华师大版数学八年级上册 12.3.2 两数和(差)的平方教案
文档属性
| 名称 | 华师大版数学八年级上册 12.3.2 两数和(差)的平方教案 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 95.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-08-05 13:17:39 | ||
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文档简介
12.3.2 两数和(差)的平方
1．让学生学会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的运算；
2．体验数学活动充满着探索性和创造性，培养概括能力，体会数形结合的思想．
完全平方公式的推导及利用完全平方公式进行简单计算．
理解公式中字母的广泛含义．
一、情景导入 感受新知
问题情境：
1．说出平方差公式．
(两数的和乘以这两数的差等于这两个数的平方差．)
2．计算：(x＋a)(x＋b)＝________．
3．计算：(1)(p＋1)2＝(p＋1)(p＋1)＝________；
(2)(m－2)2＝(m－2)(m－2)＝________．
二、自学互研 生成新知
【自主探究】
阅读教材P32～P34，完成下面的内容：
活动1：引导观察．
问题1：在(x＋a)(x＋b)中，若a＝b，那么上述式子将会成为怎样的式子？计算结果是什么？
(学生回答：变为(x＋a)(x＋a)，计算结果是x2＋2ax＋a2.由此教师指 出可得另一个乘法公式即(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，由此引入课题．)
问题2：这个公式的左边和右边各有什么特点？
(引导学生观察，说出公式左边和右边的特点，并能用语言叙述，教师再加以纠正、完善．)
问题3：(a＋b)2＝a2＋b2对吗？为什么？
(强化学生对公式结构的理解，防止今后出现类似的错误．)
问题4：你会用(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2计算(a－b)2.
引导学生将“－b”看作一个数，将(a－b)2化为[a＋(－b)]2＝a2＋ 2a×(－b)＋(－b)2＝a2－2ab＋b2，并指出这也是一个乘法公式：(a－b)2＝a2－2ab＋b2.
【合作探究】
活动2：试一试：你能用图形验证：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2及(a－b)2＝a2－2ab＋b2吗？
在左图中，大正方形的面积是(a＋b)2，它由两个小正方形和两个相等的长方形组成的，两个小正方形的面积分别是a2、b2，长方形的面积是ab，所以有等式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2.
在右图中，大正方形的面积是a2，两个小正方形的面积分别是(a－b)2、b2，两个相等的长方形面积都是(a－b)·b，于是有a2＝(a－b)2＋2(a－b)·b＋b2，即(a－b)2＝a2－2(a－b)·b－b2＝a2－2ab＋b2.
追问：比较(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2及(a－b)2＝a2－2ab＋b2这两个公式，它们有什么不同？有什么联系？
(引导学生进一步总结公式的结构特点，公式的左边是两数和(或差)的平方，右边是一个三项式，其中两项是这两个数的平方，另一项是这两个数积的2倍．)
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2.
这就是说，两数和的平方，等于它们的平方和加上这两数积的2倍．
【师生活动】①明了学情：关注学生在探究过程中对完全平方公式的理解与掌握情况．
②差异指导：对学生在探究过程中产生的疑惑及时引导与点拨．
③生生互助：学生在小组内交流、讨论，相互释疑，达成共识．
三、典例剖析 运用新知
【合作探究】
例1：计算：(1)(2a＋3b)2；
(2)(2a＋)2.
解：(1)(2a＋3b)2＝ (2a)2＋2·2a·3b＋(3b)2＝4a2＋12ab＋9b2.
(2)(2a＋)2＝(2a)2＋2·2a·＋＝ 4a2＋2ab＋.
例2：计算
(1)(a－b)2；(2)(2x－3y)2.
解：(1)(a－b)2＝ [a＋(－b)]2＝a2＋2·a·(－b)＋(－b)2＝a2－2ab＋b2.
(2)(2x－3y)2＝[2x＋(－3y)]2＝(2x)2＋2·(2x)·(－3y)＋(－3y)2＝4x2－12xy＋9y2.
例3：利用完全平方公式进行计算．
(1)1022；(2)1992
四、课堂小结 回顾新知
这节课你有什么收获？学到了什么？还有哪些需要老师帮你解决的问题？
【教师共同回顾】(1)公式中字母可以是数也可以是单项式或多项式．
(2)在解决具体问题时，要先考察题目是否符合公式条件，若不符合，需要先进行变形，使变形后的式子符合公式的条件，然后再应用公式计算．
五、检测反馈 落实新知
1．计算：
(1)(4m＋n)2；(2)(y＋)2；(3)(－2x＋3y)2.
解：(1)原式＝(4m)2＋2×4m·n＋n2＝16m2＋8mn＋n2；
(2)原式＝y2＋2×y·＋()2＝y2＋y＋；
(3)原式＝(－2x)2＋2×(－2x)·3y＋(3y)2＝4x2－12xy＋9y2.
2．利用完全平方公式计算：
(1)10.32；(2)992.
解：(1)10.32＝(10＋0.3)2＝102＋2×10×0.3＋0.32＝100＋6＋0.09＝106.09；
(2)992＝(100－1)2＝1002－2×100×1＋12＝10000－200＋1＝9801.
3．计算．
(1)(m＋n)(m－n)(m2－n2)；
解：原式＝(m2－n2)2
＝m4－2m2n2＋n4；
(2)(a＋b＋c)2.
解：原式＝a2＋2a(b＋c)＋(b＋c)2
＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc.
六、课后作业 巩固新知
见学生用书．
1．让学生学会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的运算；
2．体验数学活动充满着探索性和创造性，培养概括能力，体会数形结合的思想．
完全平方公式的推导及利用完全平方公式进行简单计算．
理解公式中字母的广泛含义．
一、情景导入 感受新知
问题情境：
1．说出平方差公式．
(两数的和乘以这两数的差等于这两个数的平方差．)
2．计算：(x＋a)(x＋b)＝________．
3．计算：(1)(p＋1)2＝(p＋1)(p＋1)＝________；
(2)(m－2)2＝(m－2)(m－2)＝________．
二、自学互研 生成新知
【自主探究】
阅读教材P32～P34，完成下面的内容：
活动1：引导观察．
问题1：在(x＋a)(x＋b)中，若a＝b，那么上述式子将会成为怎样的式子？计算结果是什么？
(学生回答：变为(x＋a)(x＋a)，计算结果是x2＋2ax＋a2.由此教师指 出可得另一个乘法公式即(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，由此引入课题．)
问题2：这个公式的左边和右边各有什么特点？
(引导学生观察，说出公式左边和右边的特点，并能用语言叙述，教师再加以纠正、完善．)
问题3：(a＋b)2＝a2＋b2对吗？为什么？
(强化学生对公式结构的理解，防止今后出现类似的错误．)
问题4：你会用(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2计算(a－b)2.
引导学生将“－b”看作一个数，将(a－b)2化为[a＋(－b)]2＝a2＋ 2a×(－b)＋(－b)2＝a2－2ab＋b2，并指出这也是一个乘法公式：(a－b)2＝a2－2ab＋b2.
【合作探究】
活动2：试一试：你能用图形验证：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2及(a－b)2＝a2－2ab＋b2吗？
在左图中，大正方形的面积是(a＋b)2，它由两个小正方形和两个相等的长方形组成的，两个小正方形的面积分别是a2、b2，长方形的面积是ab，所以有等式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2.
在右图中，大正方形的面积是a2，两个小正方形的面积分别是(a－b)2、b2，两个相等的长方形面积都是(a－b)·b，于是有a2＝(a－b)2＋2(a－b)·b＋b2，即(a－b)2＝a2－2(a－b)·b－b2＝a2－2ab＋b2.
追问：比较(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2及(a－b)2＝a2－2ab＋b2这两个公式，它们有什么不同？有什么联系？
(引导学生进一步总结公式的结构特点，公式的左边是两数和(或差)的平方，右边是一个三项式，其中两项是这两个数的平方，另一项是这两个数积的2倍．)
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2.
这就是说，两数和的平方，等于它们的平方和加上这两数积的2倍．
【师生活动】①明了学情：关注学生在探究过程中对完全平方公式的理解与掌握情况．
②差异指导：对学生在探究过程中产生的疑惑及时引导与点拨．
③生生互助：学生在小组内交流、讨论，相互释疑，达成共识．
三、典例剖析 运用新知
【合作探究】
例1：计算：(1)(2a＋3b)2；
(2)(2a＋)2.
解：(1)(2a＋3b)2＝ (2a)2＋2·2a·3b＋(3b)2＝4a2＋12ab＋9b2.
(2)(2a＋)2＝(2a)2＋2·2a·＋＝ 4a2＋2ab＋.
例2：计算
(1)(a－b)2；(2)(2x－3y)2.
解：(1)(a－b)2＝ [a＋(－b)]2＝a2＋2·a·(－b)＋(－b)2＝a2－2ab＋b2.
(2)(2x－3y)2＝[2x＋(－3y)]2＝(2x)2＋2·(2x)·(－3y)＋(－3y)2＝4x2－12xy＋9y2.
例3：利用完全平方公式进行计算．
(1)1022；(2)1992
四、课堂小结 回顾新知
这节课你有什么收获？学到了什么？还有哪些需要老师帮你解决的问题？
【教师共同回顾】(1)公式中字母可以是数也可以是单项式或多项式．
(2)在解决具体问题时，要先考察题目是否符合公式条件，若不符合，需要先进行变形，使变形后的式子符合公式的条件，然后再应用公式计算．
五、检测反馈 落实新知
1．计算：
(1)(4m＋n)2；(2)(y＋)2；(3)(－2x＋3y)2.
解：(1)原式＝(4m)2＋2×4m·n＋n2＝16m2＋8mn＋n2；
(2)原式＝y2＋2×y·＋()2＝y2＋y＋；
(3)原式＝(－2x)2＋2×(－2x)·3y＋(3y)2＝4x2－12xy＋9y2.
2．利用完全平方公式计算：
(1)10.32；(2)992.
解：(1)10.32＝(10＋0.3)2＝102＋2×10×0.3＋0.32＝100＋6＋0.09＝106.09；
(2)992＝(100－1)2＝1002－2×100×1＋12＝10000－200＋1＝9801.
3．计算．
(1)(m＋n)(m－n)(m2－n2)；
解：原式＝(m2－n2)2
＝m4－2m2n2＋n4；
(2)(a＋b＋c)2.
解：原式＝a2＋2a(b＋c)＋(b＋c)2
＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc.
六、课后作业 巩固新知
见学生用书．