第13章　三角形中的边角关系、命题与证明 综合检测（含解析） 2023- 2024学年沪科版八年级数学上册

2023- 2024学年沪科版八年级数学上册课堂同步练习
第13章　三角形中的边角关系、命题与证明
素养综合检测
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.下列语句中,属于命题的是(　　)
A.作∠ABC
B.两直线相交有几个交点
C.画线段AB=3 cm
D.相等的角是对顶角
2.(2022湖南邵阳中考)下列长度的三条线段能首尾相接构成三角形的是(　　)
A.1 cm,2 cm,3 cm　 B.3 cm,4 cm,5 cm
C.4 cm,5 cm,10 cm　 D.6 cm,9 cm,2 cm
3.(2023安徽安庆外国语学校期中)某三角形三边长分别为3,6,x,则x可能是(　　)
A.3　 B.9 　C.6　 D.10
4.(2023安徽合肥四十八中期中)对于命题“若a2>b2,则a>b”,下面四组关于a,b的值中,能说明这个命题是假命题的是(　　)
A.a=3,b=-2　 B.a=-2,b=3
C.a=2,b=-3　 D.a=-3,b=2
5. (2023安徽安庆宜秀期中)一个三角形的三边中有两条边相等,且一边长为4,还有一边长为9,则它的周长为(　　)
A.17　 B.13
C.17或22 　D.22
6.(2022安徽合肥长丰段考二)将一副三角板按如图所示的方式放置,使两个直角重合,则∠AFD的度数是(　　)
A.10°　 B.15° 　C.20° 　D.25°
7.(2022安徽合肥瑶海月考)满足下列条件的三角形中,不是直角三角形的是(　　)
A.∠A-∠B=∠C
B.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶7
C.∠A=2∠B=3∠C
D.∠A=9°,∠B=81°
8. 如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,交BC于点d,∠B=30°,
∠ADC=70°,则∠C的度数是(　　)
A.50° 　B.60° 　C.70°　 D.80°
9.(2023安徽安庆外国语学校期中)如图,AD是△ABC的中线,点E是AD的中点,连接BE、CE,若△ABC的面积是8,则阴影部分的面积为(　　)
A.2　 B.4　 C.6 　D.8
10.(2022安徽阜阳太和月考)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=6,AC=8,BC=10,AD是BC边上的高,BE是中线,CF是角平分线,CF交AD于点G,交BE于点H,下列说法正确的是(　　)
①△ABE的面积=△BCE的面积;
②∠AFG=∠AGF;
③∠FAG=2∠ACF;
④AD=2.4.
A.①②③④　 B.①②③
C.①②④　 D.③④
二、填空题(每小题3分,共12分)
11.(2023安徽马鞍山月考)下列四个命题,其中是真命题的是　　　　(填序号).
①两条直线被第三条直线所截,内错角相等;
②同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平行;
③无理数都是无限不循环小数;
④负数没有立方根.
12.(2023安徽六安霍邱期中)证明命题“若a2=4,则a=2”是假命题,反例是　　　　.
13.△ABC中,若AB=4,AC=6,BC的长为偶数,则BC的长为　　　　.
14.如图,在△ABC中,∠ABC=∠ACB,AD、BD、CD分别平分∠EAC,∠ABC,∠ACF,现有以下结论:
①AD∥BC;
②∠ACB=∠ADB;
③∠ADC+∠ABD=90°;
④∠ADB=45°-∠CDB.
其中正确的为　　　　(填序号).
三、解答题(共58分)
15. (6分)将下列命题改写成“如果……那么……”的形式,并指出它们的题设和结论,判断其真假.
(1)有理数一定是自然数;
(2)负数之和仍为负数.
16. (6分)命题:同旁内角互补.
(1)写出这个命题的逆命题;
(2)判断这个逆命题是真命题还是假命题,如果是假命题,请举一个反例.
17. (2023安徽安庆怀宁期中)(6分)一个等腰三角形的一边长是5,另一边长是10,求这个等腰三角形的周长.
18.(6分)如图,△ABC中,点D在AC上,点P在BD上.求证:AB+AC>BP+CP.
19.(2023安徽蚌埠期中)(8分)如图,在△ABC中,∠ABC=66°,∠ACB=54°,BE、CF是△ABC的边AC、AB上的高,它们交于点H.求∠ABE和∠BHC的度数.
20.(2023安徽蚌埠蚌山期中)(8分)如图,△ABC中,D为BC上点,∠C=∠BAD,△ABC的角平分线BE交AD于点F.
(1)求证:∠AEF=∠AFE;
(2)G为BC上一点,当FE平分∠AFG且∠C=30°时,求∠CGF的度数.
21.(2022安徽合肥四十五中期中)(8分)如图,已知:点A、B、C在一条直线上.
(1)请从①AD∥BE;②∠1=∠2;③∠A=∠E中选两个作为条件,另一个作为结论构成一个真命题.
条件:
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　,
结论:
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　;
(2)证明(1)中的命题是真命题.
22. (2023安徽马鞍山期中)(10分)已知点A在射线CE上,∠BDA=∠C.
(1)如图1,若AC∥BD,求证:AD∥BC;
(2)如图2,若BD⊥BC,求证:∠DAE+2∠C=90°;
(3)如图3,在(2)的条件下,∠BAC=∠BAD,过点D作DF∥BC交射线CE于点F,当∠DFE=8∠DAE时,求∠BAD的度数.
答案
1.D　作∠ABC不是命题,故选项A不符合题意;两直线相交有几个交点 不是命题,故选项B不符合题意;画线段AB=3 cm,不是命题,故选项C不符合题意;相等的角是对顶角,是命题,故选项D符合题意.
2.B　选项A,1+2=3,不能构成三角形;选项B,3+4>5,能构成三角形;选项C,4+5<10,不能构成三角形;选项D,2+6<9,不能构成三角形.
3.C　由题意得6-34.D　在选项A中,∵a=3,b=-2,∴a2>b2,且a>b,故选项A中a、b的值不能说明题中命题为假命题;在选项B中,a=-2,b=3,此时不满足a2>b2,故选项B中a、b的值不能说明题中命题为假命题;在选项C中,a=2,b=-3,此时不满足a2>b2,故选项C中a、b的值不能说明题中命题为假命题;在选项D中,a=-3,b=2,此时满足a2>b2,但不满足a>b,故选项D中a、b的值能说明题中命题为假命题.
5.D　易因分类讨论后没有利用三角形三边关系进行验证而错选.当相等的边的长为9时,4、9、9可以构成三角形,此时周长为4+9+9=22;当相等的边的长为4时,∵4+4=8<9,∴不能构成三角形,故舍去,∴该三角形的周长是22.
6.B　∵∠FDC是△ADF的外角,∴∠AFD=∠FDC-∠A=45°-30°=15°.
7.C　A.∵∠A-∠B=∠C,∠A+∠B+∠C=180°,
∴∠A=∠B+∠C=90°,∴该三角形是直角三角形;
B.∵∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶7,∴∠C=180°×=90°,∴该三角形是直角三角形;C.∵∠A=2∠B=3∠C,∴∠A=180°×>90°,∴该三角形是钝角三角形;D.∵∠A=9°,∠B=81°,∴∠C=90°,∴该三角形是直角三角形.
8.C　∵∠ADC=70°,∠B=30°,∴∠BAD=∠ADC-∠B=70°-30°=40°.∵AD平分∠BAC,∴∠BAC=2∠BAD=80°,∴∠C=180°-∠B-∠BAC=180°-30°-80°=70°,故选C.
9.B　∵AD是△ABC的中线,∴S△ABD=S△ACD=S△ABC.∵点E是AD的中点,
∴S△ABE=S△BDE=S△ABD,S△CDE=S△CAE=S△ACD.∴S△ABE=S△ABC,S△CDE=S△ABC,∴S△ABE+S△CDE=S△ABC=×8=4,∴阴影部分的面积为4.
10.B　∵BE是中线,∴AE=CE,∴△ABE的面积=△BCE的面积,故①正确.∵CF是角平分线,∴∠ACF=∠BCF.∵AD为BC边上的高,∴∠ADC=90°.∴∠ACB+∠CAD=90°,∵∠BAC=90°,∴∠ABC+∠ACB=90°,∴∠ABC=∠CAD.∵∠AFG=∠ABC+∠BCF,∠AGF=∠CAD+∠ACF,∴∠AFG=∠AGF,故②正确.∵AD为BC边上的
高,∴∠ADB=90°.∴∠ABC+∠BAD=90°,∵∠BAC=90°,∴∠ABC+∠ACB=90°,∴∠ACB=∠BAD.∵CF平分∠ACB,∴∠ACB=2∠ACF,∴∠BAD=2∠ACF,即∠FAG=2∠ACF,故③正确.∵∠BAC=90°,AD是BC边上的高,∴S△ABC=AB·AC=AD·BC.∵AB=6,AC=8,BC=10,∴AD==4.8,故④错误.故选B.
11.答案　②③
12.答案　a=-2
13.答案　4或6或8
解析　因为6-414.答案　①③④
解析　①∵AD平分∠EAC,
∴∠EAC=2∠EAD,
∵∠ABC=∠ACB,∠EAC=∠ABC+∠ACB=2∠ABC,
∴∠EAD=∠ABC,
∴AD∥BC,故①正确;
②∵AD∥BC,
∴∠ADB=∠DBC,
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABC=2∠DBC,∵∠ABC=∠ACB,
∴∠ACB=2∠ADB,故②错误;
③在△ADC中,∠ADC+∠CAD+∠ACD=180°.
∵CD平分∠ACF,
∴∠ACD=∠DCF,
∵AD∥BC,
∴∠ADC=∠DCF,∠ADB=∠DBC,∠CAD=∠ACB,
∴∠ACD=∠ADC,∠CAD=∠ACB=∠ABC=2∠ABD,
∴∠ADC+∠CAD+∠ACD=∠ADC+2∠ABD+∠ADC=2∠ADC+2∠ABD=180°,
∴∠ADC+∠ABD=90°,
故③正确;
④∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠DBC,
∵AD∥BC,
∴∠DCF=∠ADC,∠ADB=∠DBC,
∵∠ADC+∠ABD=90°,
∴∠DCF=90°-∠ABC=∠DBC+∠CDB,
∴∠CDB=90°-2∠DBC,
∴∠DBC=∠ADB=45°-∠CDB,
故④正确.
15.解析　(1)如果一个数是有理数,那么这个数一定是自然数.
题设:一个数是有理数.结论:这个数一定是自然数,是假命题.
(2)如果一个数是几个负数之和,那么这个数是负数.
题设:一个数是几个负数之和,结论:这个数是负数,是真命题.
16.解析　(1)逆命题是“互补的两个角是同旁内角”.
(2)假命题.
反例:如图:
∠1与∠2互补,但∠1与∠2不是同旁内角.
17.解析　当腰长为5时,5+5=10,不能组成三角形;当底边长为5,腰长为10时,5+10=15>10,可以组成三角形,此时这个等腰三角形的周长=5+10+10=25,所以这个等腰三角形的周长为25.
18.证明　在△ABD中,AB+AD>BD,
在△PDC中,CD+PD>PC,
∴AB+AD+CD+PD>BD+PC,
∴AB+AC>BP+CP.
19.解析　∵∠ABC=66°,∠ACB=54°,
∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=180°-66°-54°=60°.
∵BE⊥AC,∴∠AEB=90°,
∴∠ABE=90°-∠A=90°-60°=30°.
∵CF⊥AB,∴∠BFC=90°,
∴∠BHF=90°-∠ABE=90°-30°=60°,
∴∠BHC=180°-∠BHF=180°-60°=120°.
20.解析　(1)证明:∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠CBE,又∵∠C=∠BAD,
∴∠ABF+∠BAD=∠CBE+∠C.
∵∠AFE=∠ABF+∠BAD,∠AEF=∠CBE+∠C,
∴∠AEF=∠AFE.
(2)∵FE平分∠AFG,∴∠AFE=∠GFE.
∵∠AEF=∠AFE,∴∠AEF=∠GFE,∴FG∥AC.
∵∠C=30°,∴∠CGF=180°-∠C=150°.
21.解析　(答案不唯一)(1)条件:①AD∥BE,②∠1=∠2.
结论:③∠A=∠E.
(2)证明:∵AD∥BE,∴∠A=∠EBC.
∵∠1=∠2,∴DE∥BC,∴∠E=∠EBC,∴∠A=∠E.
22.解析　(1)证明:∵AC∥BD,∴∠DAE=∠BDA.
∵∠BDA=∠C,∴∠DAE=∠C,∴AD∥BC.
(2)证明:如图,设CE与BD相交于点G,则∠BGA=∠BDA+∠DAE.
∵BD⊥BC,∴∠B=90°,∴∠BGA+∠C=90°,
∴∠BDA+∠DAE+∠C=90°.
∵∠BDA=∠C,∴∠DAE+2∠C=90°.
(3)设∠DAE=α,则∠DFE=8α,
∵∠DFE+∠AFD=180°,∴∠AFD=180°-8α.
∵DF∥BC,∴∠C=∠AFD=180°-8α.
∵2∠C+∠DAE=90°,∴2(180°-8α)+α=90°,
∴α=18°,∴∠C=180°-8α=36°.
∵∠C=∠BDA,∠BAC=∠BAD,
∴∠BDA=36°,∠ABC=∠ABD=∠CBD=45°,
∴∠BAD=180°-45°-36°=99°.