2.4线段的垂直平分线（第2课时） 课件(共18张PPT) 青岛版数学八年级上册

(共18张PPT)
2.4 线段的垂直平分线（第2课时）
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
2.线段垂直平分线的性质
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
温故知新
3.线段垂直平分线的判定
1.线段垂直平分线的定义
垂直并且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线.
基本作图：“作一条线段的垂直平分线”
作法：
(1)分别以点A与点B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧分别交于M、N两点；
(2)过M、N 两点作直线MN.
直线MN就是线段AB的垂直平分线.
A
B
M
N
已知三个村庄的位置如图所示，经过商量，三个村庄决定联合打一眼机井向三个村庄供水，要想使机井到三个村庄的距离相等，机井应该设在何处？并说明你的理由.
实验与探究
A
B
C
利用基本作图“作一条线段的垂直平分线”，可以作出过已知线段中点的垂直平分线，那么如何利用这一基本作图，推广到“过一点作已知直线的垂线”呢？
l
由于一个点与一条直线的位置关系有两种：点在直线上和点在直线外，所以应分两种情况进行讨论.
实验与探究
(1)点在直线上
求作：过点P 作直线l 的垂线.
已知：直线l 和l上一点P(如图)
作图思路：先在直线l上作出以点P为中点的一条线段AB ，再利用上面学过的基本作图，作线段AB的垂直平分线，那么这条直线就经过点P ，又与直线l 垂直.
作法：
①以点P 为圆心，以任意长为半径作弧，与直线相交于点A和点B；
②作线段AB的垂直平分线CD.
直线CD就是过点P的直线l 的垂线.
P
A
B
C
D
l
(2)点在直线外
求作：过点P 作直线l 的垂线.
已知：直线l 和l 外一点P(如图)
P
作图思路：
先在直线l上作出一条线段AB ，并且使点P到线段AB两端的距离相等，
再利用基本作图“作线段AB的垂直平分线”，那么这条直线经过点P ，又与直线l垂直.
l
P
K
作法：
①任意取一点K，使点K和点P分别在直线l 的两侧；
②以点P为圆心， PK的长为半径作弧，与直线l相交于点A和点B；
③作线段AB的垂直平分线CD.
直线CD就是过点P的直线l 的垂线.
A
B
C
D
l
最短路径问题
A
l
P
依据：垂线段最短
类型一：一个点
(在l上找一点P，使PA最短)
类型二：两点异侧
(在l上找一点P，使PA+ PB最短)
A
l
B
P
依据：两点之间线段最短
点P 即为所求作的点.
点P 即为所求作的点.
类型三：两点同侧(在l上找一点P，使PA+ PB最短)
A
l
B
C
B′
P
依据：两点之间线段最短
点P 即为所求作的点.
A
l
B
将本题抽象为数学语言：
已知点A ，B两点在直线l的同侧，在直线l上求作一点P，使AP+BP的值最小.
例题鉴赏
例1 海伦是古希腊的一位数学家，测量学家.相传，有一天一位将军专程拜访海伦，求教一个令他百思不得其解的问题：“我每天策马往返于两个边防站A与B之间，途中都要到小河l 边让马饮水.怎样走路程最近呢？”你能帮将军解答这个问题吗？说出你的作法，在图中作出最近的路线.
作法：
(1)过点B作直线l 的垂线BC，垂足为C；
(2)在BC上截取点B′，使B，B′分别在l 的两侧，且CB′ = CB；
(3)连接AB′，与直线l交于点P；
点P就是所求作的直线l 使AP+BP的值最小的点
A
l
B
C
B′
P
B
A
C
D
在AC上找一点P，使PB+ PD最短
D′
P
B
A
C
D
在AC上找一点P，使PB+ PD最短
B′
P
类型四：角内两点 (在l1、 l2上找点P、Q，使路径最短)
B
A
l1
l2
A′
B′
P
Q
类型五：角内一点 (在OA上找点E 、 OB上找点F，使△PEF的周长最短)
B
A
O
P
P1
P2
E
F
请你说明作图的道理
理由：因为点B，B′ 关于直线l 对称，根据轴对称的基本性质， l 是BB′ 的垂直平分线，所以PB=PB′ .
如果再在直线l上另取一点P′ ，
连接AP′ , B′ P′ ,
根据三角形的三边关系的性质(或两点之间线段最短)可知：
AP′ + B′ P′ >AB′，
即AP′ + B′ P′ > AP+BP,
所以AP + BP 的值最小，
将军走的路程最近。
A
l
B
C
B′
P
P′
作 业
中午作业：
作业：
《同步练习册》
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