21.2.1 配方法同步练习题（含解析）

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人教版九年级数学上册 21.2.1配方法 同步练习题
一、单选题
1．一元二次方程配方后，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．用配方法解方程，配方后得到的方程是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列配方有错误的是（　　）
A．，化为
B．，化为
C．，化为
D．，化为
4．方程经配方后，可化为（ ）
A． B． C． D．
5．解一元二次方程，用配方法可变形为（ ）
A． B． C． D．
6．将一元二次方程配方后得到的结果是（　　）
A． B．
C． D．
7．代数式的最小值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
8．用配方法解一元二次方程时，原方程可变形为（ ）
A． B． C． D．
9．对于多项式，由于，所以有最小值3．已知关于x的多项式的最大值为10，则m的值为（　　）
A．1 B． C． D．
10．如图，在直角坐标系中，点和点在轴上，点在轴负半轴上，，当线段最长时，点的坐标为（ ）

A． B． C． D．
二、填空题
11．将方程化成的形式，则的值为 ．
12．用配方法解方程时，将方程化为的形式，则 ， ．
13．将方程整理成的形式为 ．
14．用配方法解一元二次方程时，可将原方程配方成，则的值是 ．
15．配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题．定义：若一个整数能表示成（a，b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”．解决问题：已知40是“完美数”，请将它写成（a，b为整数）的形式： ．
三、解答题
16．解下列方程：
(1)
(2)
17．用配方法解方程：．
18．配方法解方程：．
19．若一元二次方程的两根分别为a，b，求的值．
20．解答下列各题：
(1)用配方法解一元二次方程：．
(2)已知一组数据，，，的平均数是5，求数据，，，的平均数．
21．利用完全平方公式，可以将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做配方法．我们已学习了用配方法解一元二次方程，除此之外，利用配方法还能解决二次三项式的最值问题．阅读如下材料，完成下列问题：
材料：对于二次三项式求最值问题，有如下示例：
．因为，所以，所以，当时，原式的最小值为2．
完成问题：
(1)求的最小值；
(2)若实数满足．求的最大值．
22．把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
如：用配方法分解因式：
解：原式
请根据上述材料解决下列问题：
(1)用配方法因式分解：．
(2)若，求M的最小值．
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参考答案：
1．B
【分析】根据一元二次方程的配方法即可求出答案．
【详解】
移项，得，
方程两边同时加上4，得，
配方得，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的配方法，熟练掌握配方的步骤是解题的关键．
2．A
【分析】先移项，再配方，即可得出选项；
【详解】解：，，
配方得：，
，
故选A．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，能正确的配方是解答该题的关键．
3．D
【分析】根据配方法的一般步骤对各选项进行判断．
【详解】解：A、由可化为，所以A选项的计算正确，不合题意；
B、由可化为，所以B选项的计算正确，不合题意；
C、先化为，则可化为，所以C选项的计算正确，不合题意；
D、先化为，则可化为，所以D选项的计算错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
4．A
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．
【详解】解：，
移项，得，
配方，得，
即，
故选A．
【点睛】此题考查配方法解一元二次方程，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
5．A
【分析】移项后两边配上一次项系数一半的平方即可得．
【详解】∵，
∴，
，
，
故选：A．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
6．A
【分析】所给方程的二次项系数就是1，将常数项移到等号右边，再给等号两边同时加上一次项系数一半的平方，结合完全平方公式即可解答．
【详解】解：移项得：
配方得：
由完全平方公式得：
即：
故选：A．
【点睛】此题主要考查用配方法解一元二次方程的知识，关键是掌握配方法的步骤．
7．C
【分析】利用配方法对代数式做适当变形即可解答．
【详解】解：
∵
∴
即代数式
故选：C．
【点睛】本题考查了完全平方公式、不等式等知识点，掌握运用配方法求最值是解题的关键．
8．B
【分析】根据，配方得，然后作答即可．
【详解】解：，配方得，
故选：B．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程．解题的关键在于熟练掌握配方法解一元二次方程．
9．B
【分析】原式配方后，利用非负数的性质确定出m的值即可．
【详解】解：
，
∵，
∴，
∴，
∴的最大值为，
∴，
∴
故选：B．
【点睛】本题主要考查了配方法的应用，正确将原式配方是解题的关键．
10．D
【分析】根据A、B点的坐标，表示出的长，再根据配方法确定出的最小值；然后再根据三角形的面积可得的最大值，再根据点M在x轴负半轴解答．
【详解】解：∵点和点，
∴，
∴的最小值为1，此时最长，
∴，
解得．
又∵点M在x轴负半轴，
∴点M的坐标为．
故选：D．
【点睛】本题考查配方法的应用，解题的关键是根据三角形的面积判断出最小时，最长．
11．5
【分析】利用解一元二次方程配方法，进行计算即可解答．
【详解】解：，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴
故答案为：5．
【点睛】本题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握配方法是解题的关键．
12．
【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边都加上1，然后把方程作边写成完全平方形式，从而得到m、n的值．
【详解】解：，
移项得：，
配方得：，即，
∴，
∴，
故答案为：1，5．
【点睛】本题考查解一元二次方程—配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
13．
【分析】先移项得到，再把方程两边加上9，然后利用完全平方公式即可得到．
【详解】解：方程，
移项：，
配方得：，
即：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解一元二次方程——配方法，注意方程两边同时加上一次项系数一半的平方．
14．13
【分析】因为配方成的方程和原方程是等价的，故只要把两个方程展开合并，根据方程的每项系数相等列式求解即可求出的值．
【详解】解：∵
∴，即
由题意可得，，
∴．
故答案为：13．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，等价方程的对应项及其系数相同，正确理解题意是解题的关键．
15．
【分析】根据题中的新定义确定出所求即可．
【详解】∵，
∴是“完美数”，
故答案为：．
【点睛】本题考查了配方法的应用，弄清题中的新定义是解本题的关键．
16．(1)；
(2)，．
【分析】（1）方程两边同乘，把分式方程化为整式方程，即可求解；
（2）利用完全平方公式，进行配方，解方程即可得．
【详解】（1）解：方程两边同乘，得，
移项合并得，
解得，
经检验，是原分式方程的解，
故；
（2）解：配方，得，即．
开平方，得．
所以原方程的根为，．
【点睛】本题考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握分式方程的运算法则，并注意要进行检验．也考查了用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．
17．，
【分析】将一元二次方程整理成一般形式，再将常数项移到一元二次方程的右边，然后两边加上一次项系数一半的平方，最后按直接开平方法即可求解．
【详解】解：整理，得
移项，得
配方，得
开平方，得
∴，
【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程，解题的关键是把方程左边转化为完全平方式，右边变为常数项．
18．，
【分析】方程移项变形后，利用完全平方公式化简，开方即可求出解．
【详解】解：，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，．
【点睛】此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握配方法的依据：完全平方公式是解本题的关键．
19．31或
【分析】根据一元二次方程的解法求出a与b的值，然后代入原式即可求出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴或；
当，时，
∴原式，
当，时，
∴原式，
即的值为31或．
【点睛】本题主要考查一元二次方程求解，熟练掌握一元二次方程的几种解法是解题关键．
20．(1)，
(2)，，，的平均数是20
【分析】（1）先将常数移项到右边，再根据配方法求解即可；
（2）先根据平均数的定义求得，从而即可得解．
【详解】（1）解：，
，
，
，
∴，
∴，．
（2）解：∵数据，，，的平均数是5，
∴，
∴数据，，，的平均数为
．
【点睛】本题主要考查了配方法解一元二次方程及求算术平均数，熟练掌握算术平均数公式和配方法是解题的关键．
21．(1)的最小值是
(2)最大值是
【分析】（1）根据题意计算得，根据得，即可得；
（2）将代入得，根据即可得．
【详解】（1）解：，
∵，
∴，
∴的最小值是；
（2）解：将代入得：
∵
∴最大值是．
【点睛】本题考查了配方法，解题的关键是理解题意，掌握多配方法．
22．(1)
(2)
【分析】（1）仿照题意进行分解因式即可；
（2）利用配方法推出，再由偶次方的非负性求出，由此即可得到答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
，
∵，
∴，
∴，
∴M的最小值为．
【点睛】本题主要考查了配方法的应用，熟练掌握配方法是解题的关键．
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