人教版数学七年级上册全册教案
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文档简介
第一章 有理数
1.1 正数和负数1
1.2 有理数3
1.2.1 有理数3
1.2.2 数 轴5
1.2.3 相反数7
1.2.4 绝对值9
1.3 有理数的加减法11
1.3.1 有理数的加法11
第1课时 有理数的加法11
第2课时 有理数加法的运算律及运用13
1.3.2 有理数的减法15
第1课时 有理数的减法法则15
第2课时 有理数的加减混合运算17
1.4 有理数的乘除法19
1.4.1 有理数的乘法19
第1课时 有理数的乘法法则19
第2课时 乘法的运算律21
1.4.2 有理数的除法23
第1课时 有理数的除法23
第2课时 加减乘除混合运算25
1.5 有理数的乘方27
1.5.1 乘 方27
第1课时 有理数的乘方27
第2课时 有理数的混合运算29
1.5.2 科学记数法31
1.5.3 近似数32
第二章 整式的加减
2.1 整 式33
第1课时 用字母表示数33
第2课时 单项式35
第3课时 多项式36
2.2 整式的加减38
第1课时 合并同类项38
第2课时 去括号40
第3课时 整式的加减42
第三章 一元一次方程
3.1 从算式到方程44
3.1.1 一元一次方程44
3.1.2 等式的性质46
3.2 解一元一次方程(一)——合并同类项与
移项48
第1课时 合并同类项解一元一次方程48
第2课时 移项解一元一次方程50
3.3 解一元一次方程(二)——去括号与去
分母52
第1课时 去括号解一元一次方程52
第2课时 去分母解一元一次方程54
3.4 实际问题与一元一次方程56
第1课时 配套、工程问题56
第2课时 销售、球赛积分问题58
第3课时 收费及其他问题60
第四章 几何图形初步
4.1 几何图形62
4.1.1 立体图形与平面图形62
第1课时 认识立体图形与平面图形62
第2课时 从不同的方向看立体图形和立体图形的展开图64
4.1.2 点、线、面、体66
4.2 直线、射线、线段68
第1课时 直线、射线、线段68
第2课时 线段的度量70
4.3 角73
4.3.1 角73
4.3.2 角的比较与运算75
4.3.3 余角和补角77
4.4 课题学习 设计制作长方体形状的包
装纸盒(略)78
第一章 有理数
1.1 正数和负数
1.了解正数和负数是从实际需要中产生的.
2.理解正数、负数及0的意义,掌握正数、负数的表示方法.
3.会用正数、负数表示具有相反意义的量.
重点:理解正数、负数及0的意义.
难点:会用正数、负数表示具有相反意义的量.
1.举例说明小学数学中我们学过哪些数 看谁举得全
为了实际生活需要,在数物体个数时,1,2,3…出现了自然数,没有物体时用自然数0表示,当测量或计算时不能得出整数,我们用分数或小数表示.
2.小学数学中我们学过的最小的数是谁 有没有比零还小的数呢
在小学我们学过最小的数是0,还没有遇到过比0小的数.
阅读教材P2~4内容,完成下列问题.
知识点1 正、负数的认识
问题1 说一说上面用到的各数的含义.
(1)天气预报中的3,电梯按钮中的3~17,地形图中的8 848;
(2)天气预报中的-4,-7,电梯按钮中的-1,-2,地形图中的-155.
问题2 上面这两类数,分别属于什么数
形成概念
像1,2,3,8 848这样大于0的数叫做正数.
像-1,-2,-155这样在正数前面加上符号“-”(负)的数叫做负数.
规定:0既不是正数,也不是负数.
注意
有时,我们为了明确表达意义,在正数前面也加上“+”(正)号,如+3,+1.8%,+0.5,….不过一般情况下我们省略“+”不写.
范例应用
例1 下列各数哪些是正数 哪些是负数
-2,1.2,0,+,2.012 2,356,-1 000,-0.618,+1.732,-.
解:1.2,+,2.012 2,356,+1.732是正数;-2,-1 000,-0.618,-是负数.
[方法归纳] 对于正数和负数不能简单地理解为:带“+”号的数是正数,带“-”号的数是负数,要看其本质是正数还是负数.0既不是正数也不是负数,后面会学到+(-3)不是正数,-(-2)不是负数.
知识点2 “0”的意义
下列对“0”的说法正确的个数是(A)
①0是正数和负数的分界点;②0只表示“什么也没有”;③0可以表示特定的意义,如0 ℃;④0是正数;⑤0是自然数.
A.3 B.4 C.5 D.0
[方法归纳] “0”的意义不要单纯地认为表示“没有”,其实“0”表示的意义非常广泛,比如:冰水混合物的温度就是0 ℃,0是正、负数的分界点等.
知识点3 用正、负数表示具有相反意义的量
在0 ℃以上的温度用正数表示,0 ℃以下的温度用负数表示;高于海平面的地方用正数表示它的高度,低于海平面的地方用负数表示它的高度.在实际生活中还有一些与温度、海拔高度类似的量也常常用正负数表示,你能列出一些吗
填空:
(1)-50元表示支出50元,那么+100元表示 收入100元 ;
(2)正常水位为0 m,水位高于正常水位0.2 m记作 +0.2 m ,低于正常水位0.3 m记作 -0.3 m ;
(3)乒乓球比标准质量重0.039 g记作 +0.039 g ;比标准质量轻0.019 g记作 -0.019 g ;标准质量记作 0 g .
[方法归纳] 用正、负数表示相反意义的量时,要抓住基准,比基准量多多少记为“+”的多少,少多少记为“-”的多少.另外,通常把“零上、上升、前进、收入、运进、增产”等规定为正,与它们意义相反的量表示为负.
范例应用
例2 (1)一个月内,小明体重增加2 kg,小华体重减少1 kg,小强体重无变化,写出他们这个月的体重增长值;
(2)某年下列国家的商品进出口总额比上年的变化情况是:
美国减少6.4%,德国增长1.3%,
法国减少2.4%,英国减少3.5%,
意大利增长0.2%,中国增长7.5%.
写出这些国家这一年商品进出口总额的增长率.
解:(1)这个月小明体重增长2 kg,小华体重增长 -1 kg,小强体重增长0 kg.
(2)六个国家这一年商品进出口总额的增长率:
美国:-6.4%,德国:1.3%,
法国:-2.4%,英国:-3.5%,
意大利:0.2%,中国:7.5%.
1.下列说法,正确的是(C)
A.加正号的数是正数,加负号的数是负数
B.0是最小的正数
C.字母a表示数,它既可以是正数,也可以是负数,也可以是0
D.任意一个数,不是正数就是负数
2.下列各对关系中,不具有相反意义的量的是(D)
A.运进货物3 t与运出货物2 t
B.升温3 ℃与降温3 ℃
C.增加货物100 t与减少货物2 000 t
D.胜3局与亏本400元
3.填一填.
(1)《九章算术》中注有“今两算得失相反,要令正负以名之”.大意是:今有两数若其意义相反,则分别叫做正数与负数.若水位上升2 m记作+2 m,则下降1 m记作 -1 m;
(2)东、西为两个相反方向,如果-5 m表示一个物体向西运动5 m,那么+3 m表示 向东运动 3 m .物体原地不动记为 0 m .
(3)某仓库运进小麦6.5 t记作+6.5 t,那么运出4.8 t应记作 -4.8 t.
(4)抗洪期间,如果水位超过标准水位1.5 m记作+1.5 m,那么后来记录的-0.9 m表示 低于标准水位0.9 m .
4.将下列各数填入相应的大括号里.
-9,,0,-2,2 000,+61,,-10.8
正数集合 ,2 000,+61, ,…;
负数集合 -9,-2,-10.8 ,….
5.2022年4月,受新冠疫情的影响,某地物价出现上涨趋势.该地发布2021年4月份物价上涨情况(与2021年3月相比),如下表:
种类 禽肉类 蔬菜 水产品 鲜果 粮食
上涨 -0.9% 5.4% -2.2% 2.1% 1.2%
(1)哪类商品的实际价格上涨了 哪类商品的实际价格下降了
(2)哪类商品价格的上涨幅度最大 哪类商品的价格下降幅度最大
解:(1)蔬菜、鲜果、粮食的实际价格上涨了,
禽肉类、水产品的实际价格下降了.
(2)蔬菜价格的上涨幅度最大,
水产品价格的下降幅度最大.
1.正数是比零大的数,正数前面加“-”号的数叫做负数.
2.0既不是正数也不是负数,它是正负数的分界.
3.具有相反意义的量应满足的条件:
①必须是同类量,而且是成对出现的;
②只要求意义相反,不要求数量一定相等.
第一章 有理数
1.1 正数和负数
1.正数:大于0的数;如+5,+10,8 848.
2.负数:在正数前面加“-”号的数;如-5,-10,-155.
3.0既不是正数也不是负数.
本节课通过学生身边熟悉的事物,让学生感受到负数的引入确实是实际生活的需要.数学与我们的生活密不可分;经历讨论、探索、交流、合作等过程获得新知,并能用所学的新知识来解决实际问题.这样教学更能激发学生学习数学的兴趣;提升学生的能力;促进学生的发展.使每个学生都能得到不同程度的收获.
1.2 有理数
1.2.1 有理数
1.掌握有理数的概念.
2.会对有理数按一定的标准进行分类,培养分类能力.
重点:掌握有理数的概念.
难点:会对有理数按一定的标准进行分类.
(1)下面是某旅行社对冬季某天天气的预报,方便大家出行:
某地的最高气温为6 ℃,最低气温达到-10 ℃,平均气温是0 ℃,而同一天北京的气温为-3~7 ℃.上面的这段文字中出现了什么数
解:6,7是正数;-10,-3是负数;0既不是正数也不是负数.
(2)像,,,0.2,3.25,…又是什么数
解:它们都是分数.
阅读教材P6内容,完成下列问题.
知识点1 有理数的概念
我们以前学过的数,像1,2,3,…称为正整数;,,,…称为正分数.
那么在以上这些数的前面添上“-”号后,
-1,-2,-3,…称为负整数;-,-,-,…称为负分数.
特别提示:0既不是正数,也不是负数!
[归纳] 正整数、零和负整数统称整数.正分数和负分数统称分数.整数和分数统称为有理数.
想一想:数0.1,-0.2,5.32,-7.25,0.等为什么被列为分数
因为它们都可以化为分数,即0.1=,-0.2=-,5.32=5=,-7.25=-7=-,0.=.
范例应用
例1 判断下表中各数分别是什么数,在相应的空格内打“√”.
整数 分数 正数 负数 有理数
2 022 √ √ √
√ √ √
-2.7 √ √ √
0 √ √
-28 √ √ √
知识点2 有理数的分类
问题1 你能根据有理数的定义对有理数分类吗
有理数
问题2 如果按符号(正、负)来分类,又该怎样来分呢
有理数
质疑探索
学了有理数的分类后,有没有一些数不是有理数呢
解:有限小数和无限循环小数都是分数,所以也是有理数.无限不循环小数(如π)不是分数,就不是有理数.
[归纳] (1)分类的标准不同,结果也不同;(2)分类的结果应无遗漏、无重复;(3)零是整数,但零既不是正数,也不是负数.
[有理数分类的几点注意]
(1)像,300%这样能约分成整数的数不能算作分数;
(2)无限不循环小数不是有理数,如π;
(3)整数中除了正整数和负整数,还有0.
想一想,填一填.
(1)既是分数又是负数的数是 负分数 ;
(2)非负数包括 正数 和 0 ;
(3)非正数包括 负数 和 0 ;
(4)非负整数包括 正整数 和 0 ;又称为 自然数 ;
(5)非负分数包括 整数 和 正分数 ;
(6)非正分数包括 整数 和 负分数 .
范例应用
例2 把下列各数填在相应的集合中:
-3,+,0,4,π,+3.14,-0.45,+200%,-0.,.
正数集合: +,4,π,+3.14,+200%, ,…;
负数集合:{ -3,-0.45,-0. ,…};
分数集合: +,+3.14,-0.45,-0., ,…;
整数集合:{ -3,0,4,+200%, ,…};
非负有理数集合: +,0,4,+3.14,+200%, ,…;
有理数集合: -3,+,0,4,+3.14,-0.45,+200%,-0., ,….
1.下列说法正确的是(D)
A.非负数包括零和整数
B.正整数包括自然数和零
C.零是最小的整数
D.整数和分数统称为有理数
2.下列各数:-1,4,-,0.37,0,9,-0.04,-5,7,,.
其中正数有 6 个,负数有 4 个,正分数有 3 个,负分数有 2 个,自然数有 4 个,整数有 6 个.
3.判断:
(1)0是整数;(√)
(2)自然数一定是整数;(√)
(3)0一定是正整数;(×)
(4)整数一定是自然数.(×)
4.把下列各数填入相应的集合内:
,-3.141 6,0,2 022,-,-0.234 5,20%,10.1,0.67,-87.
正数集合 负数集合
整数集合 分数集合
1.到现在为止,我们学过的数(π除外)都是有理数.
2.有理数的分类.
3.注意0的特殊性,分类时不要遗漏0.
1.2 有理数
1.2.1 有理数
1.有理数的概念
2.有理数的分类
本节课是有理数分类的教学,要给学生较大的思维空间,促进学生积极主动地参加学习活动,亲自体验知识的形成过程.避免教师直接分类带来学习的枯燥性.要有意识地突出“分类讨论”数学思想的渗透,明确分类标准不同,分类的结果也不相同,且分类结果应是无遗漏、无重复的.
1.2.2 数 轴
1.掌握数轴的概念,理解数轴上的点和有理数的对应关系.
2.会正确地画出数轴,利用数轴上的点表示有理数.
重点:掌握数轴的概念,理解数轴上的点和有理数的对应关系.
难点:会正确地画出数轴,利用数轴上的点表示有理数.
回忆正负数的意义并回答以下问题:
在一条东西方向的马路上,有一个学校,学校东 50 m 和西150 m处分别有一个书店和一个超市,学校西100 m和东200 m处分别有一个邮局和医院,以学校为“基准”,把向东记作“+”,向西记作“-”,用正负数表示书店、超市、邮局、医院的位置.
解:书店:+50 m;超市:-150 m;邮局:-100 m;医院:+200 m.
阅读教材P7~9内容,完成下列问题.
知识点1 数轴的概念
观察图中平放的温度计:
(1)温度计上有哪三类数: 正数、负数、0 ;
(2)把平放的温度计两端无限延长,可以看作我们之前学过的直线;
(3)借鉴温度计,请你把“课堂导入”中的有理数用一条直线上的点来表示.
以学校作为“0”点,用1 cm表示50 m作为单位长度,负数放在“0”点左边,正数放在“0”点右边.
[类比归纳]
类似温度计,按照如下方式处理的一条直线:
(1)在直线上任取一个点表示数0,这个点叫做原点;
(2)通常规定直线上从原点向右(或上)为正方向,从原点向左(或下)为负方向;
(3)选取适当的长度作为单位长度,从直线上原点向右,每隔一个单位长度取一个点,依次表示1,2,3,…;从原点向左,用类似方法表示-1,-2,-3,….这样的直线叫做数轴.
[自主归纳]
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.
范例应用
例1 下列数轴表示正确的是(D)
[方法归纳] 画数轴注意事项
(1)原点、单位长度和正方向三要素缺一不可;
(2)直线一般画水平的;
(3)正方向用箭头表示,一般取从左到右;
(4)取单位长度应结合实际需要,但要做到刻度均匀.
知识点2 在数轴上表示有理数
观察下面的数轴:
思考:
(1)哪些数在原点的左边,哪些数在原点的右边,由此你有什么发现
(2)每个数到原点的距离是多少 由此你又有什么发现
(3)如何用数轴上的点来表示分数或小数 如:1.5,-怎样表示
[归纳] 任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示.
一般地,设a是一个正数,则数轴上表示数a在原点的右边,与原点的距离是a个单位长度;表示数-a的点在原点的左边,与原点的距离是a个单位长度.
范例应用
例2 在所给数轴上画出表示下列各数的点.
1,-5,-2.5,4,0.
解:如图所示:
例3 从数轴上表示-1的点出发,向左移动两个单位长度到点B,则点B表示的数是 -3 ,再向右移动5个单位长度到达点C,则点C表示的数是 2 .
1.下列说法中正确的是(D)
A.规定了原点、正方向的直线是数轴
B.数轴上原点及原点左边的点表示的数是非负数
C.-在数轴上无法表示出来
D.任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的点
2.数轴上的点A到原点的距离是3,则点A表示的数为(D)
A.6或-6 B.3
C.-3 D.3或-3
3.在数轴上表示数6的点在原点的 右 侧,到原点的距离是 6 个单位长度,表示数-8的点在原点的 左 侧,到原点的距离是 8 个单位长度.表示数6的点到表示数-8的点的距离是 14 个单位长度.
4.如图所示,写出数轴上点A,B,C,D,E表示的数.
解:点A,B,C,D,E表示的数分别是0,-2,1,2.5,-3.
5.画出数轴并表示下列有理数:
1.5,-2.2,-2.5,,-,0.
解:
6.如图所示,在数轴上有A,B,C三个点,请回答:
(1)将A点向右移动3个单位长度,C点向左移动5个单位长度,它们各自表示新的什么数
(2)移动A,B,C中的两个点,使得三个点表示的数相同,有几种移动方法
解:由图可知,点A表示-3,点B表示-1,点C表示3.
(1)将A点向右移动3个单位长度后表示0,C点向左移动5个单位长度后表示-2.
(2)共有3种移动方法.
①点A不动,把点B沿数轴向左移动2个单位长度,点C沿数轴向左移动6个单位长度,此时三个点都表示-3;
②点B不动,把点A沿数轴向右移动2个单位长度,点C沿数轴向左移动4个单位长度,此时三个点都表示-1;
③点C不动,把点A沿数轴向右移动6个单位长度,点B沿数轴向右移动4个单位长度,此时三个点都表示3.
1.数轴的定义:规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴.
2.数轴的画法.
3.所有的有理数都可以用数轴上的点来表示,原点右边的数是正数,原点左边的数是负数,0是正负数的分界点.
1.2.2 数 轴
1.数轴
(1)原点;
(2)正方向;
(3)单位长度.
2.数轴上的点与有理数间的关系
(1)原点表示零;
(2)原点右边的点表示正数;
(3)原点左边的点表示负数.
数轴是非常重要的数学工具,它使数和直线上的点建立了对应关系,它揭示了数与形之间的内在联系.数形结合是帮助学生理解数学、学习数学的重要思想方法.本章有理数的有关性质和运算都是结合数轴进行的.
本节课要求同学们能掌握数轴的三要素,正确地画出数轴,在此还要提醒同学们,所有的有理数都可用数轴上的点来表示,但是反过来不成立,即数轴上的点并不是都表示有理数,至于数轴上的哪些点不能表示有理数,这个问题以后再研究.
1.2.3 相反数
1.借助数轴理解相反数的概念,并能求给定数的相反数.(重点)
2.了解一对相反数在数轴上的位置关系.(重点)
3.掌握双重符号的化简.(难点)
重点:负数的相反数的表示方法.
难点:通过从数和形两个方面理解相反数,初步体会数形结合的思想方法.
1.让两个学生在讲台前背靠背站好(分左右),规定向右为正(正号可以省略),向右走2步,向左走2步各记作什么
2.规定两个同学未走时的点为原点,用上一节课学的数轴将上述问题情境中的2和-2表示出来.
3.从数轴上观察,这两位同学各走的距离都是2步,但方向相反,可用2和-2表示,这两个数具有什么特点
阅读教材P9~10内容,完成下列问题.
知识点1 相反数的概念
问题 观察下列一组数:+1和-1,+2.5和-2.5,+4和-4,并把它们在数轴上表示出来.
思考:
(1)上述各对数之间有什么特点
答:只有符号不同,其他都相同.
(2)请再写出一组具有上述特点的数.
答:+5和-5.(答案不唯一)
[归纳] 只有符号不同的两个数互为相反数.特别地,0的相反数为0.
范例应用
例1 判断以下说法是否正确:
(1)-7是7的相反数;(√)
(2)-7是相反数;(×)
(3)2与-互为相反数;(×)
(4)-7和7互为相反数;(√)
(5)相反数等于它本身的数只有0;(√)
(6)符号不同的两个数互为相反数.(×)
[方法归纳] 一个正数的相反数是一个负数,一个负数的相反数是一个正数.
知识点2 相反数的几何意义
问题1 在数轴上,画出几组表示相反数的点,并观察这两个点具有怎样的特征
答:位于原点两侧,且与原点的距离相等.
问题2 数轴上到原点的距离相等的点所表示的数有什么特点 借助数轴填一填.
1.数轴上与原点的距离是2的点有 两 个,这些点表示的数是 2和-2 ;
2.与原点的距离是5的点有 两 个,这些点表示的数是 5和-5 .
[归纳] (1)互为相反数的两个数分别位于原点的两侧(0除外);
(2)互为相反数的两个数到原点的距离相等;
(3)一般地,设a是一个正数,数轴上与原点的距离是a的点有两个,它们分别在原点的两侧,表示a和-a,这两点关于原点对称.
范例应用
例2 (1)数轴上离原点3个单位长度的点所表示的数是 3和-3 ,它们的关系为 互为相反数 ;
(2)在数轴上,若点A和点B分别表示互为相反数的两个数,点A在点B的左侧,并且这两个数的距离是12.8,则点A表示的数为 -6.4 ,点B表示的数为 6.4 .
例3 如图所示,图中数轴(缺原点)的单位长度为1,点A,B表示的两数互为相反数,则点C所表示的数为(C)
A.2 B.-4 C.-1 D.0
[方法归纳] 先在数轴上找到原点,从而确定点C所表示的数,同时牢记互为相反数的两个点到原点的距离相等.
知识点3 多重符号的化简
问题1 a的相反数是什么 如何求一个数的相反数
答:a的相反数是-a,在这个数前加一个“-”号.
问题2 若把a分别换成+5,-7,0时,这些数的相反数怎样表示
答:a=+5,-a=-(+5)=-5;a=-7,-a=-(-7)=7;a=0,-a=0.
-(+5)表示什么 -(-7)呢 -(-9.8)呢 它们的结果应是多少
答:-(+5)表示5的相反数;-(-7)表示-7的相反数;-(-9.8)表示-9.8的相反数.它们的结果分别是-5,7,9.8.
问题3 在一个数前面加上“-”号表示求这个数的相反数,如果在这些数前面加上“+”号呢
答:表示它本身.
范例应用
例4 填空.
(1)-(+4)是 +4 的相反数,-(+4)= -4 ;
(2)-+是 + 的相反数,-+= - ;
(3)-(-7.1)是 -7.1 的相反数,-(-7.1)= 7.1 .
例5 化简下列各数(先读后写).
(1)-(+10); (2)+(-0.15);
(3)+(+3); (4)-(-12);
(5)+[-(-1.1)]; (6)-[+(-7)].
解:(1)-(+10)=-10.
(2)+(-0.15)=-0.15.
(3)+(+3)=3.
(4)-(-12)=12.
(5)+[-(-1.1)]=+(+1.1)=1.1.
(6)-[+(-7)]=-(-7)=7.
[方法归纳] (1)求一个数的相反数,只要在这个数的前面添上“-”号,就表示这个数的相反数;
(2)对于数字前面含有多个符号的数的化简,只要观察“-”号的个数即可.如果有奇数个“-”号,结果的符号就是“-”号;如果有偶数个“-”号,结果的符号就是“+”号.
1.9的相反数是(D)
A. B.- C.9 D.-9
2.下列结论:①任何数都不等于它的相反数;②符号相反的数互为相反数;③表示互为相反数的两个数的点到原点的距离相等;④若有理数a,b互为相反数,则它们一定异号.正确的有(A)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.下列几对数中不是互为相反数的一对是(D)
A.-(-8)和-(+8) B.+(+8)和-(+8)
C.+(-8)和+(+8) D.-(+8)和+(-8)
4.填一填.
(1)-1.6是 1.6 的相反数, -0.3 的相反数是0.3,a的相反数是 -a ;
(2)若a=-13,则-a= 13 ;若-a=-6,则 a= 6 ;
(3)若a是负数,则-a是 正 数;若-a是负数,则a是 正 数;
(4)的相反数是 - ,-3x的相反数是 3x .
5.已知数轴上点A,点B表示的数互为相反数,并且两点间的距离是6,点A在点B的左边,则点A,B表示的数分别是 -3,3 .
1.相反数的概念:只有符号不同的两个数叫做互为相反数;特别地,0的相反数是0.
2.-a表示a的相反数.
1.2.3 相反数
1.相反数
(1)只有符号不同的两个数;
(2)a的相反数是-a,0的相反数是0;
(3)互为相反数的两个数到原点的距离相等.
2.多重符号的化简
(1)一个数前面有偶数个“-”号,结果为正数.
(2)一个数前面有奇数个“-”号,结果为负数.
从具体的场景出发,利用数轴引导学生感受相反数的意义.通过教师的层层设问,充分展示学生的思维过程,让学生学会“理性”思考,从而归纳出互为相反数的意义.让学生意识到数学“源于生活,又高于生活”.
1.2.4 绝对值
1.理解绝对值的概念及性质.
2.会求一个有理数的绝对值.
3.掌握有理数大小的比较法则.
重点:(1)给出一个数会求它的绝对值;
(2)掌握有理数大小的比较法则.
难点:(1)利用数轴理解绝对值的意义;
(2)能利用数轴及绝对值的知识,比较两个有理数的大小.
从一栋房子里,跑出有两只狗(一灰一黄),有人在房子的西边3 m处以及房子的东边3 m处各放了一根骨头,两狗发现后,灰狗跑向西3 m处,黄狗跑向东3 m处分别衔起了骨头.
问题 1.在数轴上表示这一情景.
2.两只狗所跑的路线相同吗
3.两只狗所跑的路程一样吗
在实际生活中,有时存在这样的情况,有些问题我们只需要考虑数的大小而不考虑方向.在我们的数学中,就是不需要考虑数的正负性,比如:在计算狗所跑的路程时,与狗跑的方向无关,这时所走的路程只需要用正数来表示,这样就需要引进一个新的概念——绝对值.
阅读教材P11~13内容,完成下列问题.
知识点1 绝对值的意义
[合作探究]
(1)甲、乙两辆出租车在一条东西走向的街道上行驶,记向东行驶的里程数为正.两辆出租车都从O地出发,甲车向东行驶10 km到达A处,记作 +10 km,乙车向西行驶10 km到达B处,记作 -10 km;
(2)以O为原点,取适当的单位长度画数轴,并在数轴上标出A,B的位置,则A,B两点与原点距离分别是多少 它们的实际意义是什么
答案:距离都是10 km.它们的实际意义是A在O正东方向10 km处,B在O正西方向10 km处.
[归纳] 我们把一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值,用“| |”表示.
知识点2 绝对值的性质及应用
观察与思考:观察这些数的绝对值,它们有什么共同点
|5|=5,|-10|=10,|3.5|=3.5,|100|=100,|-3|=3,
|50|=50,|-4.5|=4.5,|-5 000|=5 000,|0|=0,…
问题1 (1)一个正数的绝对值是什么
(2)一个负数的绝对值是什么
(3)0的绝对值是什么
结论1:一个正数的绝对值是正数,一个负数的绝对值是正数,0的绝对值是0.
结论2:一个正数或零的绝对值是它本身.一个负数的绝对值是它的相反数.
即任何一个有理数的绝对值都是非负数.
问题2 若字母a表示一个有理数,你知道a的绝对值等于什么吗
(1)当a是正数时,|a|= a ,正数的绝对值是它本身;
(2)当a是负数时,|a|= -a ,负数的绝对值是它的相反数;
(3)当a=0时,|a|= 0 ,0的绝对值是0.
即|a|=
问题3 相反数、绝对值的联系是什么
答:互为相反数的两个数的绝对值相等.绝对值相等,符号相反的两个数互为相反数.
范例应用
例1 求下列各数的绝对值:12,-,-7.5,0.
解:|12|=12,-=,|-7.5|=7.5,|0|=0.
知识点3 借助数轴比较有理数的大小
某一天我国5个城市的最低气温如下:
武汉5 ℃ 北京-10 ℃ 上海0 ℃ 广州10 ℃ 哈尔滨-20 ℃
(1)将这5个城市这一天的最低气温按照由低到高的顺序排列出来.
解:哈尔滨(-20 ℃)<北京(-10 ℃)<上海(0 ℃)<武汉(5 ℃)<广州(10 ℃).
(2)将这5个城市这一天的最低气温在数轴上表示出来,这些数的大小与它们在数轴上所表示的点的位置有什么关系
解:如图所示:
气温越高,对应的数越大,在数轴上所表示的点越靠右.
范例应用
例2 在数轴上表示数-3,-5,4,0,并比较它们的大小,将它们按从小到大的顺序用“<”号连接.
解:-3,-5,4,0在数轴上表示如图所示:
将它们按从小到大的顺序排列为-5<-3<0<4.
知识点4 运用法则比较有理数的大小
问题 对于正数、0、负数这三类数,它们之间有什么大小关系 两个负数之间如何比较大小
结论:(1)正数大于0,负数小于0,正数大于负数;(2)两个负数,绝对值大的反而小.
例如,1 > 0,0 > -1,1 > -1,-1 > -2.
范例应用
例3 比较下列各数的大小.
(1)-(-3)和-(+2);
(2)-和-.
解:(1)先化简,-(-3)=3,-(+2)=-2,因为正数大于负数,
所以3>-2,即-(-3)>-(+2).
(2)两个负数作比较,先求它们的绝对值.
-=,-==.因为<,所以-<,所以->-.
1.-的绝对值是(D)
A.-7 B.7 C.- D.
2.在有理数2,-3,,0中,最小的数是(B)
A.2 B.-3 C. D.0
3.-的相反数是 - ;若|a|=7,则a= ±7 .
4.比较下列各对数的大小:
(1)-(-1) > -(+2);
(2)- > -;
(3)-(-0.3) < ;
(4)-|-2| < -(-2).
1.数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值.
2.绝对值的性质
(1)|a|≥0;(2)|a|=
3.比较有理数大小的方法.
方法①:数轴上表示的两个数,右边的总比左边的大.
方法②:正数大于0,0大于负数,正数大于负数;两个负数,绝对值大的反而小.
1.2.4 绝对值
1.绝对值的几何意义.
2.绝对值的代数意义.
3.借助数轴比较有理数的大小.
4.运用法则比较有理数的大小.
绝对值是中学数学中一个非常重要的概念,它具有非负性,在数学中有着广泛的应用.本节从几何与代数的角度阐述绝对值的概念,重点是让学生掌握求一个已知数的绝对值,对绝对值的几何意义、代数意义的导出、对“负数的绝对值是它的相反数”的理解是教学中的难点.
课堂上留给学生一定的提问时间,很容易暴露学生知识的缺陷,通过问题引导学生联想,大胆猜想,可以拓宽学生的知识面,增强知识的系统性,加深对课本知识的理解,培养学生的创新意识和发散思维.教师在课堂上也往往能收到意想不到的收获.有理数的大小比较的方法还需要一定量的练习进行巩固.同时在教学中还要充分发挥学生的主体意识,让学生逐步解决所设计的问题,并能举一反三.
1.3 有理数的加减法
1.3.1 有理数的加法
第1课时 有理数的加法
1.理解有理数加法的意义.
2.初步掌握有理数加法法则.
3.能准确地进行有理数的加法运算,并能运用其解决简单的实际问题.
重点:有理数加法法则的理解和运用.
难点:异号两数相加.
我们已经熟悉正数的运算,然而实际问题中做加法运算的数有可能超出正数范围.例如,在本章引言中,把收入记作正数,支出记作负数,在求“结余”时,需要计算8.5+(-4.5),4+(-5.2)等.这里用到正数与负数的加法.
阅读教材P16~18内容,完成下列问题.
知识点1 有理数的加法法则
一只可爱的小狗,在一条东西走向的笔直公路上行走,现规定向东为正,向西为负.
想一想
问题1 如果小狗先向东行走2 m,再继续向东行走1 m,则小狗两次一共向哪个方向行走了多少米
解:小狗一共向东行走了 3 m,写成算式为(+2)+(+1)=+( 2+1 )=3(m).
问题2 如果小狗先向西行走2 m,再继续向西行走1 m,则小狗两次一共向哪个方向行走了多少米
解:两次行走后,小狗向西走了 3 m.用算式表示为(-2)+(-1)= -(2+1) =-3(m).
你从上面两个式子中发现了什么
答:有理数加法法则一:同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加.
想一想
问题3 (1)如果小狗先向西行走3 m,再继续向东行走2 m,则小狗两次一共向哪个方向行走了多少米
解:小狗两次一共向西走了 1 m.
用算式表示为-3+(+2)=-( 3-2 )=-1(m).
(2)如果小狗先向西行走2 m,再继续向东行走3 m,则小狗两次一共向哪个方向行走了多少米
解:小狗两次一共向东走了 1 m.
用算式表示为-2+(+3)=+( 3-2 )=1(m).
(3)如果小狗先向西行走2 m,再继续向东行走2 m,则小狗两次一共向哪个方向行走了多少米
解:小狗一共行走了 0 m.
写成算式为(-2)+(+2)= 0 (m).
你从上面的几个式子中发现了什么
答:有理数加法法则二:异号两数相加,绝对值相等时和为0;绝对值不相等时,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值.
想一想
如果小狗先向西行走3 m,然后在原地休息,则小狗向哪个方向行走了多少米
解:小狗向西行走了 3 m.
写成算式为(-3)+0= -3 (m).
你从上面的式子中发现了什么
答:有理数加法法则三:一个数同0相加,仍得这个数.
范例应用
例1 计算:
(1)(-0.9)+(-0.87);
(2)+4+-3;
(3)(-5.25)+5;
(4)(-89)+0.
解:(1)(-0.9)+(-0.87)=-1.77.
(2)+4+-3=1.
(3)(-5.25)+5=0.
(4)(-89)+0=-89.
例2 已知|a|=8,|b|=2.
(1)当a,b同号时,求a+b的值;
(2)当a,b异号时,求a+b的值.
解:因为│a│=8,│b│=2,所以a=±8,b=±2.
(1)因为a,b同号,所以a=8,b=2或a=-8,b=-2.
所以a+b=8+2=10,或a+b=-8+(-2)=-10.
(2)因为a,b异号,所以a=8,b=-2或a=-8,b=2.
所以a+b=8+(-2)=6,或a+b=-8+2=-6.
知识点2 有理数加法的应用
股民小明上星期五以收盘价67元买进某公司股票1 000股,下表为本周内每日该股票的涨跌情况:
星期 一 二 三 四 五
每股涨跌/元 4 4.5 -1 -2.5 -6
(1)星期三收盘时,每股多少元
(2)本周内每股最高价多少元 最低价多少元
解:(1)67+(+4)+(+4.5)+(-1)=74.5(元),
故星期三收盘时,每股74.5元.
(2)星期一:67+4=71(元),
星期二:71+4.5=75.5(元),
星期三:75.5+(-1)=74.5(元),
星期四:74.5+(-2.5)=72(元),
星期五:72+(-6)=66(元),
所以本周内每股最高价为75.5元,最低价66元.
1.计算:5+(-7)等于(B)
A.2 B.-2 C.12 D.-12
2.若两数之和为负数,则这两个数一定是(D)
A.同为正数 B.同为负数
C.一正一负 D.无法确定
3.若|a|=6,|b|=4,且aA.-2或-10 B.10或-10
C.-2或10 D.2或10
4.计算:
(1)(-4)+(-8); (2)(-5)+13;
(3)0+(-7); (4)(-4.7)+3.9.
解:(1)(-4)+(-8)=-(4+8)=-12.
(2)(-5)+13=+(13-5)=8.
(3)0+(-7)=-7.
(4)(-4.7)+3.9=-(4.7-3.9)=-0.8.
5.铁道部规定,身高在1.2 m至1.5 m的儿童乘坐动车需要购买成人票售价一半的儿童票.几位同学要随父母出游.若以1.5 m为基准,超过的记为“+”,不足的记为“一”,根据图表中提供的信息,回答下面问题:
姓名 小红 小华 小明 小强 小丽 小刚
身高/m -0.32 -0.15 +0.12 +0.18 +0.03 -0.05
(1)需要购买儿童票的有 人;
(2)求他们中需要购买儿童票的人的身高.
解:(1)2
(2)需要购买儿童票的是小华和小刚,小华的身高为1.5+(-0.15)=1.35(m),小刚的身高为1.5+(-0.05)=1.45(m).
有理数的加法法则:
确定类型 定符号 绝对值
同号 相同符号 相加
异号(绝对值不相等) 取绝对值较大的加数的符号 相减
异号(互为相反数) 结果是0
与0相加 仍是这个数
1.3 有理数的加减法
1.3.1 有理数的加法
第1课时 有理数的加法
本课时利用情境导入、解决问题等方法进行教学,使学生在情境中提出问题,并寻找解决问题的途径,因此不知不觉地进入学习氛围,使学生从被动学习变为主动探究.在本节教学中,要坚持以学生为主体,教师为主导,致力联系学生已掌握的知识,充分调动学生的兴趣和积极性,使他们最大限度地参与到课堂的活动中.
第2课时 有理数加法的运算律及运用
1.能概括出有理数的加法交换律和结合律.
2.灵活熟练地运用加法交换律、结合律简化运算.
重点:掌握有理数的加法交换律和结合律.
难点:运用加法交换律、结合律简化运算.
宋国有个非常喜欢猴子的老人.他养了一群猴子,整天与猴子在一起,因此能够懂得猴子们的心意.因为粮食缺乏,老人想限制口粮.那天,他故意先对猴子们说:“以后给你们吃桃子,早晨三颗晚上四颗,好不好 ”众猴子听了都很愤怒.老人马上改口说:“那就早上四颗晚上三颗吧,够了吗 ”众猴子非常高兴,大蹦大跳起来.
大家听完故事,请说说你的看法.
阅读教材P19~20内容,完成下列问题.
知识点1 加法运算律
观察与思考:
(1)2+(-3)= -1 ,(-3)+2= -1 ;
(2)11+(-7)= +4 ,(-7)+11= +4 .
(3)[3+(-5)]+(-7)= -9 ,
3+[(-5)+(-7)]= -9 .
(4)[8+(-4)]+(-6)= -2 ,
8+[(-4)+(-6)]= -2 .
思考:(1)比较以上各组两个算式的结果,每组两个算式有什么特征
(2)小学学的加法交换律在有理数的加法中还适用吗
(3)请用精练的语言把你得到的结论概括出来.
(4)你能用字母把这个规律表示出来吗
[归纳]
(1)加法交换律:在有理数加法中,两个数相加,交换加数的位置,和不变.
用字母表示为a+b=b+a.
(2)加法结合律:在有理数的加法中,三个数相加,先把前两个数相加,或者先把后两个数相加,和不变.
用字母表示为(a+b)+c=a+(b+c).
范例应用
例1 计算:16+(-25)+24+(-35).
解:16+(-25)+24+(-35)
=16+24+[(-25)+(-35)]
=40+(-60)
=-20.
[方法归纳]把正数与负数分别相加,从而计算简化,这样做既运用加法交换律又运用加法的结合律.
例2 计算:
(1)(-2.48)+4.33+(-7.52)+(-4.33);
(2)+-+-.
解:(1)(-2.48)+4.33+(-7.52)+(-4.33)
=[(-2.48)+(-7.52)]+[(+4.33)+(-4.33)]
=(-10)+0
=-10.
(2)+-+-
=+-+-
=+-
=-.
议一议
回顾以上例题的解答,思考:将怎样的加数结合在一起,可使运算简便
[方法归纳]
(1)一般地,总是先把正数或负数分别结合在一起相加.
(2)有相反数的可先把相反数相加,能凑整的可先凑整.
(3)有分母相同的,可先把分母相同的数结合相加.
知识点2 有理数加法运算律的应用
每袋小麦的标准质量为90 kg,10袋小麦称重记录如图所示(单位:kg),与标准质量比较,10袋小麦总计超过多少千克或不足多少千克 10袋小麦的总质量是多少
解:法一 先计算10袋小麦的总质量:
91+91+91.5+89+91.2+91.3+88.7+88.8+91.8+91.1=905.4(kg).
再计算总计超过多少千克:
905.4-90×10=5.4(kg).
答:10袋小麦总计超过标准质量5.4 kg,总质量是905.4 kg.
法二 每袋小麦超过标准质量的千克数记作正数,不足的千克数记作负数,10袋小麦对应的数为+1,+1,+1.5,-1,+1.2,+1.3,-1.3,-1.2,+1.8,+1.1.
1+1+1.5+(-1)+1.2+1.3+(-1.3)+(-1.2)+1.8+1.1
=[1+(-1)]+[1.2+(-1.2)]+[1.3+(-1.3)]+(1+1.5+1.8+1.1)
=5.4(kg)
90×10+5.4=905.4(kg)
答:10袋小麦总计超过标准质量5.4 kg,总质量是905.4 kg.
1.6+(-2)+(-3)+14+(-15)=(6+14)+[(-2)+(-3)+(-15)]应用了(C)
A.加法交换律
B.加法结合律
C.加法交换律与结合律
D.以上都不是
2.下列运用加法运算律变形正确的是(B)
A.4+(-3)=4+3
B.2+(-5)+4=(-5)+4+2
C.[-3+(-2)]+5=[-3+(-5)]+2
D.+(-1)++=++(+1)
3.计算:
(1)23+(-27)+6+(-22);
(2)1+-++-;
(3)3+-2+5+-8.
解:(1)23+(-27)+6+(-22)
=(23+6)+[(-27)+(-22)]
=29-49
=-20.
(2)1+-++-
=1++-+-
=-
=.
(3)3+-2+5+-8
=3+5+-2+-8
=9-11
=-2.
4.某公路养护小组乘车沿南北方向巡查维修,某天早晨他们从A地出发,晚上最后到达B地,约定向北为正方向,当天的行驶记录如下(单位:km).
+18,-9,+7,-14,+13,-6,-8.
(1)B地在A地什么方向,相距多少千米
(2)若汽车行驶1 km耗油a L,求该天耗油多少升
解:(1)(+18)+(-9)+(+7)+(-14)+(+13)+(-6)+(-8)=[(+18)+(+7)+(+13)]+[(-9)+(-14)+(-6)+(-8)]=38+(-37)=1(km).
故B地在A地正北方向,相距1 km.
(2)(18+9+7+14+13+6+8)a=75a(L).
答:该天耗油75a L.
1.加法的交换律:两个数相加,交换加数的位置,和不变,即a+b=b+a.
2.加法结合律:三个数相加,先把前两个数相加,或者先把后两个数相加,和不变,即(a+b)+c=a+(b+c).
第2课时 有理数加法的运算律及运用
本节课教学以故事引入,使学生在已有的知识经验的基础上构建新知,主动探索有理数加法交换律和结合律,从而激发他们学习的兴趣,使他们由被动地接受学习变成主动探索获取知识.课堂中学生通过自主互助交流,不断地总结规律、方法和解题技巧.
1.3.2 有理数的减法
第1课时 有理数的减法法则
1.理解、掌握有理数的减法法则,会将有理数的减法运算转化为加法运算.
2.通过把有理数的减法运算转化为加法运算,渗透转化思想,培养运算能力.
重点:有理数减法法则和运算.
难点:有理数减法法则的推导.
如图所示的是某日北京的天气情况,从下图我们可以得知北京从周五到下周二的最高温度为6 ℃,最低温度为-5 ℃.那么它的温差怎么算 6-(-5)=
阅读教材P21~22内容,完成下列问题.
知识点1 有理数的减法法则
问题1 你能从如图所示的温度计上看出5 ℃比 -5 ℃高多少摄氏度吗 用式子如何表示
解:能.5-(-5)=10(℃)
问题2 5+(+5)= 10 .
结论:由上面两个式子你能得出什么
解:5-(-5)=5+(+5).
问题3 用上面的方法考虑:
0-(-3)= 3 ,0+(+3)= 3 ,
则0-(-3)=0+(+3);
1-(-3)= 4 ,1+(+3)= 4 ,
则1-(-3)= 1+(+3) ;
-5-(-3)= -2 ,-5+(+3)= -2 ,则-5-(-3)= -5+(+3) .
问题4 计算:9-8= 1 ;9+(-8)= 1 ,9-8=9+(-8);
15-7= 8 ;15+(-7)= 8 ,15-7=15+(-7).
通过上面的探究可得结论:
有理数减法法则:减去一个数,等于加这个数的 相反数 .表达式为a-b=a+ (-b) .
范例应用
例1 计算:
(1)(-3)-(-5);
(2)0-7;
(3)7.2-(-4.8);
(4)-3-5.
解:(1)(-3)-(-5)
=(-3)+5
=2.
(2)0-7
=0+(-7)
=-7.
(3)7.2-(-4.8)
=7.2+4.8
=12.
(4)-3-5
=-3+-5
=-8.
例2 已知│a│=5,│b│=3,且a>0,b<0,求a-b的值.
解:由│a│=5,│b│=3,得a=±5,b=±3.
又因为a>0,b<0,所以a=5,b=-3.
所以a-b=5-(-3)=5+3=8.
[方法归纳]进行有理数的减法运算时,将减法转化为加法,再根据加法的法则进行运算.要特别注意减数的符号.
知识点2 有理数减法法则的应用
问题1 世界上最高的山峰是珠穆朗玛峰,其海拔高度是8 848.86 m,吐鲁番盆地的海拔高度是 -154.31 m,两处高度相差多少米
解:8 848.86-(-154.31)=8 848.86+154.31=9 003.17(m).
答:两处高度相差9 003.17 m.
问题2 如图所示的是某市1月份连续4天的天气预报数据,哪一天的温差最大,哪一天的温差最小
1月13日 阴转多云 -8~2 ℃
1月14日 晴 -9~-2 ℃
1月15日 阴 -9~0 ℃
1月16日 阴转多云 -11~-3 ℃
解:1月13日的温差:2-(-8)=10(℃),
1月14日的温差:-2-(-9)=7(℃),
1月15日的温差:0-(-9)=9(℃),
1月16日的温差:-3-(-11)=8(℃),
所以温差最大的是1月13日的温差10 ℃.温差最小的是1月14日的温差7 ℃.
[方法归纳]应用有理数的减法解决温差、时差等实际问题时,一般是两个量比较,求一个量比另一个量多(或少)多少,列减法算式即可.
1.判断:
(1)在有理数的加法中,两数的和一定比加数大.(×)
(2)两个数相减,被减数一定比减数大.(×)
(3)两数之差一定小于被减数.(×)
(4)0减去任何数,差都为负数.(×)
(5)较大的数减去较小的数,差一定是正数.(√)
2.填空:
(1)温度4 ℃比-6 ℃高 10 ℃;
(2)温度-7 ℃比-2 ℃低 5 ℃;
(3)海拔高度-13 m比-200 m高 187 m;
(4)从海拔20 m到-40 m下降了 60 m.
3.计算:
(1)(+7)-(-4);
(2)(-0.45)-(-0.55);
(3)0-(-9);
(4)(-4)-0;
(5)(-5)-(+3).
解:(1)(+7)-(-4)=11.
(2)(-0.45)-(-0.55)=0.1.
(3)0-(-9)=9.
(4)(-4)-0=-4.
(5)(-5)-(+3)=-8.
4.某次法律知识竞赛中规定:抢答题答对一题得20分,答错一题扣10分,问答对一题与答错一题得分相差多少分
解:20-(-10)=20+10=30(分).
即答对一题与答错一题相差30分.
1.有理数减法法则:减去一个数,等于加这个数的相反数,即a-b=a+(-b).
2.利用有理数减法法则,可以将有理数减法统一成加法运算.
1.3.2 有理数的减法
第1课时 有理数的减法法则
1.有理数减法法则.
2.有理数减法法则的应用.
本节课从实际问题出发,创设教学情境,有效调动学生学习的兴趣和积极性.通过实例计算,激发学生的探索精神.通过大量的数学练习,使学生在计算中巩固解题技能,体验有理数的减法运算的运算魅力,并在教师的指导下自行归纳运算法则;学生亲身体验知识的形成过程,感悟数学的转化思想.
第2课时 有理数的加减混合运算
1.理解加减法统一成加法的意义,能熟练地进行有理数加减法的混合运算.
2.通过加减法的相互转化,培养应变能力、计算能力.
重点:把加减混合运算理解为加法运算.
难点:把省略括号的和的形式直接按有理数加法进行计算.
一架飞机进行特技表演,雷达记录了起飞后的高度变化如下表:
高度变化 记作
上升4.5 km +4.5 km
下降3.2 km -3.2 km
上升1.1 km +1.1 km
下降1.4 km -1.4 km
此时飞机比起飞点高多少千米
小组探究此时飞机相对于起飞点的高度,得出以下两种计算方法:
解:法一 4.5+(-3.2)+1.1+(-1.4)
=1.3+1.1+(-1.4)
=2.4+(-1.4)
=1(km).
法二 4.5-3.2+1.1-1.4
=1.3+1.1-1.4
=2.4-1.4
=1(km).
比较以上两种算法,你发现了什么
阅读教材P23~24内容,完成下列问题.
知识点1 有理数的加减混合运算
1.比较以上两种算法,我们可以发现:
加法运算中,各个加数的括号及其前面的运算符号“ + ”可以省略不写.
即4.5+(-3.2)+1.1+(-1.4)可写成 4.5-3.2+1.1-1.4 .
它表示4.5,-3.2,1.1与-1.4的 和 ,读作4.5,负3.2,1.1与负1.4的和,或读作 4.5 减 3.2 加 1.1 减 1.4 .
2.把下列算式改写为省略括号和加号的形式:
(1)(-40)-(+27)+19-24-(-32);
(2)(-9)-(-2)+(-3)-4.
解:(1)(-40)-(+27)+19-24-(-32)
=-40-27+19-24+32.
(2)(-9)-(-2)+(-3)-4
=-9+2-3-4.
[规律总结]省略括号与加号时,数字前“-”号是奇数个取“-”,偶数个取“+”.
范例应用
例1 计算:(-2)+(+30)-(-15)-(+27).
解:(-2)+(+30)-(-15)-(+27)
=-2+30+15-27
=(-2-27)+(30+15)
=-29+45
=16.
[方法归纳]
有理数加减混合运算的步骤
(1)将减法转化为加法运算;
(2)省略加号和括号;
(3)运用加法交换律和结合律,将同号两数相加;
(4)按有理数加法法则计算.
知识点2 加减混合运算的应用
动物园在检查成年麦哲伦企鹅的身体状况时,最重要的一项工作就是称体重.已知某动物园对6只成年麦哲伦企鹅进行体重称量,以4 kg为标准,超过或者不足的千克数分别用正数、负数表示,称重记录如表所示,求这6只企鹅的总体重.
编号 1 2 3 4 5 6
差值/kg -0.08 +0.09 +0.05 -0.05 +0.08 +0.06
解:(-0.08)+(+0.09)+(+0.05)+(-0.05)+(+0.08)+(+0.06)
=[(-0.08)+(+0.08)]+[(+0.05)+-0.05)]+(0.09+0.06)
=0.15(kg).
4×6+0.15=24.15(kg).
答:这6只企鹅的总体重为24.15 kg.
范例应用
例2 下表是某水位站记录的潮汛期某河流一周内的水位变化情况(“+”号表示水位比前一天上升,“-”号表示水位比前一天下降,上周末的水位恰好达到警戒水位.单位:m).
星期 一 二 三 四 五 六 日
水位 变化 0.20 0.81 -0.35 0.13 0.28 -0.36 -0.01
(1)本周哪一天河流水位最高,哪一天河流水位最低,它们位于警戒水位之上还是之下,与警戒水位的距离分别是多少
(2)与上周末相比,本周末河流的水位是上升了还是下降了
解:(1)以警戒水位为基准,前两天的水位是上升的,
星期一的水位是0.20 m;
星期二的水位是0.20+0.81=1.01(m);
星期三的水位是1.01-0.35=0.66(m);
星期四的水位是0.66+0.13=0.79(m);
星期五的水位是0.79+0.28=1.07(m);
星期六的水位是1.07-0.36=0.71(m);
星期日的水位是0.71-0.01=0.70(m);
则水位最低的一天是星期一,位于警戒水位之上0.2 m;水位最高的是星期五,位于警戒水位之上1.07 m.
(2)+0.20+0.81-0.35+0.13+0.28-0.36-0.01=+0.70(m),
则本周末河流的水位上升了0.70 m.
1.把(-3)-(-7)+4-(+5)写成省略加号和括号的和的形式是(B)
A.-3-7+4-5 B.-3+7+4-5
C.3+7-4+5 D.-3-7-4-5
2.设a是最小的自然数,b是最大的负整数,c是绝对值最小的正整数,则a-b+c等于(D)
A.-1 B.0 C.1 D.2
3.如果以海平面为基准,海平面以上记为正,海平面以下记为负.一艘潜艇从海平面开始下沉15 m,再下沉10 m,然后上升7 m,此时潜艇的位置可记为 -18 m.
4.计算:
(1)-9.2-(-7.4)+9+-6+(-4)+|-3|;
(2)-14+11--12-14+-11.
解:(1)-9.2-(-7.4)+9+-6+(-4)+|-3|
=-9.2+7.4+9.2-6.4-4+3
=(-9.2+9.2)+(7.4-6.4)-4+3
=0+1-4+3
=0.
(2)-14+11--12-14+-11
=-14+11+12-14-11
=-14+12+11-11-14
=-2+0-14
=-16.
有理数加减法混合运算
1.减法转化成加法
(1)减法变加法:a+b-c=a+b+(-c);
(2)运用加法交换律使同号两数分别相加;
(3)按有理数加法法则计算.
2.省略括号法
(1)省略括号;
(2)同号放一起;
(3)进行加减运算.
第2课时 有理数的加减混合运算
1.有理数的加减混合运算
(1)将减法转化为加法,然后去掉括号和加号;
(2)运用加法法则和运算律进行计算.
2.加法运算律
(1)结合律:(a+b)+c=a+(b+c);
(2)交换律:a+b=b+a.
本节课是学生在学习了有理数的加法和减法的基础上进行的.通过本节课的学习使学生知道所有含有有理数的加、减混合运算的式子都可以化为有理数的加法的形式,并能熟练掌握有理数的加减混合运算及其运算顺序.本节课本着“扎实、有效”的原则,既关注课堂教学的本质,又注重学生能力的培养,且面向全体学生来设计教学.
1.4 有理数的乘除法
1.4.1 有理数的乘法
第1课时 有理数的乘法法则
1.理解有理数的乘法法则.
2.能利用有理数的乘法法则进行简单的有理数乘法运算.
3.会利用有理数的乘法解决实际问题.
重点:有理数的乘法法则,多个数相乘的符号法则.
难点:积的符号的确定.
1.计算:(1)(-2)+(-2)+(-2)= -6 ;
(2)(-9)+(-9)+(-9)+(-9)+(-9)= -45 .
2.你能将上面两个算式写成乘法算式吗
答:(-2)×3=-6;(-9)×5=-45.
引入负数之后有理数的乘法应该怎么运算 这节课我们就来学习有理数的乘法.
阅读教材P28~31内容,完成下列问题.
知识点1 有理数的乘法运算
1.如图所示,一只蜗牛沿直线l爬行,它现在的位置在l上的点O处.
填一填:
(1)如果一只蜗牛向右爬行2 cm记为+2 cm,那么向左爬行2 cm应记为 -2 cm ;
(2)如果3分钟后记为+3分钟,那么3分钟前应记为 -3分钟 .
想一想:
(1)如果蜗牛一直以每分钟2 cm的速度向右爬行,3分钟后它在什么位置
结果:3分钟后蜗牛在l上点O 右 边6 cm处.可以表示为:(+2)×(+3)= 6(cm) ;
(2)如果蜗牛一直以每分钟2 cm的速度向左爬行,3分钟后它在什么位置
结果:3分钟后蜗牛在l上点O 左 边 6 cm处.可以表示为:(-2)×(+3)= -6(cm) ;
(3)如果蜗牛一直以每分钟2 cm的速度向右爬行,3分钟前它在什么位置
结果:3分钟前蜗牛在l上点O 左 边 6 cm处.可以表示为: (+2)×(-3)=-6(cm) ;
(4)如果蜗牛一直以每分钟2 cm的速度向左爬行,3分钟前它在什么位置
结果:3分钟前蜗牛在l上点O 右 边 6 cm处.可以表示为: (-2)×(-3)=6(cm) ;
(5)原地不动或运动时间为零,结果是什么
结果:仍在原处,即结果都是 0 ,可以表示为: 0×3=0;0×(-3)=0;2×0=0;(-2)×0=0 .
根据上面的结果可知:
1.正数乘正数积为 正 数;负数乘负数积为 正 数;(同号得正)
2.负数乘正数积为 负 数;正数乘负数积为 负 数;(异号得负)
3.乘积的绝对值等于各乘数绝对值的 积 .
4.零与任何数相乘或任何数与零相乘结果都是 0 .
范例应用
例1 计算:(1)5×(-9);(2)(-5)×(-9);
(3)(-6)×0;(4)-×.
解:(1)5×(-9)=-(5×9)=-45.
(2)(-5)×(-9)=5×9=45.
(3)(-6)×0=0.
(4)-×=-×=-.
[方法归纳] 有理数乘法的求解步骤:先确定积的符号,再确定积的绝对值.
例2 判断下列各式的积是正的、负的还是0
2×3×4×(-5)( 负 );
2×3×(-4)×(-5)( 正 );
2×(-3)×(-4)×(-5)( 负 );
(-2)×(-3)×(-4)×(-5)( 正 );
7.8×(-8.1)×0×(-19.6)( 0 ).
[方法归纳] 几个不等于零的数相乘,积的符号由负因数的个数决定,
当负因数有奇数个时,积为负;
当负因数有偶数个时,积为正.
几个数相乘,如果其中有因数为0,则积等于0.
知识点2 倒数
计算并观察结果有何特点
(1)×2;(2)(-0.25)×(-4).
解:(1)×2=1.
(2)(-0.25)×(-4)=1.
规律总结:有理数中,乘积是1的两个数互为倒数.
思考:数a(a≠0)的倒数是什么
答:a≠0时,a的倒数是.
范例应用
例3 求下列各数的倒数.
(1)-;(2)2;(3)-1.25;(4)5.
解:(1)-的倒数是-.
(2)2=,故2的倒数是.
(3)-1.25=-,故-1.25的倒数是-.
(4)5的倒数是.
知识点3 有理数的乘法的应用
一辆出租车在一条东西走向的大街上行驶,这辆出租车连续送客20次,其中8次向东行驶,12次向西行驶,向东平均每次行驶10 km,向西平均每次行驶7 km.
(1)该出租车连续20次送客后,停在何处
(2)该出租车一共行驶了多少路程
解:(1)记向东行驶为正,
依题意,得10×8+(-7)×12=-4(km).
答:该出租车连续20次送客后,停在出发地西边4 km处.
(2)10×8+7×12=164(km).
答:该出租车一共行驶了164 km.
范例应用
例4 用正、负数表示气温的变化量,上升为正,下降为负.某登山队攀登一座山峰,每登高1 km,气温的变化量为-6℃,攀登3 km后,气温有什么变化
解:(-6)×3=-18(℃).
答:气温下降18℃.
1.计算(-4)×-的值是(D)
A.-7 B.7 C.-10 D.10
2.下列计算结果是负数的是(C)
A.(-3)×4×(-5)
B.(-3)×4×0
C.(-3)×4×(-5)×(-1)
D.3×(-4)×(-5)
3.下列两数互为倒数的是(C)
A.3和-3 B.-5和
C.-4和- D.0和0
4.计算:
(1)(-0.5)×20×(-0.8);
(2)(-0.8)×-1;
(3)(-4)×(-6)×(-5).
解:(1)(-0.5)×20×(-0.8)=0.5×20×0.8=8.
(2)(-0.8)×-1=0.8×1=×=.
(3)(-4)×(-6)×(-5)=-4×6×5=-120.
5.气象观测统计资料表明,在一般情况下,高度每上升1 km,气温下降6℃.已知甲地现在地面气温为21℃,求甲地上空9 km处的气温大约是多少
解:(-6)×9=-54(℃);
21+(-54)=-33(℃).
答:甲地上空9 km处的气温大约为-33℃.
1.有理数乘法法则:
两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘.任何数与0相乘,都得0.
2.几个不是零的数相乘,负因数的个数为
3.几个数相乘,若有因数为零,则积为零.
4.乘积是1的两个数互为倒数.
1.4 有理数的乘除法
1.4.1 有理数的乘法
第1课时 有理数的乘法法则
1.有理数的乘法法则.
2.有理数乘法的求解步骤.
3.倒数:乘积是1的两个数互为倒数.
有理数的乘法是有理数运算中一个非常重要的内容,它与有理数的加法运算一样,也是建立在小学算术运算的基础上的.“有理数乘法”的教学,在性质上属于定义教学,历来是一个难点课题,教学时应略举简单的事例,尽早出现法则,然后用较多的时间去练法则,背法则.本节课尽量考虑在有利于基础知识、基础技能的掌握和学生的创新能力培养的前提下,最大限度地使教学的设计过程面向全体学生,充分照顾不同层次的学生,使设计的思路符合“新课程标准”倡导的理念.
第2课时 乘法的运算律
1.掌握乘法的交换律、结合律与分配律,并能灵活的运用.
2.掌握有理数乘法的运算律,并能利用运算律简化乘法运算.
重点:有理数的乘法运算律及其应用.
难点:分配律的运用.
1.有理数的乘法法则是什么
解:两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘.
任何数和零相乘,都得0.
2.如何进行多个有理数的乘法运算
解:(1)定号(奇负偶正);
(2)算值(积的绝对值).
3.小学时大家学过乘法的哪些运算律
解:乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律.
4.这些乘法的运算律在有理数的运算中还适用吗
答:适用.
阅读教材P32~33内容,完成下列问题.
知识点1 有理数乘法的运算律
第一组:
(1)2×3= 6 ,3×2= 6 ,2×3 = 3×2;
(2)(3×4)×0.25= 3 ,3×(4×0.25)= 3 ,(3×4)×0.25 = 3×(4×0.25);
(3)2×(3+4)= 14 ,2×3+2×4= 14 ,
2×(3+4) = 2×3+2×4.
思考:上面每小组运算分别体现了什么运算律
第二组:
(1)5×(-6)= -30 ,(-6)×5= -30 ,5×(-6) = (-6)×5;
(2)[3×(-4)]×(-5)= (-12)×(-5) = 60 ,3×[(-4)×(-5)]= 3×20 = 60 ,[3×(-4)]×(-5) = 3×[(-4)×(-5)];
(3)5×[3+(-7)]= 5×(-4) = -20 ,5×3+5×(-7)= 15-35 = -20 ,5×[3+(-7)] = 5×3+5×(-7).
结论:
(1)第一组式子中数的范围是正数;
(2)第二组式子中数的范围是 有理数 ;
(3)比较第一组和第二组中的算式,可以发现各运算律在有理数范围内仍然 适用 .
范例应用
例1 计算:(-85)×(-25)×(-4).
解:(-85)×(-25)×(-4)
=(-85)×[(-25)×(-4)]
=(-85)×100
=-8 500.
例2 用简便方法计算:+-×12.
解:+-×12=×12+×12-×12=3+2-6=-1.
[方法归纳]
(1)运用交换律时,在交换因数的位置时,要连同符号一起交换.
(2)运用分配律时,要用括号外的因数乘括号内每一个因数,不能有遗漏.
(3)三个以上的有理数相乘,可以任意交换因数的位置,或者把其中几个因数相乘.
(4)括号外的因数是括号内所有分母的公倍数时,使用分配律.
例3 下面的计算有错吗 如果有错,请计算出正确的结果.
计算:(-24)×-+-.
解:(-24)×(-+-)
=-24×-24×+24×-24×
=-8-18+4-15
=-41+4
=-37.
解:有错.正确解法为:
(-24)×(-+-)
=(-24)×+(-24)×(-)+(-24)×+(-24)×(-)
=-8+18-4+15
=21.
注意:(1)不要漏掉符号;(2)不要漏乘某一项.
例4 学习了有理数的乘法后,老师给同学们出了这样一道题目:计算:49×(-5),看谁算的又快又对,有两位同学的解法如下:
小明:49×(-5)
=-×5
=-
=-249;
小军:49×(-5)
=49+×(-5)
=49×(-5)+×(-5)
=-249.
(1)根据上面的解法对你的启发,请你再写一种解法;
(2)用你认为最合适的方法计算:-19×(-8).
解:(1)49×(-5)
=50-×(-5)
=50×(-5)-×(-5)
=-250+=-249.
(2)-19×(-8)
=-20+×(-8)
=-20×(-8)+×(-8)
=160-
=159.
1.式子-+×3×5=-+×15=5-3+6中,运用的运算律是(D)
A.乘法交换律及结合律
B.乘法交换律及分配律
C.加法结合律及分配律
D.乘法结合律及分配律
2.计算(-2)×3-时,用分配律的计算过程正确的是(A)
A.(-2)×3+(-2)×-
B.(-2)×3-(-2)×-
C.2×3-(-2)×-
D.(-2)×3+2×-
3.在每一步算式的后面填上这一步所使用的运算律:
[(8×4)×125-5]×25
=[(4×8)×125-5]×25( 乘法交换律 )
=[4×(8×125)-5]×25( 乘法结合律 )
=4 000×25-5×25( 乘法分配律 )
=99 875.
4.运用运算律进行简便运算:
(1)(-12.5)×(-)×(-4);
(2)-×(-15)×-×;
(3)1-2+0.75×(-24).
解:(1)(-12.5)×-×(-4)
=(-12.5)×(-4)×-
=-.
(2)-×(-15)×-×
=-×-××(-15)
=-3.
(3)1-2+0.75×(-24)
=×(-24)-×(-24)+×(-24)
=-33+56-18
=5.
1.本节课学习了乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律.
2.应用乘法的运算律进行计算时应注意:
运用交换律时,各因数要连同符号一起交换;
运用分配律时,不要漏乘括号内的某个因数.
第2课时 乘法的运算律
乘法交换律:ab=ba;
乘法结合律:(ab)c=a(bc);
乘法分配律:(a+b)c=ac+bc.
新课程理念要求把学生“学”数学放在教师“教”之前,“导学”是教学的重点.因此,在本节课的教学中,不要直接将结论告诉学生,而是引导学生从大量的实例中寻找解决问题的规律.学生经历探索知识的过程,最后总结得出有理数乘法的运算律.整个教学过程要让学生积极参与,独立思考和合作探究相结合,教师适当引导,以达到预期的教学效果.
1.4.2 有理数的除法
第1课时 有理数的除法
1.认识有理数的除法,经历除法的运算过程.
2.理解除法法则,体验除法与乘法的转化关系.
3.掌握有理数的除法及乘除混合运算.
重点:有理数的除法法则及运算.
难点:准确、熟练地运用除法法则.
1.小明从家里到学校,每分钟走50 m,共走了20 min,问小明家离学校有多远
解:50×20=1 000(m).
即小明家离学校1 000 m.
放学时,小明仍然以每分钟50 m的速度回家,应该走多少分钟
解:1 000÷50=20(min).
即应该走20 min.
2.从上面这个例子你可以发现,有理数除法与有理数乘法之间满足怎样的关系
答:有理数除法是有理数乘法的逆运算.
阅读教材P34~35内容,完成下列问题.
知识点1 有理数的除法及分数化简
1.根据“除法是乘法的逆运算”填空:
(-4)×(-2)=8,则8÷(-4)= -2 ;
6×(-6)=-36,则-36÷6= -6 ;
-×=-,则-÷(-)= ;
-8×9=-72,则-72÷9= -8 ;
8÷(-4)= -2 ,则8×-= -2 ;
-36÷6= -6 ,则-36×= -6 ;
-÷-=,则-×-= ;
-72÷9= -8 ,则-72×= -8 .
问题 上面各组数计算结果有什么关系 由此你能得到有理数的除法法则吗
答案:上面各组数计算结果相同.
由此可得到有理数除法法则(一):
除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数.
用字母表示为a÷b=a×(b≠0).
2.利用上面的除法法则计算下列各题:
(1)-54÷(-9);(2)-27÷3;
(3)0÷(-7);(4)-24÷(-6).
解:(1)-54÷(-9)=-54×-=6.
(2)-27÷3=-27×=-9.
(3)0÷(-7)=0×-=0.
(4)-24÷(-6)=-24×-=4.
想一想:从上面我们能发现商的符号有什么规律
答案:商的符号与被除数、除数的符号有关.
据此可得有理数除法法则(二):
两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除.
0除以任何一个不等于0的数,都得0.
思考:
到现在为止我们有了两个除法法则,那么两个法则是不是都可以用于解决两数相除呢
解:两个法则都可以用来求两个有理数相除的值.
如果两数相除,能够整除的就选择法则二,不能够整除的就选择用法则一.
范例应用
例1 (1)(-15)÷(-3);(2)(-4.8)÷0.6;
(3)(-)÷(+);(4)(-60)÷(+3).
解:(1)(-15)÷(-3)=15÷3=5.
(2)(-4.8)÷0.6=-(4.8÷0.6)=-8.
(3)(-)÷(+)=-×=-.
(4)(-60)÷(+3)=-60×=-.
例2 化简下列分数:
(1)= 3 ;
(2)= - ;
(3)= 20 ;
(4)-= .
[方法归纳] 化简分数时要注意分子、分母的符号,同号结果为正,异号结果为负.
知识点2 有理数的乘除混合运算
例3 计算:
(1)-2.5÷×-;
(2)-÷-×-1.
解:(1)-2.5÷×-
=-××-
=××
=1.
(2)-÷-×-1
=-×-×-
=-××
=-4.
[方法归纳]
(1)有理数除法化为有理数乘法以后,可以利用有理数乘法的运算律简化运算.
(2)乘除混合运算往往先将除法化为乘法,然后确定积的符号,最后求出结果(乘除混合运算按从左到右的顺序进行计算).
1.计算(-6)÷-的结果是(C)
A.-18 B.2 C.18 D.-2
2.下列计算正确的是(C)
A.-3.5÷×-=-3
B.-2÷3×3=-
C.(-6)÷(-4)÷+=
D.-÷÷=-1
3.当a=-3,b=-2,c=5时,a÷|b|÷c的值为 - .
4.计算:
(1)(-0.125)×-÷-×7;
(2)1×-3÷.
解:(1)(-0.125)×-÷-×7
=-××8×7
=-×8××7
=-4.
(2)1×-3÷
=×-÷
=×-÷1
=-6.
1.本节课学习了有理数的除法法则和乘除混合运算.
2.常见的除法计算方法:
一是根据“除以一个数等于乘这个数的倒数”;二是根据“两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除”.
一般能整除时用第二种方法.
3.乘除混合运算按从左到右的顺序进行计算.
1.4.2 有理数的除法
第1课时 有理数的除法
一、有理数除法法则:
1.a÷b=a×(b≠0).
2.两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数,都得0.
二、乘除混合运算
让学生深刻理解除法是乘法的逆运算,对学好本节内容有比较好的作用.教学设计可以采用课本的引例为探究除法法则的导入.让学生自己探索并总结除法法则,同时也让学生对比乘法法则和除法法则,加深印象.教学时应该使学生掌握除法的两种运算方法:
1.在除式的数字不复杂的情况下直接运用除法法则求解.
2.在多个有理数进行除法运算或者是乘、除混合运算时应该把除法转化为乘法,然后统一用乘法的运算律解决问题.
第2课时 加减乘除混合运算
1.进一步理解有理数的加减乘除法则,能熟练地进行有理数的加减乘除运算.
2.通过对有理数的加减乘除运算的学习,让学生体会到了数学知识的灵活性.
重点:能熟练地进行有理数的加减乘除运算.
难点:体会各种运算法则在实际计算中的运用.
问题1 小学的四则混合运算的顺序是怎样的
答:先乘除,后加减,同级运算从左至右,有括号先算括号内,再算括号外.
括号计算顺序:先小括号,再中括号,最后大括号.
问题2 我们目前都学习了哪些运算
答:加法、减法、乘法、除法.
一个运算中,含有有理数的加、减、乘、除等多种运算,称为有理数的混合运算.
阅读教材P36~37内容,完成下列问题.
知识点1 有理数的加减乘除混合运算
问题1 观察式子3+50÷2×(-)-1,含有哪几种运算 先算什么,后算什么
解:加法、减法、乘法、除法都有,先算乘除,后算加减.
问题2 观察式子-3×(2+1)÷(5-12),应该按照什么顺序来计算
解:先算括号内,再按从左往右顺序计算.
[归纳] 有理数混合运算的顺序
先算乘除,再算加减,同级运算从左往右依次计算,如有括号,先算括号内的.
范例应用
例1 计算:
(1)2-×(-6)-1-÷1+;
(2)-3-1+1×(-12).
解:(1)2-×(-6)-1-÷1+
=×(-6)-÷
=-10-
=-10.
(2)-3-1+1×(-12)
=-3--1-+1+×(-12)
=-3-×(-12)
=-3×(-12)-×(-12)
=36+3
=39.
[方法归纳] 在进行有理数的混合运算时,应先观察算式的特点,若能应用运算律进行简化运算,就先简化运算,在简化运算后,再利用混合运算的顺序进行运算.
例2 请你仔细阅读下列材料,然后回答问题:
计算:-÷-+-.
解法一 -÷-+-
=-÷
=-÷-
=-×3=-.
解法二 -÷-+-的倒数为
-+-÷-
=-+-×(-30)
=-20+3-5+12
=-10.
故-÷-+-=-.
根据你对所提供材料的理解,选择合适的方法计算:-÷-+-.
解:-÷-+-的倒数为
-+-÷-
=-+-×(-42)
=-7+9-28+12
=-14.
故-÷-+-=-.
知识点2 有理数混合运算的应用
某公司去年1~3月平均每月亏损1.5万元,4~6月平均每月盈利2万元,7~10月平均每月盈利1.7万元,11~12月平均每月亏损2.3万元,这个公司去年总盈亏情况如何
解:记盈利额为正数,亏损额为负数,公司去年全年总的盈亏为
(-1.5)×3+2×3+1.7×4+(-2.3)×2
=-4.5+6+6.8-4.6
=3.7(万元)
答:这个公司去年盈利3.7万元.
知识点3 24点游戏
游戏规则:
从一副扑克牌(去掉大、小王)中任意抽取4张,根据牌面上的数字进行混合运算(每张牌只能用一次),使得运算结果为24或-24.其中红色扑克牌代表负数,黑色扑克牌代表正数.
小飞抽到了这样几张牌:
他运用下面的方法凑成了24:
7×(3÷7+3)=24.
问题1 如果抽成这几张牌,你能凑成24吗
解:7×[3÷7-(-3)]=24.
问题2 如果抽成这几张牌,你能凑成24吗
解:(-7)×[(-3)÷7-3]=24.
7×[3+(-3)÷(-7)]=24.
1.在算式3-|-1□2|中的“□”里,选择一个运算符号,使得算式的结果最大(D)
A.+ B.- C.× D.÷
2.如图所示的是一个简单的数值运算程序,当输入x的值为-3时,则输出的数值为 -1 .
3.计算:
(1)(-6)÷2+-×12+|-9|;
(2)-+-÷-.
解:(1)(-6)÷2+-×12+|-9|
=-3+-×12+9
=-3+(-5)+9
=1.
(2)-+-÷-
=-+-×(-42)
=×(-42)-×(-42)+×(-42)-×(-42)
=-35+18-14+27
=-4.
1.有理数的加减乘除混合运算顺序:先算乘除,再算加减,同级运算从左往右依次计算,如有括号,先算括号内的.
2.进行有理数的混合运算时应注意运用运算律进行简化计算.
第2课时 加减乘除混合运算
1.有理数加减乘除混合运算的顺序.
2.利用运算律简化运算.
3.有理数混合运算的应用.
这节课主要讲授了有理数的加减乘除混合运算.运算顺序“先乘除后加减”学生早已熟练掌握,让学生学会分析题目中所包含的运算是本节课的重难点.在教学时,要注意结合学生平时练习中出现的问题,及时纠正和指导,培养学生良好的解题习惯.
1.5 有理数的乘方
1.5.1 乘 方
第1课时 有理数的乘方
1.理解并掌握有理数的乘方、幂、底数、指数的概念及意义.
2.能够正确进行有理数的乘方运算.
重点:有理数的乘方、幂、底数、指数的概念及其相互间的关系.
难点:能够正确进行有理数的乘方运算.
古希腊数学家阿基米德与国王下棋,国王输了,问阿基米德要什么奖赏.阿基米德对国王说:“我只要在棋盘上第一格放一颗麦子,在第二个格子中放进前一个格子的两倍,每一个格子中都是前一个格子中麦子数量的两倍,一直将棋盘每一个格子摆满.”国王觉得很容易就可以满足他的要求,于是就同意了.但很快国王就发现,即使将国库所有的粮食都给他也不够.你们知道这是为什么吗
阅读教材P41~42内容,完成下列问题.
知识点1 乘方的意义
问题1 某种细胞每30 min便由一个分裂成两个.经过3 h这种细胞由1个能分裂成多少个
提示:这个细胞分裂一次可得多少个细胞 分裂两次呢 分裂三次呢 四次呢 那么3 h共分裂了多少次 有多少个细胞
解:一次:2个;
两次:2×2个;
三次:2×2×2个;
四次:2×2×2×2个
六次:2×2×2×2×2×2个.
问题2 这些式子有什么相同点
解:它们都是乘法;并且它们各自的因数都相同.
思考 同学们想一想:这样的运算能像平方、立方那样简写吗
[归纳]
一个数可以看作这个数本身的一次方,例如8就是81,指数1通常省略不写.
范例应用
例1 (1)(-3)2的底数是 -3 ,指数是 2 ,(-3)2表示2个 -3 相乘,读作 -3 的 2次方,也读作-3的平方;
(2)5表示 5 个 相乘,读作的 5 次方,也读作的 5次幂 ,其中叫做 底数 ,5叫做 指数 .
例2 计算:(1)-(-3)3;(2)-2;
(3)-3;(4)(-1)2 023.
解:(1)-(-3)3=-[(-3)×(-3)×(-3)]=3×3×3=27.
(2)-2=-×-=×=.
(3)-3=-×-×-=×=-.
(4)(-1)2 023=-1.
[方法归纳]乘方的运算可以利用乘法的运算来进行.负数的奇数次幂是负数,负数的偶数次幂是正数;-1的奇数次幂是-1,-1的偶数次幂是1.
问题3 用计算器计算(-8)5和(-3)6.
解:用带符号键(-)的计算器.
((-)8) ^ 5=
显示:(-8)^ 5
-32 768.
((-)3) ^ 6=
显示:(-3)^ 6
729.
所以(-8)5=-32 768,(-3)6=729.
问题4
(-2)2与-22表示的意义一样吗
解:不一样,(-2)2表示-2的平方,-22表示2的平方的相反数.(-2)2与-22互为相反数.
知识点2 乘方的运算
计算:
(1)(-3)2×-;
(2)-23×(-32);
(3)64÷(-2)5;
(4)(-4)3÷(-1)200+2×(-3)4.
解:(1)(-3)2×-=9×-=-6.
(2)-23×(-32)=-8×(-9)=72.
(3)64÷(-2)5=64÷(-32)=-2.
(4)(-4)3÷(-1)200+2×(-3)4=-64÷1+2×81=98.
[归纳] 对于乘除和乘方的混合运算,先算乘方,后算乘除;如果遇到括号就先进行括号里的运算.
1.算式-×-×-×-可表示为(A)
A.-4 B.-×4
C.-4 D.以上答案均不对
2.关于-74的说法正确的是(C)
A.底数是-7
B.表示4个-7相乘
C.表示4个7相乘的积的相反数
D.表示7个-4相乘
3.现规定一种新的运算“○”:m○n=mn,如3○2=32=9,则-○3的值为(B)
A. B.- C.- D.-
4.计算:
(1)-42×(-4)2;(2)-2×-23.
解:(1)-42×(-4)2=-16×16=-256.
(2)-2×-23=×-=-.
5.你吃过拉面吗 拉面是把1根面条对折成2根拉开,再对折成4根(如图所示)……依次这样进行对折,对折10次有多少根面条 有128根面条时对折了多少次
解:210=1 024(根),128=27.
答:对折10次有1 024根面条,有128根面条时对折了7次.
1.乘方的意义
一般地,n个相同的因数a相乘,记作an,读作“a的n次幂(或a的n次方)”,像这种求n个相同因数的积的运算叫做乘方,乘方的结果叫做幂.
2.乘方运算的符号法则
(1)正数的任何次幂都是正数;(2)零的任何正整数次幂都是零;(3)负数的偶次幂是正数,奇次幂是负数.
3.(-a)n与-an的区别和联系
(-a)n表示(-a)的n次方,-an表示a的n次方的相反数.
1.5 有理数的乘方
1.5.1 乘 方
第1课时 有理数的乘方
1.乘方的意义.
2.乘方的符号法则.
本节教学以故事引入,提出问题,引导学生积极思考,并总结出答案,由答案的表现形式向学生提出问题,激发学生的求知欲望.在教师的引导下自然过渡到新知识的学习,接着层层设问,引出乘方以及与乘方有关的概念,采用归纳类比的方法把新旧知识联系起来,既有利于复习巩固旧知识,又有利于新知识的理解和掌握.
第2课时 有理数的混合运算
1.了解有理数混合运算的意义,掌握有理数的混合运算法则及运算顺序.
2.能够熟练地进行有理数的加、减、乘、除、乘方的运算,并在运算过程中合理使用运算律.
重点:根据有理数的混合运算顺序,正确地进行有理数的混合运算.
难点:有理数的混合运算.
前面我们学习了有理数的加、减、乘、除和乘方运算,对各种运算的法则、运算律和运算技巧已经比较熟悉,如果遇到有理数的混合运算,你有信心进行准确的计算吗 下图是小玲和小亮的对话,你同意小亮的说法吗
阅读教材P43~44内容,完成下列问题.
知识点1 有理数的混合运算
下列式子30+5÷22×--1,含有哪几种运算 先算什么,后算什么 并进行计算.
解:式子中含有加法、减法、乘法、除法、乘方五种运算.先算乘方,再算乘除,最后算加减.
30+5÷22×--1
=30+5÷4×--1
=30+×--1
=30--1
=28
[归纳]做有理数的混合运算时,应注意以下运算顺序:
(1)先乘方,再乘除,最后加减;
(2)同级运算,从左到右进行;
(3)如有括号,先做括号内的运算,按小括号、中括号、大括号依次进行.
范例应用
例1 (1)(-1)8×2+(-2)3÷4;
(2)(-5)3-3×-4;
(3)-22-36×-2.
解:(1)(-1)8×2+(-2)3÷4=1×2+(-8)÷4=2+(-2)=0.
(2)(-5)3-3×-4=-125-3×=-125-=-125.
(3)-22-36×-2=-4-36×=-4-1=-5.
[方法归纳]有理数的混合运算可用下面的口诀记忆:混合运算并不难,符号第一记心间;加法需取大值号,乘法同正异负添;减变加改相反数,除改乘法用倒数;混合运算按顺序,乘方乘除后加减.
知识点2 数字规律探究
观察下面三行数:
-2,4,-8,16,-32,64,…;①
0,6,-6,18,-30,66,…;②
-1,2,-4,8,-16,32,….③
(1)第①行数按什么规律排列
(2)第②③行数与第①行数分别有什么关系
(3)取每行数的第10个数,计算这三个数的和.
解:(1)第①行数是-2,(-2)2,(-2)3,(-2)4,….
(2)第②行数是第①行相应的数加2,即-2+2,(-2)2+2,(-2)3+2,(-2)4+2,….
第③行数是第①行相应的数的倍,即(-2)×,(-2)2×,(-2)3×,(-2)4×,….
(3)每行数中的第10个数的和是(-2)10+[(-2)10+2]+(-2)10×
=1 024+(1 024+2)+1 024×=1 024+1 026+512=2 562.
范例应用
例2 为了求1+2+22+23+24+…+22 021的值,可令S=1+2+22+23+…+22 021,则2S=2+22+23+24+…+22 022,因此2S-S=22 022-1,所以1+2+22+23+…+22 021=22 022-1,仿照以上推理,那么1+5+52+…+52 021= .
1.对于计算-24+18×(-3)÷(-2),下列过程错误的是(C)
A.-16+[18÷(-2)]×(-3)
B.-16+(18÷2)×3
C.16-54÷2
D.-16+(-54)÷(-2)
2.计算3×(-4)-22的结果是(D)
A.8 B.4 C.-8 D.-16
3.观察下列算式并总结规律:71=7,72=49,73=343,74=2 401,75=16 807,……用你发现的规律写出715的末位数字是(B)
A.1 B.3 C.9 D.7
4.按照如图所示的操作步骤运算,若输入x的值为-5,则输出的值为 -15 .
5.计算:
(1)(-1)10-8÷(-2)+4×|-5|;
(2)(-10)3+[(-4)2-(1-32)×2];
(3)-12 022÷(-5)2×--|0.8-1|.
解:(1)(-1)10-8÷(-2)+4×|-5|
=1+4+20
=25.
(2)(-10)3+[(-4)2-(1-32)×2]
=-1 000+[16-(-8)×2]
=-1 000+16+16
=-968.
(3)-12 022÷(-5)2×--|0.8-1|
=1÷25×-0.2
=-
=-.
6.阅读下面的解题过程并回答问题.
计算:-22÷-1-3×6.
解:-22÷-1-3×6
=-4÷-×6 (第一步)
=-4÷(-25) (第二步)
=-. (第三步)
(1)上面解题过程中有两处错误,第一处是第 步,错误的原因是 ;第二处是第 步,错误的原因是 ;
(2)请将其更正.
解:(1)二 没按运算顺序计算,先算了后面的乘法 三 结果的符号出错
(2)-22÷-1-3×6=-4÷-×6=-4×-×6=.
1.乘方与加、减、乘、除的混合运算,运算顺序是:先乘方,再乘除,最后加减.
2.数字规律探究.
第2课时 有理数的混合运算
1.运算顺序.
2.数字规律探究.
3.例题.
4.练习.
有理数的运算是数学中很多其他运算的基础,培养学生正确迅速的运算能力,是数学教学中的一项重要目标.在加、减、乘、除、乘方这几种运算基本掌握的前提下,学生进行混合运算,首先应注意的就是运算顺序的问题.小组讨论有理数运算法则后,教师应提醒学生牢固掌握有理数混合运算的几项规定,特别是加入乘方以后,学生对乘方运算不熟悉,容易算成加法或底数与指数相乘.学生在运算符号多的时候容易出错,需要进行针对性讲解及练习.
1.5.2 科学记数法
1.利用10的乘方进行科学记数,会用科学记数法表示大于或等于10的数.
2.会解决与科学记数法有关的实际问题.
重点:会用科学记数法表示大于或等于10的数.
难点:正确使用科学记数法表示数.
生活中,我们经常会遇到一些比较大的数.例如:
1.全球每年大约有577 000 000 000 000 m3的水从海洋和陆地转化为大气中的水汽.
2.拒绝“餐桌浪费”刻不容缓,据统计,全国每年浪费粮食总量约50 000 000 000 kg.
像这些较大的数据,书写和阅读都有一定的难度,那么有没有这样一种表示方法,使得这些大数易写、易读、易于计算呢
阅读教材P44~45内容,完成下列问题.
知识点1 用科学记数法表示数
回顾有理数的乘方,计算:
101= 10 ,102= 100 ,103= 1 000 ,104= 10 000 ,
106= 1 000 000 ,1010= 10 000 000 000 ,….
讨论:
(1)指数与运算结果中的0的个数有什么关系
(2)指数与运算结果的数位有什么关系
[归纳总结] (1)10n=1,n恰好是1后面0的个数;
(2)10n=,n比运算结果的位数少1.反之,1后面有多少个0,10的幂指数就是多少.如:
1=107.
范例应用
例1 用科学记数法表示下列各数:
1 000 000,57 000 000,-123 000 000 000
解:1 000 000=1×106,57 000 000=5.7×107,
-123 000 000 000=-1.23×1011.
[归纳] 我们可以把一个大于10的数表示成a×10n的形式,其中a大于或等于1且小于10(即1≤a<10),n是正整数.这种记数方法叫做科学记数法.
对于小于-10的数也可以类似科学记数法表示.
[方法归纳]用科学计数法表示一个n位整数时,10的指数是n-1.
知识点2 还原用科学记数法表示的数
下列用科学记数法表示的数,原数是什么
(1)2021年5月11日,国家统计局权威发布第七次人口普查公报,我国最新总人口约为1.44×109人(含港澳台);
(2)预防和控制新冠肺炎最有效的办法就是接种疫苗.截至2021年12月1日,某市累计接种新冠病毒疫苗超过3.5×106剂次;
(3)2021年国庆档某热门影片上映16天票房突破3.6×109元.
解:(1)1.44×109=1 440 000 000.
(2)3.5×106=3 500 000.
(3)3.6×109=3 600 000 000.
1.为了实现街巷硬化工程高质量“全覆盖”,某省2021年1~4月公路建设累计投资9.27×109元,也就是投资了(A)
A.92.7亿元 B.9.27亿元
C.927亿元 D.0.927亿元
2.已知光速约为300 000 km/s,光经过t s(1≤t≤10)传播的距离用科学记数法表示为a×10n km,则n可能为(C)
A.5 B.6
C.5或6 D.5或6或7
3.把下列用科学记数法表示的数写成原数:
(1)6.25×108= 625 000 000 ;
(2)8.001 5×103= 8 001.5 ;
(3)-2.12×105= -212 000 .
科学记数法:
(1)把大于10的数表示成a×10n的形式;
(2)a的范围是1≤|a|<10,n是正整数;
(3)n比原数的整数位数少1.
1.5.2 科学记数法
1.用科学记数法表示数.
2.还原用科学记数法表示的数.
本节课的特点是实际性强,和我们的日常生活联系紧密,从学生的生活经验和已有的知识出发,创设生动有趣的情境,引导学生开展观察、讨论、交流等活动.把学生被动接受知识的过程变为主动探究发现的过程,使知识的发生与发展在每一位学生各自的体验和自主学习中逐渐展现.
1.5.3 近似数
1.了解近似数的意义.
2.能按照精确度的要求,用四舍五入法求出近似数.
重点:近似数、精确度的意义.
难点:按给定的精确度求一个数的近似数.
问题1 (1)我们班有 名学生;
(2)七年级约有 名学生;
(3)一天有 小时,一小时有 分钟,一分钟有 秒;
(4)你回家约要 分钟.
问题2 在这些数据中,哪些是与实际接近的 哪些数据是与实际完全符合的
阅读教材P45~46内容,完成下列问题.
知识点1 准确数与近似数
下列语句中,那些数据是精确的,哪些数据是近似的
(1)妈妈去买水果,买了8个苹果,大约3 kg.
(2)小民与小李买了2瓶水,4根黄瓜,6袋牛肉干,约20元,然后骑车去大约3.5 km外的地方郊游,大约玩了4.5 h回家.
(3)我国共有56个民族.
解:精确数:8,2,4,6,56;
近似数:3,20,3.5,4.5.
[方法归纳]经过“四舍五入”得到的数叫近似数,一般用工具量出来的数都是近似数;能表示原来物体或事件的实际数量的数是准确数,一般通过计数数出来的数都是准确数.
知识点2 按要求取近似值
小明和小颖分别测量了同一片树叶的长度,他们所用的直尺的最小单位是不同的,分别是厘米和毫米.
根据小明的测量,这片树叶的长度约为多少 根据小颖的测量呢 谁的测量结果会更精确一些
解:根据小明的测量,这片树叶的长度约为3 cm,根据小颖的测量,这片树叶的长度约为3.2 cm.
范例应用
例 下列结论正确的是 (C)
A.近似数4.230和4.23的精确度是一样的
B.近似数89.0是精确到个位
C.近似数0.005 10与0.051 0的精确度不一样
D.近似数6万与近似数60 000的精确度相同
1.下列各数中,表示准确数的是(A)
A.小明同学买了6支铅笔
B.小亮同学的身高是1.72 m
C.教室的面积约是60 m2
D.小兰在菜市场买了3斤西红柿
2.5.60万精确到(C)
A.十分位 B.百分位 C.百位 D.千位
3.用四舍五入法将数3.141 59精确到千分位的结果是(C)
A.3.141 5 B.3.14
C.3.142 D.3.141
4.6.495 8精确到0.01的近似数是 6.50 ,精确到十分位的近似数为 6.5 .
1.判断准确数与近似数.
2.会按照精确度取一个数的近似数.
3.根据近似数判断精确度.
1.5.3 近似数
1.近似数的意义.
2.求近似数.
3.确定近似数的精确度.
学生在小学阶段学习过四舍五入,在求精确度上能自然过渡,对近似数与精确度理解不难,本课时学习难点在于科学记数法中确定精确度,因此要通过科学记数法的意义对其讲解,使学生理解为什么要这样做.
第二章 整式的加减
2.1 整 式
第1课时 用字母表示数
1.理解字母表示数的意义.
2.会用含有字母的式子表示实际问题中的数量关系.
重点:理解字母表示数的意义.
难点:会用字母表示数量关系.
我们不少同学都是唱着儿歌长大的,朗朗上口、童趣横生的儿歌有的至今难以忘怀.其中有一首歌是这样唱的:
一只青蛙一张嘴,两只眼睛四条腿,一声扑通跳下水;两只青蛙两张嘴,四只眼睛八条腿,两声扑通跳下水;三只青蛙三张嘴,六只眼睛……,a只青蛙a张嘴,2a只眼睛4a条腿,由此看出a是一个字母,它代表“很多只”的数量,用字母a可以清楚地表示出青蛙、嘴、眼睛、腿和跳水声之间的数量关系.
今天我们就学习用字母表示数.
阅读教材P54~55内容,完成下列问题.
知识点1 含有字母的式子的书写
用含有字母的式子表示下列数量.
(1)练习簿的单价为a元,100本练习簿的总价是 100a 元;
(2)练习簿的单价为b元,a本练习簿的总价是 ab 元;
(3)练习簿的单价为0.5元,圆珠笔的单价是 3.2元,买a本练习簿和b支笔的总价是 (0.5a+3.2b) 元;
(4)小明的家离学校s km,小明骑车上学.若每小时行10 km,则需 h;
(5)若每斤苹果元,则买m斤苹果需 m 元;
(6)某人个子高,经测量他通常跨一步的距离1 m,若取向前为正,向后为负,那么他向前跨a步为 a m,向后跨a步为 -a m.
[方法归纳]字母表示数的注意事项
(1)数与字母、字母与字母相乘时省略乘号,数与字母相乘时数字在前;
(2)出现多个字母时,字母按照26个字母顺序排列;
(3)相同字母相乘时应写成幂的形式;
(4)1或-1与字母相乘时,1通常省略不写;
(5)式子中出现除法运算时,一般按分数形式来写,带分数与字母相乘时,把带分数化成假分数.
范例应用
例1 判断下列式子书写是否规范,不规范的请改正.
x×y 2ab -1n x3 m÷3
解:不规范,规范的写法分别为xy,ab,-n,3x,.
知识点2 用含有字母的式子表示数量关系
用字母表示下列问题中的数量关系.
(1)一条河的水流速度是2.5 km/h,船在静水中的速度是v km/h,用式子表示船在这条河中顺水行驶和逆水行驶时的速度;
(2)如图所示(图中长度单位:cm),用式子表示三角尺的面积;
(3)如图所示的是一所住宅的建筑平面图(图中长度单位:m),用式子表示这所住宅的建筑面积.
解:(1)顺水速度:(v+2.5)km/h;逆水速度:(v-2.5)km/h.
(2)ab-πr2cm2.
(3)(x2+2x+18)m2.
范例应用
例2 用字母表示下列问题中的数量关系:
(1)为落实“阳光体育”工程,某校计划购买m个篮球和n个排球,已知篮球每个80元,排球每个60元,购买这些篮球和排球的总费用为 (80m+60n) 元.
(2)在运动会中,一班总成绩为m分,二班比一班总成绩的还多5分,则二班的总成绩为 m+5 分.
(3)某商店积压了一批商品,为尽快售出,该商店采取如下销售方案:将原来每件m元,加价50%,再做两次降价处理,第一次降价30%,第二次降价10%.经过两次降价后的价格为 0.945 m 元.
知识点3 用字母表示规律
如图所示,搭一个正方形需要4根火柴棒.
(1)按上面的方式,搭2个正方形需要 根火柴棒,搭3个正方形需要 根火柴棒.
(2)搭7个这样的正方形需要 根火柴棒.
(3)搭100个这样的正方形需要多少根火柴棒
(4)如果用n表示所搭正方形的个数,那么搭n个这样的正方形需要多少根火柴
解:(1)7 10
(2)22
(3)4+3×(100-1)=301(根).
(4)4+3×(n-1)或3n+1.
范例应用
例3 观察下列图形:
第1个图形 第2个图形
第3个图形 第4个图形
它们是按一定规律排列的.
(1)依照此规律,第20个图形共有几个五角星
(2)摆成第n个图案需要几个五角星
(3)摆成第2 022个图案需要几个五角星
解:(1)根据题意,得第1个图中,五角星有3×1=3(个);第2个图中,有五角星3×2=6(个);第3个图中,有五角星3×3=9(个);第4个图中,有五角星3×4=12(个);
所以第n个图中有五角星3n个.
所以第20个图中五角星有3×20=60(个).
(2)由(1),可知摆成第n个图案需要3n个五角星.
(3)摆成第2 022个图案需要五角星2 022×3=6 066(个).
1.下列式子符合书写要求的是(D)
A.1a B.n·2 C.a÷b D.2πr2
2.在下列表述中,不能表示“4a”的意义的是(D)
A.4与a的积 B.a的4倍
C.4个a相加 D.4个a相乘
3.a的平方与b的和,用式子表示,正确的是(B)
A.a+b2 B.a2+b
C.a2+b2 D.(a+b)2
4.某市森林公园门票的价格为成人票每张30元,儿童票每张15元.若购买m张成人票和n张儿童票,则共需花费 (30m+15n) 元.
5.如图所示,用火柴棒拼成一个由三角形组成的图形,拼第一个图形共需要3根火柴棒;拼第二个图形共需要5根火柴棒;拼第三个图形共需要7根火柴棒;……照这样拼图,则第n个图形需要 (2n+1) 根火柴棒.
1.回顾本节所学的知识点.
2.用字母表示数量关系以及书写时的注意事项
3.用字母表示实际问题中的数量关系.
第二章 整式的加减
2.1 整 式
第1课时 用字母表示数
1.用字母表示数.
2.列式的注意事项.
3.探究图形的变化规律.
通过本课时的教学要让学生经历从实际问题中用字母表示数,初步
1.1 正数和负数1
1.2 有理数3
1.2.1 有理数3
1.2.2 数 轴5
1.2.3 相反数7
1.2.4 绝对值9
1.3 有理数的加减法11
1.3.1 有理数的加法11
第1课时 有理数的加法11
第2课时 有理数加法的运算律及运用13
1.3.2 有理数的减法15
第1课时 有理数的减法法则15
第2课时 有理数的加减混合运算17
1.4 有理数的乘除法19
1.4.1 有理数的乘法19
第1课时 有理数的乘法法则19
第2课时 乘法的运算律21
1.4.2 有理数的除法23
第1课时 有理数的除法23
第2课时 加减乘除混合运算25
1.5 有理数的乘方27
1.5.1 乘 方27
第1课时 有理数的乘方27
第2课时 有理数的混合运算29
1.5.2 科学记数法31
1.5.3 近似数32
第二章 整式的加减
2.1 整 式33
第1课时 用字母表示数33
第2课时 单项式35
第3课时 多项式36
2.2 整式的加减38
第1课时 合并同类项38
第2课时 去括号40
第3课时 整式的加减42
第三章 一元一次方程
3.1 从算式到方程44
3.1.1 一元一次方程44
3.1.2 等式的性质46
3.2 解一元一次方程(一)——合并同类项与
移项48
第1课时 合并同类项解一元一次方程48
第2课时 移项解一元一次方程50
3.3 解一元一次方程(二)——去括号与去
分母52
第1课时 去括号解一元一次方程52
第2课时 去分母解一元一次方程54
3.4 实际问题与一元一次方程56
第1课时 配套、工程问题56
第2课时 销售、球赛积分问题58
第3课时 收费及其他问题60
第四章 几何图形初步
4.1 几何图形62
4.1.1 立体图形与平面图形62
第1课时 认识立体图形与平面图形62
第2课时 从不同的方向看立体图形和立体图形的展开图64
4.1.2 点、线、面、体66
4.2 直线、射线、线段68
第1课时 直线、射线、线段68
第2课时 线段的度量70
4.3 角73
4.3.1 角73
4.3.2 角的比较与运算75
4.3.3 余角和补角77
4.4 课题学习 设计制作长方体形状的包
装纸盒(略)78
第一章 有理数
1.1 正数和负数
1.了解正数和负数是从实际需要中产生的.
2.理解正数、负数及0的意义,掌握正数、负数的表示方法.
3.会用正数、负数表示具有相反意义的量.
重点:理解正数、负数及0的意义.
难点:会用正数、负数表示具有相反意义的量.
1.举例说明小学数学中我们学过哪些数 看谁举得全
为了实际生活需要,在数物体个数时,1,2,3…出现了自然数,没有物体时用自然数0表示,当测量或计算时不能得出整数,我们用分数或小数表示.
2.小学数学中我们学过的最小的数是谁 有没有比零还小的数呢
在小学我们学过最小的数是0,还没有遇到过比0小的数.
阅读教材P2~4内容,完成下列问题.
知识点1 正、负数的认识
问题1 说一说上面用到的各数的含义.
(1)天气预报中的3,电梯按钮中的3~17,地形图中的8 848;
(2)天气预报中的-4,-7,电梯按钮中的-1,-2,地形图中的-155.
问题2 上面这两类数,分别属于什么数
形成概念
像1,2,3,8 848这样大于0的数叫做正数.
像-1,-2,-155这样在正数前面加上符号“-”(负)的数叫做负数.
规定:0既不是正数,也不是负数.
注意
有时,我们为了明确表达意义,在正数前面也加上“+”(正)号,如+3,+1.8%,+0.5,….不过一般情况下我们省略“+”不写.
范例应用
例1 下列各数哪些是正数 哪些是负数
-2,1.2,0,+,2.012 2,356,-1 000,-0.618,+1.732,-.
解:1.2,+,2.012 2,356,+1.732是正数;-2,-1 000,-0.618,-是负数.
[方法归纳] 对于正数和负数不能简单地理解为:带“+”号的数是正数,带“-”号的数是负数,要看其本质是正数还是负数.0既不是正数也不是负数,后面会学到+(-3)不是正数,-(-2)不是负数.
知识点2 “0”的意义
下列对“0”的说法正确的个数是(A)
①0是正数和负数的分界点;②0只表示“什么也没有”;③0可以表示特定的意义,如0 ℃;④0是正数;⑤0是自然数.
A.3 B.4 C.5 D.0
[方法归纳] “0”的意义不要单纯地认为表示“没有”,其实“0”表示的意义非常广泛,比如:冰水混合物的温度就是0 ℃,0是正、负数的分界点等.
知识点3 用正、负数表示具有相反意义的量
在0 ℃以上的温度用正数表示,0 ℃以下的温度用负数表示;高于海平面的地方用正数表示它的高度,低于海平面的地方用负数表示它的高度.在实际生活中还有一些与温度、海拔高度类似的量也常常用正负数表示,你能列出一些吗
填空:
(1)-50元表示支出50元,那么+100元表示 收入100元 ;
(2)正常水位为0 m,水位高于正常水位0.2 m记作 +0.2 m ,低于正常水位0.3 m记作 -0.3 m ;
(3)乒乓球比标准质量重0.039 g记作 +0.039 g ;比标准质量轻0.019 g记作 -0.019 g ;标准质量记作 0 g .
[方法归纳] 用正、负数表示相反意义的量时,要抓住基准,比基准量多多少记为“+”的多少,少多少记为“-”的多少.另外,通常把“零上、上升、前进、收入、运进、增产”等规定为正,与它们意义相反的量表示为负.
范例应用
例2 (1)一个月内,小明体重增加2 kg,小华体重减少1 kg,小强体重无变化,写出他们这个月的体重增长值;
(2)某年下列国家的商品进出口总额比上年的变化情况是:
美国减少6.4%,德国增长1.3%,
法国减少2.4%,英国减少3.5%,
意大利增长0.2%,中国增长7.5%.
写出这些国家这一年商品进出口总额的增长率.
解:(1)这个月小明体重增长2 kg,小华体重增长 -1 kg,小强体重增长0 kg.
(2)六个国家这一年商品进出口总额的增长率:
美国:-6.4%,德国:1.3%,
法国:-2.4%,英国:-3.5%,
意大利:0.2%,中国:7.5%.
1.下列说法,正确的是(C)
A.加正号的数是正数,加负号的数是负数
B.0是最小的正数
C.字母a表示数,它既可以是正数,也可以是负数,也可以是0
D.任意一个数,不是正数就是负数
2.下列各对关系中,不具有相反意义的量的是(D)
A.运进货物3 t与运出货物2 t
B.升温3 ℃与降温3 ℃
C.增加货物100 t与减少货物2 000 t
D.胜3局与亏本400元
3.填一填.
(1)《九章算术》中注有“今两算得失相反,要令正负以名之”.大意是:今有两数若其意义相反,则分别叫做正数与负数.若水位上升2 m记作+2 m,则下降1 m记作 -1 m;
(2)东、西为两个相反方向,如果-5 m表示一个物体向西运动5 m,那么+3 m表示 向东运动 3 m .物体原地不动记为 0 m .
(3)某仓库运进小麦6.5 t记作+6.5 t,那么运出4.8 t应记作 -4.8 t.
(4)抗洪期间,如果水位超过标准水位1.5 m记作+1.5 m,那么后来记录的-0.9 m表示 低于标准水位0.9 m .
4.将下列各数填入相应的大括号里.
-9,,0,-2,2 000,+61,,-10.8
正数集合 ,2 000,+61, ,…;
负数集合 -9,-2,-10.8 ,….
5.2022年4月,受新冠疫情的影响,某地物价出现上涨趋势.该地发布2021年4月份物价上涨情况(与2021年3月相比),如下表:
种类 禽肉类 蔬菜 水产品 鲜果 粮食
上涨 -0.9% 5.4% -2.2% 2.1% 1.2%
(1)哪类商品的实际价格上涨了 哪类商品的实际价格下降了
(2)哪类商品价格的上涨幅度最大 哪类商品的价格下降幅度最大
解:(1)蔬菜、鲜果、粮食的实际价格上涨了,
禽肉类、水产品的实际价格下降了.
(2)蔬菜价格的上涨幅度最大,
水产品价格的下降幅度最大.
1.正数是比零大的数,正数前面加“-”号的数叫做负数.
2.0既不是正数也不是负数,它是正负数的分界.
3.具有相反意义的量应满足的条件:
①必须是同类量,而且是成对出现的;
②只要求意义相反,不要求数量一定相等.
第一章 有理数
1.1 正数和负数
1.正数:大于0的数;如+5,+10,8 848.
2.负数:在正数前面加“-”号的数;如-5,-10,-155.
3.0既不是正数也不是负数.
本节课通过学生身边熟悉的事物,让学生感受到负数的引入确实是实际生活的需要.数学与我们的生活密不可分;经历讨论、探索、交流、合作等过程获得新知,并能用所学的新知识来解决实际问题.这样教学更能激发学生学习数学的兴趣;提升学生的能力;促进学生的发展.使每个学生都能得到不同程度的收获.
1.2 有理数
1.2.1 有理数
1.掌握有理数的概念.
2.会对有理数按一定的标准进行分类,培养分类能力.
重点:掌握有理数的概念.
难点:会对有理数按一定的标准进行分类.
(1)下面是某旅行社对冬季某天天气的预报,方便大家出行:
某地的最高气温为6 ℃,最低气温达到-10 ℃,平均气温是0 ℃,而同一天北京的气温为-3~7 ℃.上面的这段文字中出现了什么数
解:6,7是正数;-10,-3是负数;0既不是正数也不是负数.
(2)像,,,0.2,3.25,…又是什么数
解:它们都是分数.
阅读教材P6内容,完成下列问题.
知识点1 有理数的概念
我们以前学过的数,像1,2,3,…称为正整数;,,,…称为正分数.
那么在以上这些数的前面添上“-”号后,
-1,-2,-3,…称为负整数;-,-,-,…称为负分数.
特别提示:0既不是正数,也不是负数!
[归纳] 正整数、零和负整数统称整数.正分数和负分数统称分数.整数和分数统称为有理数.
想一想:数0.1,-0.2,5.32,-7.25,0.等为什么被列为分数
因为它们都可以化为分数,即0.1=,-0.2=-,5.32=5=,-7.25=-7=-,0.=.
范例应用
例1 判断下表中各数分别是什么数,在相应的空格内打“√”.
整数 分数 正数 负数 有理数
2 022 √ √ √
√ √ √
-2.7 √ √ √
0 √ √
-28 √ √ √
知识点2 有理数的分类
问题1 你能根据有理数的定义对有理数分类吗
有理数
问题2 如果按符号(正、负)来分类,又该怎样来分呢
有理数
质疑探索
学了有理数的分类后,有没有一些数不是有理数呢
解:有限小数和无限循环小数都是分数,所以也是有理数.无限不循环小数(如π)不是分数,就不是有理数.
[归纳] (1)分类的标准不同,结果也不同;(2)分类的结果应无遗漏、无重复;(3)零是整数,但零既不是正数,也不是负数.
[有理数分类的几点注意]
(1)像,300%这样能约分成整数的数不能算作分数;
(2)无限不循环小数不是有理数,如π;
(3)整数中除了正整数和负整数,还有0.
想一想,填一填.
(1)既是分数又是负数的数是 负分数 ;
(2)非负数包括 正数 和 0 ;
(3)非正数包括 负数 和 0 ;
(4)非负整数包括 正整数 和 0 ;又称为 自然数 ;
(5)非负分数包括 整数 和 正分数 ;
(6)非正分数包括 整数 和 负分数 .
范例应用
例2 把下列各数填在相应的集合中:
-3,+,0,4,π,+3.14,-0.45,+200%,-0.,.
正数集合: +,4,π,+3.14,+200%, ,…;
负数集合:{ -3,-0.45,-0. ,…};
分数集合: +,+3.14,-0.45,-0., ,…;
整数集合:{ -3,0,4,+200%, ,…};
非负有理数集合: +,0,4,+3.14,+200%, ,…;
有理数集合: -3,+,0,4,+3.14,-0.45,+200%,-0., ,….
1.下列说法正确的是(D)
A.非负数包括零和整数
B.正整数包括自然数和零
C.零是最小的整数
D.整数和分数统称为有理数
2.下列各数:-1,4,-,0.37,0,9,-0.04,-5,7,,.
其中正数有 6 个,负数有 4 个,正分数有 3 个,负分数有 2 个,自然数有 4 个,整数有 6 个.
3.判断:
(1)0是整数;(√)
(2)自然数一定是整数;(√)
(3)0一定是正整数;(×)
(4)整数一定是自然数.(×)
4.把下列各数填入相应的集合内:
,-3.141 6,0,2 022,-,-0.234 5,20%,10.1,0.67,-87.
正数集合 负数集合
整数集合 分数集合
1.到现在为止,我们学过的数(π除外)都是有理数.
2.有理数的分类.
3.注意0的特殊性,分类时不要遗漏0.
1.2 有理数
1.2.1 有理数
1.有理数的概念
2.有理数的分类
本节课是有理数分类的教学,要给学生较大的思维空间,促进学生积极主动地参加学习活动,亲自体验知识的形成过程.避免教师直接分类带来学习的枯燥性.要有意识地突出“分类讨论”数学思想的渗透,明确分类标准不同,分类的结果也不相同,且分类结果应是无遗漏、无重复的.
1.2.2 数 轴
1.掌握数轴的概念,理解数轴上的点和有理数的对应关系.
2.会正确地画出数轴,利用数轴上的点表示有理数.
重点:掌握数轴的概念,理解数轴上的点和有理数的对应关系.
难点:会正确地画出数轴,利用数轴上的点表示有理数.
回忆正负数的意义并回答以下问题:
在一条东西方向的马路上,有一个学校,学校东 50 m 和西150 m处分别有一个书店和一个超市,学校西100 m和东200 m处分别有一个邮局和医院,以学校为“基准”,把向东记作“+”,向西记作“-”,用正负数表示书店、超市、邮局、医院的位置.
解:书店:+50 m;超市:-150 m;邮局:-100 m;医院:+200 m.
阅读教材P7~9内容,完成下列问题.
知识点1 数轴的概念
观察图中平放的温度计:
(1)温度计上有哪三类数: 正数、负数、0 ;
(2)把平放的温度计两端无限延长,可以看作我们之前学过的直线;
(3)借鉴温度计,请你把“课堂导入”中的有理数用一条直线上的点来表示.
以学校作为“0”点,用1 cm表示50 m作为单位长度,负数放在“0”点左边,正数放在“0”点右边.
[类比归纳]
类似温度计,按照如下方式处理的一条直线:
(1)在直线上任取一个点表示数0,这个点叫做原点;
(2)通常规定直线上从原点向右(或上)为正方向,从原点向左(或下)为负方向;
(3)选取适当的长度作为单位长度,从直线上原点向右,每隔一个单位长度取一个点,依次表示1,2,3,…;从原点向左,用类似方法表示-1,-2,-3,….这样的直线叫做数轴.
[自主归纳]
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.
范例应用
例1 下列数轴表示正确的是(D)
[方法归纳] 画数轴注意事项
(1)原点、单位长度和正方向三要素缺一不可;
(2)直线一般画水平的;
(3)正方向用箭头表示,一般取从左到右;
(4)取单位长度应结合实际需要,但要做到刻度均匀.
知识点2 在数轴上表示有理数
观察下面的数轴:
思考:
(1)哪些数在原点的左边,哪些数在原点的右边,由此你有什么发现
(2)每个数到原点的距离是多少 由此你又有什么发现
(3)如何用数轴上的点来表示分数或小数 如:1.5,-怎样表示
[归纳] 任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示.
一般地,设a是一个正数,则数轴上表示数a在原点的右边,与原点的距离是a个单位长度;表示数-a的点在原点的左边,与原点的距离是a个单位长度.
范例应用
例2 在所给数轴上画出表示下列各数的点.
1,-5,-2.5,4,0.
解:如图所示:
例3 从数轴上表示-1的点出发,向左移动两个单位长度到点B,则点B表示的数是 -3 ,再向右移动5个单位长度到达点C,则点C表示的数是 2 .
1.下列说法中正确的是(D)
A.规定了原点、正方向的直线是数轴
B.数轴上原点及原点左边的点表示的数是非负数
C.-在数轴上无法表示出来
D.任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的点
2.数轴上的点A到原点的距离是3,则点A表示的数为(D)
A.6或-6 B.3
C.-3 D.3或-3
3.在数轴上表示数6的点在原点的 右 侧,到原点的距离是 6 个单位长度,表示数-8的点在原点的 左 侧,到原点的距离是 8 个单位长度.表示数6的点到表示数-8的点的距离是 14 个单位长度.
4.如图所示,写出数轴上点A,B,C,D,E表示的数.
解:点A,B,C,D,E表示的数分别是0,-2,1,2.5,-3.
5.画出数轴并表示下列有理数:
1.5,-2.2,-2.5,,-,0.
解:
6.如图所示,在数轴上有A,B,C三个点,请回答:
(1)将A点向右移动3个单位长度,C点向左移动5个单位长度,它们各自表示新的什么数
(2)移动A,B,C中的两个点,使得三个点表示的数相同,有几种移动方法
解:由图可知,点A表示-3,点B表示-1,点C表示3.
(1)将A点向右移动3个单位长度后表示0,C点向左移动5个单位长度后表示-2.
(2)共有3种移动方法.
①点A不动,把点B沿数轴向左移动2个单位长度,点C沿数轴向左移动6个单位长度,此时三个点都表示-3;
②点B不动,把点A沿数轴向右移动2个单位长度,点C沿数轴向左移动4个单位长度,此时三个点都表示-1;
③点C不动,把点A沿数轴向右移动6个单位长度,点B沿数轴向右移动4个单位长度,此时三个点都表示3.
1.数轴的定义:规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴.
2.数轴的画法.
3.所有的有理数都可以用数轴上的点来表示,原点右边的数是正数,原点左边的数是负数,0是正负数的分界点.
1.2.2 数 轴
1.数轴
(1)原点;
(2)正方向;
(3)单位长度.
2.数轴上的点与有理数间的关系
(1)原点表示零;
(2)原点右边的点表示正数;
(3)原点左边的点表示负数.
数轴是非常重要的数学工具,它使数和直线上的点建立了对应关系,它揭示了数与形之间的内在联系.数形结合是帮助学生理解数学、学习数学的重要思想方法.本章有理数的有关性质和运算都是结合数轴进行的.
本节课要求同学们能掌握数轴的三要素,正确地画出数轴,在此还要提醒同学们,所有的有理数都可用数轴上的点来表示,但是反过来不成立,即数轴上的点并不是都表示有理数,至于数轴上的哪些点不能表示有理数,这个问题以后再研究.
1.2.3 相反数
1.借助数轴理解相反数的概念,并能求给定数的相反数.(重点)
2.了解一对相反数在数轴上的位置关系.(重点)
3.掌握双重符号的化简.(难点)
重点:负数的相反数的表示方法.
难点:通过从数和形两个方面理解相反数,初步体会数形结合的思想方法.
1.让两个学生在讲台前背靠背站好(分左右),规定向右为正(正号可以省略),向右走2步,向左走2步各记作什么
2.规定两个同学未走时的点为原点,用上一节课学的数轴将上述问题情境中的2和-2表示出来.
3.从数轴上观察,这两位同学各走的距离都是2步,但方向相反,可用2和-2表示,这两个数具有什么特点
阅读教材P9~10内容,完成下列问题.
知识点1 相反数的概念
问题 观察下列一组数:+1和-1,+2.5和-2.5,+4和-4,并把它们在数轴上表示出来.
思考:
(1)上述各对数之间有什么特点
答:只有符号不同,其他都相同.
(2)请再写出一组具有上述特点的数.
答:+5和-5.(答案不唯一)
[归纳] 只有符号不同的两个数互为相反数.特别地,0的相反数为0.
范例应用
例1 判断以下说法是否正确:
(1)-7是7的相反数;(√)
(2)-7是相反数;(×)
(3)2与-互为相反数;(×)
(4)-7和7互为相反数;(√)
(5)相反数等于它本身的数只有0;(√)
(6)符号不同的两个数互为相反数.(×)
[方法归纳] 一个正数的相反数是一个负数,一个负数的相反数是一个正数.
知识点2 相反数的几何意义
问题1 在数轴上,画出几组表示相反数的点,并观察这两个点具有怎样的特征
答:位于原点两侧,且与原点的距离相等.
问题2 数轴上到原点的距离相等的点所表示的数有什么特点 借助数轴填一填.
1.数轴上与原点的距离是2的点有 两 个,这些点表示的数是 2和-2 ;
2.与原点的距离是5的点有 两 个,这些点表示的数是 5和-5 .
[归纳] (1)互为相反数的两个数分别位于原点的两侧(0除外);
(2)互为相反数的两个数到原点的距离相等;
(3)一般地,设a是一个正数,数轴上与原点的距离是a的点有两个,它们分别在原点的两侧,表示a和-a,这两点关于原点对称.
范例应用
例2 (1)数轴上离原点3个单位长度的点所表示的数是 3和-3 ,它们的关系为 互为相反数 ;
(2)在数轴上,若点A和点B分别表示互为相反数的两个数,点A在点B的左侧,并且这两个数的距离是12.8,则点A表示的数为 -6.4 ,点B表示的数为 6.4 .
例3 如图所示,图中数轴(缺原点)的单位长度为1,点A,B表示的两数互为相反数,则点C所表示的数为(C)
A.2 B.-4 C.-1 D.0
[方法归纳] 先在数轴上找到原点,从而确定点C所表示的数,同时牢记互为相反数的两个点到原点的距离相等.
知识点3 多重符号的化简
问题1 a的相反数是什么 如何求一个数的相反数
答:a的相反数是-a,在这个数前加一个“-”号.
问题2 若把a分别换成+5,-7,0时,这些数的相反数怎样表示
答:a=+5,-a=-(+5)=-5;a=-7,-a=-(-7)=7;a=0,-a=0.
-(+5)表示什么 -(-7)呢 -(-9.8)呢 它们的结果应是多少
答:-(+5)表示5的相反数;-(-7)表示-7的相反数;-(-9.8)表示-9.8的相反数.它们的结果分别是-5,7,9.8.
问题3 在一个数前面加上“-”号表示求这个数的相反数,如果在这些数前面加上“+”号呢
答:表示它本身.
范例应用
例4 填空.
(1)-(+4)是 +4 的相反数,-(+4)= -4 ;
(2)-+是 + 的相反数,-+= - ;
(3)-(-7.1)是 -7.1 的相反数,-(-7.1)= 7.1 .
例5 化简下列各数(先读后写).
(1)-(+10); (2)+(-0.15);
(3)+(+3); (4)-(-12);
(5)+[-(-1.1)]; (6)-[+(-7)].
解:(1)-(+10)=-10.
(2)+(-0.15)=-0.15.
(3)+(+3)=3.
(4)-(-12)=12.
(5)+[-(-1.1)]=+(+1.1)=1.1.
(6)-[+(-7)]=-(-7)=7.
[方法归纳] (1)求一个数的相反数,只要在这个数的前面添上“-”号,就表示这个数的相反数;
(2)对于数字前面含有多个符号的数的化简,只要观察“-”号的个数即可.如果有奇数个“-”号,结果的符号就是“-”号;如果有偶数个“-”号,结果的符号就是“+”号.
1.9的相反数是(D)
A. B.- C.9 D.-9
2.下列结论:①任何数都不等于它的相反数;②符号相反的数互为相反数;③表示互为相反数的两个数的点到原点的距离相等;④若有理数a,b互为相反数,则它们一定异号.正确的有(A)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.下列几对数中不是互为相反数的一对是(D)
A.-(-8)和-(+8) B.+(+8)和-(+8)
C.+(-8)和+(+8) D.-(+8)和+(-8)
4.填一填.
(1)-1.6是 1.6 的相反数, -0.3 的相反数是0.3,a的相反数是 -a ;
(2)若a=-13,则-a= 13 ;若-a=-6,则 a= 6 ;
(3)若a是负数,则-a是 正 数;若-a是负数,则a是 正 数;
(4)的相反数是 - ,-3x的相反数是 3x .
5.已知数轴上点A,点B表示的数互为相反数,并且两点间的距离是6,点A在点B的左边,则点A,B表示的数分别是 -3,3 .
1.相反数的概念:只有符号不同的两个数叫做互为相反数;特别地,0的相反数是0.
2.-a表示a的相反数.
1.2.3 相反数
1.相反数
(1)只有符号不同的两个数;
(2)a的相反数是-a,0的相反数是0;
(3)互为相反数的两个数到原点的距离相等.
2.多重符号的化简
(1)一个数前面有偶数个“-”号,结果为正数.
(2)一个数前面有奇数个“-”号,结果为负数.
从具体的场景出发,利用数轴引导学生感受相反数的意义.通过教师的层层设问,充分展示学生的思维过程,让学生学会“理性”思考,从而归纳出互为相反数的意义.让学生意识到数学“源于生活,又高于生活”.
1.2.4 绝对值
1.理解绝对值的概念及性质.
2.会求一个有理数的绝对值.
3.掌握有理数大小的比较法则.
重点:(1)给出一个数会求它的绝对值;
(2)掌握有理数大小的比较法则.
难点:(1)利用数轴理解绝对值的意义;
(2)能利用数轴及绝对值的知识,比较两个有理数的大小.
从一栋房子里,跑出有两只狗(一灰一黄),有人在房子的西边3 m处以及房子的东边3 m处各放了一根骨头,两狗发现后,灰狗跑向西3 m处,黄狗跑向东3 m处分别衔起了骨头.
问题 1.在数轴上表示这一情景.
2.两只狗所跑的路线相同吗
3.两只狗所跑的路程一样吗
在实际生活中,有时存在这样的情况,有些问题我们只需要考虑数的大小而不考虑方向.在我们的数学中,就是不需要考虑数的正负性,比如:在计算狗所跑的路程时,与狗跑的方向无关,这时所走的路程只需要用正数来表示,这样就需要引进一个新的概念——绝对值.
阅读教材P11~13内容,完成下列问题.
知识点1 绝对值的意义
[合作探究]
(1)甲、乙两辆出租车在一条东西走向的街道上行驶,记向东行驶的里程数为正.两辆出租车都从O地出发,甲车向东行驶10 km到达A处,记作 +10 km,乙车向西行驶10 km到达B处,记作 -10 km;
(2)以O为原点,取适当的单位长度画数轴,并在数轴上标出A,B的位置,则A,B两点与原点距离分别是多少 它们的实际意义是什么
答案:距离都是10 km.它们的实际意义是A在O正东方向10 km处,B在O正西方向10 km处.
[归纳] 我们把一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值,用“| |”表示.
知识点2 绝对值的性质及应用
观察与思考:观察这些数的绝对值,它们有什么共同点
|5|=5,|-10|=10,|3.5|=3.5,|100|=100,|-3|=3,
|50|=50,|-4.5|=4.5,|-5 000|=5 000,|0|=0,…
问题1 (1)一个正数的绝对值是什么
(2)一个负数的绝对值是什么
(3)0的绝对值是什么
结论1:一个正数的绝对值是正数,一个负数的绝对值是正数,0的绝对值是0.
结论2:一个正数或零的绝对值是它本身.一个负数的绝对值是它的相反数.
即任何一个有理数的绝对值都是非负数.
问题2 若字母a表示一个有理数,你知道a的绝对值等于什么吗
(1)当a是正数时,|a|= a ,正数的绝对值是它本身;
(2)当a是负数时,|a|= -a ,负数的绝对值是它的相反数;
(3)当a=0时,|a|= 0 ,0的绝对值是0.
即|a|=
问题3 相反数、绝对值的联系是什么
答:互为相反数的两个数的绝对值相等.绝对值相等,符号相反的两个数互为相反数.
范例应用
例1 求下列各数的绝对值:12,-,-7.5,0.
解:|12|=12,-=,|-7.5|=7.5,|0|=0.
知识点3 借助数轴比较有理数的大小
某一天我国5个城市的最低气温如下:
武汉5 ℃ 北京-10 ℃ 上海0 ℃ 广州10 ℃ 哈尔滨-20 ℃
(1)将这5个城市这一天的最低气温按照由低到高的顺序排列出来.
解:哈尔滨(-20 ℃)<北京(-10 ℃)<上海(0 ℃)<武汉(5 ℃)<广州(10 ℃).
(2)将这5个城市这一天的最低气温在数轴上表示出来,这些数的大小与它们在数轴上所表示的点的位置有什么关系
解:如图所示:
气温越高,对应的数越大,在数轴上所表示的点越靠右.
范例应用
例2 在数轴上表示数-3,-5,4,0,并比较它们的大小,将它们按从小到大的顺序用“<”号连接.
解:-3,-5,4,0在数轴上表示如图所示:
将它们按从小到大的顺序排列为-5<-3<0<4.
知识点4 运用法则比较有理数的大小
问题 对于正数、0、负数这三类数,它们之间有什么大小关系 两个负数之间如何比较大小
结论:(1)正数大于0,负数小于0,正数大于负数;(2)两个负数,绝对值大的反而小.
例如,1 > 0,0 > -1,1 > -1,-1 > -2.
范例应用
例3 比较下列各数的大小.
(1)-(-3)和-(+2);
(2)-和-.
解:(1)先化简,-(-3)=3,-(+2)=-2,因为正数大于负数,
所以3>-2,即-(-3)>-(+2).
(2)两个负数作比较,先求它们的绝对值.
-=,-==.因为<,所以-<,所以->-.
1.-的绝对值是(D)
A.-7 B.7 C.- D.
2.在有理数2,-3,,0中,最小的数是(B)
A.2 B.-3 C. D.0
3.-的相反数是 - ;若|a|=7,则a= ±7 .
4.比较下列各对数的大小:
(1)-(-1) > -(+2);
(2)- > -;
(3)-(-0.3) < ;
(4)-|-2| < -(-2).
1.数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值.
2.绝对值的性质
(1)|a|≥0;(2)|a|=
3.比较有理数大小的方法.
方法①:数轴上表示的两个数,右边的总比左边的大.
方法②:正数大于0,0大于负数,正数大于负数;两个负数,绝对值大的反而小.
1.2.4 绝对值
1.绝对值的几何意义.
2.绝对值的代数意义.
3.借助数轴比较有理数的大小.
4.运用法则比较有理数的大小.
绝对值是中学数学中一个非常重要的概念,它具有非负性,在数学中有着广泛的应用.本节从几何与代数的角度阐述绝对值的概念,重点是让学生掌握求一个已知数的绝对值,对绝对值的几何意义、代数意义的导出、对“负数的绝对值是它的相反数”的理解是教学中的难点.
课堂上留给学生一定的提问时间,很容易暴露学生知识的缺陷,通过问题引导学生联想,大胆猜想,可以拓宽学生的知识面,增强知识的系统性,加深对课本知识的理解,培养学生的创新意识和发散思维.教师在课堂上也往往能收到意想不到的收获.有理数的大小比较的方法还需要一定量的练习进行巩固.同时在教学中还要充分发挥学生的主体意识,让学生逐步解决所设计的问题,并能举一反三.
1.3 有理数的加减法
1.3.1 有理数的加法
第1课时 有理数的加法
1.理解有理数加法的意义.
2.初步掌握有理数加法法则.
3.能准确地进行有理数的加法运算,并能运用其解决简单的实际问题.
重点:有理数加法法则的理解和运用.
难点:异号两数相加.
我们已经熟悉正数的运算,然而实际问题中做加法运算的数有可能超出正数范围.例如,在本章引言中,把收入记作正数,支出记作负数,在求“结余”时,需要计算8.5+(-4.5),4+(-5.2)等.这里用到正数与负数的加法.
阅读教材P16~18内容,完成下列问题.
知识点1 有理数的加法法则
一只可爱的小狗,在一条东西走向的笔直公路上行走,现规定向东为正,向西为负.
想一想
问题1 如果小狗先向东行走2 m,再继续向东行走1 m,则小狗两次一共向哪个方向行走了多少米
解:小狗一共向东行走了 3 m,写成算式为(+2)+(+1)=+( 2+1 )=3(m).
问题2 如果小狗先向西行走2 m,再继续向西行走1 m,则小狗两次一共向哪个方向行走了多少米
解:两次行走后,小狗向西走了 3 m.用算式表示为(-2)+(-1)= -(2+1) =-3(m).
你从上面两个式子中发现了什么
答:有理数加法法则一:同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加.
想一想
问题3 (1)如果小狗先向西行走3 m,再继续向东行走2 m,则小狗两次一共向哪个方向行走了多少米
解:小狗两次一共向西走了 1 m.
用算式表示为-3+(+2)=-( 3-2 )=-1(m).
(2)如果小狗先向西行走2 m,再继续向东行走3 m,则小狗两次一共向哪个方向行走了多少米
解:小狗两次一共向东走了 1 m.
用算式表示为-2+(+3)=+( 3-2 )=1(m).
(3)如果小狗先向西行走2 m,再继续向东行走2 m,则小狗两次一共向哪个方向行走了多少米
解:小狗一共行走了 0 m.
写成算式为(-2)+(+2)= 0 (m).
你从上面的几个式子中发现了什么
答:有理数加法法则二:异号两数相加,绝对值相等时和为0;绝对值不相等时,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值.
想一想
如果小狗先向西行走3 m,然后在原地休息,则小狗向哪个方向行走了多少米
解:小狗向西行走了 3 m.
写成算式为(-3)+0= -3 (m).
你从上面的式子中发现了什么
答:有理数加法法则三:一个数同0相加,仍得这个数.
范例应用
例1 计算:
(1)(-0.9)+(-0.87);
(2)+4+-3;
(3)(-5.25)+5;
(4)(-89)+0.
解:(1)(-0.9)+(-0.87)=-1.77.
(2)+4+-3=1.
(3)(-5.25)+5=0.
(4)(-89)+0=-89.
例2 已知|a|=8,|b|=2.
(1)当a,b同号时,求a+b的值;
(2)当a,b异号时,求a+b的值.
解:因为│a│=8,│b│=2,所以a=±8,b=±2.
(1)因为a,b同号,所以a=8,b=2或a=-8,b=-2.
所以a+b=8+2=10,或a+b=-8+(-2)=-10.
(2)因为a,b异号,所以a=8,b=-2或a=-8,b=2.
所以a+b=8+(-2)=6,或a+b=-8+2=-6.
知识点2 有理数加法的应用
股民小明上星期五以收盘价67元买进某公司股票1 000股,下表为本周内每日该股票的涨跌情况:
星期 一 二 三 四 五
每股涨跌/元 4 4.5 -1 -2.5 -6
(1)星期三收盘时,每股多少元
(2)本周内每股最高价多少元 最低价多少元
解:(1)67+(+4)+(+4.5)+(-1)=74.5(元),
故星期三收盘时,每股74.5元.
(2)星期一:67+4=71(元),
星期二:71+4.5=75.5(元),
星期三:75.5+(-1)=74.5(元),
星期四:74.5+(-2.5)=72(元),
星期五:72+(-6)=66(元),
所以本周内每股最高价为75.5元,最低价66元.
1.计算:5+(-7)等于(B)
A.2 B.-2 C.12 D.-12
2.若两数之和为负数,则这两个数一定是(D)
A.同为正数 B.同为负数
C.一正一负 D.无法确定
3.若|a|=6,|b|=4,且a
C.-2或10 D.2或10
4.计算:
(1)(-4)+(-8); (2)(-5)+13;
(3)0+(-7); (4)(-4.7)+3.9.
解:(1)(-4)+(-8)=-(4+8)=-12.
(2)(-5)+13=+(13-5)=8.
(3)0+(-7)=-7.
(4)(-4.7)+3.9=-(4.7-3.9)=-0.8.
5.铁道部规定,身高在1.2 m至1.5 m的儿童乘坐动车需要购买成人票售价一半的儿童票.几位同学要随父母出游.若以1.5 m为基准,超过的记为“+”,不足的记为“一”,根据图表中提供的信息,回答下面问题:
姓名 小红 小华 小明 小强 小丽 小刚
身高/m -0.32 -0.15 +0.12 +0.18 +0.03 -0.05
(1)需要购买儿童票的有 人;
(2)求他们中需要购买儿童票的人的身高.
解:(1)2
(2)需要购买儿童票的是小华和小刚,小华的身高为1.5+(-0.15)=1.35(m),小刚的身高为1.5+(-0.05)=1.45(m).
有理数的加法法则:
确定类型 定符号 绝对值
同号 相同符号 相加
异号(绝对值不相等) 取绝对值较大的加数的符号 相减
异号(互为相反数) 结果是0
与0相加 仍是这个数
1.3 有理数的加减法
1.3.1 有理数的加法
第1课时 有理数的加法
本课时利用情境导入、解决问题等方法进行教学,使学生在情境中提出问题,并寻找解决问题的途径,因此不知不觉地进入学习氛围,使学生从被动学习变为主动探究.在本节教学中,要坚持以学生为主体,教师为主导,致力联系学生已掌握的知识,充分调动学生的兴趣和积极性,使他们最大限度地参与到课堂的活动中.
第2课时 有理数加法的运算律及运用
1.能概括出有理数的加法交换律和结合律.
2.灵活熟练地运用加法交换律、结合律简化运算.
重点:掌握有理数的加法交换律和结合律.
难点:运用加法交换律、结合律简化运算.
宋国有个非常喜欢猴子的老人.他养了一群猴子,整天与猴子在一起,因此能够懂得猴子们的心意.因为粮食缺乏,老人想限制口粮.那天,他故意先对猴子们说:“以后给你们吃桃子,早晨三颗晚上四颗,好不好 ”众猴子听了都很愤怒.老人马上改口说:“那就早上四颗晚上三颗吧,够了吗 ”众猴子非常高兴,大蹦大跳起来.
大家听完故事,请说说你的看法.
阅读教材P19~20内容,完成下列问题.
知识点1 加法运算律
观察与思考:
(1)2+(-3)= -1 ,(-3)+2= -1 ;
(2)11+(-7)= +4 ,(-7)+11= +4 .
(3)[3+(-5)]+(-7)= -9 ,
3+[(-5)+(-7)]= -9 .
(4)[8+(-4)]+(-6)= -2 ,
8+[(-4)+(-6)]= -2 .
思考:(1)比较以上各组两个算式的结果,每组两个算式有什么特征
(2)小学学的加法交换律在有理数的加法中还适用吗
(3)请用精练的语言把你得到的结论概括出来.
(4)你能用字母把这个规律表示出来吗
[归纳]
(1)加法交换律:在有理数加法中,两个数相加,交换加数的位置,和不变.
用字母表示为a+b=b+a.
(2)加法结合律:在有理数的加法中,三个数相加,先把前两个数相加,或者先把后两个数相加,和不变.
用字母表示为(a+b)+c=a+(b+c).
范例应用
例1 计算:16+(-25)+24+(-35).
解:16+(-25)+24+(-35)
=16+24+[(-25)+(-35)]
=40+(-60)
=-20.
[方法归纳]把正数与负数分别相加,从而计算简化,这样做既运用加法交换律又运用加法的结合律.
例2 计算:
(1)(-2.48)+4.33+(-7.52)+(-4.33);
(2)+-+-.
解:(1)(-2.48)+4.33+(-7.52)+(-4.33)
=[(-2.48)+(-7.52)]+[(+4.33)+(-4.33)]
=(-10)+0
=-10.
(2)+-+-
=+-+-
=+-
=-.
议一议
回顾以上例题的解答,思考:将怎样的加数结合在一起,可使运算简便
[方法归纳]
(1)一般地,总是先把正数或负数分别结合在一起相加.
(2)有相反数的可先把相反数相加,能凑整的可先凑整.
(3)有分母相同的,可先把分母相同的数结合相加.
知识点2 有理数加法运算律的应用
每袋小麦的标准质量为90 kg,10袋小麦称重记录如图所示(单位:kg),与标准质量比较,10袋小麦总计超过多少千克或不足多少千克 10袋小麦的总质量是多少
解:法一 先计算10袋小麦的总质量:
91+91+91.5+89+91.2+91.3+88.7+88.8+91.8+91.1=905.4(kg).
再计算总计超过多少千克:
905.4-90×10=5.4(kg).
答:10袋小麦总计超过标准质量5.4 kg,总质量是905.4 kg.
法二 每袋小麦超过标准质量的千克数记作正数,不足的千克数记作负数,10袋小麦对应的数为+1,+1,+1.5,-1,+1.2,+1.3,-1.3,-1.2,+1.8,+1.1.
1+1+1.5+(-1)+1.2+1.3+(-1.3)+(-1.2)+1.8+1.1
=[1+(-1)]+[1.2+(-1.2)]+[1.3+(-1.3)]+(1+1.5+1.8+1.1)
=5.4(kg)
90×10+5.4=905.4(kg)
答:10袋小麦总计超过标准质量5.4 kg,总质量是905.4 kg.
1.6+(-2)+(-3)+14+(-15)=(6+14)+[(-2)+(-3)+(-15)]应用了(C)
A.加法交换律
B.加法结合律
C.加法交换律与结合律
D.以上都不是
2.下列运用加法运算律变形正确的是(B)
A.4+(-3)=4+3
B.2+(-5)+4=(-5)+4+2
C.[-3+(-2)]+5=[-3+(-5)]+2
D.+(-1)++=++(+1)
3.计算:
(1)23+(-27)+6+(-22);
(2)1+-++-;
(3)3+-2+5+-8.
解:(1)23+(-27)+6+(-22)
=(23+6)+[(-27)+(-22)]
=29-49
=-20.
(2)1+-++-
=1++-+-
=-
=.
(3)3+-2+5+-8
=3+5+-2+-8
=9-11
=-2.
4.某公路养护小组乘车沿南北方向巡查维修,某天早晨他们从A地出发,晚上最后到达B地,约定向北为正方向,当天的行驶记录如下(单位:km).
+18,-9,+7,-14,+13,-6,-8.
(1)B地在A地什么方向,相距多少千米
(2)若汽车行驶1 km耗油a L,求该天耗油多少升
解:(1)(+18)+(-9)+(+7)+(-14)+(+13)+(-6)+(-8)=[(+18)+(+7)+(+13)]+[(-9)+(-14)+(-6)+(-8)]=38+(-37)=1(km).
故B地在A地正北方向,相距1 km.
(2)(18+9+7+14+13+6+8)a=75a(L).
答:该天耗油75a L.
1.加法的交换律:两个数相加,交换加数的位置,和不变,即a+b=b+a.
2.加法结合律:三个数相加,先把前两个数相加,或者先把后两个数相加,和不变,即(a+b)+c=a+(b+c).
第2课时 有理数加法的运算律及运用
本节课教学以故事引入,使学生在已有的知识经验的基础上构建新知,主动探索有理数加法交换律和结合律,从而激发他们学习的兴趣,使他们由被动地接受学习变成主动探索获取知识.课堂中学生通过自主互助交流,不断地总结规律、方法和解题技巧.
1.3.2 有理数的减法
第1课时 有理数的减法法则
1.理解、掌握有理数的减法法则,会将有理数的减法运算转化为加法运算.
2.通过把有理数的减法运算转化为加法运算,渗透转化思想,培养运算能力.
重点:有理数减法法则和运算.
难点:有理数减法法则的推导.
如图所示的是某日北京的天气情况,从下图我们可以得知北京从周五到下周二的最高温度为6 ℃,最低温度为-5 ℃.那么它的温差怎么算 6-(-5)=
阅读教材P21~22内容,完成下列问题.
知识点1 有理数的减法法则
问题1 你能从如图所示的温度计上看出5 ℃比 -5 ℃高多少摄氏度吗 用式子如何表示
解:能.5-(-5)=10(℃)
问题2 5+(+5)= 10 .
结论:由上面两个式子你能得出什么
解:5-(-5)=5+(+5).
问题3 用上面的方法考虑:
0-(-3)= 3 ,0+(+3)= 3 ,
则0-(-3)=0+(+3);
1-(-3)= 4 ,1+(+3)= 4 ,
则1-(-3)= 1+(+3) ;
-5-(-3)= -2 ,-5+(+3)= -2 ,则-5-(-3)= -5+(+3) .
问题4 计算:9-8= 1 ;9+(-8)= 1 ,9-8=9+(-8);
15-7= 8 ;15+(-7)= 8 ,15-7=15+(-7).
通过上面的探究可得结论:
有理数减法法则:减去一个数,等于加这个数的 相反数 .表达式为a-b=a+ (-b) .
范例应用
例1 计算:
(1)(-3)-(-5);
(2)0-7;
(3)7.2-(-4.8);
(4)-3-5.
解:(1)(-3)-(-5)
=(-3)+5
=2.
(2)0-7
=0+(-7)
=-7.
(3)7.2-(-4.8)
=7.2+4.8
=12.
(4)-3-5
=-3+-5
=-8.
例2 已知│a│=5,│b│=3,且a>0,b<0,求a-b的值.
解:由│a│=5,│b│=3,得a=±5,b=±3.
又因为a>0,b<0,所以a=5,b=-3.
所以a-b=5-(-3)=5+3=8.
[方法归纳]进行有理数的减法运算时,将减法转化为加法,再根据加法的法则进行运算.要特别注意减数的符号.
知识点2 有理数减法法则的应用
问题1 世界上最高的山峰是珠穆朗玛峰,其海拔高度是8 848.86 m,吐鲁番盆地的海拔高度是 -154.31 m,两处高度相差多少米
解:8 848.86-(-154.31)=8 848.86+154.31=9 003.17(m).
答:两处高度相差9 003.17 m.
问题2 如图所示的是某市1月份连续4天的天气预报数据,哪一天的温差最大,哪一天的温差最小
1月13日 阴转多云 -8~2 ℃
1月14日 晴 -9~-2 ℃
1月15日 阴 -9~0 ℃
1月16日 阴转多云 -11~-3 ℃
解:1月13日的温差:2-(-8)=10(℃),
1月14日的温差:-2-(-9)=7(℃),
1月15日的温差:0-(-9)=9(℃),
1月16日的温差:-3-(-11)=8(℃),
所以温差最大的是1月13日的温差10 ℃.温差最小的是1月14日的温差7 ℃.
[方法归纳]应用有理数的减法解决温差、时差等实际问题时,一般是两个量比较,求一个量比另一个量多(或少)多少,列减法算式即可.
1.判断:
(1)在有理数的加法中,两数的和一定比加数大.(×)
(2)两个数相减,被减数一定比减数大.(×)
(3)两数之差一定小于被减数.(×)
(4)0减去任何数,差都为负数.(×)
(5)较大的数减去较小的数,差一定是正数.(√)
2.填空:
(1)温度4 ℃比-6 ℃高 10 ℃;
(2)温度-7 ℃比-2 ℃低 5 ℃;
(3)海拔高度-13 m比-200 m高 187 m;
(4)从海拔20 m到-40 m下降了 60 m.
3.计算:
(1)(+7)-(-4);
(2)(-0.45)-(-0.55);
(3)0-(-9);
(4)(-4)-0;
(5)(-5)-(+3).
解:(1)(+7)-(-4)=11.
(2)(-0.45)-(-0.55)=0.1.
(3)0-(-9)=9.
(4)(-4)-0=-4.
(5)(-5)-(+3)=-8.
4.某次法律知识竞赛中规定:抢答题答对一题得20分,答错一题扣10分,问答对一题与答错一题得分相差多少分
解:20-(-10)=20+10=30(分).
即答对一题与答错一题相差30分.
1.有理数减法法则:减去一个数,等于加这个数的相反数,即a-b=a+(-b).
2.利用有理数减法法则,可以将有理数减法统一成加法运算.
1.3.2 有理数的减法
第1课时 有理数的减法法则
1.有理数减法法则.
2.有理数减法法则的应用.
本节课从实际问题出发,创设教学情境,有效调动学生学习的兴趣和积极性.通过实例计算,激发学生的探索精神.通过大量的数学练习,使学生在计算中巩固解题技能,体验有理数的减法运算的运算魅力,并在教师的指导下自行归纳运算法则;学生亲身体验知识的形成过程,感悟数学的转化思想.
第2课时 有理数的加减混合运算
1.理解加减法统一成加法的意义,能熟练地进行有理数加减法的混合运算.
2.通过加减法的相互转化,培养应变能力、计算能力.
重点:把加减混合运算理解为加法运算.
难点:把省略括号的和的形式直接按有理数加法进行计算.
一架飞机进行特技表演,雷达记录了起飞后的高度变化如下表:
高度变化 记作
上升4.5 km +4.5 km
下降3.2 km -3.2 km
上升1.1 km +1.1 km
下降1.4 km -1.4 km
此时飞机比起飞点高多少千米
小组探究此时飞机相对于起飞点的高度,得出以下两种计算方法:
解:法一 4.5+(-3.2)+1.1+(-1.4)
=1.3+1.1+(-1.4)
=2.4+(-1.4)
=1(km).
法二 4.5-3.2+1.1-1.4
=1.3+1.1-1.4
=2.4-1.4
=1(km).
比较以上两种算法,你发现了什么
阅读教材P23~24内容,完成下列问题.
知识点1 有理数的加减混合运算
1.比较以上两种算法,我们可以发现:
加法运算中,各个加数的括号及其前面的运算符号“ + ”可以省略不写.
即4.5+(-3.2)+1.1+(-1.4)可写成 4.5-3.2+1.1-1.4 .
它表示4.5,-3.2,1.1与-1.4的 和 ,读作4.5,负3.2,1.1与负1.4的和,或读作 4.5 减 3.2 加 1.1 减 1.4 .
2.把下列算式改写为省略括号和加号的形式:
(1)(-40)-(+27)+19-24-(-32);
(2)(-9)-(-2)+(-3)-4.
解:(1)(-40)-(+27)+19-24-(-32)
=-40-27+19-24+32.
(2)(-9)-(-2)+(-3)-4
=-9+2-3-4.
[规律总结]省略括号与加号时,数字前“-”号是奇数个取“-”,偶数个取“+”.
范例应用
例1 计算:(-2)+(+30)-(-15)-(+27).
解:(-2)+(+30)-(-15)-(+27)
=-2+30+15-27
=(-2-27)+(30+15)
=-29+45
=16.
[方法归纳]
有理数加减混合运算的步骤
(1)将减法转化为加法运算;
(2)省略加号和括号;
(3)运用加法交换律和结合律,将同号两数相加;
(4)按有理数加法法则计算.
知识点2 加减混合运算的应用
动物园在检查成年麦哲伦企鹅的身体状况时,最重要的一项工作就是称体重.已知某动物园对6只成年麦哲伦企鹅进行体重称量,以4 kg为标准,超过或者不足的千克数分别用正数、负数表示,称重记录如表所示,求这6只企鹅的总体重.
编号 1 2 3 4 5 6
差值/kg -0.08 +0.09 +0.05 -0.05 +0.08 +0.06
解:(-0.08)+(+0.09)+(+0.05)+(-0.05)+(+0.08)+(+0.06)
=[(-0.08)+(+0.08)]+[(+0.05)+-0.05)]+(0.09+0.06)
=0.15(kg).
4×6+0.15=24.15(kg).
答:这6只企鹅的总体重为24.15 kg.
范例应用
例2 下表是某水位站记录的潮汛期某河流一周内的水位变化情况(“+”号表示水位比前一天上升,“-”号表示水位比前一天下降,上周末的水位恰好达到警戒水位.单位:m).
星期 一 二 三 四 五 六 日
水位 变化 0.20 0.81 -0.35 0.13 0.28 -0.36 -0.01
(1)本周哪一天河流水位最高,哪一天河流水位最低,它们位于警戒水位之上还是之下,与警戒水位的距离分别是多少
(2)与上周末相比,本周末河流的水位是上升了还是下降了
解:(1)以警戒水位为基准,前两天的水位是上升的,
星期一的水位是0.20 m;
星期二的水位是0.20+0.81=1.01(m);
星期三的水位是1.01-0.35=0.66(m);
星期四的水位是0.66+0.13=0.79(m);
星期五的水位是0.79+0.28=1.07(m);
星期六的水位是1.07-0.36=0.71(m);
星期日的水位是0.71-0.01=0.70(m);
则水位最低的一天是星期一,位于警戒水位之上0.2 m;水位最高的是星期五,位于警戒水位之上1.07 m.
(2)+0.20+0.81-0.35+0.13+0.28-0.36-0.01=+0.70(m),
则本周末河流的水位上升了0.70 m.
1.把(-3)-(-7)+4-(+5)写成省略加号和括号的和的形式是(B)
A.-3-7+4-5 B.-3+7+4-5
C.3+7-4+5 D.-3-7-4-5
2.设a是最小的自然数,b是最大的负整数,c是绝对值最小的正整数,则a-b+c等于(D)
A.-1 B.0 C.1 D.2
3.如果以海平面为基准,海平面以上记为正,海平面以下记为负.一艘潜艇从海平面开始下沉15 m,再下沉10 m,然后上升7 m,此时潜艇的位置可记为 -18 m.
4.计算:
(1)-9.2-(-7.4)+9+-6+(-4)+|-3|;
(2)-14+11--12-14+-11.
解:(1)-9.2-(-7.4)+9+-6+(-4)+|-3|
=-9.2+7.4+9.2-6.4-4+3
=(-9.2+9.2)+(7.4-6.4)-4+3
=0+1-4+3
=0.
(2)-14+11--12-14+-11
=-14+11+12-14-11
=-14+12+11-11-14
=-2+0-14
=-16.
有理数加减法混合运算
1.减法转化成加法
(1)减法变加法:a+b-c=a+b+(-c);
(2)运用加法交换律使同号两数分别相加;
(3)按有理数加法法则计算.
2.省略括号法
(1)省略括号;
(2)同号放一起;
(3)进行加减运算.
第2课时 有理数的加减混合运算
1.有理数的加减混合运算
(1)将减法转化为加法,然后去掉括号和加号;
(2)运用加法法则和运算律进行计算.
2.加法运算律
(1)结合律:(a+b)+c=a+(b+c);
(2)交换律:a+b=b+a.
本节课是学生在学习了有理数的加法和减法的基础上进行的.通过本节课的学习使学生知道所有含有有理数的加、减混合运算的式子都可以化为有理数的加法的形式,并能熟练掌握有理数的加减混合运算及其运算顺序.本节课本着“扎实、有效”的原则,既关注课堂教学的本质,又注重学生能力的培养,且面向全体学生来设计教学.
1.4 有理数的乘除法
1.4.1 有理数的乘法
第1课时 有理数的乘法法则
1.理解有理数的乘法法则.
2.能利用有理数的乘法法则进行简单的有理数乘法运算.
3.会利用有理数的乘法解决实际问题.
重点:有理数的乘法法则,多个数相乘的符号法则.
难点:积的符号的确定.
1.计算:(1)(-2)+(-2)+(-2)= -6 ;
(2)(-9)+(-9)+(-9)+(-9)+(-9)= -45 .
2.你能将上面两个算式写成乘法算式吗
答:(-2)×3=-6;(-9)×5=-45.
引入负数之后有理数的乘法应该怎么运算 这节课我们就来学习有理数的乘法.
阅读教材P28~31内容,完成下列问题.
知识点1 有理数的乘法运算
1.如图所示,一只蜗牛沿直线l爬行,它现在的位置在l上的点O处.
填一填:
(1)如果一只蜗牛向右爬行2 cm记为+2 cm,那么向左爬行2 cm应记为 -2 cm ;
(2)如果3分钟后记为+3分钟,那么3分钟前应记为 -3分钟 .
想一想:
(1)如果蜗牛一直以每分钟2 cm的速度向右爬行,3分钟后它在什么位置
结果:3分钟后蜗牛在l上点O 右 边6 cm处.可以表示为:(+2)×(+3)= 6(cm) ;
(2)如果蜗牛一直以每分钟2 cm的速度向左爬行,3分钟后它在什么位置
结果:3分钟后蜗牛在l上点O 左 边 6 cm处.可以表示为:(-2)×(+3)= -6(cm) ;
(3)如果蜗牛一直以每分钟2 cm的速度向右爬行,3分钟前它在什么位置
结果:3分钟前蜗牛在l上点O 左 边 6 cm处.可以表示为: (+2)×(-3)=-6(cm) ;
(4)如果蜗牛一直以每分钟2 cm的速度向左爬行,3分钟前它在什么位置
结果:3分钟前蜗牛在l上点O 右 边 6 cm处.可以表示为: (-2)×(-3)=6(cm) ;
(5)原地不动或运动时间为零,结果是什么
结果:仍在原处,即结果都是 0 ,可以表示为: 0×3=0;0×(-3)=0;2×0=0;(-2)×0=0 .
根据上面的结果可知:
1.正数乘正数积为 正 数;负数乘负数积为 正 数;(同号得正)
2.负数乘正数积为 负 数;正数乘负数积为 负 数;(异号得负)
3.乘积的绝对值等于各乘数绝对值的 积 .
4.零与任何数相乘或任何数与零相乘结果都是 0 .
范例应用
例1 计算:(1)5×(-9);(2)(-5)×(-9);
(3)(-6)×0;(4)-×.
解:(1)5×(-9)=-(5×9)=-45.
(2)(-5)×(-9)=5×9=45.
(3)(-6)×0=0.
(4)-×=-×=-.
[方法归纳] 有理数乘法的求解步骤:先确定积的符号,再确定积的绝对值.
例2 判断下列各式的积是正的、负的还是0
2×3×4×(-5)( 负 );
2×3×(-4)×(-5)( 正 );
2×(-3)×(-4)×(-5)( 负 );
(-2)×(-3)×(-4)×(-5)( 正 );
7.8×(-8.1)×0×(-19.6)( 0 ).
[方法归纳] 几个不等于零的数相乘,积的符号由负因数的个数决定,
当负因数有奇数个时,积为负;
当负因数有偶数个时,积为正.
几个数相乘,如果其中有因数为0,则积等于0.
知识点2 倒数
计算并观察结果有何特点
(1)×2;(2)(-0.25)×(-4).
解:(1)×2=1.
(2)(-0.25)×(-4)=1.
规律总结:有理数中,乘积是1的两个数互为倒数.
思考:数a(a≠0)的倒数是什么
答:a≠0时,a的倒数是.
范例应用
例3 求下列各数的倒数.
(1)-;(2)2;(3)-1.25;(4)5.
解:(1)-的倒数是-.
(2)2=,故2的倒数是.
(3)-1.25=-,故-1.25的倒数是-.
(4)5的倒数是.
知识点3 有理数的乘法的应用
一辆出租车在一条东西走向的大街上行驶,这辆出租车连续送客20次,其中8次向东行驶,12次向西行驶,向东平均每次行驶10 km,向西平均每次行驶7 km.
(1)该出租车连续20次送客后,停在何处
(2)该出租车一共行驶了多少路程
解:(1)记向东行驶为正,
依题意,得10×8+(-7)×12=-4(km).
答:该出租车连续20次送客后,停在出发地西边4 km处.
(2)10×8+7×12=164(km).
答:该出租车一共行驶了164 km.
范例应用
例4 用正、负数表示气温的变化量,上升为正,下降为负.某登山队攀登一座山峰,每登高1 km,气温的变化量为-6℃,攀登3 km后,气温有什么变化
解:(-6)×3=-18(℃).
答:气温下降18℃.
1.计算(-4)×-的值是(D)
A.-7 B.7 C.-10 D.10
2.下列计算结果是负数的是(C)
A.(-3)×4×(-5)
B.(-3)×4×0
C.(-3)×4×(-5)×(-1)
D.3×(-4)×(-5)
3.下列两数互为倒数的是(C)
A.3和-3 B.-5和
C.-4和- D.0和0
4.计算:
(1)(-0.5)×20×(-0.8);
(2)(-0.8)×-1;
(3)(-4)×(-6)×(-5).
解:(1)(-0.5)×20×(-0.8)=0.5×20×0.8=8.
(2)(-0.8)×-1=0.8×1=×=.
(3)(-4)×(-6)×(-5)=-4×6×5=-120.
5.气象观测统计资料表明,在一般情况下,高度每上升1 km,气温下降6℃.已知甲地现在地面气温为21℃,求甲地上空9 km处的气温大约是多少
解:(-6)×9=-54(℃);
21+(-54)=-33(℃).
答:甲地上空9 km处的气温大约为-33℃.
1.有理数乘法法则:
两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘.任何数与0相乘,都得0.
2.几个不是零的数相乘,负因数的个数为
3.几个数相乘,若有因数为零,则积为零.
4.乘积是1的两个数互为倒数.
1.4 有理数的乘除法
1.4.1 有理数的乘法
第1课时 有理数的乘法法则
1.有理数的乘法法则.
2.有理数乘法的求解步骤.
3.倒数:乘积是1的两个数互为倒数.
有理数的乘法是有理数运算中一个非常重要的内容,它与有理数的加法运算一样,也是建立在小学算术运算的基础上的.“有理数乘法”的教学,在性质上属于定义教学,历来是一个难点课题,教学时应略举简单的事例,尽早出现法则,然后用较多的时间去练法则,背法则.本节课尽量考虑在有利于基础知识、基础技能的掌握和学生的创新能力培养的前提下,最大限度地使教学的设计过程面向全体学生,充分照顾不同层次的学生,使设计的思路符合“新课程标准”倡导的理念.
第2课时 乘法的运算律
1.掌握乘法的交换律、结合律与分配律,并能灵活的运用.
2.掌握有理数乘法的运算律,并能利用运算律简化乘法运算.
重点:有理数的乘法运算律及其应用.
难点:分配律的运用.
1.有理数的乘法法则是什么
解:两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘.
任何数和零相乘,都得0.
2.如何进行多个有理数的乘法运算
解:(1)定号(奇负偶正);
(2)算值(积的绝对值).
3.小学时大家学过乘法的哪些运算律
解:乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律.
4.这些乘法的运算律在有理数的运算中还适用吗
答:适用.
阅读教材P32~33内容,完成下列问题.
知识点1 有理数乘法的运算律
第一组:
(1)2×3= 6 ,3×2= 6 ,2×3 = 3×2;
(2)(3×4)×0.25= 3 ,3×(4×0.25)= 3 ,(3×4)×0.25 = 3×(4×0.25);
(3)2×(3+4)= 14 ,2×3+2×4= 14 ,
2×(3+4) = 2×3+2×4.
思考:上面每小组运算分别体现了什么运算律
第二组:
(1)5×(-6)= -30 ,(-6)×5= -30 ,5×(-6) = (-6)×5;
(2)[3×(-4)]×(-5)= (-12)×(-5) = 60 ,3×[(-4)×(-5)]= 3×20 = 60 ,[3×(-4)]×(-5) = 3×[(-4)×(-5)];
(3)5×[3+(-7)]= 5×(-4) = -20 ,5×3+5×(-7)= 15-35 = -20 ,5×[3+(-7)] = 5×3+5×(-7).
结论:
(1)第一组式子中数的范围是正数;
(2)第二组式子中数的范围是 有理数 ;
(3)比较第一组和第二组中的算式,可以发现各运算律在有理数范围内仍然 适用 .
范例应用
例1 计算:(-85)×(-25)×(-4).
解:(-85)×(-25)×(-4)
=(-85)×[(-25)×(-4)]
=(-85)×100
=-8 500.
例2 用简便方法计算:+-×12.
解:+-×12=×12+×12-×12=3+2-6=-1.
[方法归纳]
(1)运用交换律时,在交换因数的位置时,要连同符号一起交换.
(2)运用分配律时,要用括号外的因数乘括号内每一个因数,不能有遗漏.
(3)三个以上的有理数相乘,可以任意交换因数的位置,或者把其中几个因数相乘.
(4)括号外的因数是括号内所有分母的公倍数时,使用分配律.
例3 下面的计算有错吗 如果有错,请计算出正确的结果.
计算:(-24)×-+-.
解:(-24)×(-+-)
=-24×-24×+24×-24×
=-8-18+4-15
=-41+4
=-37.
解:有错.正确解法为:
(-24)×(-+-)
=(-24)×+(-24)×(-)+(-24)×+(-24)×(-)
=-8+18-4+15
=21.
注意:(1)不要漏掉符号;(2)不要漏乘某一项.
例4 学习了有理数的乘法后,老师给同学们出了这样一道题目:计算:49×(-5),看谁算的又快又对,有两位同学的解法如下:
小明:49×(-5)
=-×5
=-
=-249;
小军:49×(-5)
=49+×(-5)
=49×(-5)+×(-5)
=-249.
(1)根据上面的解法对你的启发,请你再写一种解法;
(2)用你认为最合适的方法计算:-19×(-8).
解:(1)49×(-5)
=50-×(-5)
=50×(-5)-×(-5)
=-250+=-249.
(2)-19×(-8)
=-20+×(-8)
=-20×(-8)+×(-8)
=160-
=159.
1.式子-+×3×5=-+×15=5-3+6中,运用的运算律是(D)
A.乘法交换律及结合律
B.乘法交换律及分配律
C.加法结合律及分配律
D.乘法结合律及分配律
2.计算(-2)×3-时,用分配律的计算过程正确的是(A)
A.(-2)×3+(-2)×-
B.(-2)×3-(-2)×-
C.2×3-(-2)×-
D.(-2)×3+2×-
3.在每一步算式的后面填上这一步所使用的运算律:
[(8×4)×125-5]×25
=[(4×8)×125-5]×25( 乘法交换律 )
=[4×(8×125)-5]×25( 乘法结合律 )
=4 000×25-5×25( 乘法分配律 )
=99 875.
4.运用运算律进行简便运算:
(1)(-12.5)×(-)×(-4);
(2)-×(-15)×-×;
(3)1-2+0.75×(-24).
解:(1)(-12.5)×-×(-4)
=(-12.5)×(-4)×-
=-.
(2)-×(-15)×-×
=-×-××(-15)
=-3.
(3)1-2+0.75×(-24)
=×(-24)-×(-24)+×(-24)
=-33+56-18
=5.
1.本节课学习了乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律.
2.应用乘法的运算律进行计算时应注意:
运用交换律时,各因数要连同符号一起交换;
运用分配律时,不要漏乘括号内的某个因数.
第2课时 乘法的运算律
乘法交换律:ab=ba;
乘法结合律:(ab)c=a(bc);
乘法分配律:(a+b)c=ac+bc.
新课程理念要求把学生“学”数学放在教师“教”之前,“导学”是教学的重点.因此,在本节课的教学中,不要直接将结论告诉学生,而是引导学生从大量的实例中寻找解决问题的规律.学生经历探索知识的过程,最后总结得出有理数乘法的运算律.整个教学过程要让学生积极参与,独立思考和合作探究相结合,教师适当引导,以达到预期的教学效果.
1.4.2 有理数的除法
第1课时 有理数的除法
1.认识有理数的除法,经历除法的运算过程.
2.理解除法法则,体验除法与乘法的转化关系.
3.掌握有理数的除法及乘除混合运算.
重点:有理数的除法法则及运算.
难点:准确、熟练地运用除法法则.
1.小明从家里到学校,每分钟走50 m,共走了20 min,问小明家离学校有多远
解:50×20=1 000(m).
即小明家离学校1 000 m.
放学时,小明仍然以每分钟50 m的速度回家,应该走多少分钟
解:1 000÷50=20(min).
即应该走20 min.
2.从上面这个例子你可以发现,有理数除法与有理数乘法之间满足怎样的关系
答:有理数除法是有理数乘法的逆运算.
阅读教材P34~35内容,完成下列问题.
知识点1 有理数的除法及分数化简
1.根据“除法是乘法的逆运算”填空:
(-4)×(-2)=8,则8÷(-4)= -2 ;
6×(-6)=-36,则-36÷6= -6 ;
-×=-,则-÷(-)= ;
-8×9=-72,则-72÷9= -8 ;
8÷(-4)= -2 ,则8×-= -2 ;
-36÷6= -6 ,则-36×= -6 ;
-÷-=,则-×-= ;
-72÷9= -8 ,则-72×= -8 .
问题 上面各组数计算结果有什么关系 由此你能得到有理数的除法法则吗
答案:上面各组数计算结果相同.
由此可得到有理数除法法则(一):
除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数.
用字母表示为a÷b=a×(b≠0).
2.利用上面的除法法则计算下列各题:
(1)-54÷(-9);(2)-27÷3;
(3)0÷(-7);(4)-24÷(-6).
解:(1)-54÷(-9)=-54×-=6.
(2)-27÷3=-27×=-9.
(3)0÷(-7)=0×-=0.
(4)-24÷(-6)=-24×-=4.
想一想:从上面我们能发现商的符号有什么规律
答案:商的符号与被除数、除数的符号有关.
据此可得有理数除法法则(二):
两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除.
0除以任何一个不等于0的数,都得0.
思考:
到现在为止我们有了两个除法法则,那么两个法则是不是都可以用于解决两数相除呢
解:两个法则都可以用来求两个有理数相除的值.
如果两数相除,能够整除的就选择法则二,不能够整除的就选择用法则一.
范例应用
例1 (1)(-15)÷(-3);(2)(-4.8)÷0.6;
(3)(-)÷(+);(4)(-60)÷(+3).
解:(1)(-15)÷(-3)=15÷3=5.
(2)(-4.8)÷0.6=-(4.8÷0.6)=-8.
(3)(-)÷(+)=-×=-.
(4)(-60)÷(+3)=-60×=-.
例2 化简下列分数:
(1)= 3 ;
(2)= - ;
(3)= 20 ;
(4)-= .
[方法归纳] 化简分数时要注意分子、分母的符号,同号结果为正,异号结果为负.
知识点2 有理数的乘除混合运算
例3 计算:
(1)-2.5÷×-;
(2)-÷-×-1.
解:(1)-2.5÷×-
=-××-
=××
=1.
(2)-÷-×-1
=-×-×-
=-××
=-4.
[方法归纳]
(1)有理数除法化为有理数乘法以后,可以利用有理数乘法的运算律简化运算.
(2)乘除混合运算往往先将除法化为乘法,然后确定积的符号,最后求出结果(乘除混合运算按从左到右的顺序进行计算).
1.计算(-6)÷-的结果是(C)
A.-18 B.2 C.18 D.-2
2.下列计算正确的是(C)
A.-3.5÷×-=-3
B.-2÷3×3=-
C.(-6)÷(-4)÷+=
D.-÷÷=-1
3.当a=-3,b=-2,c=5时,a÷|b|÷c的值为 - .
4.计算:
(1)(-0.125)×-÷-×7;
(2)1×-3÷.
解:(1)(-0.125)×-÷-×7
=-××8×7
=-×8××7
=-4.
(2)1×-3÷
=×-÷
=×-÷1
=-6.
1.本节课学习了有理数的除法法则和乘除混合运算.
2.常见的除法计算方法:
一是根据“除以一个数等于乘这个数的倒数”;二是根据“两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除”.
一般能整除时用第二种方法.
3.乘除混合运算按从左到右的顺序进行计算.
1.4.2 有理数的除法
第1课时 有理数的除法
一、有理数除法法则:
1.a÷b=a×(b≠0).
2.两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数,都得0.
二、乘除混合运算
让学生深刻理解除法是乘法的逆运算,对学好本节内容有比较好的作用.教学设计可以采用课本的引例为探究除法法则的导入.让学生自己探索并总结除法法则,同时也让学生对比乘法法则和除法法则,加深印象.教学时应该使学生掌握除法的两种运算方法:
1.在除式的数字不复杂的情况下直接运用除法法则求解.
2.在多个有理数进行除法运算或者是乘、除混合运算时应该把除法转化为乘法,然后统一用乘法的运算律解决问题.
第2课时 加减乘除混合运算
1.进一步理解有理数的加减乘除法则,能熟练地进行有理数的加减乘除运算.
2.通过对有理数的加减乘除运算的学习,让学生体会到了数学知识的灵活性.
重点:能熟练地进行有理数的加减乘除运算.
难点:体会各种运算法则在实际计算中的运用.
问题1 小学的四则混合运算的顺序是怎样的
答:先乘除,后加减,同级运算从左至右,有括号先算括号内,再算括号外.
括号计算顺序:先小括号,再中括号,最后大括号.
问题2 我们目前都学习了哪些运算
答:加法、减法、乘法、除法.
一个运算中,含有有理数的加、减、乘、除等多种运算,称为有理数的混合运算.
阅读教材P36~37内容,完成下列问题.
知识点1 有理数的加减乘除混合运算
问题1 观察式子3+50÷2×(-)-1,含有哪几种运算 先算什么,后算什么
解:加法、减法、乘法、除法都有,先算乘除,后算加减.
问题2 观察式子-3×(2+1)÷(5-12),应该按照什么顺序来计算
解:先算括号内,再按从左往右顺序计算.
[归纳] 有理数混合运算的顺序
先算乘除,再算加减,同级运算从左往右依次计算,如有括号,先算括号内的.
范例应用
例1 计算:
(1)2-×(-6)-1-÷1+;
(2)-3-1+1×(-12).
解:(1)2-×(-6)-1-÷1+
=×(-6)-÷
=-10-
=-10.
(2)-3-1+1×(-12)
=-3--1-+1+×(-12)
=-3-×(-12)
=-3×(-12)-×(-12)
=36+3
=39.
[方法归纳] 在进行有理数的混合运算时,应先观察算式的特点,若能应用运算律进行简化运算,就先简化运算,在简化运算后,再利用混合运算的顺序进行运算.
例2 请你仔细阅读下列材料,然后回答问题:
计算:-÷-+-.
解法一 -÷-+-
=-÷
=-÷-
=-×3=-.
解法二 -÷-+-的倒数为
-+-÷-
=-+-×(-30)
=-20+3-5+12
=-10.
故-÷-+-=-.
根据你对所提供材料的理解,选择合适的方法计算:-÷-+-.
解:-÷-+-的倒数为
-+-÷-
=-+-×(-42)
=-7+9-28+12
=-14.
故-÷-+-=-.
知识点2 有理数混合运算的应用
某公司去年1~3月平均每月亏损1.5万元,4~6月平均每月盈利2万元,7~10月平均每月盈利1.7万元,11~12月平均每月亏损2.3万元,这个公司去年总盈亏情况如何
解:记盈利额为正数,亏损额为负数,公司去年全年总的盈亏为
(-1.5)×3+2×3+1.7×4+(-2.3)×2
=-4.5+6+6.8-4.6
=3.7(万元)
答:这个公司去年盈利3.7万元.
知识点3 24点游戏
游戏规则:
从一副扑克牌(去掉大、小王)中任意抽取4张,根据牌面上的数字进行混合运算(每张牌只能用一次),使得运算结果为24或-24.其中红色扑克牌代表负数,黑色扑克牌代表正数.
小飞抽到了这样几张牌:
他运用下面的方法凑成了24:
7×(3÷7+3)=24.
问题1 如果抽成这几张牌,你能凑成24吗
解:7×[3÷7-(-3)]=24.
问题2 如果抽成这几张牌,你能凑成24吗
解:(-7)×[(-3)÷7-3]=24.
7×[3+(-3)÷(-7)]=24.
1.在算式3-|-1□2|中的“□”里,选择一个运算符号,使得算式的结果最大(D)
A.+ B.- C.× D.÷
2.如图所示的是一个简单的数值运算程序,当输入x的值为-3时,则输出的数值为 -1 .
3.计算:
(1)(-6)÷2+-×12+|-9|;
(2)-+-÷-.
解:(1)(-6)÷2+-×12+|-9|
=-3+-×12+9
=-3+(-5)+9
=1.
(2)-+-÷-
=-+-×(-42)
=×(-42)-×(-42)+×(-42)-×(-42)
=-35+18-14+27
=-4.
1.有理数的加减乘除混合运算顺序:先算乘除,再算加减,同级运算从左往右依次计算,如有括号,先算括号内的.
2.进行有理数的混合运算时应注意运用运算律进行简化计算.
第2课时 加减乘除混合运算
1.有理数加减乘除混合运算的顺序.
2.利用运算律简化运算.
3.有理数混合运算的应用.
这节课主要讲授了有理数的加减乘除混合运算.运算顺序“先乘除后加减”学生早已熟练掌握,让学生学会分析题目中所包含的运算是本节课的重难点.在教学时,要注意结合学生平时练习中出现的问题,及时纠正和指导,培养学生良好的解题习惯.
1.5 有理数的乘方
1.5.1 乘 方
第1课时 有理数的乘方
1.理解并掌握有理数的乘方、幂、底数、指数的概念及意义.
2.能够正确进行有理数的乘方运算.
重点:有理数的乘方、幂、底数、指数的概念及其相互间的关系.
难点:能够正确进行有理数的乘方运算.
古希腊数学家阿基米德与国王下棋,国王输了,问阿基米德要什么奖赏.阿基米德对国王说:“我只要在棋盘上第一格放一颗麦子,在第二个格子中放进前一个格子的两倍,每一个格子中都是前一个格子中麦子数量的两倍,一直将棋盘每一个格子摆满.”国王觉得很容易就可以满足他的要求,于是就同意了.但很快国王就发现,即使将国库所有的粮食都给他也不够.你们知道这是为什么吗
阅读教材P41~42内容,完成下列问题.
知识点1 乘方的意义
问题1 某种细胞每30 min便由一个分裂成两个.经过3 h这种细胞由1个能分裂成多少个
提示:这个细胞分裂一次可得多少个细胞 分裂两次呢 分裂三次呢 四次呢 那么3 h共分裂了多少次 有多少个细胞
解:一次:2个;
两次:2×2个;
三次:2×2×2个;
四次:2×2×2×2个
六次:2×2×2×2×2×2个.
问题2 这些式子有什么相同点
解:它们都是乘法;并且它们各自的因数都相同.
思考 同学们想一想:这样的运算能像平方、立方那样简写吗
[归纳]
一个数可以看作这个数本身的一次方,例如8就是81,指数1通常省略不写.
范例应用
例1 (1)(-3)2的底数是 -3 ,指数是 2 ,(-3)2表示2个 -3 相乘,读作 -3 的 2次方,也读作-3的平方;
(2)5表示 5 个 相乘,读作的 5 次方,也读作的 5次幂 ,其中叫做 底数 ,5叫做 指数 .
例2 计算:(1)-(-3)3;(2)-2;
(3)-3;(4)(-1)2 023.
解:(1)-(-3)3=-[(-3)×(-3)×(-3)]=3×3×3=27.
(2)-2=-×-=×=.
(3)-3=-×-×-=×=-.
(4)(-1)2 023=-1.
[方法归纳]乘方的运算可以利用乘法的运算来进行.负数的奇数次幂是负数,负数的偶数次幂是正数;-1的奇数次幂是-1,-1的偶数次幂是1.
问题3 用计算器计算(-8)5和(-3)6.
解:用带符号键(-)的计算器.
((-)8) ^ 5=
显示:(-8)^ 5
-32 768.
((-)3) ^ 6=
显示:(-3)^ 6
729.
所以(-8)5=-32 768,(-3)6=729.
问题4
(-2)2与-22表示的意义一样吗
解:不一样,(-2)2表示-2的平方,-22表示2的平方的相反数.(-2)2与-22互为相反数.
知识点2 乘方的运算
计算:
(1)(-3)2×-;
(2)-23×(-32);
(3)64÷(-2)5;
(4)(-4)3÷(-1)200+2×(-3)4.
解:(1)(-3)2×-=9×-=-6.
(2)-23×(-32)=-8×(-9)=72.
(3)64÷(-2)5=64÷(-32)=-2.
(4)(-4)3÷(-1)200+2×(-3)4=-64÷1+2×81=98.
[归纳] 对于乘除和乘方的混合运算,先算乘方,后算乘除;如果遇到括号就先进行括号里的运算.
1.算式-×-×-×-可表示为(A)
A.-4 B.-×4
C.-4 D.以上答案均不对
2.关于-74的说法正确的是(C)
A.底数是-7
B.表示4个-7相乘
C.表示4个7相乘的积的相反数
D.表示7个-4相乘
3.现规定一种新的运算“○”:m○n=mn,如3○2=32=9,则-○3的值为(B)
A. B.- C.- D.-
4.计算:
(1)-42×(-4)2;(2)-2×-23.
解:(1)-42×(-4)2=-16×16=-256.
(2)-2×-23=×-=-.
5.你吃过拉面吗 拉面是把1根面条对折成2根拉开,再对折成4根(如图所示)……依次这样进行对折,对折10次有多少根面条 有128根面条时对折了多少次
解:210=1 024(根),128=27.
答:对折10次有1 024根面条,有128根面条时对折了7次.
1.乘方的意义
一般地,n个相同的因数a相乘,记作an,读作“a的n次幂(或a的n次方)”,像这种求n个相同因数的积的运算叫做乘方,乘方的结果叫做幂.
2.乘方运算的符号法则
(1)正数的任何次幂都是正数;(2)零的任何正整数次幂都是零;(3)负数的偶次幂是正数,奇次幂是负数.
3.(-a)n与-an的区别和联系
(-a)n表示(-a)的n次方,-an表示a的n次方的相反数.
1.5 有理数的乘方
1.5.1 乘 方
第1课时 有理数的乘方
1.乘方的意义.
2.乘方的符号法则.
本节教学以故事引入,提出问题,引导学生积极思考,并总结出答案,由答案的表现形式向学生提出问题,激发学生的求知欲望.在教师的引导下自然过渡到新知识的学习,接着层层设问,引出乘方以及与乘方有关的概念,采用归纳类比的方法把新旧知识联系起来,既有利于复习巩固旧知识,又有利于新知识的理解和掌握.
第2课时 有理数的混合运算
1.了解有理数混合运算的意义,掌握有理数的混合运算法则及运算顺序.
2.能够熟练地进行有理数的加、减、乘、除、乘方的运算,并在运算过程中合理使用运算律.
重点:根据有理数的混合运算顺序,正确地进行有理数的混合运算.
难点:有理数的混合运算.
前面我们学习了有理数的加、减、乘、除和乘方运算,对各种运算的法则、运算律和运算技巧已经比较熟悉,如果遇到有理数的混合运算,你有信心进行准确的计算吗 下图是小玲和小亮的对话,你同意小亮的说法吗
阅读教材P43~44内容,完成下列问题.
知识点1 有理数的混合运算
下列式子30+5÷22×--1,含有哪几种运算 先算什么,后算什么 并进行计算.
解:式子中含有加法、减法、乘法、除法、乘方五种运算.先算乘方,再算乘除,最后算加减.
30+5÷22×--1
=30+5÷4×--1
=30+×--1
=30--1
=28
[归纳]做有理数的混合运算时,应注意以下运算顺序:
(1)先乘方,再乘除,最后加减;
(2)同级运算,从左到右进行;
(3)如有括号,先做括号内的运算,按小括号、中括号、大括号依次进行.
范例应用
例1 (1)(-1)8×2+(-2)3÷4;
(2)(-5)3-3×-4;
(3)-22-36×-2.
解:(1)(-1)8×2+(-2)3÷4=1×2+(-8)÷4=2+(-2)=0.
(2)(-5)3-3×-4=-125-3×=-125-=-125.
(3)-22-36×-2=-4-36×=-4-1=-5.
[方法归纳]有理数的混合运算可用下面的口诀记忆:混合运算并不难,符号第一记心间;加法需取大值号,乘法同正异负添;减变加改相反数,除改乘法用倒数;混合运算按顺序,乘方乘除后加减.
知识点2 数字规律探究
观察下面三行数:
-2,4,-8,16,-32,64,…;①
0,6,-6,18,-30,66,…;②
-1,2,-4,8,-16,32,….③
(1)第①行数按什么规律排列
(2)第②③行数与第①行数分别有什么关系
(3)取每行数的第10个数,计算这三个数的和.
解:(1)第①行数是-2,(-2)2,(-2)3,(-2)4,….
(2)第②行数是第①行相应的数加2,即-2+2,(-2)2+2,(-2)3+2,(-2)4+2,….
第③行数是第①行相应的数的倍,即(-2)×,(-2)2×,(-2)3×,(-2)4×,….
(3)每行数中的第10个数的和是(-2)10+[(-2)10+2]+(-2)10×
=1 024+(1 024+2)+1 024×=1 024+1 026+512=2 562.
范例应用
例2 为了求1+2+22+23+24+…+22 021的值,可令S=1+2+22+23+…+22 021,则2S=2+22+23+24+…+22 022,因此2S-S=22 022-1,所以1+2+22+23+…+22 021=22 022-1,仿照以上推理,那么1+5+52+…+52 021= .
1.对于计算-24+18×(-3)÷(-2),下列过程错误的是(C)
A.-16+[18÷(-2)]×(-3)
B.-16+(18÷2)×3
C.16-54÷2
D.-16+(-54)÷(-2)
2.计算3×(-4)-22的结果是(D)
A.8 B.4 C.-8 D.-16
3.观察下列算式并总结规律:71=7,72=49,73=343,74=2 401,75=16 807,……用你发现的规律写出715的末位数字是(B)
A.1 B.3 C.9 D.7
4.按照如图所示的操作步骤运算,若输入x的值为-5,则输出的值为 -15 .
5.计算:
(1)(-1)10-8÷(-2)+4×|-5|;
(2)(-10)3+[(-4)2-(1-32)×2];
(3)-12 022÷(-5)2×--|0.8-1|.
解:(1)(-1)10-8÷(-2)+4×|-5|
=1+4+20
=25.
(2)(-10)3+[(-4)2-(1-32)×2]
=-1 000+[16-(-8)×2]
=-1 000+16+16
=-968.
(3)-12 022÷(-5)2×--|0.8-1|
=1÷25×-0.2
=-
=-.
6.阅读下面的解题过程并回答问题.
计算:-22÷-1-3×6.
解:-22÷-1-3×6
=-4÷-×6 (第一步)
=-4÷(-25) (第二步)
=-. (第三步)
(1)上面解题过程中有两处错误,第一处是第 步,错误的原因是 ;第二处是第 步,错误的原因是 ;
(2)请将其更正.
解:(1)二 没按运算顺序计算,先算了后面的乘法 三 结果的符号出错
(2)-22÷-1-3×6=-4÷-×6=-4×-×6=.
1.乘方与加、减、乘、除的混合运算,运算顺序是:先乘方,再乘除,最后加减.
2.数字规律探究.
第2课时 有理数的混合运算
1.运算顺序.
2.数字规律探究.
3.例题.
4.练习.
有理数的运算是数学中很多其他运算的基础,培养学生正确迅速的运算能力,是数学教学中的一项重要目标.在加、减、乘、除、乘方这几种运算基本掌握的前提下,学生进行混合运算,首先应注意的就是运算顺序的问题.小组讨论有理数运算法则后,教师应提醒学生牢固掌握有理数混合运算的几项规定,特别是加入乘方以后,学生对乘方运算不熟悉,容易算成加法或底数与指数相乘.学生在运算符号多的时候容易出错,需要进行针对性讲解及练习.
1.5.2 科学记数法
1.利用10的乘方进行科学记数,会用科学记数法表示大于或等于10的数.
2.会解决与科学记数法有关的实际问题.
重点:会用科学记数法表示大于或等于10的数.
难点:正确使用科学记数法表示数.
生活中,我们经常会遇到一些比较大的数.例如:
1.全球每年大约有577 000 000 000 000 m3的水从海洋和陆地转化为大气中的水汽.
2.拒绝“餐桌浪费”刻不容缓,据统计,全国每年浪费粮食总量约50 000 000 000 kg.
像这些较大的数据,书写和阅读都有一定的难度,那么有没有这样一种表示方法,使得这些大数易写、易读、易于计算呢
阅读教材P44~45内容,完成下列问题.
知识点1 用科学记数法表示数
回顾有理数的乘方,计算:
101= 10 ,102= 100 ,103= 1 000 ,104= 10 000 ,
106= 1 000 000 ,1010= 10 000 000 000 ,….
讨论:
(1)指数与运算结果中的0的个数有什么关系
(2)指数与运算结果的数位有什么关系
[归纳总结] (1)10n=1,n恰好是1后面0的个数;
(2)10n=,n比运算结果的位数少1.反之,1后面有多少个0,10的幂指数就是多少.如:
1=107.
范例应用
例1 用科学记数法表示下列各数:
1 000 000,57 000 000,-123 000 000 000
解:1 000 000=1×106,57 000 000=5.7×107,
-123 000 000 000=-1.23×1011.
[归纳] 我们可以把一个大于10的数表示成a×10n的形式,其中a大于或等于1且小于10(即1≤a<10),n是正整数.这种记数方法叫做科学记数法.
对于小于-10的数也可以类似科学记数法表示.
[方法归纳]用科学计数法表示一个n位整数时,10的指数是n-1.
知识点2 还原用科学记数法表示的数
下列用科学记数法表示的数,原数是什么
(1)2021年5月11日,国家统计局权威发布第七次人口普查公报,我国最新总人口约为1.44×109人(含港澳台);
(2)预防和控制新冠肺炎最有效的办法就是接种疫苗.截至2021年12月1日,某市累计接种新冠病毒疫苗超过3.5×106剂次;
(3)2021年国庆档某热门影片上映16天票房突破3.6×109元.
解:(1)1.44×109=1 440 000 000.
(2)3.5×106=3 500 000.
(3)3.6×109=3 600 000 000.
1.为了实现街巷硬化工程高质量“全覆盖”,某省2021年1~4月公路建设累计投资9.27×109元,也就是投资了(A)
A.92.7亿元 B.9.27亿元
C.927亿元 D.0.927亿元
2.已知光速约为300 000 km/s,光经过t s(1≤t≤10)传播的距离用科学记数法表示为a×10n km,则n可能为(C)
A.5 B.6
C.5或6 D.5或6或7
3.把下列用科学记数法表示的数写成原数:
(1)6.25×108= 625 000 000 ;
(2)8.001 5×103= 8 001.5 ;
(3)-2.12×105= -212 000 .
科学记数法:
(1)把大于10的数表示成a×10n的形式;
(2)a的范围是1≤|a|<10,n是正整数;
(3)n比原数的整数位数少1.
1.5.2 科学记数法
1.用科学记数法表示数.
2.还原用科学记数法表示的数.
本节课的特点是实际性强,和我们的日常生活联系紧密,从学生的生活经验和已有的知识出发,创设生动有趣的情境,引导学生开展观察、讨论、交流等活动.把学生被动接受知识的过程变为主动探究发现的过程,使知识的发生与发展在每一位学生各自的体验和自主学习中逐渐展现.
1.5.3 近似数
1.了解近似数的意义.
2.能按照精确度的要求,用四舍五入法求出近似数.
重点:近似数、精确度的意义.
难点:按给定的精确度求一个数的近似数.
问题1 (1)我们班有 名学生;
(2)七年级约有 名学生;
(3)一天有 小时,一小时有 分钟,一分钟有 秒;
(4)你回家约要 分钟.
问题2 在这些数据中,哪些是与实际接近的 哪些数据是与实际完全符合的
阅读教材P45~46内容,完成下列问题.
知识点1 准确数与近似数
下列语句中,那些数据是精确的,哪些数据是近似的
(1)妈妈去买水果,买了8个苹果,大约3 kg.
(2)小民与小李买了2瓶水,4根黄瓜,6袋牛肉干,约20元,然后骑车去大约3.5 km外的地方郊游,大约玩了4.5 h回家.
(3)我国共有56个民族.
解:精确数:8,2,4,6,56;
近似数:3,20,3.5,4.5.
[方法归纳]经过“四舍五入”得到的数叫近似数,一般用工具量出来的数都是近似数;能表示原来物体或事件的实际数量的数是准确数,一般通过计数数出来的数都是准确数.
知识点2 按要求取近似值
小明和小颖分别测量了同一片树叶的长度,他们所用的直尺的最小单位是不同的,分别是厘米和毫米.
根据小明的测量,这片树叶的长度约为多少 根据小颖的测量呢 谁的测量结果会更精确一些
解:根据小明的测量,这片树叶的长度约为3 cm,根据小颖的测量,这片树叶的长度约为3.2 cm.
范例应用
例 下列结论正确的是 (C)
A.近似数4.230和4.23的精确度是一样的
B.近似数89.0是精确到个位
C.近似数0.005 10与0.051 0的精确度不一样
D.近似数6万与近似数60 000的精确度相同
1.下列各数中,表示准确数的是(A)
A.小明同学买了6支铅笔
B.小亮同学的身高是1.72 m
C.教室的面积约是60 m2
D.小兰在菜市场买了3斤西红柿
2.5.60万精确到(C)
A.十分位 B.百分位 C.百位 D.千位
3.用四舍五入法将数3.141 59精确到千分位的结果是(C)
A.3.141 5 B.3.14
C.3.142 D.3.141
4.6.495 8精确到0.01的近似数是 6.50 ,精确到十分位的近似数为 6.5 .
1.判断准确数与近似数.
2.会按照精确度取一个数的近似数.
3.根据近似数判断精确度.
1.5.3 近似数
1.近似数的意义.
2.求近似数.
3.确定近似数的精确度.
学生在小学阶段学习过四舍五入,在求精确度上能自然过渡,对近似数与精确度理解不难,本课时学习难点在于科学记数法中确定精确度,因此要通过科学记数法的意义对其讲解,使学生理解为什么要这样做.
第二章 整式的加减
2.1 整 式
第1课时 用字母表示数
1.理解字母表示数的意义.
2.会用含有字母的式子表示实际问题中的数量关系.
重点:理解字母表示数的意义.
难点:会用字母表示数量关系.
我们不少同学都是唱着儿歌长大的,朗朗上口、童趣横生的儿歌有的至今难以忘怀.其中有一首歌是这样唱的:
一只青蛙一张嘴,两只眼睛四条腿,一声扑通跳下水;两只青蛙两张嘴,四只眼睛八条腿,两声扑通跳下水;三只青蛙三张嘴,六只眼睛……,a只青蛙a张嘴,2a只眼睛4a条腿,由此看出a是一个字母,它代表“很多只”的数量,用字母a可以清楚地表示出青蛙、嘴、眼睛、腿和跳水声之间的数量关系.
今天我们就学习用字母表示数.
阅读教材P54~55内容,完成下列问题.
知识点1 含有字母的式子的书写
用含有字母的式子表示下列数量.
(1)练习簿的单价为a元,100本练习簿的总价是 100a 元;
(2)练习簿的单价为b元,a本练习簿的总价是 ab 元;
(3)练习簿的单价为0.5元,圆珠笔的单价是 3.2元,买a本练习簿和b支笔的总价是 (0.5a+3.2b) 元;
(4)小明的家离学校s km,小明骑车上学.若每小时行10 km,则需 h;
(5)若每斤苹果元,则买m斤苹果需 m 元;
(6)某人个子高,经测量他通常跨一步的距离1 m,若取向前为正,向后为负,那么他向前跨a步为 a m,向后跨a步为 -a m.
[方法归纳]字母表示数的注意事项
(1)数与字母、字母与字母相乘时省略乘号,数与字母相乘时数字在前;
(2)出现多个字母时,字母按照26个字母顺序排列;
(3)相同字母相乘时应写成幂的形式;
(4)1或-1与字母相乘时,1通常省略不写;
(5)式子中出现除法运算时,一般按分数形式来写,带分数与字母相乘时,把带分数化成假分数.
范例应用
例1 判断下列式子书写是否规范,不规范的请改正.
x×y 2ab -1n x3 m÷3
解:不规范,规范的写法分别为xy,ab,-n,3x,.
知识点2 用含有字母的式子表示数量关系
用字母表示下列问题中的数量关系.
(1)一条河的水流速度是2.5 km/h,船在静水中的速度是v km/h,用式子表示船在这条河中顺水行驶和逆水行驶时的速度;
(2)如图所示(图中长度单位:cm),用式子表示三角尺的面积;
(3)如图所示的是一所住宅的建筑平面图(图中长度单位:m),用式子表示这所住宅的建筑面积.
解:(1)顺水速度:(v+2.5)km/h;逆水速度:(v-2.5)km/h.
(2)ab-πr2cm2.
(3)(x2+2x+18)m2.
范例应用
例2 用字母表示下列问题中的数量关系:
(1)为落实“阳光体育”工程,某校计划购买m个篮球和n个排球,已知篮球每个80元,排球每个60元,购买这些篮球和排球的总费用为 (80m+60n) 元.
(2)在运动会中,一班总成绩为m分,二班比一班总成绩的还多5分,则二班的总成绩为 m+5 分.
(3)某商店积压了一批商品,为尽快售出,该商店采取如下销售方案:将原来每件m元,加价50%,再做两次降价处理,第一次降价30%,第二次降价10%.经过两次降价后的价格为 0.945 m 元.
知识点3 用字母表示规律
如图所示,搭一个正方形需要4根火柴棒.
(1)按上面的方式,搭2个正方形需要 根火柴棒,搭3个正方形需要 根火柴棒.
(2)搭7个这样的正方形需要 根火柴棒.
(3)搭100个这样的正方形需要多少根火柴棒
(4)如果用n表示所搭正方形的个数,那么搭n个这样的正方形需要多少根火柴
解:(1)7 10
(2)22
(3)4+3×(100-1)=301(根).
(4)4+3×(n-1)或3n+1.
范例应用
例3 观察下列图形:
第1个图形 第2个图形
第3个图形 第4个图形
它们是按一定规律排列的.
(1)依照此规律,第20个图形共有几个五角星
(2)摆成第n个图案需要几个五角星
(3)摆成第2 022个图案需要几个五角星
解:(1)根据题意,得第1个图中,五角星有3×1=3(个);第2个图中,有五角星3×2=6(个);第3个图中,有五角星3×3=9(个);第4个图中,有五角星3×4=12(个);
所以第n个图中有五角星3n个.
所以第20个图中五角星有3×20=60(个).
(2)由(1),可知摆成第n个图案需要3n个五角星.
(3)摆成第2 022个图案需要五角星2 022×3=6 066(个).
1.下列式子符合书写要求的是(D)
A.1a B.n·2 C.a÷b D.2πr2
2.在下列表述中,不能表示“4a”的意义的是(D)
A.4与a的积 B.a的4倍
C.4个a相加 D.4个a相乘
3.a的平方与b的和,用式子表示,正确的是(B)
A.a+b2 B.a2+b
C.a2+b2 D.(a+b)2
4.某市森林公园门票的价格为成人票每张30元,儿童票每张15元.若购买m张成人票和n张儿童票,则共需花费 (30m+15n) 元.
5.如图所示,用火柴棒拼成一个由三角形组成的图形,拼第一个图形共需要3根火柴棒;拼第二个图形共需要5根火柴棒;拼第三个图形共需要7根火柴棒;……照这样拼图,则第n个图形需要 (2n+1) 根火柴棒.
1.回顾本节所学的知识点.
2.用字母表示数量关系以及书写时的注意事项
3.用字母表示实际问题中的数量关系.
第二章 整式的加减
2.1 整 式
第1课时 用字母表示数
1.用字母表示数.
2.列式的注意事项.
3.探究图形的变化规律.
通过本课时的教学要让学生经历从实际问题中用字母表示数,初步