2023- 2024学年沪科版八年级数学上册13.1三角形中的边角关系 同步练习(含解析)

2023- 2024学年沪科版八年级数学上册课堂同步练习
第13章　三角形中的边角关系、命题与证明
13.1　三角形中的边角关系
知识点1　三角形的有关概念　　　　　　　　　　　
1. 图中三角形共有
(　　)
A.3个　 B.4个 　C.5个　 D.6个
知识点2　三角形按边长关系分类
2.下列说法:①等边三角形是等腰三角形,等腰三角形也是等边三角形;②等腰三角形至少有两边相等;③三角形按边长关系,可分为等腰三角形和不等边三角形;④三角形按边长关系,可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形,其中正确的为(　　)
A.①③ 　B.②④ 　C.②③　 D.①②④
3.如图,AB=AC,AD=BD=DE=CE=AE,则共有　　个等腰三角形,有　　个等边三角形.
知识点3　三角形中边的关系
4.(2022四川凉山州中考)下列长度的三条线段能组成三角形的是(　　)
A.3,4,8　 B.5,6,11
C.5,6,10　 D.5,5,10
5.(2023安徽合肥行知学校期中)已知一个三角形的两条边长分别为4和7,则第三条边的长不可能是(　　)
A.11　 B.9　 C.8　 D.7
(2023安徽安庆迎江期中)一个等腰三角形的两边长分别是
6 cm,10 cm,则这个三角形的周长为　　　　　　.
7. (2023安徽合肥部分学校质检)已知△ABC的三边长分别为1,4,a,化简:|a-2|-|a-1|+|a-6|.
8. 在△ABC中,已知AB=8,BC=2a+2,AC=22.
(1)求a的取值范围;
(2)若△ABC为等腰三角形,求这个三角形的周长.
知识点4　三角形中角的关系
9.(2023安徽安庆迎江期中)在△ABC中,若∠A=∠B-∠C,则△ABC是(　　)
A.锐角三角形　
B.直角三角形
C.钝角三角形　
D.不确定
10.(2023安徽马鞍山期中)如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,DE⊥AC,若∠B=40°,∠C=60°,则∠ADE的度数为(　　)
A.30°　 　B.40°　　
C.50°　　 D.60°
11.(2023安徽安庆外国语学校期中)在△ABC中,∠A=35°,∠B=45°,则∠C为　　　　°.
知识点5　三角形中的几条重要线段
12.(2022广西民族大学附中月考)如图,在△ABC中,∠1=∠2,G为AD的中点,延长BG交AC于E.F为AB上的一点,CF⊥AD于H.下列判断正确的是(　　)
A.线段AD是△ABE的角平分线
B.线段CH为△ACD的边AD上的高
C.线段 BE是△ABD的边AD上的中线
D.线段AH为△ABC的角平分线
13.(2023安徽合肥部分学校质检)如图,在△ABC中,AD为BC边上的中线,△ABD的周长比△ACD的周长大4.若AB=10,则AC=　　　　.
知识点6　定义
14.下列语句中,属于定义的是(　　)
A.直角都相等
B.同角或等角的余角相等
C.两直线平行,同旁内角互补
D.有两条边相等的三角形是等腰三角形
15.(2022浙江衢州中考 )线段a,b,c首尾顺次相接组成三角形,若a=1,b=3,则c的长度可以是(　　)
A.3 　B.4 　C.5 D.6
16.(2022浙江杭州中考,5,★☆☆)如图,CD⊥AB,交AB的延长线于点D,已知∠ABC是钝角,则(　　)
A.线段CD是△ABC的边AC上的高线
B.线段CD是△ABC的边AB上的高线
C.线段AD是△ABC的边BC上的高线
D.线段AD是△ABC的边AC上的高线
17.(2023安徽亳州六校联考 )如图,在△ABC中,BO,CO分别平分∠ABC,∠ACB,∠A=50°,则∠BOC的度数为(　　)
A.115° 　B.120°　 C.125°　 D.130°
18.(2022江苏常州中考 )如图,在△ABC中,E是中线AD的中点.若△AEC的面积是1,则△ABD的面积是　　　　.
19.(2023安徽蚌埠蚌山期中 )已知a,b,c是△ABC的三边长,a=4,b=6,设三角形的周长是x.
(1)直接写出c及x的取值范围.
(2)若x是小于18的偶数.
①求c的长;
②判断△ABC的形状.
20. 小明和小红在一本数学资料书上看到这样一道竞赛题:已知△ABC的三边长分别为a,b,c,且|b+c-2a|+(b+c-5)2=0,求b的取值范围.
(1)小明说:“b的取值范围我看不出如何求,但我能求出a的值.”你知道小明是如何计算的吗 帮他写出求解的过程;
(2)小红说:“我也看不出如何求b的取值范围,但我能用含b的式子表示c.”请你帮小红写出过程;
(3)小明和小红一起去问数学老师,老师说:“根据你们二人的求解,利用书上三角形的三边关系,即可求出答案.”你知道答案吗 请写出求解过程.
21.将三角尺(△MPN,∠MPN=90°)放置在△ABC上(点P在△ABC内),如图①所示,三角尺的两边PM、PN恰好经过点B和点C,我们来研究∠ABP与∠ACP是否存在某种数量关系.
(1)特例探究:∠PBC+∠PCB=　　　　度,若∠A=50°,则∠ABP+∠ACP=　　　　度;
(2)类比探究:∠ABP、∠ACP、∠A之间的数量关系;
(3)变式探究:如图②所示,将图①中△ABC的形状改变,同时改变三角尺的位置,使点P在△ABC外,三角尺的两边PM、PN仍恰好经过点B和点C,探究∠ABP、∠ACP、∠A之间的数量关系.
答案
1.C　根据三角形的概念,可知三角形有△BED,△AED,△ADC,△ABD,△ABC,共5个.
2.C　∵有两条边相等的三角形是等腰三角形,三条边都相等的三角形是等边三角形,∴等边三角形一定是等腰三角形,但等腰三角形不一定是等边三角形,故①错误,②正确;三角形按边长关系,可分为不等边三角形和等腰三角形,故③正确,④错误.故选C.
3.答案　4;1
解析　依据等腰三角形及等边三角形的定义可知,题图中的等腰三角形有△ABC,△ABD,△AEC,△ADE,共4个;等边三角形有△ADE,共1个.
4.C　3+4<8,不能组成三角形,所以选项A不符合题意;
5+6=11,不能组成三角形,所以选项B不符合题意;
5+6>10,能组成三角形,所以选项C符合题意;
5+5=10,不能组成三角形,所以选项D不符合题意.
5.A　设第三边的长为x,由三角形的三边关系可得7-46.答案　22 cm或26 cm
解析　(1)当三边长是6 cm,6 cm,10 cm时,6+6>10,符合三角形的三边关系,此时周长是22 cm;(2)当三边长是6 cm,10 cm,10 cm时,6+10>10,符合三角形的三边关系,此时周长是26 cm.综上,这个三角形的周长是22 cm或26 cm.
7.解析　本题易忽视a的取值范围而在去绝对值符号时产生错误.∵△ABC的三边长分别为1、4、a,∴4-10,a-1>0,a-6<0,故原式=a-2-(a-1)+6-a=5-a.
8.解析　(1)由题意,得22-8<2a+2<22+8,解得6(2)∵△ABC为等腰三角形,∴2a+2=8或2a+2=22,∴a=3或a=10.∵69.B　∵∠A=∠B-∠C,∴∠B=∠A+∠C.
∵∠A+∠B+∠C=180°,∴2∠B=180°,
∴∠B=90°,∴△ABC是直角三角形.
10.C　∵∠B=40°,∠C=60°,∴∠BAC=180°-40°-60°=80°.∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠DAC=40°.
∵DE⊥AC,∴∠AED=90°,∴∠ADE=180°-90°-40°=50°.
11.答案　100
解析　∵∠A=35°,∠B=45°,∴∠C=180°-∠A-∠B=100°.
12.B　选项A,根据三角形的角平分线的概念,知AG是△ABE的角平分线,故本选项中判断错误;选项B,根据三角形的高的概念,知CH为△ACD的边AD上的高,故本选项中判断正确;选项C,根据三角形的中线的概念,知BG是△ABD的边AD上的中线,故本选项中判断错误;选项D,根据三角形的角平分线的概念,知AD是△ABC的角平分线,故本选项中判断错误.
13.答案　6
解析　∵AD为BC边上的中线,∴BD=DC.∵△ABD的周长比△ACD的周长大4,∴(AB+BD+AD)-(AC+CD+AD)=4,∴AB-AC=4.∵AB=10,∴AC=6.
14.D　选项A不是定义;选项B是余角的性质,不是定义;选项C是平行线的性质,不是定义;选项D是等腰三角形的定义,符合题意.
15.A　由题意可知3-116.B　选项A,线段CD是△ABC的边AB上的高线,故本选项说法错误,不符合题意;选项B,线段CD是△ABC的边AB上的高线,故本选项说法正确,符合题意;选项C,线段AD不是△ABC的边BC上的高线,故本选项说法错误,不符合题意;选项D,线段AD不是△ABC的边AC上的高线,故本选项说法错误,不符合题意.
17.A　∵∠A=50°,∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-50°=130°.∵BO,CO分别平分∠ABC,∠ACB,∴∠OBC=∠ABC,∠OCB=∠ACB,∴∠OBC+∠OCB=(∠ABC+
∠ACB)=×130°=65°,∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-65°=115°.
18.答案　2
解析　∵E是AD的中点,∴CE是△ACD的中线,
∴S△ACD=2S△AEC.∵△AEC的面积是1,∴S△ACD=2S△AEC=2.∵AD是△ABC的中线,∴S△ABD=S△ACD=2.
19.解析　(1)因为a=4,b=6,所以6-4(2)①因为周长为小于18的偶数,所以x=16或x=14.
当x为16时,c=6;当x为14时,c=4.
②当c=6时,b=c,则△ABC为等腰三角形;当c=4时,a=c,则△ABC为等腰三角形.
综上,△ABC是等腰三角形.
20.解析　(1)∵|b+c-2a|+(b+c-5)2=0,
∴b+c-2a=0且b+c-5=0,
∴2a=5,解得a=.
(2)∵|b+c-2a|+(b+c-5)2=0,
∴b+c-2a=0且b+c-5=0,
由b+c-5=0得c=5-b.
(3)由三角形的三边关系得,
当5-b≥,即b≤时,
∴当5-b<,即b>时,
∴∴b的取值范围为21.解析　(1)90;40.
详解:∵∠P=90°,∴∠PBC+∠PCB=180°-∠P=180°-90°=90°,∵∠A=50°,∴∠ABC+∠ACB=130°.
∴∠ABP+∠ACP=130°-90°=40°.
(2)结论:∠ABP+∠ACP=90°-∠A.
证明:∵(∠PBC+∠PCB)+(∠ABP+∠ACP)+∠A=180°,
∴90°+(∠ABP+∠ACP)+∠A=180°,
∴∠ABP+∠ACP+∠A=90°,
∴∠ABP+∠ACP=90°-∠A.
(3)结论:∠ACP-∠ABP=90°-∠A.
理由:设AB交PC于O,如图,
∵∠AOC=∠POB,
∴∠ACO+∠A=∠P+∠PBO,即∠ACP+∠A=90°+∠ABP,∴∠ACP-∠ABP=90°-∠A.