示曲柄连杆的两直杆，点C、D是直线l与的交点；当点A运动到E时，点B到达C；当点A运动到F时，点B到达D．若，，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 当与相切时， D. 当时，
第II卷（非选择题共106分）
三、填空题（共4小题，每小题4分，共16分．只写最后结果）
11. 从、，中任意选择两个数，分别填在算式里面的“□”与“○”中，计算该算式的结果是______．（只需写出一种结果）
12. 用与教材中相同型号的计算器，依次按键 ，显示结果为 ．借助显示结果，可以将一元二次方程的正数解近似表示为_____．（精确到）
13. 投掷两枚骰子，朝上一面的点数之和为7的概率是_____．
14. 在《数书九章》（宋·秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图所示，表示塔的高度，表示竹竿顶端到地面的高度，表示人眼到地面的高度，、、在同一平面内，点A、C、E在一条水平直线上．已知米，米，米，米，人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D，可求出塔的高度．根据以上信息，塔的高度为______米．
四、解答题（共8小题，共90分．请写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
15. （1）化简：
（2）利用数轴，确定不等式组的解集．
16. 如图，在中，平分，，重足为点E，过点E作、交于点F，G为的中点，连接．求证：．
17. 如图，l是南北方向的海岸线，码头A与灯塔B相距24千米，海岛C位于码头A北偏东方向．一艘勘测船从海岛C沿北偏西方向往灯塔B行驶，沿线勘测石油资源，勘测发现位于码头A北偏东方向的D处石油资源丰富．若规划修建从D处到海岸线的输油管道，则输油管道的最短长度是多少千米？（结果保留根号）
18. 为研究某种化学试剂挥发情况，某研究团队在两种不同的场景下做对比实验，收集了该试剂挥发过程中剩余质量y（克）随时间x（分钟）变化的数据（），并分别绘制在直角坐标系中，如下图所示．
（1）从，，中，选择适当函数模型分别模拟两种场景下随变化的函数关系，并求出相应的函数表达式；
（2）查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为3克．在上述实验中，该化学试剂在哪种场景下发挥作用的时间更长？
19. 某中学积极推进校园文学创作，倡导每名学生每学期向校报编辑部至少投1篇稿件．学期末，学校对七、八年级的学生投稿情况进行调查．
【数据的收集与整理】
分别从两个年级随机抽取相同数量的学生，统计每人在本学期投稿的篇数，制作了频数分布表．
投稿篇数（篇） 1 2 3 4 5
七年级频数（人） 7 10 15 12 6
八年级频数（人） 2 10 13 21 4
【数据的描述与分析】
（1）求扇形统计图中圆心角的度数，并补全频数直方图．
（2）根据频数分布表分别计算有关统计量：
统计量 中位数 众数 平均数 方差
七年级 3 3 1.48
八年级 m n 3.3 1.01
直接写出表格中m、n的值，并求出．
【数据的应用与评价】
（3）从中位数、众数、平均数、方差中，任选两个统计量，对七、八年级学生的投稿情况进行比较，并做出评价．
20. 工匠师傅准备从六边形的铁皮中，裁出一块矩形铁皮制作工件，如图所示．经测量，，与之间的距离为2米，米，米，，．，，是工匠师傅画出的裁剪虚线．当的长度为多少时，矩形铁皮的面积最大，最大面积是多少？
21. 如图，正方形内接于，在上取一点E，连接，．过点A作，交于点G，交于点F，连接，．
（1）求证：；
（2）若，，求阴影部分的面积．
22. ［材料阅读]
用数形结合的方法，可以探究的值，其中．
例求的值．
方法1：借助面积为1的正方形，观察图①可知
的结果等于该正方形的面积，
即．
方法2：借助函数和的图象，观察图②可知
的结果等于，，，…，…等各条竖直线段的长度之和，
即两个函数图象交点到轴的距离．因为两个函数图象的交点到轴的距为1，
所以，．
【实践应用】
任务一 完善的求值过程．
方法1：借助面积为2的正方形，观察图③可知______．
方法2：借助函数和的图象，观察图④可知
因为两个函数图象的交点的坐标为______，
所以，______．
任务二 参照上面的过程，选择合适的方法，求的值．
任务三 用方法2，求的值（结果用表示）．
迁移拓展】
长宽之比为的矩形是黄金矩形，将黄金矩形依次截去一个正方形后，得到的新矩形仍是黄金矩形．
观察图⑤，直接写出的值．
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