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第2课时 余角与补角
1．下列语句错误的是 ( )
A．锐角的补角一定是钝角
B．一个锐角和一个钝角一定互补
C．互补的两角不能都是钝角
D．互余且相等的两角都是45°
2．一个锐角的补角比这个锐角的余角的3倍大，其度数可能是 ( )
A．45° B．60°
C．90° D．30°
3．下列描述正确的是 ( )
A．若∠1＋∠2＋∠3＝180°，则∠1、∠2、∠3互补
B．若∠1＝90°－∠2，那么∠1与∠2互为余角
C．互补的两个角一定是一个锐角，一个钝角
D．任何角都有余角
4．[2011·南通中考]已知∠α＝20°，则∠α的余角等于________．
5．若∠1＋∠2＝90°，∠3＋∠2＝90°，∠1＝40°，则∠3＝________，依据是________________．
6．已知一个角的补角比这个角的余角的3倍少10°，那么这个角是多少度？
7．已知：如图4－3－24所示，∠AOB和∠AOD分别是∠AOC的余角和补角，且OC是∠BOD的平分线，求∠AOC和∠BOD的度数．
图4－3－24
INCLUDEPICTURE "../../../B组1.EPS" \* MERGEFORMAT
8. 如图4－3－25，已知A、B、O三点在同一条直线上，∠AOE是直角，∠FOD＝90°，OB平分∠DOC.
图4－3－25
(1)图中与∠DOE互余的角是_____________________________
(2)图中与∠DOE互补的角是_______________________________________．
9．如图4－3－26，已知∠AOC与∠BOD都是直角，∠BOC＝59°.
(1)求∠AOD的度数．
(2)求∠AOB和∠DOC的度数．
(3)∠AOB与∠DOC有什么大小关系．
(4)如果不知道∠BOC的具体度数，其他条件不变，那么第(3)小题中的结论还成立吗？为什么？
图4－3－26
INCLUDEPICTURE "../../../C组1.eps" \* MERGEFORMAT
10．如图4－3－27所示，∠AOB是平角，OE、OD分别是∠BOC和∠AOC的平分线，那么∠COD和∠COE具有什么关系？为什么？
图4－3－27
答案解析
1．B 2.B
3．B 【解析】 互余和互补指的是两个角之间的关系．
4．70°
5．40° 同角的余角相等
6．【解析】 先设出这个角的度数，表示出这个角的余角、补角，再根据其数量关系构造出方程即可求解．
解：设这个角为x，依题意，得
180°－x＝3(90°－x)－10°，
所以x＝40°，
答：这个角的度数是40°.
7．【解析】 设∠AOC＝x°，由∠AOB和∠AOD分别是∠AOC的余角和补角可知∠AOB＝(90－x)°，∠AOD＝(180－x)°，再由OC是∠BOD的平分线，本题的相等关系为∠DOC＝∠BOC，即∠AOD－∠AOC＝∠AOC－∠AOB，因而可得方程为180－x－x＝x－(90－x)，求出x，便可求出∠AOC和∠BOD的度数，问题便可得到解决．
解：设∠AOC＝x°，依题意可得方程
180－x－x＝x－(90－x)，
解得x＝67.5.
所以∠AOC＝67.5°.
可由∠BOD＝2(∠AOC－∠AOB)或∠BOC＋∠COD或2∠BOC或2∠COD求得∠BOD＝90°.
8．(1)∠EOF，∠BOD，∠BOC (2)∠BOF，∠EOC
9．解：(1)∠AOD＝90°＋90°－59°＝121°.
(2)∠AOB＝31°，∠DOC＝31°.
(3)∠AOB＝∠DOC.
(4)成立，同角的余角相等．
10．解：∠COD和∠COE互余．
因为∠AOB是平角，OE、OD分别是∠BOC和∠AOC的平分线，所以∠COD＋∠COE＝∠AOC＋∠BOC＝(∠AOC＋∠BOC)＝∠AOB＝×180°＝90°.
所以∠COD与∠COE互余．
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第4章 图形的认识
4.1 几何图形
1．一个正方体的面共有 ( )
A．1个 B．2个
C．4个 D．6个
2．长方体属于 ( )
A．棱锥 B．棱柱
C．圆柱 D．以上都不对
3．观察下列几何体(如图4－1－8所示)，分类合理的是 ( )
图4－1－8
A．①②为一类，③④⑤为一类
B．①③⑤为一类，②④为一类
C．①②④为一类，③⑤为一类
D．②③④为一类，①⑤为一类
4．写出下列立体图形的名称：
(1) (2) (3) (4) (5) (6)
图4－1－9
(1)________；(2)________；(3)________；
(4)________；(5)________；(6)________．
5．图4－1－10中哪些图形是立体的，哪些是平面的？
图4－1－10
6．观察图4－1－11，任意写出5种你所熟悉的几何图形的名称．
图4－1－11
7．分别指出图4－1－12中的物体是由哪些立体图形组成的．
图4－1－12
INCLUDEPICTURE "../../../B组1.EPS" \* MERGEFORMAT
8．分别指出哪种立体图形的表面能展开成如图4－1－13所示的平面图形，请将它们写出来．
图4－1－13
(1)_ _______；(2)_ _______；(3)________．
INCLUDEPICTURE "../../../C组1.EPS" \* MERGEFORMAT
9．如图4－1－14所示，桌上放着一个茶壶，4名同学从各自的方向观察，请指出实物图右边的四幅图，从左至右分别是由哪个同学看到的？
图4－1－14
答案解析
1．D 【解析】 正方体的上、下、左、右、前、后各一个面，共6个面，故选D.
2．B 【解析】 长方体是四棱柱．
3．C 【解析】 根据柱体、锥体的概念进行分类，①②④是柱体，③⑤是锥体．
4．(1)圆柱 (2)圆锥 (3)正方体 (4)长方体 (5)六棱柱 (6)球
5．解析：平面图形的各个部分都在同一平面内，每条边都能看到，用实线表示；立体图形的各部分不都在同一平面内，有一些棱被正面挡住了，所以用虚线表示．
解： 立体图形有：①④⑤⑥⑦；平面图形有：②③.
6．解：答案不唯一，如长方形、正方形、长方体、正方体、球、棱柱、棱锥等
7．解： (1)正方体、圆柱、圆锥
(2)圆柱、棱柱
(3)棱柱、球
8．(1)五棱柱 (2)圆锥 (3)长方体
9．略
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4.3.2 角的度量与计算
第1课时 角的度量与计算
1．下列各角中，是钝角的为 ( )
A.周角 B.平角
C.周角 D．平角
2．两个锐角的和 ( )
A．一定是锐角
B．一定为钝角
C．一定为直角
D．可能是锐角或钝角或直角
3．时钟3时整，时针和分针之间的夹角是 ( )
A．240° B．30° C．90° D．60°
4．如图4－3－16所示，填空：
(1)∠AOD＝∠AOC＋________；
(2)∠BOC＝∠AOC－________；
(3)∠AOC＝∠AOD－________．
图4－3－16
图4－3－17
5．如图4－3－17所示，O为直线AB上一点，∠COB＝26°30′，则∠1＝________．
6．计算：87.3°＝________°____________________′；87°3′＝________°.
7．一副三角尺可拼成很多角，如图4－3－18是由一副三角尺拼成的2个图形，请你计算：在图4－3－18(1)中：∠ACD＝________，∠ABD＝________；在图4－3－18(2)中：∠BAG＝________，∠AGC＝________．
图4－3－18
8．计算：(1)102°43′32″＋77°16′28″；
(2)87°2′36″－36°37′24″；
(3)15°51′×2.
INCLUDEPICTURE "../../../B组1.EPS" \* MERGEFORMAT
9．40°15′的一半是 ( )
A．20° B．20°7′
C．20°8′ D．20°7′30″
10．学校、公园、商店在平面上的位置分别是A、B、C三点，若公园在学校的南偏西42°，商店在学校的北偏东50°，画出图形，并求∠BAC.
INCLUDEPICTURE "../../../C组1.eps" \* MERGEFORMAT
11．如图4－3－19所示，ON是∠BOC的平分线，OM是∠AOC的平分线，如果∠AOC＝28°，∠BOC＝42°，
(1)求∠MON的度数．
(2)当射线OC在∠AOB的内部绕点O转动，那么射线OM、ON的位置是否发生变化？说明理由．
(3)∠MON的大小是否发生变化？如果不变，请说出其度数，如果变化，请说出变化范围．
图4－3－19
答案解析
1．B 【解析】 周角、平角、周角分别为90°、120°、180°.
2．D
3．C 【解析】 3与12之间有3大格，1大格是30°，所以夹角是30°×3＝90°.
4．(1)∠COD (2)∠AOB (3)∠COD
5．153°30′ 【解析】 根据图可知∠1与∠COB互补，所以∠1＝180°－26°30′＝153°30′.
6．87 18 87.05 【解析】 ( http: / / www.21cnjy.com )0.3°＝0.3×60′＝18′，所以87.3°＝87°18′；3′÷60＝0.05°，所以87°3′＝87.05°.
7．75° 135° 45° 105°
【解析】 直角三角尺的三个角的度数分别为30°、60°、90°与45°、45°、90°，再利用角的和、差关系求解．
8．解：(1)180°；(2)50°25′12″；(3)15°51′×2＝30°102′＝31°42′.
9．D 【解析】 40°15′÷2＝40°÷2＋15′÷2＝20°＋7′＋60″÷2＝20°7′30″.
10．解：如图所示，∠BAC＝42°＋90°＋(90°－50°)＝172°.
第10题答图
11．【解析】 ∠MON＝∠MOC＋∠CON，根据角平分线的定义∠MOC＝∠AOC＝×28°，∠CON＝∠COB＝×42°，从而∠MON的度数可求．
解： (1)∠MON＝∠MOC＋∠CON
＝∠AOC＋∠COB＝
＝(28°＋42°)＝35°.
(2)OM、ON的位置发生变化．
理由如下：当OC绕点O转动时，∠AOC的大小发生变化，
由于∠AOM＝∠AOC，
所以∠AOM的度数也发生变化，
又因为射线OA的位置不变，
所以OM的位置随OC的位置变化而变化．
同理，ON的位置随OC的位置而变化．
(3)∠MON的大小不变，∠MON＝∠AOB＝35°.
理由如下：
∠MON＝∠AOC＋∠BOC＝(∠AOC＋∠BOC)＝∠AOB＝×70°＝35°.
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4.2 线段、射线、直线
第1课时 线段、射线、直线
1．关于直线、射线、线段的描述正确的是 ( )
A．直线最长，线段最短
B．射线的长度是直线长度的一半
C．直线没有端点
D．直线、线段、射线的长度都不确定
2．如图4－2－7，下列说法错误的是 ( )
图4－2－7
A．直线MN与直线NO是同一条直线
B．射线MN与射线MO是同一条射线
C．线段NO与线段ON是同一条线段
D．射线MO与射线NO是同一条射线
3．下列说法正确的是 ( )
A．直线a，b相交于m点
B．直线AB与CD相交于m点
C．直线a，b相交于M点
D．直线ab，cd相交于M点
4．图中的直线a，射线b，线段c，可以相交的是 ( )
A B C D
图4－2－8
5．读下列语句，并按照这些语句画出图形．
(1)过点A和点B画直线AB；
(2)直线AB与CD相交于点C；
(3)点A在直线l上，而点B在直线l外；
(4)三条直线a，b，c都经过点M.
INCLUDEPICTURE "../../../B组1.EPS" \* MERGEFORMAT
6．如果要在墙上固定一根木条，你认为至少要钉子 ( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
7．如图4－2－9所示，用几何语言表述下列图形．
图4－2－9
INCLUDEPICTURE "../../../C组1.eps" \* MERGEFORMAT
8．往返北京、塘沽两地的轻轨列车，中途停靠两个站，问：这趟列车有多少种不同的票价？(注：里程相同，票价相同)
答案解析
1．C
2．D 【解析】 射线MO与射线NO的端点不同，不是同一条射线．
3．C 【解析】 选项A、B中，m没有大写；选项D中，直线ab、cd中的字母要大写．
4．B 【解析】 线段没有延长方向，射线与直线在图中只画出了一部分，要注意其延长方向．
5．解：如答图所示．
第5题答图
6．B 【解析】 根据经过两点有且只有一条直线，在墙上固定一根木条，至少要2个钉子．
7．【解析】 用符号语言表述图形中的特征，本题主要说明直线与直线的位置关系、点与直线的位置关系．
解： (1)经过点B的直线a不经过点A；(2)直线a、b、c两两相交，交点分别为点A、B、C.
8．解：北京、塘沽及中途的两个站，可以看作一条直线上的四个点，于是有6条线段，因此这列车有6种不同的票价．
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第2课时 线段大小的比较
1．下列图形能比较大小的是 ( )
A．直线与线段
B．直线与射线
C．两条线段
D．射线与线段
2．在跳绳比赛中，要在两条绳中挑出一条最长的绳子参加比赛，选择的方法是
( )
A．把两条绳子的一端对齐，然后拉直两条绳子，另一端在外面的即为长绳
B．把两条绳子接在一起
C．把两条绳子重合，观察另一端情况
D．没有办法挑选
3．下列说法正确的是 ( )
A．两点之间的连线中，直线最短
B．线段AB是点A与点B的距离
C．两点之间，线段最短
D．两点之间的线段叫做两点之间的距离
4．如果线段AB＝5厘米，BC＝3厘米，那么A、C两点的距离是 ( )
A．8厘米
B．2厘米
C．4厘米
D．无法确定
5．如图4－2－13所示三角形，用直尺和圆规画出一条线段a，使a＝AC＋BC，然后比较a与AB的长短．
图4－2－13
INCLUDEPICTURE "../../../B组1.EPS" \* MERGEFORMAT
6．下列说法正确的是 ( )
A．两点之间的连线中，直线最短
B．若P是线段AB的中点，则AP＝BP
C．若AP＝BP，则P是线段AB的中点
D．两点之间的线段叫做两点之间的距离
7．如图4－2－14，线段AB＝4，点O是线段AB上一点，C、D分别是线段OA、OB的中点，小明据此很轻松地求得CD＝2.若点O在AB的延长线上，原结论“CD＝2”是否仍然成立？
图4－2－14
INCLUDEPICTURE "../../../C组1.eps" \* MERGEFORMAT
8．如图4－2－15所示， ( http: / / www.21cnjy.com )设A、B、C、D为4个居民小区，现要建一购物中心，试问把购物中心建在何处才能使4个居民小区到购物中心的距离之和最小？说明理由．
图4－2－15
答案解析
1．C 【解析】 直线、射线都可以无限延伸，无法比较大小，只有线段可以比较大小．
2．A 【解析】 线段长短的比较方法：把两条线段的一个端点重合，然后将两条线段叠合在一起，观察两条线段的另一个端点的位置．
3．C 【解析】 根据线段的性质“两点之间，线段最短”和“两点之间的线段的长度叫做两点之间的距离”判断，选项A、B、D错误，选项C正确，故选C.
4．D 【解析】 因为线段AB、BC可能在一条直线上，也可能不在一条直线上，所以无法确定A、C两点的距离．
5．解：画图略，a＞AB.
6．B 【解析】 选项A错误，两点之间的连线中，线段最短；选项B正确，根据中点的定义可知若P是线段AB的中点，则AP＝BP；选项C错误，只有当点P在线段AB上，且AP＝BP时，点P才是线段AB的中点；选项D错误，连接两点的线段的长度叫做两点的距离．
7．解：原结论仍成立，当点O在线段AB的延长线上时，如图所示，CD＝OC－OD＝(OA－OB)＝AB＝2.
第7题答图
8．【解析】 利用“两点之间，线段最短”解决距离最小的问题．
解： 建在AC与BD的交点上．根据两点之间线段最短，购物中心应建在A区和C区所连接的线段上，又要建在B区与D区连接的线段上，故应建在AC与BD的交点上，才能使4个居民小区到购物中心的距离之和最小．
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4.3 角
4.3.1 角与角的大小比较
1．下列说法不正确的是 ( )
A．∠AOB的顶点是O
B．∠AOB的边是两条射线
C．∠AOB与∠BOA表示同一个角
D．射线BO、射线AO分别是∠AOB的边
2．如图4－3－5所示，若∠AOD＝∠BOC，那么 ( )
A．∠1＞∠2
B．∠1＝∠2
C．∠1＜∠2
D．∠1与∠2的大小不能确定
图4－3－5
图4－3－6
3．如图4－3－6所示，下列表示∠α的方法中，正确的是 ( )
A．∠C B．∠ACB
C．∠ADC D．∠ACD
4．若∠A>∠B，∠B>∠C，则∠A与∠C的大小关系是________．
5．如图4－3－7所示，OB是∠AOC内部的一条射线，若∠AOB＝________，则OB平分∠AOC；若OB是∠AOC的平分线，则________＝2∠BOC.
图4－3－7
图4－3－8
6．如图4－3－8，图中最大的角是 ( http: / / www.21cnjy.com )________，其中∠AOC＝________＋________，∠AOC＝________－________，∠BOD＝________＋________
7．如图4－3－9所示，已知线段AB、∠α、∠β，请分别过点A、点B画∠CAB＝∠α、∠CBA＝∠β.
图4－3－9
INCLUDEPICTURE "../../../B组1.EPS" \* MERGEFORMAT
8．如图4－3－10所示，OB，OC是∠ ( http: / / www.21cnjy.com )AOD内的任意两条射线，OM平分∠AOB，ON平分∠COD，若∠MON＝α，∠BOC＝β，则表示∠AOD的代数式是 ( )
A．2α－β B．α－β
C．α＋β D．以上都不正确
9．比较两个角的大小，有以下两种方法(规则)：
①用量角器量两个角的大小，用度数表示，则角度大的角大；
②构造图形，如果一个角包含(或覆盖)另一个角，则这个角大．
对于如图4－3－11给定的∠ABC与∠DEF，用以上两种方法分别比较他们的大小．
(注：构造图形时，作示意图(草图)即可)
图4－3－11
INCLUDEPICTURE "../../../C组1.eps" \* MERGEFORMAT
10．如图4－3－12所示，在∠AO ( http: / / www.21cnjy.com )B的内部引1条射线OC，可得几个小于平角的角？引2条射线OC、OD呢？引3条射线OC、OD、OE呢？若引10条射线一共会有多少个角？引n条射线呢？
图4－3－12
答案解析
1．D 2.B 3.D
4．∠A>∠C
5．∠AOC ∠AOC
6．∠AOD ∠AOB ∠BOC ∠AOD ∠COD ∠BOC ∠COD
7．解： 画图略．
8．A 【解析】 ∵∠MON＝α，∠BOC＝β，
∴∠MON－∠BOC＝∠CON＋∠BOM＝α－β，
又∵OM平分∠AOB，ON平分∠COD，
∴∠CON＝∠DON，∠AOM＝∠BOM，
由题意得∠AOD＝∠MON＋∠DON＋∠AOM＝∠MON＋∠CON＋∠BOM＝α＋(α－β)＝2α－β.
9．解：具体操作略，∠ABC＜∠DEF.
10．【解析】 通过研究简单的情况，寻找规律，得出一般情况下的结论．
解：引1条射线有2＋1＝3个角；
引2条射线有3＋2＋1＝6个角；
引3条射线有4＋3＋2＋1＝10个角；
引10条射线有11＋10＋9＋…＋3＋2＋1＝66个角．
引n条射线有(n＋2)(n＋1)个角．
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图4－3－10
