第5章 二次根式 单元练习 2023-2024学年湘教版八年级数学上册 （含解析）

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第5章 二次根式 单元练习 2023-2024学年湘教版八年级数学上册 （含解析）
一、单选题
1．下列各式属于二次根式的是（　　）
A．1 B． C． D．
2．下列各式成立的是（　　）
A． B． C． D．
3．若在两个相邻整数之间，则这两个整数是（　　）
A．6和7 B．7和8 C．8和9 D．9和11
4．估计的值应在（　　）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
5．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．下列各式中，运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简 ．

8．若、为实数，且．则的值为 ．
9．已知，，那么代数式的值 ．
10．已知一个长方体木块放在在水平的桌面上，木块的长、宽、高分别是、、，若木块对桌面的最大压强为，最小压强为，则的值等于 ．
11．如图，在中，点D是边的中点，E是边上一点，将沿折叠至，点C的对应点为，连接、，若，则的面积最大值为 ．
12．座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中T表示周期（单位：s），l表示摆长（单位：m），．假若一台座钟的摆长为，它每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在内，该座钟发出了 次滴答声．（参考数据：，π取3.14，结果保留整数）
三、解答题
13．如图，实数a、b在数轴上的位置，化简．

14．观察下列各式及其验算过程：
，验证：；
，验证：．
(1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证；
(2)针对上述各式反映的规律，写出用n（n为大于1的整数）表示的等式并给予验证．
15．已知：三角形的三边长分别为a，b，c（）．求证：．
(1)如下的框图表示推导该结论的一种思路，结合题意，请填写其中的空格．

(2)为探讨该结论的其他证明方法，老师提供了以下几种思路，请选择其中一种思路进行证明．

思路①利用，，，再配方，…… 思路②利用，使用平方差公式，…… 思路③利用，……
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参考答案：
1．B
【分析】根据二次根式的定义：形如，进行判断即可．
【详解】解：1，，，中属于二次根式的是；
故选B．
【点睛】本题考查二次根式的判断．熟练掌握二次根式的定义，是解题的关键．
2．A
【分析】由二次根式的性质，分别进行判断，即可得到答案．
【详解】解：，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式性质，．
3．B
【分析】根据二次根式乘法运算、二次根式性质及无理数估算即可得到答案．
【详解】解：
，
，
，即，
，
故选：B．
【点睛】本题考查二次根式运算及无理数估算，掌握无理数估算方法是解决问题的关键．
4．B
【分析】利用二次根式的混合运算将原式化简，再进行无理数的估算即可．
【详解】解：
，
∵，
∴，即，
∴的值应在和之间，
故选：B
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算以及估算无理数的大小，能估算出的范围是解此题的关键．
5．C
【分析】直接利用二次根式的加减运算法则和二次根式的乘除运算法则分别化简，然后即可判断出答案．
【详解】解：A、与无法合并，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项符合题意；
D、，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次根式的运算法则，熟练掌握二次根式的加减和乘除运算法则是解题的关键．
6．D
【分析】根据二次根式的加减法则与除法法则，同底数幂的除法法则，幂的乘方法则对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、，故本选项不符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、与不是同类二次根式，不能合并，故本选项不符合题意；
D、，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查的是同底数幂的除法、幂的乘方以及二次根式的加减法和除法．熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解答此题的关键．
7．
【分析】根据数轴可得，，从而判断，，再根据二次根式和绝对值的性质进行化简即可．
【详解】解：由数轴可得，，，
∵，，
∴
【点睛】本题考查用数轴表示数、二次根式和绝对值的性质，掌握二次根式和绝对值的性质是解题的关键．
8．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得，解可得的值，再把的值代入原式可得的值，然后再利用乘方计算出的值．
【详解】解：根据二次根式有意义的条件可得，
解得：，
故，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
9．12
【分析】计算，，结合代入计算即可．
【详解】∵，，
∴，，
∴，
故答案为：12．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，因式分解，熟练掌握运算法则和公式是解题的关键．
10．
【分析】先分别求解最大压强与最小压强，再列式计算即可．
【详解】解：如图，，
∴
∴，
∵最大压强是前面向下放置，
∴，
∵最小压强是面积最大的面向下，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查的是二次根式的乘除混合运算的实际应用，属于跨学科的题，熟记公式与二次根式的除法运算是解本题的关键．
11．3
【分析】过点作于，由轴对称性质得，从而有，进而即可求解．
【详解】解：过点作于H，
∵点是边的中点，，
∴，，
∵将沿折叠至，点的对应点为，
∴，，即
∴，
∴，
当，即点与点重合时，的面积最大，最大面积为，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，二次根式的乘法以及与中点有关的计算，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
12．43
【分析】由给出的公式先计算出这个钟摆的周期，然后利用时间除周期得到滴答次数．
【详解】解：，
∴(次)，
故答案为：43．
【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，计算出钟摆的周期是解决本题的关键．
13．
【分析】根据数轴可得，，则，然后根据二次根式的性质化简即可求解．
【详解】解：由图可知，，，
，
原式
．
【点睛】本题考查了根据数轴上的点的位置判断式子的符号，化简二次根式，得出各式的符号是解题的关键．
14．(1)，验证见解析
(2)，验证见解析
【分析】（1）根据材料中的方法即可求解．，将左右两边按照二次根式的性质计算即可验证；
（2）由（1）中的式子可得规律：．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
验证：，正确；
（2）解：由（1）中的规律可知，
∴，
验证：，正确．
【点睛】本题考查二次根式的乘除以及数字的变化类，通过具体数值的计算，发现其规律是解决问题的关键．
15．(1)①，②，③
(2)证明见解析
【分析】（1）根据完全平方公式求出，根据二次根式的乘法得出，再根据三角形三边关系进一步得出，即可得出答案；
（2）根据所给的方法推导即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
故答案为：①，②，③．
（2）选择①．推导思路如下：
由，且，得．
配方，得．
易得．
即．
易得．
选择②．推导思路如下：
由，得，即．
故．
易知，
所以，即．
【点睛】本题考查二次根式的运算，完全平方公式，正确计算是解题的关键．
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