人教版高中数学必修第一册第3章函数的概念与性质 综合检测拔尖卷(含详细解析)

第3章 函数的概念与性质（原卷版）
本卷满分150分，考试时间120分钟。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知函数的定义域为，则函数的定义域为
A． B．
C． D．
2．若方程在区间有解，则函数图象可能是
A． B．
C． D．
3．如果函数满足对任意，都有成立，那么实数的取值范围是
A． B．
C． D．
4．下列说法正确的是
A．幂函数始终经过点和
B．若函数，则对于任意的，都有
C．若函数图象经过点，则其解析式为
D．若函数，则函数是偶函数且在上单调递增
5．设，若是的最小值，则的取值范围是
A． B．
C． D．
6．若函数为奇函数，且在内是增函数，又，则的解集为
A． B．
C． D．
7．已知某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），第t天的旅游人数（万人）近似地满足，而人均消费（元）近似地满足．则求该城市旅游日收益的最小值是
A．480 B．120
C．441 D．141
8．已知函数的定义域为，对任意，有，且，若对任意恒成立，则的取值范围为
A． B．
C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．如图是函数的图象，则函数在下列区间单调递增的是
A． B．
C． D．
10．已知函数，，则下列结论正确的是
A． B．
C．在上单调递增 D．的值域为
11．函数s=f（t）的图象如图所示（图象与t正半轴无限接近，但永远不相交），则下列说法正确的是
A．函数s=f（t）的定义城为[-3，+∞）
B．函数s=f（t）的值域为（0，5]
C．当s∈[1，2]时，有两个不同的t值与之对应
D．当时，
12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为对于实数x，符号表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如，，定义函数，则下列命题中正确的是
A．函数的最大值为1；
B．函数的最小值为0
C．函数的图象与直线有无数个交点
D．函数是增函数
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知偶函数在上单调递减，若，则实数的取值范围为___________．
14．已知幂函数的图象关于原点对称，则满足成立的实数a的取值范围为___________．
15．已知函数，若对于任意给定的不等实数，，不等式恒成立，则实数的取值范围是___________．
16．已知定义在R上的单调函数，其值域也是R，并且对任意，都有，则等于___________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
画出函数（）的图象，并根据图象回答下列问题：
（1）当时，比较与的大小；
（2）是否存在，使得？
18．（12分）
已知函数，.
（1）判断并用定义证明的单调性；
（2）求的值域．
19．（12分）
已知幂函数为偶函数．
（1）求的解析式；
（2）若函数在区间上的最大值为，求实数的值．
20．（12分）
已知函数是定义在上的奇函数，且当时，．
（1）求函数的解析式；
（2）函数，当时，求函数的最小值．
21．（12分）
已知函数的定义域为，且对任意的，都有成立．若当时，．
（1）试判断的奇偶性；
（2）试判断的单调性；
（3）解不等式．
22．（12分）
已知二次函数．
（1）设，，函数在的最大值是，求函数；
（2）若（为实数），对于任意，总存在使得成立，求实数的取值范围．
第3章 函数的概念与性质（解析版）
本卷满分150分，考试时间120分钟。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知函数的定义域为，则函数的定义域为
A． B．
C． D．
【试题来源】四川省峨眉第二中学校2021-2022学年高一上学期10月月考
【答案】C
【分析】由题可得，即求．
【解析】由的定义域为，可知，
，即，的定义域为．故选C．
2．若方程在区间有解，则函数图象可能是
A． B．
C． D．
【试题来源】宁夏海原第一中学2022届高三上学期第一次月考（理）
【答案】D
【分析】由题意可得在区间上，能够成立，结合所给的选项，得出结论
【解析】方程在区间上有解，在区间上，能够成立，
结合所给的选项，只有D选项符合．故选D．
3．如果函数满足对任意，都有成立，那么实数的取值范围是
A． B．
C． D．
【试题来源】河南省焦作市普通高中2021-2022学年高一上学期期中考试
【答案】D
【分析】根据对任意，都有成立可判断是上的减函数，列出不等式求解．
【解析】对任意，都有成立，是上的减函数，
，解得，实数的取值范围是．故选D
4．下列说法正确的是
A．幂函数始终经过点和
B．若函数，则对于任意的，都有
C．若函数图象经过点，则其解析式为
D．若函数，则函数是偶函数且在上单调递增
【试题来源】河南省新郑市2021-2022学年高一上学期第一次阶段性检测
【答案】C
【分析】利用幂函数的图象和性质判断．
【解析】当时，幂函数始终经过点和；
当时，例如：在处没有定义，故错误；
任意的，，要证，即，
即，当时，不满足上式，故不正确；
函数图象经过点，所以，所以，解析式为，故正确；
因为函数，其中，
所以函数是偶函数且在上单调递减，故不正确．故选．
5．设，若是的最小值，则的取值范围是
A． B．
C． D．
【试题来源】天津市杨村第一中学等七校2020-2021学年高一上学期期中联考
【答案】D
【分析】当a<0时，显然f(0)不是f(x)的最小值，当a≥0时，解不等式： 即可求解．
【解析】当a<0时，显然f(0)不是f (x)的最小值，
当a≥0时，f (0)=a2，由题意得恒成立，
而时，，当且仅当时等号成立，
所以只需，解得，又a≥0，所以．故选D．
6．若函数为奇函数，且在内是增函数，又，则的解集为
A． B．
C． D．
【试题来源】天津市杨村第一中学等七校2020-2021学年高一上学期期中联考
【答案】C
【分析】根据为奇函数可把化为，分类讨论后可得不等式的解集．
【解析】因为为奇函数，所以，所以即．
当时，等价于也即是，
因为在内是增函数，故可得．
因为在内是增函数且为奇函数，
故在内是增函数，又．
当时，等价于也即是，故可得．
综上，的解集为．故选C．
7．已知某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），第t天的旅游人数（万人）近似地满足，而人均消费（元）近似地满足．则求该城市旅游日收益的最小值是
A．480 B．120
C．441 D．141
【试题来源】2021-2022高一上学期数学新教材配套提升训练（人教A版2019必修第一册）
【答案】C
【分析】分别考虑当的情况，利用旅游人数乘以人均消费计算出旅游日收益：当时，利用基本不等式求解出旅游日收益的最小值，当时，直接根据函数的单调性分析出旅游日收益的最小值，由此求得最终结果．
【解析】记旅游日收益为，
当时，，，
所以，所以
所以，取等号时；
当时，，，
所以，显然在上单调递减，
所以，
由上可知旅游日收益的最小值为万元，故选C．
【名师点睛】本题属于分段函数的实际应用问题，解答本题的关键在于对的合理分类，并通过函数的单调性以及基本不等式等方法完成函数最值的分析；解答函数的实际应用问题时，一定要注意分析定义域．
8．已知函数的定义域为，对任意，有，且，若对任意恒成立，则的取值范围为
A． B．
C． D．
【试题来源】河南省平顶山市2021-2022学年高三上学期阶段性检测（文）
【答案】C
【分析】由已知不等式确定新函数是增函数，利用单调性把不等式进行化简，转化为关于的一次不等式恒成立，利用一次函数性质得不等关系，从而得结论．
【解析】因为，因此由得，
即，所以函数是上的增函数，
不等式化为，
即，所以对恒成立，
对恒成立，所以，
解得或．故选C.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．如图是函数的图象，则函数在下列区间单调递增的是
A． B．
C． D．
【试题来源】广西桂林市第十八中学2021-2022学年高一上学期开学考试
【答案】AC
【分析】本题可结合函数图象得出结果．
【解析】结合图象易知，函数在区间、、上单调递增，故选AC．
10．已知函数，，则下列结论正确的是
A． B．
C．在上单调递增 D．的值域为
【试题来源】重庆市西南大学附属中学校2021-2022学年高一上学期第二次定时训练
【答案】CD
【分析】根据分段函数和函数周期性的相关知识，对每个选项逐一分析即可．
【解析】对于A选项，，故错误；
对于B选项，，故错误；
对于C选项，由=可知是周期为1的周期函数，
判断在上的单调性可转化为在上的单调性即可，
当时，单调递增，故正确；
对于D选项，当时，，
当时，时，，
因为当时，=，它是周期为1的周期函数，所以当时，，
综上可得的值域为，故正确．故选CD．
11．函数s=f（t）的图象如图所示（图象与t正半轴无限接近，但永远不相交），则下列说法正确的是
A．函数s=f（t）的定义城为[-3，+∞）
B．函数s=f（t）的值域为（0，5]
C．当s∈[1，2]时，有两个不同的t值与之对应
D．当时，
【试题来源】广东省佛山市南海区桂城中学2021-2022学年高一上学期第一次月考
【答案】BD
【分析】由函数的定义域值域与单调性结合图象逐一判断即可求解
【解析】对于A：由图象可知函数s=f（t）在没有图象，故定义城不是[-3，+∞），故A错误； 对于B：由图象可知函数s=f（t）的值域为（0，5]，故B正确；
对于C：由图象可知，当时，有3个不同的t值与之对应，故C错误；
对于D：由图象可知函数s=f（t）在上单调递增，
又当时，，则在上单调递增，
故D正确；故选BD.
12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为对于实数x，符号表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如，，定义函数，则下列命题中正确的是
A．函数的最大值为1；
B．函数的最小值为0
C．函数的图象与直线有无数个交点
D．函数是增函数
【试题来源】山东省济宁市育才中学2021-2022学年高一上学期10月月考
【答案】BC
【分析】由题意求出函数的解析式，即可求解．
【解析】由题意，
对于A：函数，故A错误；对于B：函数的最小值为0，故B正确；
对于C：函数的图象与直线有无数个交点，故C正确；
对于D：函数不是上的增函数，故D错误；故选BC.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知偶函数在上单调递减，若，则实数的取值范围为___________．
【试题来源】吉林省吉林市2021-2022学年高三上学期第一次调研测试（理）
【答案】
【分析】利用函数为偶函数，可得，在上单调递减，可得，求解即可
【解析】由题意，函数为偶函数，故，
又在上单调递减，，故，
，故答案为.
14．已知幂函数的图象关于原点对称，则满足成立的实数a的取值范围为___________．
【试题来源】江西省新余市重点高中2022届高三上学期第二次月考 （理）
【答案】
【分析】利用幂函数的定义及性质求出m值，再解一元二次不等式即可得解．
【解析】因函数是幂函数，则，解得或，
当时，是偶函数，其图象关于y轴对称，与已知的图象关于原点对称矛盾，当时，是奇函数，其图象关于原点对称，于是得，
不等式化为，即，解得，
所以实数a的取值范围为．故答案为
15．已知函数，若对于任意给定的不等实数，，不等式恒成立，则实数的取值范围是___________．
【试题来源】天津市杨村第一中学等七校2020-2021学年高一上学期期中联考
【答案】
【分析】依题意可得函数在定义域上单调递增，则函数在各段均单调递增且在断点处函数值需满足不等关系，即可得到不等式组，解得即可；
【解析】因为对于任意给定的不等实数，，不等式恒成立，所以在定义域上单调递增，又，所以，
解得，即；故答案为
16．已知定义在R上的单调函数，其值域也是R，并且对任意，都有，则等于___________．
【试题来源】黑龙江省漠河市高级中学2021-2022学年高一上学期第一次月考
【答案】2021
【解析】因对任意，都有，则取，有，取，有，
于是得，又函数在R上的单调，则，
因函数的值域也是R，令，则有，
因此，，即，则有，
所以．故答案为2021
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
画出函数（）的图象，并根据图象回答下列问题：
（1）当时，比较与的大小；
（2）是否存在，使得？
【答案】（1）＜；（2）不存在．
【分析】（1）根据图象得到函数的单调性，即得解；
（2）根据函数的最小值判断得解．
【解析】（1）函数的图象如图所示，
当时，由于函数单调递增，所以＜；
（2）由图得当时，函数取到最小值，
所以不存在，使得．
18．（12分）
已知函数，.
（1）判断并用定义证明的单调性；
（2）求的值域．
【试题来源】湖北省武汉市第三中学2021-2022学年高一上学期10月月考
【答案】（1）增函数，证明见解析；（2）．
【分析】（1）定义法证明函数单调性步骤：取点、作差、判号；（2）结合第一问求得的函数的单调性求解函数的值域．
【解析】（1）为增函数，证明如下：
，，
，
因为，，，
可得，所以在上为增函数．
（2）由第一问可知该函数在上为增函数，
则当，有最小值，当，有最大值．
因为，，所以函数值域为．
19．（12分）
已知幂函数为偶函数．
（1）求的解析式；
（2）若函数在区间上的最大值为，求实数的值．
【试题来源】河南省焦作市普通高中2021-2022学年高一上学期期中考试
【答案】（1）的解析式为；（2）实数的值为2．
【分析】（1）由幂函数可知，在结合幂函数为偶函数进行取舍；
（2）根据二次函数的性质判断出函数在上的最大值为，代入求参数即可．
【解析】（1）由幂函数可知，解得或
当时，，函数为偶函数，符合题意；
当时，，不符合题意；
故求的解析式为；
（2）由（1）得，
函数的对称轴为，开口朝上，，，
由题意得在区间上，解得，
所以实数的值为2．
20．（12分）
已知函数是定义在上的奇函数，且当时，．
（1）求函数的解析式；
（2）函数，当时，求函数的最小值．
【试题来源】天津市杨村第一中学等七校2020-2021学年高一上学期期中联考
【答案】（1）；（2）答案不唯一，具体见解析．
【分析】（1）根据函数的奇偶性来求得的解析式．
（2）先求得的解析式，对进行分类讨论，由此求得的最小值．
【解析】（1）函数是定义在R上的奇函数，
当时，此时，，
又当时，，
，
，函数的解析式为．
（2）函数，
二次函数对称轴为，
当时，即时，，
当时，即时，，
当时，即时，，
综上，当时，，当时，，当时，．
21．（12分）
已知函数的定义域为，且对任意的，都有成立．若当时，．
（1）试判断的奇偶性；
（2）试判断的单调性；
（3）解不等式．
【试题来源】河南省南阳市六校2021-2022学年高一上学期第一次联考
【答案】（1）奇函数；（2）在上为减函数；（3）．
【分析】（1）用赋值法先求出，再令，即可得证；（2）对已知等式赋值，令，结合函数单调性定义，即可证明结论；（3）利用单调性和奇偶性，转化为自变量的不等量关系，即可解出不等式．
【解析】（1）函数的定义域为，定义域关于原点对称．
令，则，
令，则，，是奇函数
（2）任取，且，由题意得，，
，
，又，在上为减函数．
（3）由（2）得，，即，解得，．不等式的解集为．
22．（12分）
已知二次函数．
（1）设，，函数在的最大值是，求函数；
（2）若（为实数），对于任意，总存在使得成立，求实数的取值范围．
【试题来源】陕西省安康中学2021-2022学年高一上学期第一次月考
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）求出，进而讨论t=0和t>0两种情况求出函数的最大值，然后求出；
（2）求出两个函数的值域，根据题意可以得到两个函数值域之间的包含关系，进而求出k的范围．
【解析】（1），
①t=0时，在上单调递减，所以；
②t>0时，函数对称轴为，
若，则，
若，则．
综上：
（2）在上单调递增，则，
由（1），则．
因为对于任意，总存在使得成立，所以．