2023-2024学年北师大版九年级数学上册 第4章图形的相似 暑期自主达标测试题 （含解析）

2023-2024学年北师大版九年级数学上册《第4章图形的相似》
暑期自主达标测试题（附答案）
一、单选题（满分40分）
1．下列多边形一定相似的是 （ ）
A．两个菱形 B．两个平行四边形 C．两个矩形 D．两个正方形
2．下列各组线段中，成比例线段的是（ ）
A．1，2，4，8 B．2，6，4，8 C．1，2，3，4 D．3，4，5，6
3．如图，点P在的边上，要判断，添加下列一个条件，不正确的是（ ）

A． B． C． D．
4．如图，每个小正方形边长均为1，则图中的三角形中与相似的是（ ）

A． B． C． D．
5．如图，，相交于点，则的长为（ ）

A． B．4 C． D．6
6．如图，在平行四边形中，E为上一点，且，与相交于点F，，则为（　　）
A．9 B．12 C．27 D．36
7．如图，在矩形中，，，点、分别在边、上，，、交于点，若是的中点，则的长是（ ）

A． B． C． D．
8．如图，矩形与矩形是位似图形，点是位似中心．若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为（ ）

A． B． C． D．
二、填空题（满分40分）
9．若，则= ．
10．如果点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，AB＝100cm，则AC＝ cm．
11．在三角形纸片中，，，将折叠，使点与点重合，折痕为，则 ．

12．如图，在中，点在上，点分别在、上，四边形是矩形，，是的高，，，那么的长为 ．

13．如图，在正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A、B、C、D都在格点处，与相交于O，则 ．

14．在正方形中，点分别在边上，连接，，交于点为垂足，，则线段的长度为 ．

15．在中，，，以点C为中心将线段顺时针转过一定的角度，得到线段．，的延长线交于点D．若，则线段的长为 ．

16．如图，中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C在x轴上，以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍，设点A的纵坐标是n，则点的纵坐标是 ．

三、解答题（满分40分）
17．如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，点、A、、都在小正方形的顶点上．
(1)以点为位似中心，画出使它与的相似比为2；（要求：画出所有图形，保留画图痕迹，不写画法）
(2)建立平面直角坐标系，使点在直角坐标系中的坐标为，请画出平面直角坐标系，则点的坐标是________．
18．如图，在正方形中，，在边上取中点，连接，过点做与交于点，与的延长线交于点．

(1)求证：；
(2)求的面积．
19．如图，花丛中有一路灯.在灯光下，小明在点D处的影长，沿方向行走到达点G，，这时小明的影长.如果小明的身高为1.7m，求路灯的高度.（精确到0.lm)
20．定义：如图①，若点P在的边上，且满足，则称点P为的“理想点”．

(1)如图②，若点D是的边的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由．
(2)在中，，，，若点D在边上，且是的“理想点”，求的长．
21．已知四边形中，E，F分别是边上的点，与交于点G．
特例解析：
　　
(1)如图1，若四边形是矩形，且，求证：；
类比探究：
(2)如图2，若四边形是平行四边形，且，求证：．
参考答案
1．解：要判断两个多边形是否相似，需要看对应角是否相等，对应边的比是否相等．
矩形、菱形、平行四边形都属于形状不唯一确定的图形，即对应角、对应边的比不一定相等，故不一定相似，A、B、D错误；
而两个正方形，对应角都是，对应边的比也都相等，故一定相似，C正确．
故选：D．
2．解：A、，故成比例线段；
B、，故不成比例线段；
C、，故不成比例线段；
D、，故不成比例线段；
故选：A．
3．解：A、由，满足两组对角相等，可判断，故此选项不符合题意；
B、由，满足两组对角相等，可判断，故此选项不符合题意；
C、由，但夹角不相等，不能判断，故此选项符合题意；
D、由，满足两边对应成比例且夹角相等，可判断，故此选项不符合题意，
故选：C．
4．解：由题意可得：，，
，，，，
，，
，
又，
．
故选：B．
5．解：∵，
∴，，
∴，
∴，
即，
∴．
故选：A．
6．解：
故
故选：C．
7．解：四边形是矩形，
，，，
，
，
，
是的中点，
，
，
，
∽，
，
，
．
故选：B．
8．解：∵四边形是矩形，点B的坐标为，
∴，
∴点C的坐标为：，
∵矩形与矩形是位似图形，P是位似中心，点E的坐标为，
∴位似比为，
∴，
设，则，
解得：，
∴，
即点P的坐标为：．
故选：A．
9．解：设，则，
代入得：
故答案为．
10．解：根据题意，得
．
解得
．
故答案为：．
11．解：∵将折叠，使点与点重合，折痕为，
即，，
∵，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
又∵，，
即，
∴，
∴，
故，
故答案为：．
12．解：设与交于点M．

∵四边形是矩形，
∴ ，
∴，
∵和分别是和的高，
∴，
∴，
∵，
代入可得：，
解得，
∴，
故答案为：．
13．解：如图所示，延长交网格线于点D，
由网格的特点可知点E在格点处，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．

14．解：在正方形中，交于点为垂足，，
，
，即，
设正方形边长为，
则，解得，
过作于，如图所示：

，
，
，
，
在和中，
，
，
，
在中，，则，即，
令得，即，解得，
在中，，则，
（舍）；；
，
，
故答案为：．
15．解：∵，，
∴，
由旋转的性质得，
由勾股定理得，，
如图，过作的延长线于，

∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，解得，，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，解得，
∴，
故答案为：2．
16．解：根据题意知，与的位似比是．
若设点的纵坐标是，则点的纵坐标是．
因为点位于第一象限，
所以．
因为点的位于第三象限，
所以点的纵坐标是．
故答案为：．
17．解：（1）根据位似比是2可画出相对应的点，连接即可，如图所示即为所求；
（2）因为点A在直角坐标系的坐标为，建立平面直角坐标系如图所示，
∴和．
18．（1）证明：四边形是正方形，
，
，
，
，
，
在和中，，
．
（2）解：∵在正方形中，，点为的中点，
，，，
由（1）已证：，
，即，
解得，
，
又，
，
，即，
解得，
则的面积为．
19．解：由题意，得，，，
∴.∴.
∴.①
同理，，
∴.②
又∵，
∴由①，②可得，
即，
解得.
将代入①，得.
故路灯的高度约为6.0m.
20．（1）解：点是的“理想点”，理由如下：
是中点，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
点是的“理想点”；
（2）在上时，如图：

是的“理想点”，
或，
当时，
，
，
，即是边上的高，
当时，同理可证，即是边上的高，
在中，，，，
，
，
．
21．（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（2）证明：如图，在的延长线上取点，使，
∴，
∵四边形是平行四边形，

∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴．