人教版高中数学必修第一册第3章函数的概念与性质 综合检测基础卷(含详细解析)

第3章 函数的概念与性质（原卷版）
本卷满分150分，考试时间120分钟。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．函数的定义域是
A． B．
C． D．
2．下列函数为幂函数的是
A． B．
C． D．
3．已知函数则等于
A．4 B．
C． D．2
4．图中的文物叫做“垂鳞纹圆壶”，是甘肃礼县出土的先秦时期的青铜器皿，其身流线自若、纹理分明，展现了古代中国精湛的制造技术．科研人员为了测量其容积，以恒定的流速向其内注水，恰好用时秒注满，设注水过程中，壶中水面高度为，注水时间为，则下面选项中最符合关于的函数图象的是
A． B．
C． D．
5．已知幂函数的图象经过点，且，则的取值范围为
A． B．
C． D．
6．已知函数，则的最小值是
A． B．2
C．1 D．0
7．如图，一个“心形”由两个函数的图象构成，则“心形”上部分的函数解析式可能为
A． B．
C． D．
8．已知不等式在上恒成立，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知函数为幂函数，则该函数为
A．奇函数 B．偶函数
C．区间上的增函数 D．区间上的减函数
10．下列函数相等的是
A．函数与函数 B．函数与函数
C．函数与函数 D．函数与函数
11．已知函数，则函数具有下列性质
A．函数的图象关于点对称 B．函数在定义域内是减函数
C．函数的图象关于直线对称 D．函数的值域为
12．已知函数，其中表示不大于的最大整数，下列关于的性质，正确的是
A．在上是增函数 B．是偶函数
C．的值域为 D．是奇函数
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若函数的定义域为，则的定义域为_________．
14．函数的单调递减区间为_________．
15．已知奇函数的定义域为，若，，则_________．
16．函数，若，则实数的范围是_________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
己知函数
（1）画出该函数图象：
（2）若，求实数的值．
18．（12分）
已知幂函数是偶函数，且在上单调递增．
（1）求函数的解析式；
（2）解不等式．
19．（12分）
若对一切实数，，都有．
（1）求；
（2）判断的奇偶性，并证明你的结论；
（3）若，求．
20．（12分）
已知函数是定义在上的增函数，对一切正数上都有成立，且．
（1）求和的值；
（2）若，求的取值范围．
21．（12分）
设函数；
（1）若，判断函数的奇偶性；
（2）若，且，求实数的取值范围．
22．（12分）
已知函数．
（1）若函数的最小值为0，求实数m的值．
（2）若当时，y随x的增大而减小，求实数m的取值范围．
（3）是否存在实数m，使得当时，y的取值范围是？若存在，求出实数m的值；若不存在，说明理由．
第3章 函数的概念与性质（解析版）
本卷满分150分，考试时间120分钟。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．函数的定义域是
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据解析式有意义可得关于的不等式组，其解集为函数的定义域．
【解析】由解析式有意义可得，故，故函数的定义域为，故选D．
2．下列函数为幂函数的是
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据幂函数的定义逐项分析即可求解．
【解析】幂函数是形如的函数，故ABC不符合，D符合，故选D
3．已知函数则等于
A．4 B．
C． D．2
【答案】D
【分析】根据分段函数的定义域，先求得，再求即可．
【解析】因为函数所以，
所以，故选D.
4．图中的文物叫做“垂鳞纹圆壶”，是甘肃礼县出土的先秦时期的青铜器皿，其身流线自若、纹理分明，展现了古代中国精湛的制造技术．科研人员为了测量其容积，以恒定的流速向其内注水，恰好用时秒注满，设注水过程中，壶中水面高度为，注水时间为，则下面选项中最符合关于的函数图象的是
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据壶的结构即可得出选项．
【解析】水壶的结构：低端与上端细、中间粗，所以在注水恒定的情况下：
开始水的高度增加的快，中间增加的慢，最后水上升的速度又变快，
由图可知选项A符合，故选A
5．已知幂函数的图象经过点，且，则的取值范围为
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】首先根据已知条件求出的解析式，再根据的单调性和奇偶性求解即可．
【解析】由题意可知，，解得，，
故，易知，为偶函数且在上单调递减，
因为，所以，解得，或．
故的取值范围为．故选C．
6．已知函数，则的最小值是
A． B．2
C．1 D．0
【答案】B
【分析】利用换元法求出函数解析式，根据二次函数求最值即可．
【解析】令，则，且，
所以，
所以，当时，．故选B
7．如图，一个“心形”由两个函数的图象构成，则“心形”上部分的函数解析式可能为
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据图象的对称性可排除BD，再根据时函数值可排除A．
【解析】由图可知，“心形”关于轴对称，所以上部分的函数为偶函数，排除B，D．
又“心形”函数的最大值为1，且，排除A．故选C．
8．已知不等式在上恒成立，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由分段函数知，分两部分讨论函数的单调性，从而可得在上是减函数，化恒成立问题为在，上恒成立；从而化为最值问题即可．
【解析】由，知
①当时，，故在，上是减函数；
②当时，，故在上是减函数；
又，在上是减函数，
不等式在，上恒成立可化为在，上恒成立；
即在，上恒成立，故，解得，，即；故选A．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知函数为幂函数，则该函数为
A．奇函数 B．偶函数
C．区间上的增函数 D．区间上的减函数
【答案】BC
【分析】由幂函数的概念可得的值，根据幂函数的性质可得结果．
【解析】由为幂函数，得，即m=2，
则该函数为，故该函数为偶函数，且在区间上是增函数，故选BC．
10．下列函数相等的是
A．函数与函数 B．函数与函数
C．函数与函数 D．函数与函数
【答案】AB
【分析】根据函数的三要素逐一判断选项，得出答案．
【解析】选项A，函数与函数定义域均为，且解析式相同，正确；
选项B，函数与函数定义域均为，且解析式相同，正确；
选项C，函数的定义域为，函数定义域为，错误；
选项D，函数的定义域为，函数定义域为或，错误；故选AB
11．已知函数，则函数具有下列性质
A．函数的图象关于点对称 B．函数在定义域内是减函数
C．函数的图象关于直线对称 D．函数的值域为
【答案】AD
【分析】先利用分离常数法将进行化简，对A，B，C通过图象的平移以及的性质即可判断；对D，通过以及函数的定义域即可求解．
【解析】 ，
故的图象是由的图象向左平移一个单位再向下平移一个单位得到；
对A，的对称中心为，
函数的图象关于点对称，故A正确；
对B，的定义域为，
在上单调递减，上单调递减，
故在上单调递减，上单调递减，
在定义域内不单调，故B错误；
对C，的图象关于点中心对称，故C错误；
对D，且定义域为，
即，
即函数的值域为，故D正确．故选AD．
12．已知函数，其中表示不大于的最大整数，下列关于的性质，正确的是
A．在上是增函数 B．是偶函数
C．的值域为 D．是奇函数
【答案】AC
【分析】由表示不大于的最大整数，化简，作出的图象，利用图象判断四个选项即可得到结论．
【解析】当时，，此时；
当时，，此时；
当时，，此时；
当时，，此时；……
所以作出的图象如图所示：
对照图象可以看出：对于A：在上是增函数 是正确的；故A正确．
对于B：是非奇非偶函数；故B错误．对于C：的值域为；故C正确．
对于D：是非奇非偶函数；故D错误．故选AC．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若函数的定义域为，则的定义域为_________．
【答案】
【分析】根据函数的定义域即的值域，求出函数的定义域即可．
【解析】由题可知，，
所以函数定义域为，故答案为．
14．函数的单调递减区间为_________．
【答案】
【分析】首先求出函数的定义域，令，分别求出和的单调区间，再利用符合函数单调性的性质即可求出的单调减区间．
【解析】由，解得，所以函数的定义域为，
令，在单调递增，
因为函数在单调递增，在单调递减，
由复合函数的单调性知在单调递减．故答案为
15．已知奇函数的定义域为，若，，则_________．
【答案】
【分析】先由奇函数求出，对，利用赋值法求出，得到，再用赋值法分别求出．
【解析】因为已知奇函数的定义域为，且，所以
因为，所以，
所以，即．对于，
当x=1时，有，当x=3时，有．故答案为．
16．函数，若，则实数的范围是_________．
【答案】
【分析】根据解析式可判断是定义在上的奇函数且在上单调递增，转化不等式即可求解．
【解析】，，
是定义在上的奇函数，且显然在上单调递增，
由可得，
，解得．故答案为．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
己知函数
（1）画出该函数图象：
（2）若，求实数的值．
【答案】（1）图象见解析；（2）．
【分析】（1）利用分段函数各区间的函数解析式画出图象即可，注意端点值．
（2）由（1）的图象可得，即可求的值．
【解析】（1）由函数解析式，可得图象如下：
（2）由（1）图知，可得．
18．（12分）
已知幂函数是偶函数，且在上单调递增．
（1）求函数的解析式；
（2）解不等式．
【答案】（1）或；（2）．
【分析】（1）根据是幂函数，得到，再由是偶函数和在上单调递增，由，且为偶函数求解．
（2）根据（1）偶函数在上递增，转化为求解．
【解析】（1）因为是幂函数，则，解得或，
又是偶函数，所以是偶数，
又在上单调递增，所以，
解得，所以、、或．
所以或；
（2）由（1）偶函数在上递增，
，可化为，即，
所以或．所以的范围是．
19．（12分）
若对一切实数，，都有．
（1）求；
（2）判断的奇偶性，并证明你的结论；
（3）若，求．
【答案】（1）；（2）奇函数，证明见解析；（3）．
【分析】（1）令，得到，即可求解；
（2）函数是奇函数，令，得到，结合（1）中的结论，得到，即可证得为奇函数；
（3）令，得到，进而求得，结合为奇函数，即可求解．
【解析】（1）由对一切实数，，都有，
令，可得，即，解得．
（2）函数是奇函数．
证明如下：由题意，函数的定义域为关于原点对称，
令，可得，即，
由（1）知，所以，所以为奇函数．
（3）令，可得，
因为，所以，则，
因为为奇函数，所以．
20．（12分）
已知函数是定义在上的增函数，对一切正数上都有成立，且．
（1）求和的值；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1），；（2）．
【分析】（1）利用及递推关系，可得、，即可求值；
（2）题设不等式可转化为，利用的定义域及单调性求解集即可．
【解析】（1）由题意，，则，
．
（2）由，而，
所以，又在上为增函数，
所以，解得．
所以的取值范围．
21．（12分）
设函数；
（1）若，判断函数的奇偶性；
（2）若，且，求实数的取值范围．
【答案】（1）奇函数；（2）．
【分析】（1）根据函数奇偶性的定义判断分段函数的奇偶性即可；
（2）分类讨论求解不等式可得出结果．
【解析】（1）函数的定义域关于原点对称，且，
所以当时，，则，
当时，，则，
故恒有，
所以函数为奇函数．
（2）由题意得或解得．
由或，解得．
22．（12分）
已知函数．
（1）若函数的最小值为0，求实数m的值．
（2）若当时，y随x的增大而减小，求实数m的取值范围．
（3）是否存在实数m，使得当时，y的取值范围是？若存在，求出实数m的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）存在，．
【分析】（1）根据最小值列出等式求解m；
（2）根据题意位于二次函数的对称轴的右侧；
（3）对函数在区间上的单调性进行分类讨论，根据值域列方程组求解m．
【解析】（1），
当时，函数取得最小值，由，解得．
（2）函数的图象的对称轴为，开口向上，
因为当时，y随x的增大而减小，所以，即，
所以m的取值范围是．
（3）函数的图象的对称轴为，开口向上，
①若，即，当时，y随x的增大而增大，
则解得．
②若，即，则当时，y取得最小值，
令，解得，都与矛盾．
③若，即，当时，y随x的增大而减小，
则，整理得不成立．
综上所述，．