人教版高中数学必修第一册第2章 一元二次函数、方程和不等式 综合检测培优卷（含详细解析）

第2章 一元二次函数、方程和不等式（原卷版）
本卷满分150分，考试时间120分钟。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．若存在x使得有正值，则m的取值范围是
A．或 B．
C． D．
2．，则下列正确的是
A． B．
C． D．
3．若不等式和不等式的解集相同，则的值为
A． B．
C． D．
4．已知，，且，则
A． B．
C． D．
5．已知，，且，则下列结论恒成立的是
A． B．
C． D．
6．已知，若恒成立，则实数m的取值范围是
A． B．
C．或 D．或
7．设正数，满足，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
8．已知关于x的不等式的解集为空集，则实数t的取值范围是
A． B．或
C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|x<-2或x>3}，则下列正确的是
A．a<0
B．关于x的不等式bx+c>0的解集为{x|x<-6}
C．a+b+c>0
D．关于x的不等式cx2-bx+a>0的解集为{x|x<-或x>}
11．已知关于x的不等式的解集为，则
A．的解集为 B．的最大值为
C．的最大值为 D．的最小值为
12．下列说法正确的有
A．的最小值为2
B．已知，则的最小值为
C．若正数x，y为实数，若，则的最大值为3
D．设x，y为实数，若，则的最大值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．设，且，，则的最大值为___________．
14．已知，，，则的最大值为___________．
15．已知，，且，则的取值范围是___________．
16．已知则下列命题正确的个数是___________．
①若，则；
②若，则；
③若，则；
④若，，，，则，．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
解关于x的不等式．
（1）；
（2）.
18．（12分）
（1）若，，求证：；
（2），，，求证：
19．（12分）
若正数a，b满足，求的最大值．
20．（12分）
已知二次函数的二次项系数为a，且不等式的解集为
（1）若方程有两相等的实数根，求的解析式；
（2）若的最大值为正数，求a的取值范围
21．（12分）
对于题目：已知，，且，求最小值．
同学甲的解法：因为，，所以，，从而：
．
所以A的最小值为8．
同学乙的解法：因为，，
所以．
所以A的最小值为．
①请对两位同学的解法正确性作出评价；
②为巩固学习效果，老师布置了另外一道题，请你解决：
已知，，且，求的最小值．
22．（12分）
已知关于x不等式的解集为M．
（1）当M为空集时，求m的取值范围；
（2）在（1）的条件下，求的最小值；
（3）当M不为空集，且时，求实数m的取值范围．
第2章 一元二次函数、方程和不等式（解析版）
本卷满分150分，考试时间120分钟。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．若存在x使得有正值，则m的取值范围是
A．或 B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据二次函数的图象，结合判别式，即可求解．
【解析】是开口向下的抛物线，若存在使，
则，解得或．故选A
2．，则下列正确的是
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据不等式的基本性质，逐项判定，即可求解．
【解析】由，根据不等式的基本性质，可得成立，所以A不正确；
由，只有当时，根据不等式的性质，可得，所以B不正确；
由，因为，可得，但的符号不确定，所以C不正确；
由，
因为，可得且，
所以，即，所以D正确；故选D．
3．若不等式和不等式的解集相同，则的值为
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先解出，得到-2和是的两个根，利用根与系数的关系即可求出ab，可以求出a+b．
【解析】由解得，所以-2和是的两个根，
所以，解得a=-4，b=-9．所以．故选B．
4．已知，，且，则
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】对于选项A：结合已知条件，利用不等式性质即可求解；对于选项BC：首先根据已知条件可得到，然后利用不等式性质即可求解；对于选项D：首先对和平方，然后利用作差法即可求解．
【解析】对于选项A：因为，故，
因为，，所以，从而，故A错误；
对于选项BC：由题意可知，，
因为，所以，
故，即，从而，故B正确，C错误；
对于选项D：因为，
所以，即，故D错误．故选B．
5．已知，，且，则下列结论恒成立的是
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】举反例可判断A，C，D；利用绝对值的性质以及基本不等式可判断B，进而可得正确选项．
【解析】对于A，取，，则不成立，故选项A错误；
对于B，因为与同号，所以，当且仅当时取等号，故选项B正确；
对于C：取，，则不成立，故选项C不正确；
对于D：取，，则，故不成立，故选项D不正确；故选B．
6．已知，若恒成立，则实数m的取值范围是
A． B．
C．或 D．或
【答案】B
【分析】利用基本不等式可得，由条件可知即求．
【解析】因为，
所以，
当且仅当即取等号，由恒成立，
所以，所以．故选B．
7．设正数，满足，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据可求出的最小值为16，问题转化为对任意实数x恒成立，求出的最大值即可求出实数m的取值范围．
【解析】由题意， ，因为正数a，b满足，
（当且仅当b＝3a时取等号）．
所以对任意实数x恒成立，即对任意实数x恒成立，
的最大值为6，所以m≥6，故选D．
8．已知关于x的不等式的解集为空集，则实数t的取值范围是
A． B．或
C． D．
【答案】D
【分析】不等式转化为，对参数分类讨论，结合三个二次的关系可得结果．
【解析】，①当，即．
当时，不等式化为，其解集为空集，因此满足题意；
当时，不等式化为，即，其解集不为空集，因此不满足题意，应舍去；
②当，即时．关于的不等式的解集为空集，
，解得．综上可得的取值范围是．故选．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】ACD
【分析】利用不等式的性质，结合各选项所给的条件判断正误即可．
【解析】由有，若则，即，故A正确，B错误；
C：由，则，故正确；
D：由，又，则，故正确．故选ACD
10．关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|x<-2或x>3}，则下列正确的是（　　）
A．a<0
B．关于x的不等式bx+c>0的解集为{x|x<-6}
C．a+b+c>0
D．关于x的不等式cx2-bx+a>0的解集为{x|x<-或x>}
【答案】ACD
【分析】根据给定的解集可得a<0且b=-a，c=-6a，再代入各个选项即可判断作答．
【解析】因关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|x<-2或x>3}，则a<0，且-2，3是方程ax2+bx+c=0的二根，于是得，解得b=-a，c=-6a，
对于A，因a<0，则A正确；
对于B，不等式bx+c>0化为-ax-6a >0，解得x>-6，B不正确；
对于C，a+b+c=a-a-6a=-6a>0，C正确；
对于D，不等式cx2-bx+a>0化为-6ax2+ax+a>0，即6x2-x-1>0，解得或，D正确．故选ACD
11．已知关于x的不等式的解集为，则
A．的解集为 B．的最大值为
C．的最大值为 D．的最小值为
【答案】ABC
【分析】由题可得，对A，代入解二次不等式即可；对BCD，代入利用基本不等式可求解．
【解析】由题可得是方程的两个根，，
对A，不等式化为，解得，故A正确；
对B，
，当且仅当时等号成立，
故的最大值为，故B正确；
对C，，
当且仅当时等号成立，所以的最大值为，没有最小值，
故C正确，D错误．故选ABC．
12．下列说法正确的有
A．的最小值为2
B．已知，则的最小值为
C．若正数x，y为实数，若，则的最大值为3
D．设x，y为实数，若，则的最大值为
【答案】BD
【分析】对于A选项，当时，，故A选项错误；对于C选项，可以利用基本不等式求出的最小值为3，所以C选项错误；对于BD选项，可以根据已知条件，结合不等式的性质，以及基本不等式的公式，即可求解．
【解析】对于A选项，当时，，故A选项错误，
对于B选项，当时，，
则，
当且仅当时，等号成立，故B选项正确，
对于C选项，若正数、满足，则，
，
当且仅当时，等号成立，故C选项错误，
对于D选项，，
所以，可得，
当且仅当时，等号成立，故的最大值为，D选项正确．故选BD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．设，且，，则的最大值为___________．
【答案】14
【分析】分别得出的范围，进而将由来表示，然后求得答案．
【解析】由题意，，而，
设，
所以，即，
所以．即的最大值为14．故答案为14．
14．已知，，，则的最大值为___________．
【答案】
【分析】将所求式子化简，进而利用基本不等式即可得到答案．
【解析】因为，，，所以，
所以，当且仅当时取“=”，故答案为．
15．已知，，且，则的取值范围是___________．
【答案】
【分析】先将a，b分离，利用基本不等式求得a＋范围，即得－3b范围，解不等式并结合已知条件即得结果．
【解析】由，得．
又，所以a＋≥2(当且仅当a＝1时取等号)，即得，
即得；又，得，所以的取值范围是．故答案为．
16．已知则下列命题正确的个数是___________．
①若，则；
②若，则；
③若，则；
④若，，，，则，．
【答案】3
【分析】根据不等式的性质判断，错误的命题可举反例说明．
【解析】①若，显然，则，正确；
②若，显然，根据不等式的乘方的性质有，
则，正确；
③若，由，则，即，
同理由得，所以，正确；
④若，，，，例如，满足，
但，错误．正确个数为3．故答案为3．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
解关于x的不等式．
（1）；
（2）.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）通过合理的转化，将不等式转化为，解得即可；
（2）将不等式两边平方，转化为，解得即可．
【解析】（1），
即，等价于，解得
所以不等式的解集为
（2）将不等式转化为，整理得
即，解得或
所以不等式的解集为
18．（12分）
（1）若，，求证：；
（2），，，求证：
【答案】（1）证明见解析，（2）证明见解析
【分析】（1）利用作差法证明即可，
（2）利用不等式的性质证明即可
【解析】（1）因为，，
所以，
所以；
（2）因为，所以，
因为，所以，所以，
所以，所以，
因为，所以，即
19．（12分）
若正数a，b满足，求的最大值．
【答案】
【分析】转化为求的最大值，利用基本不等式计算可得．
【解析】
因为，故可以化为．
因为a和b为正数，则，当时取等．
因此，．
故的最大值为．
20．（12分）
已知二次函数的二次项系数为a，且不等式的解集为
（1）若方程有两相等的实数根，求的解析式；
（2）若的最大值为正数，求a的取值范围
【答案】（1）；（2）实数的取值范围是，，．
【分析】（1）设出二次函数的一般式，根据不等式的解即为方程的根，求出，，的关系式，再根据方程有两相等的实根的条件：判别式为0，解出，从而得出函数的解析式；
（2）将函数配方，求出函数的最大值，再解不等式，注意．
【解析】设，则．
已知其解集为，，．
（1）若有两个相等的根， 故，
，解得或（舍去正值），
即；
（2）由以上可知，
，由，
解得，或，
故当的最大值为正数时，实数的取值范围是，，
21．（12分）
对于题目：已知，，且，求最小值．
同学甲的解法：因为，，所以，，从而：
．
所以A的最小值为8．
同学乙的解法：因为，，
所以．
所以A的最小值为．
①请对两位同学的解法正确性作出评价；
②为巩固学习效果，老师布置了另外一道题，请你解决：
已知，，且，求的最小值．
【答案】①甲错误，乙正确；②．
【分析】①说明甲同学多次运用基本不等式时未保证同时取“=”即可；②先将待求式分式通分再运用题中所给等式化简、配凑后运用基本不等式即可．
【解析】①甲错误，乙正确，甲同学连续两次运用基本不等式，取等号的条件为，则，故不能保证可以同时取“=”．
②
当且仅当，即时，取“=”．
22．（12分）
已知关于x不等式的解集为M．
（1）当M为空集时，求m的取值范围；
（2）在（1）的条件下，求的最小值；
（3）当M不为空集，且时，求实数m的取值范围．
【答案】（1）；（2）4；（3）．
【分析】（1）由已知得，解之可求得的取值范围；
（2）由（1）求得，再根据利用基本不等式，可求得的最小值．
（3）根据二次函数的性质建立不等式组，解之可求得实数的取值范围．
【解析】（1）因为为空集，所以．
所以的取值范围为；
（2）由（1）可知，则，
所以，
当且仅当等号成立，所以的最小值为4．
（3）设函数，当不为空集时，
由，得．
所以实数的取值范围．