第2章 三角形 单元练习 2023-2024学年湘教版八年级数学上册 （含解析）
文档属性
| 名称 | 第2章 三角形 单元练习 2023-2024学年湘教版八年级数学上册 （含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 792.3KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 湘教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-08-03 13:39:53 | ||
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文档简介
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第2章 三角形 单元练习 2023-2024学年湘教版八年级数学上册 （含解析）
一、单选题
1．（2023秋·山西阳泉·八年级统考期末）下列图形中，具有稳定性的是（ ）
A．六边形 B．五边形 C．正方形 D．三角形
2．（2022秋·山东菏泽·八年级统考期末）下列命题中，为真命题的是（ ）
A．内错角相等 B．同位角相等
C．若，则 D．若，则
3．（2022秋·河南南阳·八年级统考期末）如图所示，是一钢架，且，为了使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管，添加的钢管长度都与相等，则最多能添加这样的钢管多少根．（ ）
A．2根 B．4根 C．5根 D．无法确定
4．（2023秋·河北邢台·八年级校联考期末）如图，在中，，是的中线，边的垂直平分线交于点，连接，交于点．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023秋·安徽淮北·八年级校考期末）如图，交于点E，下列结论中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023秋·江苏常州·八年级统考期末）课本中给出了用直尺和圆规作的平分线的方法．
作法 图形
1.以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交射线、于点C、D． 2.分别以点C、D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点M． 3.作射线． 就是的平分线．
该作图依据是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．（2023秋·四川泸州·八年级统考期末）如图，，，且平分，则等于 ．
8．（2020秋·浙江杭州·八年级杭州育才中学校考期末）命题“若a2＞b2则a＞b”是 命题（填“真”或“假”），它的逆命题是 ．
9．（2023春·江西萍乡·八年级统考期末）如图，点，分别在等边的边、上，将沿直线翻折，使点落在处，，分别交边于点，，若，则的度数为 ．
10．（2023秋·河北保定·八年级校联考期末）如图，，分别是的，边上的垂直平分线，若，则 ；若，则 ．
11．（2023秋·湖南衡阳·八年级统考期末）如下图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则判定的依据是 ．
三、解答题
12．（2023秋·安徽淮北·八年级校考期末）如图，在中，于点E，于点F，且，平分，．
(1)求的度数；
(2)求的度数．
13．（2023春·山东济南·八年级统考期末）王老师安排喜欢探究问题的小明同学解决某个问题前，先让小明看了一个有解答过程的例题．
例：若，求和的值．
解：，
∴，
即,
，，
，．
为什么要对进行了拆项呢？聪明的小明理解了例题解决问题的方法，很快解决了下面两个问题相信你也能很好的解决下面的这两个问题，请写出你的解题过程．
(1)若，求的值；
(2)已知、、是等腰的三边长，且满足，求此三角形的周长．
14．（2023秋·河北邢台·八年级校联考期末）如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直半分线交于点，与相交于点，连接，，若的周长为，的周长为．
(1)求线段的长；
(2)连接，求线段的长；
(3)若，求的度数．
15．（2023秋·河南信阳·八年级统考期末）数学课上，王老师布置如下任务：如图，已知，点是射线上的一个定点，在射线上求作点在和之间），使．
下面是小路设计的尺规作图过程．
作法：作线段的垂直平分线l，直线l交射线于点C，则点C即为所求．
根据小路设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
(2)完成下面的证明：
证明：连接，
∵直线l为线段的垂直平分线，
∴ ，（ ）（填推理的依据）
∴，
∴（ ）（填推理的依据）
(3)能否在射线上再求作点，使．若能简要说明作法，并使用直尺和圆规画出图形．
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参考答案：
1．D
【分析】直接根据三角形的稳定性解答即可．
【详解】解：A、B、C选项中都有四边形，只有D选项中只有三角形，
根据四边形的不稳定性和三角形的稳定性可知：D选项的图形具有稳定性．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了三角形的稳定性，掌握组成的所有的图形都是三角形，则具有稳定性是解答本题的关键．
2．D
【分析】根据内错角的性质，同位角的定义，平方根的意义，等式的性质分别作出判断．
【详解】A．两平行线被第三条直线所截，内错角相等，命题不正确，不是真命题；
B．两平行线被第三条直线所截，同位角才相等，命题不正确，不是真命题；
C．若，则，命题不正确，不是真命题；
D．若，则，命题正确，真命题．
故选D．
【点睛】本题考查的是命题与定理，熟知各项性质是解答此题的关键．
3．C
【分析】利用三角形外角性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算求解．
【详解】如图所示，
∵，，
∴，
∴。
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
此时无法再添加了，所以总共添加，，，，共5根。
故选：C
【点睛】本题考查了三角形外角性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
4．C
【分析】由题意易得，，则有，然后可得，进而问题可求解．
【详解】解： ∵，是的中线，，，
∴，，即，
∴，
∵的垂直平分线交于点E，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及线段垂直平分线的性质定理，熟练掌握等腰三角形的性质及线段垂直平分线的性质定理是解题的关键．
5．C
【分析】先通过“”可证明，则可对选项D进行判断；再通过“”可证明，则可对选项A、B进行判断；最后得出结论．
【详解】解：∵在和中，
∴，
∴，
故选项D正确；
∵在和中，
∴，
∴，
∴，
故选项A、B正确；
从现在条件无法推出，
故选项C错误，
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及等腰三角形的性质：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种判定方法，取决于题目中的已知条件．也考查了等腰三角形的判定．
6．D
【分析】首先利用基本作图得到，，则根据可证得，再根据全等三角形的性质，即可证得结论
【详解】解：如图：连接，，
由作法得，，
又，
，
，
即射线就是的平分线．
故选：D．
【点睛】本题考查了作图 基本作图，全等三角形的判定与性质，熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．
7．/35度
【分析】利用平分线的性质，三角形的内角和定理进行计算．
【详解】解：∵∠CAD=65°，AD平分∠CAE，
∴∠CAE=2∠CAD=130°，
∴∠BAC=180°-130°=50°，
∴
∵且，
∴．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查角平分线的性质，三角形的内角和定理，熟记性质是解题的关键．
8． 假 若a＞b则a2＞b2
【分析】a2大于b2则a不一定大于b，所以该命题是假命题，它的逆命题是“若a＞b则a2＞b2”．
【详解】①当a＝－2，b＝1时，满足a2＞b2，但不满足a＞b，所以是假命题；
②命题“若a2＞b2则a＞b”的逆命题是若“a＞b则a2＞b2”；
故答案为：假；若a＞b则a2＞b2．
【点睛】本题主要考查判断命题真假、逆命题的概念以及平方的计算，熟记相关概念取特殊值代入是解题关键．
9．/度
【分析】根据折叠的性质可得，根据等边三角形的性质可得，根据三角形的内角和定理求得，进而即可求解．
【详解】解：∵将沿直线翻折，使点落在处，，分别交边于点，，
∴，
∵，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，折叠的性质，等边三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
10．
【分析】根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，同理得到，结合图形计算，得到答案．
【详解】解：由三角形的内角和定理得，，
∵是的边上的垂直平分线，
∴，
∴，
同理，，
∴，
若，则，
∴，
故答案为：；．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质等、等腰三角形的性质，三角形内角和，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
11．
【分析】用直尺和圆规作一个角等于已知角，根据作图步骤有，从而可知，判断的依据是．
【详解】解：由用直尺和圆规作一个角等于已知角的作图步骤可知，如图所示：
，
判断的依据是，
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形尺规作图中作两个角相等得到的三角形全等的判定定理，熟记两个三角形全等的判定定理是解决问题的关键．
12．(1)
(2)
【分析】（1）根据三角形的内角和定理，即可求解；
（2）先证明平分，再根据三角形的内角和即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴ ；
（2）解：∵，，，
∴平分，即 ．
∵平分，
∴．
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和，角平分线的判定，解题的关键是掌握三角形的内角和为．
13．(1)2
(2)或
【分析】（1）根据题目中所给出的解答过程来回答即可；
（2）结合三角形来求解三角形的周长．
【详解】（1）解：，
∴，
即，
∴，
解得，，
∴．
（2）解：∵，
∴，
，，
，，
当为腰长时，，，能组成三角形，的周长；
当为腰长时，，，能组成三角形，的周长．
此三角形的周长为或．
【点睛】本题主要考查完全平方公式和平方差公式，题目新颖要灵活运用．
14．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式计算即可；
（3）根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质进行计算．
【详解】（1）解： 是边的垂直平分线，
，
是边的垂直平分线，
，
，
的周长为，即
；
（2）解：连接，如图所示：
是边的垂直平分线，
，
是边的垂直平分线，
，
，，
；
（3）解：，
，
，，
，，
．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质．熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
15．(1)见解析
(2)；线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
(3)能，作法与图形见解析
【分析】（1）根据线段垂直平分线的作法：分别以点、点为圆心，以大于长为半径，在线段两侧画弧，交线段两侧于两点，连接两交点，交于点，据此作图即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质，得出，再根据等边对等角，得出，再根据三角形外角的性质，得出，再根据等量代换，即可得出结论；
（3）以点B为圆心，长为半径作弧，交射线于另一点D，则点D即为所求；根据等边对等角，得出，进而即可得出．
【详解】（1）解：补全的图形如图所示；
（2）证明：连接，
∵直线l为线段的垂直平分线，
∴（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等），
∴，
∴（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
∴．
故答案为：；线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
（3）解：能．以点B为圆心，长为半径作弧，交射线于另一点D，则点D即为所求．
∵，
又∵，
∴，
即．
【点睛】本题考查了尺规作图能力以及线段垂直平分线的性质、等边对等角、三角形外角的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解本题的关键．
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第2章 三角形 单元练习 2023-2024学年湘教版八年级数学上册 （含解析）
一、单选题
1．（2023秋·山西阳泉·八年级统考期末）下列图形中，具有稳定性的是（ ）
A．六边形 B．五边形 C．正方形 D．三角形
2．（2022秋·山东菏泽·八年级统考期末）下列命题中，为真命题的是（ ）
A．内错角相等 B．同位角相等
C．若，则 D．若，则
3．（2022秋·河南南阳·八年级统考期末）如图所示，是一钢架，且，为了使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管，添加的钢管长度都与相等，则最多能添加这样的钢管多少根．（ ）
A．2根 B．4根 C．5根 D．无法确定
4．（2023秋·河北邢台·八年级校联考期末）如图，在中，，是的中线，边的垂直平分线交于点，连接，交于点．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023秋·安徽淮北·八年级校考期末）如图，交于点E，下列结论中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023秋·江苏常州·八年级统考期末）课本中给出了用直尺和圆规作的平分线的方法．
作法 图形
1.以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交射线、于点C、D． 2.分别以点C、D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点M． 3.作射线． 就是的平分线．
该作图依据是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．（2023秋·四川泸州·八年级统考期末）如图，，，且平分，则等于 ．
8．（2020秋·浙江杭州·八年级杭州育才中学校考期末）命题“若a2＞b2则a＞b”是 命题（填“真”或“假”），它的逆命题是 ．
9．（2023春·江西萍乡·八年级统考期末）如图，点，分别在等边的边、上，将沿直线翻折，使点落在处，，分别交边于点，，若，则的度数为 ．
10．（2023秋·河北保定·八年级校联考期末）如图，，分别是的，边上的垂直平分线，若，则 ；若，则 ．
11．（2023秋·湖南衡阳·八年级统考期末）如下图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则判定的依据是 ．
三、解答题
12．（2023秋·安徽淮北·八年级校考期末）如图，在中，于点E，于点F，且，平分，．
(1)求的度数；
(2)求的度数．
13．（2023春·山东济南·八年级统考期末）王老师安排喜欢探究问题的小明同学解决某个问题前，先让小明看了一个有解答过程的例题．
例：若，求和的值．
解：，
∴，
即,
，，
，．
为什么要对进行了拆项呢？聪明的小明理解了例题解决问题的方法，很快解决了下面两个问题相信你也能很好的解决下面的这两个问题，请写出你的解题过程．
(1)若，求的值；
(2)已知、、是等腰的三边长，且满足，求此三角形的周长．
14．（2023秋·河北邢台·八年级校联考期末）如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直半分线交于点，与相交于点，连接，，若的周长为，的周长为．
(1)求线段的长；
(2)连接，求线段的长；
(3)若，求的度数．
15．（2023秋·河南信阳·八年级统考期末）数学课上，王老师布置如下任务：如图，已知，点是射线上的一个定点，在射线上求作点在和之间），使．
下面是小路设计的尺规作图过程．
作法：作线段的垂直平分线l，直线l交射线于点C，则点C即为所求．
根据小路设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
(2)完成下面的证明：
证明：连接，
∵直线l为线段的垂直平分线，
∴ ，（ ）（填推理的依据）
∴，
∴（ ）（填推理的依据）
(3)能否在射线上再求作点，使．若能简要说明作法，并使用直尺和圆规画出图形．
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参考答案：
1．D
【分析】直接根据三角形的稳定性解答即可．
【详解】解：A、B、C选项中都有四边形，只有D选项中只有三角形，
根据四边形的不稳定性和三角形的稳定性可知：D选项的图形具有稳定性．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了三角形的稳定性，掌握组成的所有的图形都是三角形，则具有稳定性是解答本题的关键．
2．D
【分析】根据内错角的性质，同位角的定义，平方根的意义，等式的性质分别作出判断．
【详解】A．两平行线被第三条直线所截，内错角相等，命题不正确，不是真命题；
B．两平行线被第三条直线所截，同位角才相等，命题不正确，不是真命题；
C．若，则，命题不正确，不是真命题；
D．若，则，命题正确，真命题．
故选D．
【点睛】本题考查的是命题与定理，熟知各项性质是解答此题的关键．
3．C
【分析】利用三角形外角性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算求解．
【详解】如图所示，
∵，，
∴，
∴。
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
此时无法再添加了，所以总共添加，，，，共5根。
故选：C
【点睛】本题考查了三角形外角性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
4．C
【分析】由题意易得，，则有，然后可得，进而问题可求解．
【详解】解： ∵，是的中线，，，
∴，，即，
∴，
∵的垂直平分线交于点E，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及线段垂直平分线的性质定理，熟练掌握等腰三角形的性质及线段垂直平分线的性质定理是解题的关键．
5．C
【分析】先通过“”可证明，则可对选项D进行判断；再通过“”可证明，则可对选项A、B进行判断；最后得出结论．
【详解】解：∵在和中，
∴，
∴，
故选项D正确；
∵在和中，
∴，
∴，
∴，
故选项A、B正确；
从现在条件无法推出，
故选项C错误，
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及等腰三角形的性质：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种判定方法，取决于题目中的已知条件．也考查了等腰三角形的判定．
6．D
【分析】首先利用基本作图得到，，则根据可证得，再根据全等三角形的性质，即可证得结论
【详解】解：如图：连接，，
由作法得，，
又，
，
，
即射线就是的平分线．
故选：D．
【点睛】本题考查了作图 基本作图，全等三角形的判定与性质，熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．
7．/35度
【分析】利用平分线的性质，三角形的内角和定理进行计算．
【详解】解：∵∠CAD=65°，AD平分∠CAE，
∴∠CAE=2∠CAD=130°，
∴∠BAC=180°-130°=50°，
∴
∵且，
∴．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查角平分线的性质，三角形的内角和定理，熟记性质是解题的关键．
8． 假 若a＞b则a2＞b2
【分析】a2大于b2则a不一定大于b，所以该命题是假命题，它的逆命题是“若a＞b则a2＞b2”．
【详解】①当a＝－2，b＝1时，满足a2＞b2，但不满足a＞b，所以是假命题；
②命题“若a2＞b2则a＞b”的逆命题是若“a＞b则a2＞b2”；
故答案为：假；若a＞b则a2＞b2．
【点睛】本题主要考查判断命题真假、逆命题的概念以及平方的计算，熟记相关概念取特殊值代入是解题关键．
9．/度
【分析】根据折叠的性质可得，根据等边三角形的性质可得，根据三角形的内角和定理求得，进而即可求解．
【详解】解：∵将沿直线翻折，使点落在处，，分别交边于点，，
∴，
∵，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，折叠的性质，等边三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
10．
【分析】根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，同理得到，结合图形计算，得到答案．
【详解】解：由三角形的内角和定理得，，
∵是的边上的垂直平分线，
∴，
∴，
同理，，
∴，
若，则，
∴，
故答案为：；．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质等、等腰三角形的性质，三角形内角和，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
11．
【分析】用直尺和圆规作一个角等于已知角，根据作图步骤有，从而可知，判断的依据是．
【详解】解：由用直尺和圆规作一个角等于已知角的作图步骤可知，如图所示：
，
判断的依据是，
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形尺规作图中作两个角相等得到的三角形全等的判定定理，熟记两个三角形全等的判定定理是解决问题的关键．
12．(1)
(2)
【分析】（1）根据三角形的内角和定理，即可求解；
（2）先证明平分，再根据三角形的内角和即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴ ；
（2）解：∵，，，
∴平分，即 ．
∵平分，
∴．
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和，角平分线的判定，解题的关键是掌握三角形的内角和为．
13．(1)2
(2)或
【分析】（1）根据题目中所给出的解答过程来回答即可；
（2）结合三角形来求解三角形的周长．
【详解】（1）解：，
∴，
即，
∴，
解得，，
∴．
（2）解：∵，
∴，
，，
，，
当为腰长时，，，能组成三角形，的周长；
当为腰长时，，，能组成三角形，的周长．
此三角形的周长为或．
【点睛】本题主要考查完全平方公式和平方差公式，题目新颖要灵活运用．
14．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式计算即可；
（3）根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质进行计算．
【详解】（1）解： 是边的垂直平分线，
，
是边的垂直平分线，
，
，
的周长为，即
；
（2）解：连接，如图所示：
是边的垂直平分线，
，
是边的垂直平分线，
，
，，
；
（3）解：，
，
，，
，，
．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质．熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
15．(1)见解析
(2)；线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
(3)能，作法与图形见解析
【分析】（1）根据线段垂直平分线的作法：分别以点、点为圆心，以大于长为半径，在线段两侧画弧，交线段两侧于两点，连接两交点，交于点，据此作图即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质，得出，再根据等边对等角，得出，再根据三角形外角的性质，得出，再根据等量代换，即可得出结论；
（3）以点B为圆心，长为半径作弧，交射线于另一点D，则点D即为所求；根据等边对等角，得出，进而即可得出．
【详解】（1）解：补全的图形如图所示；
（2）证明：连接，
∵直线l为线段的垂直平分线，
∴（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等），
∴，
∴（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
∴．
故答案为：；线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
（3）解：能．以点B为圆心，长为半径作弧，交射线于另一点D，则点D即为所求．
∵，
又∵，
∴，
即．
【点睛】本题考查了尺规作图能力以及线段垂直平分线的性质、等边对等角、三角形外角的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解本题的关键．
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