人教版高中数学必修第一册第4章指数函数与对数函数 综合检测拔尖卷(含详细解析)

第4章 指数函数与对数函数（原卷版）
本卷满分150分，考试时间120分钟。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．下列各式正确的是
A． B．
C． D．
2．已知函数，若，则
A． B．
C． D．
3．函数的大致图象是
A． B．
C． D．
4．已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是
A． B．
C． D．
5．函数，则函数的大致图象是
A． B．
C． D．
6．已知定义在上的函数（为实数）为偶函数，记，，，则，，的大小关系为
A． B．
C． D．
7．已知函数的定义域为，满足对任意，恒有，若函数的零点个数为有限的个，则的最大值为
A． B．
C． D．
8．以下四种说法中，正确的是
A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快
B．对任意的，
C．对任意的，
D．一定存在，当，，时，总有
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知，，则下列各式运算正确的是
A． B．
C． D．
10．已知定义域为的偶函数在上单调递增，且，，则下列函数中不符合上述条件的是
A． B．
C． D．
11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的高斯函数为，表示不超过x的最大整数，例如：，．已知函数，，则下列叙述中正确的是
A．是偶函数 B．是奇函数
C．在R上是增函数 D．的值域是
12．已知函数，，且，则下列结论错误的是
A． B．
C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知函数．若正数，满足，则____________．
14．函数的零点的个数为____________．
15．已知函数，，给出下列三个结论：
①函数的图象与的图象关于直线轴对称；
②函数的图象与的图象关于直线对称；
③函数的值域与的定义域相同；
④若满足，满足，则．
其中正确结论的序号是____________．
16．已知函数，若对于恒成立，则实数a的取值范围是____________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
求下列各式中x的值：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
18．（12分）
已知x、y、z为非零实数，且．求证：．
19．（12分）
已知全集，集合，．
（1）求p和q的值；
（2）求的值．
20．（12分）
已知函数．
（1）用定义证明在区间上单调递减；
（2）求函数在区间上的最大值；
（3）若，求的取值范围．
21．（12分）
已知函数的表达式为．
（1）若，，求的值域．
（2）当时，求的最小值．
（3）对于（2）中的函数，是否存在实数m、n，同时满足：①；②当的定义域为[m，n]时，其值域为？若存在，求出m、n的值；若不存在，请说明理由．
22．（12分）
设为奇函数，为常数．
（1）求的值；
（2）证明：在内单调递增；
（3）若对于上的每一个的值，不等式恒成立，求实数的取值范围．
第4章 指数函数与对数函数（解析版）
本卷满分150分，考试时间120分钟。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．下列各式正确的是
A． B．
C． D．
【试题来源】四川省成都市双流中学2020-2021学年高一上学期期中
【答案】C
【解析】对于A，，故A不正确；
对于B，，当时无意义，故B不正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D不正确．故选C．
2．已知函数，若，则
A． B．
C． D．
【试题来源】山西省长治市第二中学2022届高三上学期第三次练考
【答案】D
【解析】因为，所以，
，
则，因为，所以．故选D．
3．函数的大致图象是
A． B．
C． D．
【试题来源】宁夏唐徕回民中学2021-2022学年高一上学期期中考试
【答案】C
【解析】由题意，因为，所以只有C符合．故选C．
4．已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是
A． B．
C． D．
【试题来源】北师大版（2019） 必修第一册 突围者 第三章 全章综合检测
【答案】A
【解析】因为在上单调递增，所以当时，，
若函数的值域为R，则，解得．故选A．
5．函数，则函数的大致图象是
A． B．
C． D．
【试题来源】山东省济宁邹城市2021-2022学年高三上学期期中考试
【答案】C
【解析】当，则，则，
当，则，则，所以，
所以时，递减且值域为；时，递增且值域为；只有C符合要求．
故选C
6．已知定义在上的函数（为实数）为偶函数，记，，，则，，的大小关系为
A． B．
C． D．
【试题来源】山东师范大学附属中学2021-2022学年高三上学期第二次月考
【答案】C
【解析】（为实数）为偶函数，
在上是单调增函数，
，，，
且，，，故选C
7．已知函数的定义域为，满足对任意，恒有，若函数的零点个数为有限的个，则的最大值为
A． B．
C． D．
【试题来源】上海市杨浦区控江中学2022届高三上学期第一次月考（9月）
【答案】B
【解析】令，则有，故，
所以，若，
则开口向上，对称轴为且，，
所以在上有两个零点，即函数的零点个数最多有2个．故选B
8．以下四种说法中，正确的是
A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快
B．对任意的，
C．对任意的，
D．一定存在，当，，时，总有
【试题来源】湘教版（2019） 必修第一册 突围者 第4章
【答案】D
【解析】A．如函数和，的图象如图所示：
由图象知错误；
B．当 时，的图象如图所示：
由图象知错误；
C． 当 时，的图象如图所示：
由图象知错误；
D． 当 时，的图象如图所示：
由图象知正确；故选D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知，，则下列各式运算正确的是
A． B．
C． D．
【试题来源】北师大版（2019） 必修第一册 突围者 第三章 全章综合检测
【答案】ABD
【解析】对于 A选项，，故正确；
对于B选项，，故正确；
对于C选项，，故错误；
对于D正确，，故正确．故选ABD
10．已知定义域为的偶函数在上单调递增，且，，则下列函数中不符合上述条件的是
A． B．
C． D．
【试题来源】广东省清远市第一中学2021-2022学年高一上学期期中
【答案】ABD
【解析】对A，，故A不符合；
对B，函数是定义在上的奇函数，故B不符合；
对C ，在上单调递增且为偶函数，
又，，故C符合；
对D，幂函数在上单调递减，故D不符合．故选ABD．
11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的高斯函数为，表示不超过x的最大整数，例如：，．已知函数，，则下列叙述中正确的是
A．是偶函数 B．是奇函数
C．在R上是增函数 D．的值域是
【试题来源】北师大版（2019） 必修第一册 突围者 第三章 全章综合检测
【答案】BCD
【解析】因为，所以，
所以f（x）是奇函数，A错误，B正确；
因为函数，函数是增函数，
所以在R上是增函数，C正确；
因为，所以，所以，
所以当时，，当时，，
当时，，所以函数的值域为{-1，0}，D正确．
综上可知，B，C，D正确．故选BCD
12．已知函数，，且，则下列结论错误的是
A． B．
C． D．
【试题来源】北师大版（2019） 必修第一册 突围者 第四章 全章综合检测
【答案】AD
【解析】因为、、在其定义域内都是增函数，
所以、在其定义域内都是增函数．
因为，，且，所以，
又，，且，所以，
所以，即选项A错误；
因为，函数、在其定义域内均为增函数，
所以，所以，即选项B正确，选项D错误；
令，，则，，
由于，的图象都和直线相交（如图所示），
且函数和函数的图象关于直线对称，
直线和直线的交点为，
所以，即，即选项C正确．故选AD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知函数．若正数，满足，则____________．
【试题来源】北京市通州区2020-2021学年高一上学期期中
【答案】4
【解析】因为，且、，，
所以．故答案为4．
14．函数的零点的个数为____________．
【试题来源】沪教版（2020） 必修第一册 达标检测 第五章 5．3 函数的应用
【答案】1
【解析】根据题意，令，则，
做出函数与的图象，由图可知与的图象只有一个交点，即方程只有一个解，故函数的零点的个数为1．
故答案为1．
15．已知函数，，给出下列三个结论：
①函数的图象与的图象关于直线轴对称；
②函数的图象与的图象关于直线对称；
③函数的值域与的定义域相同；
④若满足，满足，则．
其中正确结论的序号是____________．
【试题来源】北京市通州区2020-2021学年高一上学期期中
【答案】②③④
【解析】因为函数与互为反函数，
所以函数的图象与的图象关于直线对称，且函数的值域与的定义域相同，所以①错误，②正确，③正确，
因为满足，满足，
所以为函数与图象的交点的横坐标，为函数与图象的交点的横坐标，因为函数的图象与的图象关于直线对称，
所以，即，所以④正确，
所以正确结论的序号是②③④，故答案为②③④．
16．已知函数，若对于恒成立，则实数a的取值范围是____________．
【试题来源】黑龙江省龙东地区四校2021-2022学年高三上学期联考
【答案】
【解析】因为 ，，所以不等式可化为，
又对于恒成立，所以对于恒成立，
所以，又，当且仅当时等号成立，
所以，所以实数a的取值范围是．
故答案为．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
求下列各式中x的值：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1），（2），（3），（4）
【解析】（1）因为，所以；
（2）因为，所以，所以，
因为且，所以；
（3）因为，所以，所以；
（4）因为，所以，即，所以，所以
18．（12分）
已知x、y、z为非零实数，且．求证：．
【试题来源】沪教版（2020） 必修第一册 达标检测 期末测试
【答案】证明见解析
【解析】设，则，，，
即，，．
所以，得证．
19．（12分）
已知全集，集合，．
（1）求p和q的值；
（2）求的值．
【试题来源】沪教版（2020） 必修第一册 达标检测 第三章 3．1 幂与指数
【答案】（1），，（2）
【解析】（1）由全集及，得，
所以，．
（2）
．
20．（12分）
已知函数．
（1）用定义证明在区间上单调递减；
（2）求函数在区间上的最大值；
（3）若，求的取值范围．
【试题来源】北京市大兴区2021-2022学年高一上学期期中考试
【答案】（1）证明见解析，（2），（3）
【解析】（1）因为，
设任意的，且，
则，
因为，且，所以，，
所以，所以在上单调递减；
（2）由（1）可知在上单调递减，所以
（3）因为、，且在上单调递减，
所以等价于，即，
所以，所以，所以，即
21．（12分）
已知函数的表达式为．
（1）若，，求的值域．
（2）当时，求的最小值．
（3）对于（2）中的函数，是否存在实数m、n，同时满足：①；②当的定义域为[m，n]时，其值域为？若存在，求出m、n的值；若不存在，请说明理由．
【试题来源】沪教版（2020） 必修第一册 达标检测 期末测试
【答案】（1），（2）
（3）不存在满足条件的实数m、n，理由见解析
【解析】（1）当时，由，得，
因为，所以，．
（2）令，因为，故，函数f（x）可转化为
，
①当时，；
②当时，；
③当时，．
综上所述，．
（3）因为，，在R上是严格减函数，
所以在上的值域为，
又在上的值域为，所以，即，
两式相减，得，因为，所以，
而由，可得，与矛盾．
所以，不存在满足条件的实数m、n．
22．（12分）
设为奇函数，为常数．
（1）求的值；
（2）证明：在内单调递增；
（3）若对于上的每一个的值，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【试题来源】广东省清远市第一中学2021-2022学年高一上学期期中
【答案】（1），（2）证明见解析，（3）
【解析】（1），，
，
即，故，，
当时，，不成立，舍去；
当时，，验证满足．
综上所述：．
（2），函数定义域为，
考虑，
设，则，
，，故，函数单调递减．
在上单调递减，
根据复合函数单调性知在内单调递增．
（3），即，为增函数．
故在单调递增，故．
故．