21.1 一元二次方程同步练习题（含解析）

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人教版九年级数上册 21.1一元二次方程 同步练习题
一、单选题
1．下列方程中，关于的一元二次方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
3．若关于x的方程是一元二次方程，则m的值是（　　）
A． B． C． D．
4．关于的方程是一元二次方程，则的值是（）
A． B． C． D．
5．在一元二次方程中，常数项为（ ）
A．2 B． C．5 D．-5
6．关于的一元二次方程的一次项系数是（ ）
A．1 B．2 C． D．
7．将方程化成一般形式（二次项系数为正）后，它的一次项系数与常数项分别是（　　）
A．3， B．， C．，5 D．3，5
8．已知关于的一元二次方程有一个根是，则方程有一个根是（ ）
A． B． C． D．
9．已知是方程的一个根，则代数式的值应在（ ）
A．4和5之间 B．3和4之间 C．2和3之间 D．1和2之间
10．若是关于x的一元二次方程的解，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．若是一元二次方程，则不等式的解集是 ．
12．关于x的方程是一元二次方程，则 ．
13．关于x的一元二次方程，化为一般形式是 ．
14．关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是 ．
15．关于x的一元二次方程的一个根是1，则常数 ．
三、解答题
16．已知．
(1)化简A；
(2)若a是方程的一个根，求A的值．
17．关于的方程与有且只有一个公共根，求的值．
18．已知m为方程的一个根，求的值．
19．已知a是一元二次方程的根．求代数式的值．
20．先化简，再求值：，其中是方程的根．
21．如图，数轴上有三点A、B、C，点A表示的数，点A向左平移两个单位长度到达点B，向右平移3个单位到达点C．

(1)直接写出点B、C对应的数b、c的值；
(2)计算：的值；
(3)已知m是关于x的一元二次方程的根，求代数式的值为．
22．请阅读下列材料：
问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为，则，所以，把代入已知方程，得；化简，得；故所求方程为．
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”；
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）：
(1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数；
(2)已知关于的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．
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参考答案：
1．C
【分析】根据一元二次方程的定义解答即可．
【详解】解：A.该方程化简后为，是一元一次方程，不符合题意；
B.当时，不是一元二次方程，不符合题意；
C.该方程化简后为，是一元二次方程，符合题意；
D.该方程是分式方程，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程必须满足四个条件：①未知数的最高次数是2，②二次项系数不为0，③是整式方程，④含有一个未知数，熟练掌握一元二次方程必须满足的四个条件，是解题的关键．
2．C
【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程，根据定义判断．
【详解】解：A. 含有分式，不符合定义，故不是一元二次方程；
B. 最高次数是1，不符合定义，故不是一元二次方程；
C. 符合定义，是一元二次方程；
D. 含有两个未知数，不符合定义，故不是一元二次方程；
故选：C．
【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，正确理解定义是解题的关键．
3．C
【分析】根据一元二次方程的定义，即可求解．
【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程，
∴且，
解得：，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程是解题的关键．
4．B
【分析】理解一元二次方程的定义，需要抓住两个条件：①二次项系数不为0；②未知数的最高次数为2；结合一元二次方程的定义，可以得到关于的方程和不等式，求解即可得到的值．
【详解】解：原方程是关于的一元二次方程，
，
解得．
故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
5．B
【分析】直接根据一元二次方程（，，是常数且a≠0）的、、分别是二次项系数、一次项系数、常数项进行求解．
【详解】解：一元二次方程的常数项为：．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的基本定义，掌握常数项的定义是解题的关键．
6．C
【分析】根据一次项的定义先确定一次项，然后确定系数即可．
【详解】解：一元二次方程的一次项为，
系数为，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式及其概念，熟练掌握和运用一元二次方程的一般形式及其概念是解决本题的关键．
7．C
【分析】一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且）．在一般形式中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【详解】解：将方程化成一般形式（二次项系数为正）后为，
∴它的二次项系数是2，一次项系数是，常数项是5．
故选：C．
【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，要确定一次项系数和常数项，首先要把方程化成一般形式．
8．C
【分析】利用一元二次方程的解，可得出，在等式的两边同时除以，可得出，进而可得出方程有一个根是．
【详解】关于的一元二次方程有一个根是，
，
在等式的两边同时除以得：，
方程有一个根是．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，牢记“能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解”是解题的关键．
9．C
【分析】将a代入方程得，然后整体代入得结果，最后根据得范围确定结果的范围即可；
【详解】解：∵是方程的一个根，
∴将a代入方程，得：，
即：，
将上式代入中得：，
∵，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根，判断无理数的范围，整体代入等知识点，整体代入的运用是解题关键．
10．C
【分析】将代入原方程即可求出，然后整体代入所求的代数式进行求值即可．
【详解】解：将代入中，得：，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的概念，本题属于基础题型．
11．且
【分析】首先利用一元二次方程的定义得出的取值，进而解不等式得出答案．
【详解】解：是一元二次方程，
，
不等式，
，
则且．
故答案为：且．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义以及不等式解法，正确得出a的取值范围是解题关键．
12．
【分析】根据一元二次方程的定义解题即可．
【详解】解：由题意得，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是．特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
13．
【分析】根据等式的基本性质和一元二次方程的一般式进行求解即可．
【详解】由原式得，．
故答案为： ．
【点睛】本题考查等式的性质，一元二次方程的基本形式，掌握一元二次方程的一般式是解题的关键．
14．
【分析】根据一元二次方程的定义列不等式式求解即可．
【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程
∴，解得：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的二次项系数不为零是解题的关键．
15．
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把代入求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根是1，
∴把代入方程，
得，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握一元二次方程的解的含义．
16．(1)
(2)1
【分析】（1）利用分式的加减法计算法则进行解答；
（2）把代入已知方程，得到，然后代入化简后的中求值即可．
【详解】（1）解：
；
（2）是方程的一个根，
．
．
．
．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，分式的加减法，分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘．
17．
【分析】根据关于的方程与有且只有一个公共根可知，当取该公共根时，可建立方程组，解方程组可得的值．
【详解】解：设方程的公共根为，
则，
由②得：，
将③代入①得：，即
解得：，
把代入③得：，
∴的值为．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，解二元一次方程组，解题的关键是熟悉方程和方程组之间的转化．
18．
【分析】根据一元二次方程的解的定义得到，则，然后利用降次的方法对原式进行化简即可．
【详解】解：∵m是方程的一个根，
∴，
∴，
∴
．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了代数式的变形求值．
19．6
【分析】先根据平方差公式和单项式乘以多项式的法则计算原式，然后根据方程根的定义可得，再结合化简后的式子整体代入求解即可．
【详解】解：
，
∵a是一元二次方程的根，
∴，即，
∴原式．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义、整式的乘法运算和代数式求值，熟练掌握整式的运算法则、掌握整体代入的方法是解题关键．
20．，
【分析】先根据异分母分式的加减法则，化简分式，再根据是方程的根得到，整体代入进行计算即可得到答案．
【详解】解：
，
是方程的根，
，
，
原式
．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解一元二次方程，熟练掌握异分母分式的加减的运算法则，以及一元二次方程的解法，整体代入法，是解题的关键．
21．(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）根据数轴直接写出b、c的值即可；
（2）将a、b、c的值代入求出结果即可；
（3）把，，代入方程得：，把代入方程，得，求出，把变形，整体代入求出结果即可．
【详解】（1）解：∵点A表示的数，点A向左平移两个单位长度到达点B，向右平移3个单位到达点C，
∴，．
（2）解：
；
（3）解：把，，代入方程得：，
把代入方程，得，
即，
∴，
∴
．
【点睛】本题主要考查了代数式求值，方程解的定义，数轴上点的特点，解题的关键是根据数轴求出，，．
22．(1)
(2)
【分析】（1）设所求方程的根为，则，将代入已知方程，化简即可得到答案；
（2）设所求方程的根为，则，将其代入已知方程，然后化为一般形式即可得到答案．
【详解】（1）解：设所求方程的根为，则，
，
把代入已知方程，
得，
化简得，，
这个一元二次方程为：；
（2）解：设所求方程的根为，则，
，
把代入已知方程，
得，
去分母得，，
若，则，于是方程有一根为0，不符合题意，
，
所求方程为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解答该题的关键是弄清楚“换根法”的具体解题方法．
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