四川省遂宁中学2015届高三第一次月考试数学(理)试题

遂宁中学高三第一次月考试数学（理）试题
第 Ⅰ 卷（单项选择题，共50分）
一、选择题（本大题共10个小题，每个5分，共50分）
1. 在的展开式中，含项的系数为（ ）
(A)28 (B)56 (C)70 (D)8
2. 已知是虚数单位，若与互为共轭复数，则( )
（A） (B) (C) (D)
3. 设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
4. 设是公比为的等比数列，则“为递增数列”是“”的( )
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
5 .将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（ ）
A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增
C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增
6. 执行如图所示的程序框图，若输入的的值为1，则输出的的值为( )
(A)5 (B)3 (C)2 (D)1
7. 某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
(A) (B) (C) (D)
8.(2014安徽)设函数f(x)（x∈R）满足f(x+π)=f(x)+sinx.当0≤x＜π时，f(x)=0，则=( )
（A） （B） （C）0 （D）
9．如图，已知椭圆Cl：+y2=1，双曲线C2：=1（a>0，b>0），若以C1的长轴为直径的圆与C2的一条渐近线相交于A，B两点，且C1与该渐近线的两交点将线段AB三等分，则C2的离心率为( )
（A）5 （B） （C） （D）
10.【2014年湖南卷（理10）】已知函数与的图象上存在关于 轴对称的点，则的取值范围是
A. B. C. D.
第 Ⅱ 卷（非选择题，共100分）
二、填空题（本大题共5个小题，每题5分，共25分）
11 .若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程________
12.若实数x,y满足xy=1,则+的最小值为______________.
13.在中，已知，当时，的面积为 .
14.要从7个班中选10人参加演讲比赛，每班至少1人，共有 种不同的选法.
15.下图展示了一个由区间到实数集的映射过程：区间中的实数对应数上的点，如图1；将线段围成一个圆，使两端点恰好重合，如图2；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在轴上，点的坐标为，如图3.图3中直线与轴交于点，则的象就是，记作.

下列说法中正确命题的序号是 .(填出所有正确命题的序号)
①方程的解是； ②； ③是奇函数； ④在定义域上单调递增； ⑤的图象关于点 对称．
三、解答题（本大题共6道大题，共计75分）
16．（本小题满分12分）已知函数.
若，且，求的值；
求函数的最小正周期及单调递增区间.
17．（本小题满分12分）经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出t该产品获利润元,未售出的产品,每t亏损元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示.经销商为下一个销售季度购进了t该农产品,以(单位:t,)表示下一个销售季度内的市场需求量,(单位:元)表示下一个销售季度内销商该农产品的利润.
(Ⅰ)将表示为的函数;
(Ⅱ)根据直方图估计利润不少于57000元的概率;
(Ⅲ)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若,则取,且的概率等于需求量落入的概率),求利润的数学期望.

18．（本小题满分12分）已知为定义在 上的奇函数，当时，函数解析式为、
（Ⅰ）求的值，并求出在上的解析式；
（Ⅱ）求在上的最值．
19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面，， ，， ，点为棱的中点.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若为棱上一点，满足，
求二面角的余弦值.
20．（本小题满分13分）已知等差数列的公差为2，前项和为，且，，成等比数列。
（I）求数列的通项公式；
（II）令=求数列的前项和。
．
21.（本小题满分14分）巳知函数f（x）=x1nx，g（x）=ax2－bx，其中a，b∈R。
（I）求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）当a>0，且a为常数时，若函数h（x）=x[g（x）+1]对任意的x1>x2≥4，总有成立，试用a表示出b的取值范围；
（Ⅲ）当b=a时，若f （x+1）≤g（x）对x∈[0，+∞）恒成立，求a的最小值。
遂中高三第一次月考试数学（理）试题答案

1~10 ADBDB BBACB
11 x=-2 12. 13. 1/6 14. 84 15.①④⑤
16．解：方法一：(1)因为0<α<，sinα＝，所以cosα＝.
所以f(α)＝×－＝.
(2)因为f(x)＝sin xcos x＋cos2x－＝sin 2x＋－＝sin 2x＋cos 2x
＝sin，
所以T＝＝π.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
17.
18.解：(Ⅰ)∵f(x)为定义在[－1,1]上的奇函数，且f(x)在x＝0处有意义，
∴f(0)＝0，即f(0)＝＝1－＝0.
＝1. .......... 3分
设x∈[0,1]，则－x∈[－1,0]．
∴f(－x)＝－＝4x－2x.
又∵f(－x)＝－f(x)
∴－f(x)＝4x－2x.
∴f(x)＝2x－4x.
所以，在 [上的解析式为f(x)＝2x－4x .............. 6分
(Ⅱ)当x∈[0,1]，f(x)＝2x－4x＝2x－(2x)2，
∴设t＝2x(t>0)，则f(t)＝t－t2.
∵x∈[0,1]，∴t∈[1,2]．
当t＝1时，取最大值，最大值为1－1＝0.
当t=0时，取最小值为-2.
所以，函数在[0,1]上的最大与最小值分别为0，-2. ............. 12分
20.解:解法一：坐标法。
依题意，以点为原点建立空间直角坐标系（如图），.........................2分
可得，，，.由为棱的中点，得.
（Ⅰ）向量，，故. 所以，. ................................................5分
（Ⅱ）向量，，，.
由点在棱上，设，.
故.
由，得，
因此，，解得. ...........................7分
即.
设为平面的法向量，则即
不妨令，可得为平面的一个法向量. ..................9分
取平面的法向量，则
.
易知，二面角是锐角，所以其余弦值为. ................12分
解法二：几何法。
（Ⅰ）如图，取中点，连接，.
由于分别为的中点， 故，且，又由已知，可得且，故四边形为平行四边形，所以.
因为底面，故，而，从而平面，因为平面，于是，又，所以. ....................................................5分
（Ⅱ）如图，在中，过点作交于点.
因为底面，故底面，
从而.又，得平面，因此.
在底面内，可得，
.在平面内，作交于点，于是.
由于，故，所以四点共面.
由，，得平面，故.
所以为二面角的平面角. ..........................9分
在中，，，，
由余弦定理可得，
在三角形PAG中，由余弦定理得.
所以，二面角的斜率值为..........................12分
20.【解析】（I）
解得 …………………5分
（II） ……………………7分
……………………12分