(共30张PPT)
第一章
集合与常用逻辑用语
a∈A
a A
综合应用 素养提升
随堂演练 对点落实
课 时 作 业（一）
谢谢观看！
定义
把
统称为元素
记法
常用小写的拉丁字母a,b,c,…表示
定义
些元素组成的，
简称集
记法
常用大写拉丁字母
,.表示
相等
只要构成两个集合的元素是
的，
我们就称这两个集合是相等的(共35张PPT)
第一章
集合与常用逻辑用语
一一列举
{x∈A|P(x)}
{x∈A：P(x)}
{x∈A；P(x)}
综合应用 素养提升
随堂演练 对点落实
课 时 作 业（二）
谢谢观看！
元素间用逗号隔开
3
花括号括住所有元素1．1 集合的概念
1.通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系.2.针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上， 用符号语言刻画集合．
第1课时 集合的含义
知识点一 元素与集合
观察下面的语句
(1)平面内到定点O的距离等于2的所有的点；
(2)方程x2－1＝0的所有实数根；
(3)我们班的所有帅哥．
以上各语句中所研究的对象分别是什么？
提示： 分别为点、实数根、帅哥．
以上各语句中的对象确定吗？为什么？
提示： (3)中对象不确定．因为“帅哥”没有明确的划分标准．
高一(1)班的全体同学能否组成一个集合？为什么？
提示： 能．因为集合中的元素是明确的(确定性).
1．元素
2．集合
(1)集合是一个整体，暗含“所有”“全部”“全体”的含义．
(2)集合中的元素可以为数、点、图形、人或物等．
(多选)下列每组对象，能构成集合的是( )
A．中国各地最美的乡村
B．直角坐标系中横、纵坐标相等的点
C．一切很大的数
D．清华大学2022年入学的全体学生
判断一组对象能否组成集合的标准
判断一组对象能否构成集合，关键在于能否找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合中的元素．
即时练1.方程x2＋2x－8＝0和方程x2＋x－12＝0的所有实数解组成的集合为M，则M中的元素个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
知识点二 元素与集合的关系
设集合A表示“1～10之间的所有整数”，3和－4与集合A是何关系？
提示： 3是集合A中的元素，即3属于集合A，－4不是集合A中的元素，即－4不属于集合A．
1．元素与集合的关系
关系 概念 记法 读法
属于 如果a是集合A的元素，就说a属于集合A a∈A a属于集合A
不属于 如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A a A a不属于集合A
符号“∈”“ ”只能用在元素与集合之间，表示元素与集合之间的从属关系，注意开口方向．
2．常用数集及表示符号
名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
记法 N N*或N＋ Z Q R
(2021·江西宜春一中高一月考)给出下列关系：
①12∈R；②2∈Q；③|－3|∈N；④|－3|∈Z；⑤0 N.
其中正确的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
判断元素和集合关系的方法
直接法：首先明确集合是由哪些元素构成的，然后判断该元素在已知集合中是否出现即可．
推理法：首先明确已知集合的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．
即时练2.已知集合A中的元素x是被3除余2的整数，则有：17________A；－5________A．(用∈， 填空)
令3k＋2＝17得，k＝5∈Z.所以17∈A．
令3k＋2＝－5得，k＝－ Z.所以－5 A．
即时练3.设集合M中的元素为平行四边形，p表示某个矩形，q表示某个梯形，则p________M，q________________________________________________________________________M.
(用∈、 填空)
集合中元素的特性及应用
已知集合A含有两个元素1和a2，若a∈A，求实数a的值．
若a＝1，则a2＝1，
这与a2≠1矛盾，故a≠1.
若a2＝a，则a＝0或a＝1(舍去)，
当a＝0时，A中含有元素1和0，
符合题意．
综上可知，实数a的值为0.
根据集合中元素的特性求值的三个步骤
即时练4.已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，求实数a的值．
当a＝1时，集合A有重复元素1，所以a≠1；
当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1，符合集合中元素的互异性，所以a＝－1.
1．(多选)下列各项中，可以组成集合的是( )
A．所有的正数 B．等于2的数
C．接近于0的数 D．不等于0的偶数
2．(2021·广东广州荔湾区月考)下列关系表示正确的是( )
A． R B．0∈N*
C．∈Q D．∈Z
3．设A是方程x2－ax－5＝0的解组成的集合．
(1)0是否是集合A的元素？
(2)若－5∈A，求实数a的值．
(2)若－5∈A，则有(－5)2－(－5)a－5＝0，
解得a＝－4.
课时作业(一) 集合的含义
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
1．下列说法正确的是( )
A．某班中年龄较小的同学能够组成一个集合
B．由1，2，3和，1，组成的集合不相等
C．不超过20的非负数组成一个集合
D．方程(x－1)(x＋1)2＝0的所有解组成的集合中有3个元素
2．已知集合S中的三个元素a，b，c是△ABC的三条边长，那么△ABC一定不是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
3．(多选)下列关系正确的有( )
A．∈R B． R
C．|－3|∈N* D．|－|∈Q
4．(多选)下列说法中正确的有( )
A．N*中最小的数是1
B．若－a N*，则a∈N*
C．若a∈N*，b∈N*，则a＋b的最小值是2
D．方程x2＋4＝4x的解构成的集合中有2个元素
5．设直线y＝2x＋3上的点的集合为P，则点(1，5)与集合P的关系是________，点(2，6)与集合P的关系是________．
6．集合A中含有两个元素x和y，集合B中含有两个元素0和x2，若A，B相等，则实数x的值为________________________________________，y的值为________．
②当y＝0时，x＝x2，解得x＝0或x＝1，由①知x＝0应舍去，经检验，x＝1符合题意．
综上可知，x＝1，y＝0.
7．已知集合A含有3个元素a－2，2a2＋5a，12，且－3∈A，求a的值．
所以a－2＝－3或2a2＋5a＝－3，
解得a＝－1或a＝－.
当a＝－1时，a－2＝－3，2a2＋5a＝－3，
集合A不满足元素的互异性，所以舍去a＝－1.
当a＝－时，
经检验，符合题意．故a＝－.
8．已知a，b是非零实数，代数式＋＋的值组成的集合是M，则下列判断正确的是( )
A．0∈M B．－1∈M
C．3 M D．1∈M
9．集合A的元素y满足y＝x2＋1，集合B的元素(x，y)满足y＝x2＋1(A，B中x∈R，y∈R).则下列选项中元素与集合的关系都正确的是( )
A．2∈A，且2∈B
B．(1，2)∈A，且(1，2)∈B
C．2∈A，且(3，10)∈B
D．(3，10)∈A，且2∈B
10．已知集合A中的元素x满足x＝3k－1，k∈Z，则－1________A，－34________A．(填“∈”或“ ”)
11．已知集合A中元素满足2x＋a>0，a∈R.若1 A，2∈A，则实数a的取值范围为____________．
所以即－4
12．已知数集A满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1)，如果a＝2，试求出A中的所有元素．
由∈A可知，＝2∈A．
故集合A中共有3个元素，它们分别是－1，，2.
第2课时 集合的表示方法
知识点一 列举法
若集合M是小于5的自然数构成的集合，集合M中的元素能一一列举出来吗？
提示： 能.0，1，2，3，4.
列举法
(1)定义：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法．
(2)一般格式：
(链接教材P3例1)用列举法表示下列集合．
(1)不大于10的非负偶数组成的集合；
(2)方程x2＝x的所有实数解组成的集合；
(3)直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合．
(2)方程x2＝x的解是x＝0或x＝1，所以方程的解组成的集合为{0，1}．
(3)将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0，1)，故交点组成的集合是{(0，1)}．
用列举法表示集合的三个步骤
(1)求出集合的元素．
(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次．
(3)用花括号括起来．
即时练1.用列举法表示下列集合：
(1)所有大于2且小于5的整数组成的集合；
(2)方程(x－2)2＋(y＋3)2＝0的解集；
(3)A＝{y|y＝x2－1，|x|≤2，x∈Z}．
(2)由(x－2)2＋(y＋3)2＝0得x－2＝0，y＋3＝0，解得x＝2，y＝－3，
所以集合为{(2，－3)}或.
(3)由|x|≤2，x∈Z得x为－2，－1，0，1，2.
当x＝2或－2时，y＝3；当x＝1或－1时，y＝0；当x＝0时，y＝－1.所以集合A＝{3，0，－1}．
知识点二 描述法
若集合N是“绝对值小于2的实数”构成的集合，集合N中的元素还能一一列举出来吗？
提示： 不能．
描述法
(1)定义：设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法，有时也用冒号或分号代替竖线，写成{x∈A：P(x)}或{x∈A；P(x)}．
(2)一般格式：
(链接教材P4例2)用描述法表示下列集合：
(1)比1大且比10小的实数组成的集合；
(2)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合D．
(2)易知平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，即x<0，y>0，故平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合D＝{(x，y)|x<0，且y>0}．
描述法表示集合的2个步骤
即时练2.由大于－3且小于11的偶数所组成的集合是( )
A．{x|－3B．{x|－3C．{x|－3D．{x|－3
即时练3.选择适当的方法表示下列集合：
(1)所有奇数组成的集合；
(2)由＋(a，b∈R)所确定的实数集合；
(3)不等式2x－3<5的解组成的集合．
(2)关键是根据绝对值的意义化简，设x＝＋，当a>0，b>0时，x＝2；当a<0，b<0时，x＝－2；当a，b异号时，x＝0，故用列举法表示为{－2，0，2}．
(3)不等式2x－3<5的解x<4组成的集合可用描述法表示为{x|x<4}．
集合表示法的应用
若集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A．
当k＝0时，原方程变为－8x＋16＝0，x＝2.
此时集合A＝{2}．
当k≠0时，则关于x的一元二次方程kx2－8x＋16＝0有两个相等实根，只需Δ＝64－64k＝0，即k＝1.
此时方程的解为x1＝x2＝4，集合A＝{4}，满足题意．
综上所述，实数k的值为0或1.当k＝0时，A＝{2}；当k＝1时，A＝{4}．
1．(变条件)若集合A中有2个元素，求k的取值范围．
解得k<1，且k≠0.
2．(变条件)若集合A中至多有一个元素，求k的取值范围．
综上，实数k的取值集合为{k|k＝0或k≥1}．
集合与方程的综合问题的解题步骤
(1)弄清方程与集合的关系，往往是用集合表示方程的解集，集合中的元素就是方程的实数根．
(2)当方程中含有参数时，一般要根据方程实数根的情况来确定参数的值或取值范围，必要时要分类讨论．
(3)求出参数的值或取值范围后还要检验是否满足集合中元素的互异性．
创新题型 集合的新定义问题
(2021·山西太原高一月考)定义集合A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．若A＝{1，2}，B＝{0，2}，则集合A*B的所有元素之和为( )
A．0 B．2 C．3 D．6
新定义问题就是在现有运算法则和运算律的基础上定义一种新的运算，并运用它解决相关问题．新定义可能以文字形式出现，也可能以数学符号或数学式子的形式出现，如“A*B”“A－B”等．
即时练4.已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为( )
A．3 B．6 C．8 D．10
1．用列举法表示集合{x∈N|x－3<2}，正确的是( )
A．{1，2，3，4} B．{1，2，3，4，5}
C．{0，1，2，3，4，5} D．{0，1，2，3，4}
2．(多选)下面四个说法正确的是( )
A．10以内的质数组成的集合是{2，3，5，7}
B．由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，1，2}
C．方程x2－2x＋1＝0的解集是{1，1}
D．0与{0}表示同一个集合
3．用符号“∈”或“ ”填空：
(1)A＝{x|x2－x＝0}，则1______A，－1______A；
(2)(1，2)________{(x，y)|y＝x＋1}．
(2)将x＝1，y＝2代入y＝x＋1，等式成立，故(1，2)∈{(x，y)|y＝x＋1}．
4．用适当的方法表示下列集合：
(1)方程(x－1)2(x－2)＝0的解组成的集合；
(2)小于10的所有非负整数构成的集合；
(3)2022年冬奥会的主办城市组成的集合；
(4)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有的点组成的集合．
(2)小于10的所有非负整数构成的集合，用描述法可表示为{x|0≤x<10，x∈Z}；
(3)北京、张家口同为2022年冬奥会主办城市，因此可以用列举法表示为{北京，张家口}；
(4)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有的点组成的集合中，代表元素为点(x，y)，其中x，y满足y＝x2＋2x－10，由于点有无数个，则用描述法表示为{(x，y)|y＝x2＋2x－10}．
课时作业(二) 集合的表示方法
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
1．集合{x∈N*|x－3<2}的另一种表示法是( )
A．{0，1，2，3，4} B．{1，2，3，4}
C．{0，1，2，3，4，5} D．{1，2，3，4，5}
2．对集合{1，5，9，13，17}用描述法表示，其中正确的是( )
A．{x|x是小于18的正奇数}
B．{x|x＝4k＋1，k∈Z，且k<5}
C．{x|x＝4t－3，t∈N，且t≤5}
D．{x|x＝4s－3，s∈N*，且s≤5}
3．(多选)下列说法中正确的是( )
A．集合{x|x2＝1，x∈R}中有两个元素
B．集合{0}中没有元素
C．∈{x|x<2}
D．{1，2}与{2，1}是同一个集合
4．(多选)下列说法错误的是( )
A．在平面直角坐标系内，第一、三象限的点的集合为{(x，y)|xy>0}
B．方程x2－4＝0的解集为{(－2，2)}
C．集合{(x，y)|y＝1－x}与{x|y＝1－x}是相等的
D．若A＝{x∈Z|－1≤x≤1}，则－1.1∈A
5．反比例函数y＝的自变量组成的集合为________．
∴反比例函数y＝的自变量组成的集合为{x|x≠0}．
6．将集合{(x，y)|2x＋3y＝16，x，y∈N}用列举法表示为________________．
7．选择适当的方法表示下列集合．
(1)绝对值不大于3的整数组成的集合；
(2)方程(3x－5)(x＋2)＝0的实数解组成的集合；
(3)一次函数y＝x＋6图象上所有点组成的集合；
(4)满足方程x＝|x|，x∈Z的所有x的值构成的集合．
(2)方程(3x－5)(x＋2)＝0的实数解仅有两个，分别是x1＝，x2＝－2，用列举法表示为.
(3)一次函数y＝x＋6图象上有无数个点．
用描述法表示为{(x，y)|y＝x＋6}．
(4)用描述法表示为{x|x＝|x|，x∈Z}．
8．(多选)用集合表示方程组的解集，下面正确的是( )
A．(－1，2) B．
C．{－1，2} D．{(－1，2)}
9．若集合A具有以下性质：
(1)0∈A，1∈A；
(2)若x∈A，y∈A，则x－y∈A，且x≠0时，∈A．
则称集合A是“好集”．下列命题正确的个数是( )
①集合B＝{－1，0，1}是“好集”；
②有理数集Q是“好集”；
③设集合A是“好集”，若x∈A，y∈A，则x＋y∈A．
A．0 B．1 C．2 D．3
10．两边长分别为3，5的三角形中，第三条边可取的整数的集合用列举法表示为________，用描述法表示为________________．
用描述法表示为{x|211．若实数a满足a2∈{1，4，a}，则实数a的取值集合为________．课时作业(一) 集合的含义
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
[基础达标]
1．下列说法正确的是( )
A．某班中年龄较小的同学能够组成一个集合
B．由1，2，3和，1，组成的集合不相等
C．不超过20的非负数组成一个集合
D．方程(x－1)(x＋1)2＝0的所有解组成的集合中有3个元素
C [A项中元素不确定．B项中两个集合元素相同，因为集合中的元素具有无序性，所以两个集合相等．D项中方程的解分别是x1＝1，x2＝x3＝－1.由互异性知，构成的集合含2个元素．]
2．已知集合S中的三个元素a，b，c是△ABC的三条边长，那么△ABC一定不是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
D [因为集合中的元素必须是互异的，所以三角形的三条边长两两不相等，故选D．]
3．(多选)下列关系正确的有( )
A．∈R B． R
C．|－3|∈N* D．|－|∈Q
AC [A中，∈R，正确；B中，∈R，错误；C中，|－3|∈N*，正确；D中，|－| Q，错误．]
4．(多选)下列说法中正确的有( )
A．N*中最小的数是1
B．若－a N*，则a∈N*
C．若a∈N*，b∈N*，则a＋b的最小值是2
D．方程x2＋4＝4x的解构成的集合中有2个元素
AC [N*是正整数集，最小的正整数是1，故A说法正确；当a＝0时，－a N*，且a N*，故B说法错误；若a∈N*，则a的最小值是1，又b∈N*，则b的最小值也是1，当a和b都取最小值时，a＋b取最小值2，故C说法正确；x2＋4＝4x的解构成的集合为{2}，其中有1个元素，故D说法错误．故选AC．]
5．设直线y＝2x＋3上的点的集合为P，则点(1，5)与集合P的关系是________，点(2，6)与集合P的关系是________．
解析： 点(1，5)在直线y＝2x＋3上，点(2，6)不在直线y＝2x＋3上．
答案： (1，5)∈P (2，6) P
6．集合A中含有两个元素x和y，集合B中含有两个元素0和x2，若A，B相等，则实数x的值为________________________________________，y的值为________．
解析： ①当x＝0时，此时集合B中x2＝0，不满足集合中元素的互异性，故舍去；
②当y＝0时，x＝x2，解得x＝0或x＝1，由①知x＝0应舍去，经检验，x＝1符合题意．
综上可知，x＝1，y＝0.
答案： 1 0
7．已知集合A含有3个元素a－2，2a2＋5a，12，且－3∈A，求a的值．
解析： 因为－3∈A，
所以a－2＝－3或2a2＋5a＝－3，
解得a＝－1或a＝－.
当a＝－1时，a－2＝－3，2a2＋5a＝－3，
集合A不满足元素的互异性，所以舍去a＝－1.
当a＝－时，
经检验，符合题意．故a＝－.
[能力提升]
8．已知a，b是非零实数，代数式＋＋的值组成的集合是M，则下列判断正确的是( )
A．0∈M B．－1∈M
C．3 M D．1∈M
B [当a，b全为正数时，代数式的值是3；当a，b全是负数时，代数式的值是－1；当a，b是一正一负时，代数式的值是－1.综上可知B正确．]
9．集合A的元素y满足y＝x2＋1，集合B的元素(x，y)满足y＝x2＋1(A，B中x∈R，y∈R).则下列选项中元素与集合的关系都正确的是( )
A．2∈A，且2∈B
B．(1，2)∈A，且(1，2)∈B
C．2∈A，且(3，10)∈B
D．(3，10)∈A，且2∈B
C [集合A中的元素为y，是数集，又y＝x2＋1≥1，故2∈A，集合B中的元素为点(x，y)，且满足y＝x2＋1，经验证，(3，10)∈B，故选C．]
10．已知集合A中的元素x满足x＝3k－1，k∈Z，则－1________A，－34________A．(填“∈”或“ ”)
解析： 当k＝0时，x＝－1，所以－1∈A；令－34＝3k－1，得k＝－11，所以－34∈A．
答案： ∈ ∈
11．已知集合A中元素满足2x＋a>0，a∈R.若1 A，2∈A，则实数a的取值范围为____________．
解析： 因为1 A，2∈A，
所以即－4答案： {a|－412．已知数集A满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1)，如果a＝2，试求出A中的所有元素．
解析： 根据题意，由2∈A可知，＝－1∈A；由－1∈A可知，＝∈A；
由∈A可知，＝2∈A．
故集合A中共有3个元素，它们分别是－1，，2.课时作业(一) 集合的含义
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
1．下列说法正确的是( )
A．某班中年龄较小的同学能够组成一个集合
B．由1，2，3和，1，组成的集合不相等
C．不超过20的非负数组成一个集合
D．方程(x－1)(x＋1)2＝0的所有解组成的集合中有3个元素
2．已知集合S中的三个元素a，b，c是△ABC的三条边长，那么△ABC一定不是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
3．(多选)下列关系正确的有( )
A．∈R B． R
C．|－3|∈N* D．|－|∈Q
4．(多选)下列说法中正确的有( )
A．N*中最小的数是1
B．若－a N*，则a∈N*
C．若a∈N*，b∈N*，则a＋b的最小值是2
D．方程x2＋4＝4x的解构成的集合中有2个元素
5．设直线y＝2x＋3上的点的集合为P，则点(1，5)与集合P的关系是________，点(2，6)与集合P的关系是________．
6．集合A中含有两个元素x和y，集合B中含有两个元素0和x2，若A，B相等，则实数x的值为________________________________________，y的值为________．
7．已知集合A含有3个元素a－2，2a2＋5a，12，且－3∈A，求a的值．
8．已知a，b是非零实数，代数式＋＋的值组成的集合是M，则下列判断正确的是( )
A．0∈M B．－1∈M
C．3 M D．1∈M
9．集合A的元素y满足y＝x2＋1，集合B的元素(x，y)满足y＝x2＋1(A，B中x∈R，y∈R).则下列选项中元素与集合的关系都正确的是( )
A．2∈A，且2∈B
B．(1，2)∈A，且(1，2)∈B
C．2∈A，且(3，10)∈B
D．(3，10)∈A，且2∈B
10．已知集合A中的元素x满足x＝3k－1，k∈Z，则－1________A，－34________A．(填“∈”或“ ”)
11．已知集合A中元素满足2x＋a>0，a∈R.若1 A，2∈A，则实数a的取值范围为____________．
12．已知数集A满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1)，如果a＝2，试求出A中的所有元素．