第1章 分式 单元练习 2023-2024学年湘教版八年级数学上册 （含解析）

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第1章 分式 单元练习 2023-2024学年湘教版八年级数学上册 （含解析）
一、单选题
1．下列代数式中，是分式的是（ ）
A． B． C． D．
2．计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
3．化简的结果是（）
A． B． C． D．
4．中国第颗北斗导航卫星成功发射，顺利完成全球组网．其中支持北斗三号新信号的纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应用．纳米米，将用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
5．计算的结果为（ ）
A．1 B． C． D．
6．若关于x的分式方程有增根，则m的值是（ ）
A． B． C．1 D．2
二、填空题
7．若，则= ．
8．计算： ．
9．计算： ， ，
10．如图，将形状大小完全相同的“○”按照一定的规律（如下图所示）摆放，其中图①的“○”的个数为，图②中的“○”的个数为，图③中的“○”的个数为，……以此类推，则的值是 ．（为正整数）

11．题目如下：“甲、乙两位同学做中国结，已知，甲做30个所用的时间与乙做45个所用的时间相同，求甲每小时做中国结的个数．”阴影部分为被墨迹弄污的条件．根据图中的解题过程，被墨迹弄污的条件应是 ．

三、解答题
12．（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中，．
13．课堂上，李老师给大家出了这样一道题：当，，时，求式子的值．小明一看，“太复杂了，怎么算呢？”你能帮小明解决这个问题吗？请你写出具体过程．
14．（1）如图，在中，，，点为延长线上一点，点为边上一点，若，求的度数．

（2）若分式的值为0，求的值．
15．阅读理解：已知：，求的值．
解：因为，所以：．
又因为，所以．
所以，即，所以
请运用以上解题方法，解答下列问题：
已知，求下列各式的值：
(1)；
(2)．
16．某日，河北经贸大学的青年志愿者协会举办了以“低碳生活，绿色出行”为主题的志愿活动．为响应“低碳生活，绿色出行”的号召，赵琦每天骑自行车或步行上学，已知赵琦家距离学校4千米，赵琦骑自行车的速度是步行速度的2.5倍（骑自行车和步行均是匀速），骑自行车上学比步行上学早到0.6小时．
(1)求赵琦步行上学的速度．
(2)若赵琦某次上学步行了0.5千米后发现没有带数学作业，于是他原速原路返回家拿数学作业，然后骑自行车去上学，他到家后开门、拿数学作业、取自行车等共用0.15小时，为了不迟到，赵琦以高于平时骑自行车的速度匀速向学校行驶．若赵琦从步行出门到最后到学校共用了0.6小时，求赵琦这次骑自行车的速度．
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参考答案：
1．A
【分析】根据形如，A，B是整式，且B中含有字母，叫做分式判断即可．
【详解】根据形如，A，B是整式，且B中含有字母，叫做分式，
判定是分式，其余都不是，
故选A．
【点睛】本题考查了分式的定义，熟练掌握定义是解题的关键．
2．A
【分析】计算分式乘法，即可求解．
【详解】解：=，
故选A．
【点睛】本题主要考查分式的乘法运算，掌握分式的约分，是解题的关键．
3．B
【分析】原式利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【详解】解：．
故选：B
【点睛】本题考查的是分式的除法运算，解题的关键是掌握进行分式除法运算时要转化为乘法的运算，注意先把分子、分母能因式分解的先分解，然后约分．
4．B
【分析】根据乘方运算，用科学记数法表示绝对值小于的数，形式为，，是小数点向左（或向右）移动的位数，当小数点向左移动时，为正数；当小数点向右移动时，为移动位数的相反数，由此即可求解．
【详解】解：科学记数法的表示形式为：形式为，
确定的值：
∵，
∴用科学记数法表示时，其中的，
确定的值：
∵到，小数点向右移动了为，的相反数为，
∴，
∴，
故选：．
【点睛】本题主要考查用科学记数法表示绝对值小于的数，掌握科学记数法表示形式，的取值方法是解题的关键．
5．A
【分析】根据分式的加减运算法则即可求出答案．
【详解】解：原式
，
故选：A．
【点睛】本题考查分式的加减运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
6．C
【分析】把分式方程的增根代入去分母后的整式方程即可．
【详解】解：，
去分母得：，
把增根代入可得：
，
解得：，
故选C．
【点睛】本题考查的是分式方程的增根问题，令分母为零可以得到增根，理解增根的产生原因是解本题的关键．
7．
【分析】利用分式运算法则，进行计算即可解答.
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了分式的相关运算，属于基础题，解题的关键就是把目标式子转化为已知式子.
8．1
【分析】先将第二项的分子分解因式，再约分化简即可．
【详解】，
故答案为：1．
【点睛】此题考查分式的乘法，掌握乘法的计算法则是解题的关键．
9．
【分析】第一个：先根据积的乘方和幂的乘方计算，再根据单项式乘以单项式法则计算；第二个：根据多项式乘以多项式法则计算即可．
【详解】解：；
．
故答案为：；．
【点睛】本题考查单项式乘以单项式，多项式乘以多项式，积的乘方和幂的乘方，同底数幂相乘，负整理指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
10．
【分析】根据题意找到规律：，则，然后裂项相消求解即可．
【详解】解：根据题意可得：，
∴
；
故答案为：．
【点睛】本题考查了规律探寻和分式的运算，正确找到规律是解题的关键．
11．乙每小时比甲多做6个
【分析】根据解答过程中所列方程，即可知被墨迹弄污的条件.
【详解】根据题意：甲做30个所用的时间与乙做45个所用的时间相同，由此列出方，
若x表示甲每小时做的个数，则应表示乙每小时做的个数.，即乙每小时比甲多做6个.
故答案为：乙每小时比甲多做6个.
【点睛】本题主要考查了列分式方程解应用题，列方程解应用题的关键是根据题意找等量关系，解答本题的关键是正确理解方程中每一个式子所表示的意义.
12．（1）8；（2），
【分析】（1）原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，以及有理数的乘方计算即可求出值；
（2）原式利用平方差公式，完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
当，时，
原式
．
【点睛】此题考查了整式的混合运算-化简求值，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
13．能，见解析
【分析】根据分式的除法计算法则进行求解即可．
【详解】解：能，计算过程如下：
，
因此，不管取何值（除外），这个式子的值都是．
【点睛】本题主要考查了分式的除法计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
14．（1）；（2）
【分析】（1）根据直角三角形的性质求出，再根据三角形的外角性质求出．
（2）根据分子等于零，且分母不等于零，进行求解即可．
【详解】（1）解：在中，，
则，
是的外角，
∴．
（2）解：∵分式的值为0，
∴且
解得：．
【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、三角形的外角性质及分式为0的条件，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．
15．(1)9；
(2)．
【分析】（1）根据已知等式得到，根据完全平方公式计算，得到答案；
（2）根据完全平方公式、平方根的概念计算即可．
【详解】（1）解： ，
，
，
，
，即，
；
（2），
，即，
．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值、完全平方公式，正确利用完全平方公式进行变形是解题的关键．
16．(1)4千米/时
(2)20千米/时
【分析】（1）设赵琦步行上学的速度为千米/时，根据“赵琦家距离学校4千米，赵琦骑自行车的速度是步行速度的2.5倍（骑自行车和步行均是匀速），骑自行车上学比步行上学早到0.6小时”列出分式方程，解方程检验后可得答案；
（2）设赵琦这次骑自行车的速度为千米/时，根据从步行出门到最后到学校共用了0.6小时列出分式方程，解方程检验后可得答案．
【详解】（1）解：设赵琦步行上学的速度为千米/时，
根据题意，得：，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：赵琦步行上学的速度为4千米/时；
（2）解：设赵琦这次骑自行车的速度为千米/时，
根据题意，得：，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：赵琦这次骑自行车的速度为20千米/时．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找出合适的等量关系列出方程是解题的关键．
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