第2章 一元二次方程 单元练习 2023-2024学年湘教版九年级数学上册 （含解析）

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第2章 一元二次方程 单元练习 2023-2024学年湘教版九年级数学上册 （含解析）
一、单选题
1．（2023秋·河北邢台·九年级统考期末）一元二次方程化成一般形式后，一次项系数是1，常数项是（ ）
A．2 B． C． D．3
2．（2023秋·山西长治·九年级统考期末）用配方法解一元二次方程时，变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·广东深圳·九年级校考期末）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．且
4．（2023春·黑龙江大庆·九年级校考期末）关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（　　）
A． B．且 C．且 D．
5．（2023秋·天津津南·九年级统考期末）两年前生产1吨某药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨药品的成本是3600元．若这种药品的年平均下降率为x，根据题意，所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2022秋·湖北荆州·九年级统考期末）如图，某小区居民休闲娱乐中心是一块长方形（长米，宽米）场地，被条宽度相等的绿化带分为总面积为平方米的活动场所（羽毛球，乒乓球）如果设绿化带的宽度为米，由题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
7．（2022秋·山东滨州·九年级统考期末）已知为方程的根，那么的值为 ．
8．（2021秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期末）三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是 ．
9．（2023秋·山东济宁·九年级统考期末）若关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则m的值是 ．
10．（2023秋·四川雅安·九年级统考期末）已知关于x的一元二次方程的两个实数根的平方和为7，那么m的值是
11．（2023秋·河北邢台·九年级统考期末）为防控疫情，我们应该做到有“礼”有“距”，于是用“碰肘礼！代替“握手”的问候方式逐渐流行． 某次会议上，每两个参会者都相互行了一次“碰肘礼”，经统计共碰肘28次，若设有人参加这次会议，则可列方程为 ， ．
三、解答题
12．（2023秋·山东济宁·九年级统考期末）已知m是方程的解，求式子的值．
13．（2023秋·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）已知关于的一元二次方程的一个实数根．
(1)求这个一元二次方程的根；
(2)求代数式的值．
14．（2022秋·广东梅州·九年级统考期末）已知关于的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若的两边、的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为，当是等腰三角形时，求的值．
15．（2023秋·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）阅读材料，若关于的一元二次方程的两根为，，则根据求根公式可知，，．
由此可得，，
．
根据上述材料，结合自己所学知识，解决如下问题：
(1)一元二次方程的两根为，，则________，________；
(2)一元二次方程的两根为，，则________；
(3)若，满足，，且．求的值．
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参考答案：
1．B
【分析】首先移项把3移到等号左边，然后再确定常数项．
【详解】解：，
移项，得，
即一元二次方程化成一般式后，一次项系数是1，常数项是．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项；叫做常数项．
2．C
【分析】在方程两边加上16，然后把方程左边配成完全平方形式即可．
【详解】解：，
配方得，即．
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元二次方程－配方法，关键是掌握配方的方法：当二次项系数为1时，两边加上一次项系数一半的平方．
3．D
【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴且，
故选D．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．
4．B
【分析】根据一元二次方程的定义，根与系数的关系，即可求解．
【详解】解：∵的一元二次方程有两个实数根，
∴，解得，且，
故选：．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的定义，根的判别式的综合，掌握一元二次方程的定义中二次项系数不能为零，根的判别式大于等于零方程有两个实根的知识是解题的关键．
5．C
【分析】根据两年前的成本现在成本列方程即可．
【详解】解：根据题意，得，
故选：C．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，找到等量关系是解答的关键．
6．B
【分析】由绿化带的宽度，可得出六块活动场所可合成长为米，宽为米的长方形，结合活动场所的总面积为平方米，可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：绿化带的宽度为米，
六块活动场所可合成长为米，宽为米的长方形．
根据题意得：．
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7．
【分析】根据一元二次方程的解的定义得到，然后对原式进行化简，再将整体代入即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵
，
将代入，则
原式
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，也考查了代数式的变形，利用整体代入法的思想是解答本题的关键．
8．或24/24或
【分析】已知方程利用因式分解法求出解，得到第三边长，分类讨论求出三角形的面积即可．
【详解】解：方程，
分解因式得：，
解得：或，
当时，三角形为等腰三角形，腰长为6，底边长为8，
则底边上的高，
∴三角形的面积为：；
当时，
∵，
∴三角形为直角三角形，两条直角边的长分别为8和6，
∴三角形的面积为：；
综上：三角形的面积为：或24；
故答案为：或24．
【点睛】此题考查了解一元二次方程，三角形三边关系，等腰三角形的性质，以及勾股定理逆定理，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键．
9．
【分析】根据一元二次方程根的判别式列出关于的方程，解方程即可．
【详解】解：关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，
，
，即，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，熟练记忆一元二次方程根的判别式与方程根的关系是解题的关键．
10．
【分析】由方程一元二次方程有两个实数根，可得，然后把两个实数根的平方和变形为两根之积或两根之和的形式，根据这两种情况确定m的值即可．
【详解】解：∵有两个实数根，
设原方程的两个实数根为a、b，则，，
，
又，
，
解得：或，
当时，，符合题意，
当时，，不符合题意，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系和判别式、代数式的变形，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关系．
11． 8
【分析】利用碰肘的总次数参会人数（参会人数，即可得出关于的一元二次方程，再解这个方程即可求解．
【详解】解：依题意得，
解得：，（不符合题意，舍去）
∴
故答案为：；8．
【点睛】本题考查了一元二次方程和应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
12．
【分析】根据m是方程的解，得到，利用整体思想代入代数式求值即可．
【详解】解：∵m是方程的解，
∴，即：，
∴
．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，代数式求值．熟练掌握方程的解是使等式成立的未知数的值，以及利用整体思想进行求解，是解题的关键．
13．(1)，
(2)
【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）利用一元二次方程解的定义得到，则，代入即可得到答案．
【详解】（1）解：
原方程可化为，
∴或，
解得：，；
（2）∵关于的一元二次方程的一个实数根，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了一元二次方程的解法和一元二次方程解的定义等知识，熟练掌握一元二次方程的解法和整体代入是解题的关键．
14．(1)见解析；
(2)或．
【分析】（1）证明即可；
（2）根据 是等腰三角形分类讨论即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴方程总有两个实数根．
（2）解：当时，原方程为：，
解得：，
当时，原方程为：，
∴，．
由三角形的三边关系，可知、、能围成等腰三角形，
∴符合题意；
当时，则有：，
解得：，
∴原方程为：，
解得：．
由三角形的三边关系，可知、、能围成等腰三角形，
∴符合题意．
综上所述：的值为或．
【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式的意义，解一元二次方程，解题的关键是根据根的情况，对等腰三角形进行分类讨论．
15．(1)2，
(2)2
(3)
【分析】（1）根据一元二次方程的根与系数的关系即可得；
（2）根据一元二次方程的根与系数的关系求出，的值，由此即可得；
（3）先得出是一元二次方程的两个不相等的根，再根据一元二次方程的根与系数的关系求出，的值，然后利用完全平方公式求解即可得．
【详解】（1）解：∵一元二次方程的两根为，，且方程中的，
，，
故答案为：2，．
（2）解：∵一元二次方程的两根为，，且方程中的，
，，
，
故答案为：2．
（3）解：满足，，且，
是一元二次方程的两个不相等的根，
，，
．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．
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