人教版高中数学必修第一册第3章函数的概念与性质 综合检测培优卷(含详细解析)

第3章 函数的概念与性质（原卷版）
本卷满分150分，考试时间120分钟。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知函数f（x）定义域为（0，+∞），则函数F（x）＝f（x+2）+的定义域为
A．（﹣2，3] B．[﹣2，3]
C．（0，3] D．（2，3]
2．已知，则f（4）=
A．-1 B．1
C．2 D．3
3．已知函数是上的增函数，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
4．若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上单调递减，则实数a的取值范围是
A．[－3，＋∞) B．[3，＋∞)
C．(－∞，－3] D．(－∞，3]
5．已知定义在R上的函数f（x）在（﹣∞，2）内为减函数，且f（x+2）为偶函数，则 f（﹣1），f（4），f（）的大小为
A．f（4）＜f（﹣1）＜f（） B．f（﹣1）＜f（4）＜f（）
C．f（）＜f（4）＜f（﹣1） D．f（﹣1）＜f（）＜f（4）
6．已知函数是定义在上的周期为2的奇函数，当时，，则等于
A． B．0
C．2 D．1
7．已知，，若对，，使得，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
8．已知函数满足，若函数与图象的交点为则的值为
A． B．
C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知狄利克雷函数，则下列结论正确的是
A．f（x）的定义城为[0，1] B．f（x）定义域为R
C．f（x）的值城为[0，1] D．f（x+1）=f（x）
10．定义在R上的偶函数f(x)，当x∈[1，2]时，f(x)<0且f(x)为增函数，下列四个结论其中正确的结论是
A．当x∈[-2，-1]时，有f（x）<0 B．f（x）在[-2，-1]上单调递增
C．f（-x）在[-2，-1]上单调递减 D．在[-2，-1]上单调递减
11．若（其中为整数），则叫做离实数最近的整数，记作．设函数，下列结论正确的是
A． B．
C． D．函数是偶函数
12．已知是定义域为的函数，满足，，当时，，则下列说法正确的是
A．的最小正周期为
B．的图象关于直线对称
C．当时，函数的最大值为
D．当时，函数的最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知函数，使函数值为5的的值是___________．
14．函数的值域为___________．
15．设为定义在上的偶函数，且在上为增函数，则，，的大小顺序是___________．（用“>”连接）
16．已知函数，，若对任意，总存在，使成立，则实数的取值范围为___________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
已知奇函数y＝f(x)的定义域为(－1，1)．且在(－1，1)上是减函数，解不等式f(1－x)18．（12分）
已知函数f（x）＝
（1）求函数f（x）的定义域（用区间表示）；
（2）若h（x+1） f（x）＝1，求函数h（x）的解析式并写出定义域．
19．（12分）
已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x ≤ 0时，f(x)＝x2＋4x＋3．
（1）画出函数f(x)的图象，并写出函数f(x)的单调递增区间；
（2）求函数f(x)的解析式；
（3）写出函数f(x)在区间[－1，2]上的值域(不要求步骤)．
20．（12分）
定义在上的函数，当时，且对任意的，有，．
（1）求的值；
（2）求证：对任意，都有；
（3）解不等式．
21．（12分）
已知函数
（1）判断f（x）的奇偶性；．
（2）用单调性定义判断f（x）在[0，1]上的单调性∶
（3）若当x∈（0，1）时，f（x）22．（12分）
已知定义在(0，+∞) 上的函数f(x)同时满足下列三个条件：①f（2）=-1；②对任意实数x，y(0，+∞)都有f(xy)= f(x)+f(y)；③当00．
（1）求f（4），f()的值；
（2）证明：函数f(x)在(0，+∞)上为减函数；
（3）解关于x的不等式f(2x)第3章 函数的概念与性质（解析版）
本卷满分150分，考试时间120分钟。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知函数f（x）定义域为（0，+∞），则函数F（x）＝f（x+2）+的定义域为
A．（﹣2，3] B．[﹣2，3]
C．（0，3] D．（2，3]
【试题来源】江苏省苏州实验中学2021-2022学年高一上学期10月月考
【答案】A
【分析】根据题意列出不等式组，进而解出答案即可．
【解析】由题意，．故选A．
2．已知，则f（4）=
A．-1 B．1
C．2 D．3
【试题来源】广东省佛山市南海区桂城中学2021-2022学年高一上学期第一次月考
【答案】B
【分析】根据给定的分段函数可得f（4）=f（6），再代入计算即可得解．
【解析】因，则f（4）=f（6）=6-5=1，所以f（4）=1．故选B
3．已知函数是上的增函数，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
【试题来源】四川省遂宁市射洪中学2021-2022学年高一上学期第一次月考
【答案】C
【分析】根据是R上的增函数，列出不等式组，解该不等式组即可得答案．
【解析】因为函数是上的增函数，
所以，解得，所以实数的取值范围是，故选C．
4．若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上单调递减，则实数a的取值范围是
A．[－3，＋∞) B．[3，＋∞)
C．(－∞，－3] D．(－∞，3]
【试题来源】宁夏中卫市第一中学2021-2022学年高一上学期第一次月考数学（B卷）试题
【答案】C
【分析】先求出抛物线的对称轴为，由题意可得，从而可求出实数a的取值范围
【解析】函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2的图象的对称轴为，
因为函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上单调递减，
所以，得，所以实数a的取值范围是(－∞，－3]，故选C
5．已知定义在R上的函数f（x）在（﹣∞，2）内为减函数，且f（x+2）为偶函数，则 f（﹣1），f（4），f（）的大小为
A．f（4）＜f（﹣1）＜f（） B．f（﹣1）＜f（4）＜f（）
C．f（）＜f（4）＜f（﹣1） D．f（﹣1）＜f（）＜f（4）
【试题来源】福建省福州延安中学2020-2021学年高一上学期期中考试
【答案】A
【分析】为偶函数，可得，所以（4），，利用定义在上的函数在内为减函数，即可得出结论．
【解析】为偶函数，，（4），，
，定义在上的函数在内为减函数，
（4），故选．
6．已知函数是定义在上的周期为2的奇函数，当时，，则等于
A． B．0
C．2 D．1
【试题来源】北京九中2022届高三10月月考
【答案】A
【分析】由函数的奇偶性，周期性，可得，，进而得解．
【解析】因为函数为定义在上的奇函数，且周期为2，
所以，所以，
，所以．故选A．
7．已知，，若对，，使得，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
【试题来源】四川省成都石室中学2021-2022学年高三上学期10月月考（文）
【答案】B
【分析】将对，，使得转化为对于任意恒成立，利用分离参数法以及函数单调性即可求解．
【解析】因为，，以，
当且仅当，即时取等号．所以当时，．
所以对，，使得等价于对于任意恒成立，即对于任意恒成立，所以对任意恒成立，
因为函数在上为增函数，所以，即．故选B．
8．已知函数满足，若函数与图象的交点为则的值为
A． B．
C． D．
【试题来源】陕西省西安市长安区第一中学2021-2022学年高二上学期9月第一次质量检测
【答案】B
【分析】根据抽象函数关系式、函数解析式可确定均关于点对称，由此可得两函数交点横坐标之和与纵坐标之和，由此可得结果．
【解析】由得，图象关于对称；
，图象关于对称，
，，
．故选B．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知狄利克雷函数，则下列结论正确的是
A．f（x）的定义城为[0，1] B．f（x）定义域为R
C．f（x）的值城为[0，1] D．f（x+1）=f（x）
【试题来源】广东省佛山市南海区石门中学2021-2022学年高一上学期第一次统测（月考）
【答案】BD
【分析】根据函数的定义域，值域和此函数的特点进行分析判断即可
【解析】由狄利克雷函数可知，的定义域为，值域为，所以AC错误，B正确，
当为有理数时，也是有理数，则，当为无理数时，也是无理数，则，所以，所以D正确，故选BD
10．定义在R上的偶函数f(x)，当x∈[1，2]时，f(x)<0且f(x)为增函数，下列四个结论其中正确的结论是
A．当x∈[-2，-1]时，有f（x）<0
B．f（x）在[-2，-1]上单调递增
C．f（-x）在[-2，-1]上单调递减
D．在[-2，-1]上单调递减
【试题来源】福建省福州延安中学2020-2021学年高一上学期期中考试
【答案】AC
【分析】根据偶函数的对称性，结合函数的符号及增减性，即可得到结果．
【解析】 A偶函数的图象关于轴对称，，时，，所以当，时，有，故A正确；B偶函数的图象关于轴对称，，时，为增函数，所以在，上单调递减，故B错误；
C函数是偶函数，．由B知在，上单调递减，故C正确；
D的图象是将下方的图象，翻折到轴上方，由于在，上单调递减，所以在，上单调递增，故D错误．
综上可知，正确的结论是AC，故选AC．
11．若（其中为整数），则叫做离实数最近的整数，记作．设函数，下列结论正确的是
A． B．
C． D．函数是偶函数
【试题来源】江苏省苏州市八校联盟2021-2022学年高三上学期第一次适应性检测
【答案】BCD
【分析】根据题意，理解离实数x的最近整数这个概念，进而对选项逐一判断得到答案．
【解析】由题意可知，对于选项A，因为，所以，故选项A错误；
对于选项B，，故选项B正确；
对于选项C，的值域为，所以，故选项C正确；
对于选项D，x∈R，因为，
所以函数是偶函数，故选项D正确．故选BCD．
12．已知是定义域为的函数，满足，，当时，，则下列说法正确的是
A．的最小正周期为
B．的图象关于直线对称
C．当时，函数的最大值为
D．当时，函数的最小值为
【试题来源】江苏省常州市前黄高级中学2021-2022学年高三上学期10月学情检测
【答案】ABC
【分析】根据抽象函数关系式，可推导得到周期性和对称性，知AB正确；根据在上的最大值和最小值，结合对称性和周期性可知C正确，D错误．
【解析】对于A，，，的最小正周期为，A正确；对于B，，，的图象关于直线对称，B正确；对于C，当时，，
图象关于对称，当时，；
综上所述：当时，，C正确；
对于D，的最小正周期为，在上的最小值，即为在上的最小值，当时，，又图象关于对称，
当时，，
在上的最小值为，D错误．故选ABC．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知函数，使函数值为5的的值是___________．
【试题来源】宁夏中卫市第一中学2021-2022学年高一上学期第一次月考数学（A卷）试题
【答案】-2
【分析】由题意，分，两种情况讨论，令，求解即可
【解析】由题意，当时，（舍正），
当时，，不成立，综上，使函数值为5的的值是-2，故答案为-2
14．函数的值域为___________．
【试题来源】河南省联考2021-2022学年高三上学期核心模拟卷（上）（文）（二）
【答案】
【分析】化简，根据其单调性求出值域
【解析】，显然该函数在其定义域上单调递减，所以．故的值域为．故答案为
15．设为定义在上的偶函数，且在上为增函数，则，，的大小顺序是___________．（用“>”连接）
【试题来源】人教B版（2019） 必修第一册 学习帮手 第三章（第二课时）
【答案】
【分析】利用函数的单调性可得，再利用奇偶性可得答案．
【解析】因为在上是增函数，且，所以，
因为函数是偶函数，所以，，
所以，即，故答案为
16．已知函数，，若对任意，总存在，使成立，则实数的取值范围为___________．
【试题来源】人教B版（2019） 必修第一册 学习帮手 第三章 检测
【答案】
【分析】求出函数在上的值域A，再分情况求出在上的值域，利用它们值域的包含关系即可列式求解．
【解析】“对任意，总存在，使成立”等价于“函数在上 的值域包含于在上的值域”，函数，当时，，，即在的值域，
当时，，不符合题意，当时，在上单调递增，其值域，于是有，即有，解得，则，当时，在上单调递减，其值域，于是有，即有，解得，则，综上得或，
所以实数的取值范围为．故答案为
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
已知奇函数y＝f(x)的定义域为(－1，1)．且在(－1，1)上是减函数，解不等式f(1－x)【试题来源】宁夏中卫市第一中学2021-2022学年高一上学期第一次月考数学（A卷）
【答案】
【分析】根据题意可得，解之即可得出答案．
【解析】因为y＝f(x)在(－1，1)上是减函数，
所以f(1－x)解得，所以，即不等式f(1－x)18．（12分）
已知函数f（x）＝
（1）求函数f（x）的定义域（用区间表示）；
（2）若h（x+1） f（x）＝1，求函数h（x）的解析式并写出定义域．
【试题来源】江苏省苏州实验中学2021-2022学年高一上学期10月月考
【答案】（1）；（2），定义域为
【分析】（1）直接根据分母不为零，二次根号下不小于零列不等式求解；
（2）代入函数f（x）的表达式，然后利用换元法可得函数h（x）的解析式，再利用h（x）和f（x）的关系列不等式求解h（x）定义域．
【解析】（1）由已知，解得且，
故函数f（x）的定义域为；
（2），令，则，
，，解得且，
故函数h（x）的解析式为，定义域为．
19．（12分）
已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x ≤ 0时，f(x)＝x2＋4x＋3．
（1）画出函数f(x)的图象，并写出函数f(x)的单调递增区间；
（2）求函数f(x)的解析式；
（3）写出函数f(x)在区间[－1，2]上的值域(不要求步骤)．
【试题来源】宁夏中卫市第一中学2021-2022学年高一上学期第一次月考数学（B卷）
【答案】（1）图象见解析，[－2，0]和[2，＋∞)；（2）f(x)＝；（3）[－1，3]．
【分析】（1）先画出x ≤ 0时的函数图象，再利用偶函数的对称性画出的图象，结合图象可得函数的增区间，
（2）令x > 0，则－x <0，然后将－x 代入已知的解析式中化简，再结偶函数的定义可求出x > 0时的解析式，从而可得函数的解析式，
（3）结合（1）画出的图象可求得函数的值域
【解析】（1）图象见下图，由图可知 f(x)的单调递增区间是[－2，0]和[2，＋∞)．
（2）当x > 0时，－x <0， 所以 f(－x)＝(－x)2＋4(－x)＋3＝x2－4x＋3，
因为f(x)是定义在R上的偶函数， 所以f(x)＝ f(－x)＝x2－4x＋3，
所以f(x)＝．
（3）由图可知，f(x)在区间[－1，2]上的值域为[－1，3]．
20．（12分）
定义在上的函数，当时，且对任意的，有，．
（1）求的值；
（2）求证：对任意，都有；
（3）解不等式．
【试题来源】宁夏中卫市第一中学2021-2022学年高一上学期第一次月考数学（B卷）
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）．
【分析】（1）令，，结合即可求解；
（2）分别讨论、、时的范围即可求证；
（3）先令可得，再利用单调性的定义证明在上单调递增，利用单调性去掉解不等式即可求解．
【解析】（1）令，，得，
因为，所以，可得；
（2）当时，，当时，，
当时，，所以，因为，
所以，
综上所述：对任意，都有；
（3）令，得，
任取，且，则，所以，
所以，所以在上单调递增，
由可得，可得，解得，
所以原不等式的解集为．
21．（12分）
已知函数
（1）判断f（x）的奇偶性；．
（2）用单调性定义判断f（x）在[0，1]上的单调性∶
（3）若当x∈（0，1）时，f（x）【试题来源】广东省佛山市南海区桂城中学2021-2022学年高一上学期第一次月考
【答案】（1）f（x）是奇函数；（2）在上单调递增，证明见解析；（3）
【分析】（1）由奇偶性的定义判断即可；
（2）由单调性的定义取值，作差，定号，即可证明；
（3）结合单调性可知，当时，恒成立，则只需要，即可求解
【解析】（1）因为函数的定义域为，
，
所以f（x）是奇函数；
（2）在上单调递增；证明如下：
设，则
，
由，可得，，
所以，即，
所以在上单调递增；
（3）因为在上单调递增，当时，恒成立，
则只需要，即，所以实数a的取值范围是．
22．（12分）
已知定义在(0，+∞) 上的函数f(x)同时满足下列三个条件：①f（2）=-1；②对任意实数x，y(0，+∞)都有f(xy)= f(x)+f(y)；③当00．
（1）求f（4），f()的值；
（2）证明：函数f(x)在(0，+∞)上为减函数；
（3）解关于x的不等式f(2x)【试题来源】福建省福州延安中学2020-2021学年高一上学期期中考试
【答案】（1），；（2）证明见解析；（3）．
【分析】（1）利用赋值法即可得到结果；
（2）利用定义证明函数的单调性；
（3）利用单调性化抽象不等式为不等式组即可．
【解析】（1）令得，（2）（2），（4），
令得，，；
（2）设；先令，，则；
即；令，，则（1）；
（1）；；；
，即；
；；时，；
；；在上为减函数；
（3）（4）；由得，（4）；
在上为减函数；；
；不等式的解为．