第3章 实数 单元练习 2023-2024学年湘教版八年级数学上册 （含解析）

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第3章 实数 单元练习 2023-2024学年湘教版八年级数学上册 （含解析）
一、单选题
1．（2023春·贵州黔东南·八年级统考期末）的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·江苏扬州·八年级统考期末）关于式子的变形，下列结果不正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022春·四川遂宁·八年级统考期末）当分式的值为零时，x值是（ ）
A． B．1 C．－1 D．－2
4．（2023秋·河南平顶山·八年级统考期末）8的立方根是（ ）
A．2 B． C． D．64
5．（2023秋·河南洛阳·八年级统考期末）若一个正方体的体积是8，则它的棱长是（ ）
A．±2 B．2 C．2 D．4
6．（2022秋·辽宁沈阳·八年级统考期末）下列各数，是无理数的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023秋·四川宜宾·八年级统考期末）在实数、、、、 、 中，无理数有（ ）个．
A． B． C． D．
8．（2022秋·河南平顶山·八年级统考期末）一个正方形的面积变为原来的倍，它的边长变为原来边长的（ ）
A．倍 B．倍 C．倍 D．倍
二、填空题
9．（2023春·黑龙江大庆·八年级校考期末）如果一个正数的平方根是m，那么这个数的另一个平方根是 ，这个数的算术平方根是 ，两个平方根的和是 ．
10．（2022秋·河南南阳·八年级校考期末）已知实数、满足，则的立方根是 ．
11．（2021秋·河南周口·八年级统考期末）若一个正数的平方根是和，的立方根是，则的算术平方根是 ．
12．（2023春·重庆秀山·八年级统考期末）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之和m整除，则称N是m的“整倍数”．例如：∵，∴135是9的“整倍数”，又如∵∴524不是11的“整倍数”．三位数A是12的“整倍数”，a，b，c分别是数A其中一个数位上的数字，且．在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为，最小的两位数记为，若为整数，求出满足条件的数A的最小值为 ．
13．（2023春·重庆潼南·八年级统考期末）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N的百位数字与十位数字的平均数等于个位数字，则称N为“均衡数”．将“均衡数”N的百位数字与十位数字交换位置后得到的新数再与N相加的和记为．若三位数n是“均衡数”，满足百位数字小于十位数字，整数，且能被十位数字与百位数字的差整除，则n的值为 ．
三、解答题
14．（2023秋·湖南株洲·八年级统考期末）一个正数x的两个不同的平方根分别是和．
(1)求a和x的值；
(2)求的平方根和立方根．
15．（2023春·安徽合肥·八年级统考期末）观察下列等式：
①；
②；
③；
…
(1)写出④______；
(2)猜想：______；
(3)由以上规律，计算的值．
16．（2022秋·湖南常德·八年级统考期末）阅读下面的文字，解答问题：
【阅读材料】现规定：分别用和表示实数x的整数部分和小数部分，如实数3.14的整数部分是，小数部分是；实数的整数部分是，小数部分是无限不循环小数，无法写完整，但是把它的整数部分减去，就等于它的小数部分，即就是的小数部分，所以．
(1)_____，______；_____，_______．
(2)如果，，求的立方根．
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参考答案：
1．C
【分析】计算算术平方根即可求解．
【详解】解：，
故选：．
【点睛】本题主要考查求算术平方根，熟练掌握求一个数的算术平方根的运算方法是解题的关键．
2．A
【分析】根据实数的加减运算法则计算即可求解．
【详解】解：，
观察四个选项，只有选项A不正确．
故选：A．
【点睛】本题考查了实数的加减运算，掌握实数的加减运算法则是解题的关键．
3．C
【分析】根据分式为零的等价条件是A=0且B≠0求解即可．
【详解】解：∵分式的值为零，
∴x2－1=0，且x－1≠0，
∴x=－1，
故选：C．
【点睛】本题考查分式为零的条件、平方根，熟知分式为零的条件是解答的关键．
4．A
【分析】根据立方根的定义求出的值，即可得出答案．
【详解】解：8的立方根是，
故选：A．
【点睛】本题考查了对立方根的定义的理解和运用，注意：的立方根是．
5．B
【分析】根据正方体体积公式可知，棱长为体积的立方根，由此可解．
【详解】解：设正方体的棱长为a，根据题意，得
a＝＝2．
故选：B．
【点睛】本题考查了立方根的实际应用，掌握正方体体积公式和立方根的定义是解题的关键．
6．C
【分析】整数和分数统称为有理数，无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可．
【详解】解：是分数，是有理数，
是整数，是有理数，
是分数，是有理数，
，是无限不循环小数，是无理数，
故选C
【点睛】本题考查无理数的识别，熟练掌握相关定义是解题的关键．
7．B
【分析】常见的无理数有开不尽方的数，含有的最简式子，特殊格式的数，如，由此即可求解．
【详解】解：根据无理数的定义及常见形式可知，无理数有个，分别是，，，注意的是是有理数，
故选：．
【点睛】本题主要考查的是实数的分类，理解有理数，无理数的定义及分类是解题的关键．
8．B
【分析】设原正方形的面积为可用含的式子表示正方形的边长，面积为原来的倍，可求出变大后的正方形的边长，由此即可求解．
【详解】解：根据题意，设原正方形的面积为，
∴原正方形的边长为，
∵正方形的面积变为原来的倍，
∴现在正方形的面积为，
∴现在正方形的边长为，
∴边长变为原来边长的倍，
故选：．
【点睛】本题主要考查求一个数的算术平方根的运算，掌握算术平方根与实际问题的结合，算术平方根的计算方法是解题的关键．
9． 0
【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数即可求得另一个平方根，再根据算术平方根的非负性可得这个数的算术平方根，最后根据相反数的性质即可解答．
【详解】解：∵一个正数的平方根是m，
∴那么这个数的另一个平方根是；
根据算术平方根的非负性可知，这个正数的算术平方根是；
根据一个正数的两个平方根互为相反数可知，这个正数的0．
故答案为，，0．
【点睛】本题主考查了平方根、算术平方根的意义，掌握一个正数的两个平方根互为相反数是解答本题的关键．
10．
【分析】根据绝对值、偶次幂的非负性求出a、b的值，进而求出的值，再根据立方根的定义进行计算即可．
【详解】解∶∵，，，
∴，，
∴，，
∴，
∴的立方根是．
故答案为：．
【点睛】本题考查绝对值、偶次幂的非负性以及立方根，理解绝对值、偶次幂的非负性是解决问题的关键．
11．4
【分析】首先根据平方根的定义，求出m值，再根据立方根的定义求出n，代入-n+2m，求出这个值的算术平方根即可．
【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是m+3和2m-15，
∴m+3+2m-15=0，
解得：m=4，
∵n的立方根是-2，
∴n=-8，
把m=4，n=-8代入-n+2m=8+8=16，
所以-n+2m的算术平方根是4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了平方根、算术平方根、立方根．解题的关键是掌握平方根、算术平方根、立方根的定义，能够利用定义求出m、n值，然后再求-n+2m的算术平方根．
12．156
【分析】根据题意，，，，根据为整数，c为百位数时最小计算即可．
【详解】∵三位数A是12的“整倍数”，a，b，c分别是数A其中一个数位上的数字，且，
∴，
∵，，
∴
∵为整数，，
∴，
∴，
当时，，，故或；
三位数138和237都不符合题意；
当时，，，故，此时156符合题意；
当时，，，无符合题意的值
故最小值为156，
故答案为：156．
【点睛】本题考查了新定义问题，根据新定义进行计算是解题的关键．
13．174或264或354
【分析】设这个三位数为：，根据可推导求解出c的值；再根据能被十位数字与百位数字的差整除和这两个条件，可得到a、b的值，即可求解．
【详解】解：设（，，，，均为整数），则，
∴，
∴，
∵是一个整数，，
∴，即，
，
又∵能被十位数字和百位数字的差整除，
∴为整数，
∴为2或4或6或8，
又∵，
∴或264或354．
故答案为：174或264或354．
【点睛】本题考查了一种新的定义，解题关键是快速学习题干中的新定义运算，并转化为我们熟悉的数学模型进行分析求解．
14．(1)
(2)平方根为，立方根为3
【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数即可求出a的值，再将a的值代入即可求出x的值；
（2）将（1）中的结果代入求解即可．
【详解】（1）解：∵一个正数的两个平方根互为相反数，
∴，解得，
∴．
（2）解：∵，
∴的平方根为,立方根为3．
【点睛】本题主要考查了平方根和立方根，掌握一个正数的两个平方根互为相反数是解题的关键．
15．
(1)
(2)
(3)
【分析】（1）观察已知等式找到规律，即可求解；
（2）根据规律直接得出结果即可；
（3）利用（2）中结论及有理数的混合运算进行计算即可．
【详解】（1）解：，
故答案为：．
（2）解：根据规律可知，，
故答案为： ；
（3）
．
【点睛】题目主要考查算术平方根及有理数规律性运算，根据题意找出相应规律是解题关键．
16．(1)1，，3，；
(2)2．
【分析】（1）先估算出和的范围，再根据题目规定的表示方法写出答案即可；
（2）先估算出，的范围，即可求出，的值，进一步即可求出结果．
【详解】（1），，
，，，，
故答案为：1，，3，；
（2），，
，，
，
的立方根是2．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小和平方根的意义，求一个数的立方根，能够估算出无理数的范围是解决问题的关键．
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