河北省张家口市宣化区2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题（含答案）

张家口市宣化区2022-2023学年高二下学期期中考试
数学试卷
考试时间：120分钟 满分：150分
一 单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
2.由变量与相对应的一组数据得到的线性回归方程为，则等于（ ）
A.88 B.90 C.92 D.96
3.已知函数在处取得极大值，则的值为（ ）
A.1 B.3 C.1或3 D.2或-2
4..则（ ）
A.1 B.-1 C.1023 D.-1023
5.若函数在区间内存在单调递增区间，则实数取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6.甲 乙 丙 丁 戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次，已知甲和乙都没有得到冠军，并且乙不是第5名，则这5个人的名次排列情况共有（ ）
A.72种 B.54种 C.36种 D.27种
7.已知是函数的导数.若的图象如图所示，则的图象最有可能是（ ）
A. B.
C. D.
8.猜灯谜是中国元宵节特色活动之一.已知甲 乙 丙三名同学同时猜一个灯谜，每人猜对的概率均为，并且每人是否猜对相互独立.在三人中至少有两人猜对的条件下，甲猜对的概率为（ ）
A. B. C. D.
二 多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）
9.下列运算不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10.五个人并排站在一起，则下列说法正确的有（ ）
A.若两人站在一起有24种方法
B.若不相邻共有72种方法
C.若在左边有48种排法
D.若不站在最左边，不站最右边，有78种方法
11.二项式的展开式中的有理项为（ ）
A. B. C. D.
12.以人工智能 量子信息等颠覆性技术为引领的前沿趋势，将重塑世界工程科技的发展模式，对人类生产力的创新提升意义重大.某公司抓住机遇，成立了甲 乙 丙三个科研小组针对某技术难题同时进行科研攻关，攻克该技术难题的小组都会受到奖励.已知甲 乙 丙三个小组攻克该技术难题的概率分别为，且三个小组各自独立进行科研攻关，则下列说法正确的是（ ）
A.甲 乙 丙三个小组均受到奖励的概率为
B.只有甲小组受到奖励的概率为
C.受到奖励的小组数的期望值等于
D.该技术难题被攻克的条件下，只有丙小组受到奖励的概率为
三 填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.某科技小组有5名男生 3名女生，从中任选3名同学参加活动，若表示选出女生的人数，则__________.
14.若函数无极值点，则实数的取值范围是__________.
15.有3名党员干部到5个贫困户家里扶贫，每名党员干部至少帮扶一个贫困户，且每个贫困户家里有且仅有一名党员干部帮扶，则共有__________种不同的安排方案.（用数字作答）
16.用模型拟合变量与的关系时，为了求出回归方程，设，得到线性回归方程，则__________.
四 解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本小题10分）已知二项式的第三项和第八项的二项式系数相等.
（1）求的值.
（2）若展开式的常数项为84，求.
18.（本小题12.0分）已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求的单调区间；
（3）若方程在上有两个相异实根，求实数的取值范围.
19.（本小题12.0分）某医疗机构为了解某疾病与喝酒是否有关，进行了一次抽样调查，数据如下表：
未患病 患病 合计
喝酒 110 40 150
不喝酒 90 10 100
合计 200 50 250
（1）根据数据，能否有把握认为，患病与喝酒有关？
（2）从喝酒的150人中按分层抽样的方法抽取15人，再从这15人中抽取3人，求至少有1人患病的概率.
参考公式：其中
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
20.（本小题12.0分）某商场销售某件商品的经验表明，该商品每日的销量（单位：千克）与销售价格（单位：元/千克）满足关系式，其中为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.
（1）求实数的值；
（2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大，并求出最大值.
21.（本小题12.0分）某校高二年级模仿《中国诗词大会》节目举办学校诗词大会，进入正赛的条件为：先参加初赛，初赛时，电脑随机抽取10首不同的古诗，参赛者能够正确背诵6首及以上的参赛者进入正赛，若学生甲参赛，他背诵每一首古诗的正确的概率均为；
（1）求甲在初赛中恰好正确背诵8首的概率；
（2）若进入正赛，则用积分淘汰制，规则是：参赛者初始分为零分，电脑随机抽取4首不同的古诗，每首古诗背诵正确加2分，错误减1分，由于难度增加，甲背诵每首古诗正确的概率为，求甲在正赛中积分的概率分布列.
22.（本小题12.0分）已知函数
（1）求函数的图象在处的切线方程；
（2）求函数的极值；
（3）若，且对任意恒成立，求的最大值.
张家口市宣化区2022-2023学年高二下学期期中考试
数学
参考答案
一 单选题
1.C 2.D 3.B 4.D 5.D 6.B 7.C
8.A
解：由，得，由，
即，所以.故选：.
二 多选题
9.ABC 10.BD 11.ACD
12.AD
解：对于，即三个小组都攻克了该技术难题，其概率为，故正确；
对于，即只有甲小组攻克该技术难题，其概率为，故错误；
对于，记受到奖励的小组数为，则的所有可能取值为，且
，
，
，
故的数学期望，故错误；
对于，设事件为“该技术难题被攻克”，事件为“只有丙小组受到奖励”，由题意得，所以
，故正确.故选：.
三 填空题
13. 14. 15.
16.
解：两边取对数，可得，
令，可得，
，则故答案为.
四 解答题
17.解：（1）由第3项和第8项的二项式系数相等可得，解得.
（2）由（1）知，展开式的第项为：
；令得，此时：
展开式的常数项为：，则，即.
18.解：（1）的定义域为，
，又，
曲线在点处的切线方程为：；
（2），令，得，
时，时，，
故的单调递增区间是，单调递减区间是；
（3）方程在上有两个相异实根，
即方程在上有两个相异实根，
即在上有两个相异实根，
令，则，
当时，，当时，，
在单调递减，在上单调递增，
又，
要使在上有两个相异实根，须
实数的取值范围为.
19.解：（1）提出假设：是否患病与喝酒无关，
由题意可求：
所以有的把握认为患病与喝酒有关；
（2）由题意知：所抽取的15人中，末患病的有人，患病的有人，
记“至少有一人患病”为事件，则.
答：至少有一人患病的概率为.
20.解：（1）时，，
由函数式，得，解得；
（2）由（1）知该商品每日的销售量，
设商场每日销售该商品所获得的利润为，
则，
，
令，解得，
当时，，函数在上单调递增；
当时，，函数在上单调递减；
当时，函数取得最大值，
所以当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获的利润最大，为42元.
21.解：（1）根据二项分布，得甲在初赛恰好正确背诵8首的概率为
所以甲在初赛恰好正确背诵8首的概率为
（2）甲的积分的可能的取值为8分，5分，2分，-1分，-4分，
则，
，
所以的概率分布列为：
8 5 2 -1 -4
22.解：（1）因为，
所以定义域为，且，
所以，又，
所以函数的图象在处的切线方程；
（2）因为，令，得；
令，得；所以的递增区间为的递减区间为.所以当时，函数取极小值，极小值为，无极大值；
（3）由（1）知，，所以对任意恒成立，
即对任意恒成立.令，则，
令，则，
所以函数在上单调递增.
因为，
所以方程在上存在唯一实根，
当时，，即，
当时，，即，
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
所以.
所以.故整数的最大值是3.