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专题21.2.2 一元二次方程的解法：公式法
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．用公式法解方程x2﹣4x﹣11＝0时，Δ＝（ ）
A．﹣43 B．﹣28 C．45 D．60
【答案】D
【解析】x2﹣4x﹣11＝0，
∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣11，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣11）＝60．
故选D．
2．用公式法解一元二次方程3 x2﹣4x＝8时，化方程为一般式，当中的a，b，c依次为（ ）
A．3，﹣4，8 B．3，﹣4，﹣8 C．3，4，﹣8 D．3，4，8
【答案】B
【解析】：∵3 x2﹣4x＝8，
∴3 x2﹣4x﹣8＝0，
则a＝3，b＝﹣4，c＝﹣8，
故选B．
3．一元二次方程的根的情况为（ ）
A．无实数根 B．一个实数根
C．两个相等的实数根 D．两个不相等的实数根
【答案】C
【解析】，
方程有两个相等的实数根．
故选C．
4．方程x（x﹣1）＝2的两根为（ ）
A．x1＝0，x2＝1 B．x1＝0，x2＝﹣1 C．x1＝1，x2＝2 D．x1＝﹣1，x2＝2
【答案】D
【解析】方程移项并化简得x2﹣x﹣2＝0，
a＝1，b＝﹣1，c＝﹣2
△＝1+8＝9＞0
∴x
解得x1＝﹣1，x2＝2．故选D．
5．关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B．且 C．且 D．
【答案】C
【解析】由题意得：，
解得：且，
故选C．
6．下列方程中，以x为根的是（ ）
A．x2﹣5x﹣c＝0 B．x2+5x﹣c＝0 C．x2﹣5x+4c＝0 D．x2+5x+c＝0
【答案】B
【解析】解：A．此方程的根为x，不符合题意；
B．此方程的根为x，符合题意；
C．此方程的根为x，不符合题意；
D．此方程的根为x，不符合题意；
故选B．
7．王林准备解一元二次方程时，发现常数项被污染，若该方程有实数根，则处的数可能是（ ）
A．2 B．3 C．5 D．7
【答案】A
【解析】由题意知，，解得，
∴处的数可能是2，
故选A．
8．已知α是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0较大的根，则下列对α值估计正确的是（ ）
A．2＜α＜3 B．1.5＜α＜2 C．1＜α＜1.5 D．0＜α＜1
【答案】B
【解析】解方程x2﹣x﹣1＝0得：x1，x2，
即a，
∵23，
∴3＜14，
∴2，
即1.5＜a＜2，
故选B．
9．用公式法解一个一元二次方程的根为x，则此方程的二项式系数，一次项系数，常数项分别为（ ）
A．3，5，﹣1 B．﹣3，﹣5，1 C．3，﹣5，1 D．﹣3，5，﹣1
【答案】A
【解析】∵用公式法解一个一元二次方程的根为，
根据一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式，可得a＝3，b＝5，c＝﹣1，
∴此方程的二项式系数，一次项系数，常数项分别为3，5，﹣1；
故选A．
10．定义新运算“a*b”对于任意实数a，b，都有a*b＝（a+b）（a﹣b）﹣1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如：4*3＝（4+3）×（4﹣3）﹣1＝7﹣1＝6．若x*k＝x（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（ ）
A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
【答案】C
【解析】：∵x*k＝x（k为实数）是关于x的方程，
∴（x+k）（x﹣k）﹣1＝x，
整理得x2﹣x﹣k2﹣1＝0，
∵△＝（﹣1）2﹣4（﹣k2﹣1）
＝4k2+5＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选C．
11．若一元二次方程x2+bx+4＝0的两个实数根中较小的一个根是m（m≠0），则b（ ）
A．m B．﹣m C．2m D．﹣2m
【答案】D
【解析】∵x2+bx+4＝0的两个实数根中较小的一个根是m，
∴m，
解得：b2m，
故选D．
二、填空题
12．一元二次方程x2﹣2x+1＝0根的判别式的值为 ．
【答案】0
【解析】∵a＝1，b＝﹣2，c＝1，
∴△＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0．
故答案为0．
13．一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的根是 ．
【答案】x1，x2
【解析】△＝（﹣1）2﹣4×（﹣1）＝5，
x，
所以x1，x2．
故答案为x1，x2．
14．若关于x的一元二次方程没有实数根，则c的取值范围是______．
【答案】
【解析】 关于x的一元二次方程没有实数根，
∴关于x的一元二次方程没有实数根，
，
，解得：.
故答案为：.
15．下面是小明同学解方程x2﹣5x＝﹣4的过程：
∵a＝1，b＝﹣5，c＝﹣4（第一步），
∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣4）＝41（第二步）．
∴x，（第三步）．
∴x1，x2（第四步）．
小明是从第 步开始出错．
【答案】一
【解析】原方程化为：x2﹣5x+4＝0，
∴a＝1，b＝﹣5，c＝4．
故答案为：一．
16．若关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有两个相等的实数根，则k的值为 ．
【答案】﹣1
【解析】∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有两个相等的实数根，
∴△＝b2﹣4ac＝4+4k＝0，
解得k＝﹣1，
故答案为﹣1．
17．定义比如，4 2＝2，1 5＝1．若实数k满足k[x2 （x+1）]﹣1＝0，并且这个关于x的方程有两个不相等的实数解，则k的取值范围是 ．
【答案】k≥1
【解析】（1）当x2﹣（x+1）≤1时，方程变为kx2﹣1＝0．
∵方程变为kx2﹣1＝0有两个不等实数根，
∴△＞0，即△＝4k＞0，k＞0．
∴方程的解为x＝±．
又∵x2﹣（x﹣1）≤1，
∴﹣1≤x≤2，
∴﹣12，解出k≥1．
（2）当x2﹣（x+1）＞1时，方程变为k（x+1）﹣1＝0．
因为k≠0时，此方程是一元一次方程方程，不可能有两个不等实数根，k＝0时，方程不存在，所以这种情况舍去．
故答案为：k≥1．
三、解答题
18．已知关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣1＝0．
（1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若x＝2是该方程的一个根，求代数式﹣3m2+12m+2021的值．
【解析】（1）证明：Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣1）＝4＞0，
所以对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：将x＝2代入原方程中，得4﹣4m+m2﹣1＝0，
即m2﹣4m＝﹣3，
∴﹣3m2+12m+2021＝﹣3（m2﹣4m）+2021＝﹣3×（﹣3）+2021＝2030．
19．解方程：（公式法）
【解析】解：∵，
∴，
∴，
即．
20．用公式法解下列方程：
（1）2x2﹣3x﹣4＝0；
（2）16x2+8x＝3；
（3）x2+5＝3（x+2）．
【解析】（1）2x2﹣3x﹣4＝0；
解：∵a＝2，b＝﹣3，c＝﹣4，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣4）＝41．
∴x，
∴x1，x2．
（2）16x2+8x＝3；
解：将原方程化为一般形式，得16x2+8x﹣3＝0，
∵Δ＝b2﹣4ac＝82﹣4×16×（﹣3）＝256，
∴x．
∴x1，x2．
（3）x2+5＝3（x+2）．
解：将方程整理为一般形式，得x2﹣3x﹣1＝0，
∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）＝13．
∴x．
∴x1，x2．
21．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝2有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）当m＝1时，求方程x2﹣2x+m＝2的解．
【解析】（1）由题意可得，△＝（﹣2）2﹣4（m﹣2）＝12﹣4m，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴△＝12﹣4m＞0．
解得m＜3；
（2）当m＝1时，原方程为x2﹣2x﹣1＝0，
（x﹣1）2＝2，
解得x1＝1，x2＝1．
22．设一元二次方程x2+bx+c＝0．在下面的四组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．
①b＝2，c＝1；②b＝3，c＝1；③b＝3，c＝﹣1；④b＝2，c＝2．
注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．
【解析】解：∵使这个方程有两个不相等的实数根，
∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4c，
∴②③均可，
选②解方程，则这个方程为：x2+3x+1＝0，
∴x，
∴x1，x2；
选③解方程，则这个方程为：x2+3x﹣1＝0，
∴x1，x2．
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专题21.2.2 一元二次方程的解法：公式法
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．用公式法解方程x2﹣4x﹣11＝0时，Δ＝（ ）
A．﹣43 B．﹣28 C．45 D．60
2．用公式法解一元二次方程3 x2﹣4x＝8时，化方程为一般式，当中的a，b，c依次为（ ）
A．3，﹣4，8 B．3，﹣4，﹣8 C．3，4，﹣8 D．3，4，8
3．一元二次方程的根的情况为（ ）
A．无实数根 B．一个实数根
C．两个相等的实数根 D．两个不相等的实数根
4．方程x（x﹣1）＝2的两根为（ ）
A．x1＝0，x2＝1 B．x1＝0，x2＝﹣1 C．x1＝1，x2＝2 D．x1＝﹣1，x2＝2
5．关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B．且 C．且 D．
6．下列方程中，以x为根的是（ ）
A．x2﹣5x﹣c＝0 B．x2+5x﹣c＝0 C．x2﹣5x+4c＝0 D．x2+5x+c＝0
7．王林准备解一元二次方程时，发现常数项被污染，若该方程有实数根，则处的数可能是（ ）
A．2 B．3 C．5 D．7
8．已知α是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0较大的根，则下列对α值估计正确的是（ ）
A．2＜α＜3 B．1.5＜α＜2 C．1＜α＜1.5 D．0＜α＜1
9．用公式法解一个一元二次方程的根为x，则此方程的二项式系数，一次项系数，常数项分别为（ ）
A．3，5，﹣1 B．﹣3，﹣5，1 C．3，﹣5，1 D．﹣3，5，﹣1
10．定义新运算“a*b”对于任意实数a，b，都有a*b＝（a+b）（a﹣b）﹣1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如：4*3＝（4+3）×（4﹣3）﹣1＝7﹣1＝6．若x*k＝x（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（ ）
A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
11．若一元二次方程x2+bx+4＝0的两个实数根中较小的一个根是m（m≠0），则b（ ）
A．m B．﹣m C．2m D．﹣2m
二、填空题
12．一元二次方程x2﹣2x+1＝0根的判别式的值为 ．
13．一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的根是 ．
14．若关于x的一元二次方程没有实数根，则c的取值范围是______．
15．下面是小明同学解方程x2﹣5x＝﹣4的过程：
∵a＝1，b＝﹣5，c＝﹣4（第一步），
∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣4）＝41（第二步）．
∴x，（第三步）．
∴x1，x2（第四步）．
小明是从第 步开始出错．
16．若关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有两个相等的实数根，则k的值为 ．
17．定义比如，4 2＝2，1 5＝1．若实数k满足k[x2 （x+1）]﹣1＝0，并且这个关于x的方程有两个不相等的实数解，则k的取值范围是 ．
三、解答题
18．已知关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣1＝0．
（1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若x＝2是该方程的一个根，求代数式﹣3m2+12m+2021的值．
19．解方程：（公式法）
20．用公式法解下列方程：
（1）2x2﹣3x﹣4＝0；
（2）16x2+8x＝3；
（3）x2+5＝3（x+2）．
21．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝2有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）当m＝1时，求方程x2﹣2x+m＝2的解．
22．设一元二次方程x2+bx+c＝0．在下面的四组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．
①b＝2，c＝1；②b＝3，c＝1；③b＝3，c＝﹣1；④b＝2，c＝2．
注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．
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